En effet, comme $\overline{u}_\alpha^1(0) = \{0\}$ pour tout $\alpha$, il résulte de E, III, p. 54, prop. 2 que $\overline{u}_\alpha^1(0) = \{0\}$, donc $u$ est injectif; en outre, les $u_\alpha(E'_\alpha)$ forment un système projectif de parties des $E_\alpha$ et l’on a $u(\lim_{\leftarrow} E'_\alpha) = \lim_{\leftarrow} u_\alpha(E'_\alpha)$. Comme $u_\alpha(E'_\alpha) = \overline{v}_\alpha^1(0)$ par hypothèse, on a $\overline{v}_\alpha^1(0) = \lim_{\leftarrow} u_\alpha(E'_\alpha) = u(\lim_{\leftarrow} E'_\alpha)$ (E, III, p. 54, prop. 2), ce qui achève la démonstration.

soient exactes pour tout $\alpha$. Alors, si on pose $u = \lim u_\alpha, v = \lim v_\alpha$, la suite

est exacte.

En effet, on a $u(\lim E'_\alpha) = \lim u_\alpha(E'_\alpha)$ et $\overline{v}^1(0) = \lim \overline{v}_\alpha^1(0)$ (E, III, p. 64, corollaire).

De façon imagée, on exprime encore la prop. 3 en disant que le passage à la limite inductive préserve l’exactitude.

En effet, tout $x \in E$ est de la forme $f_\alpha(x_\alpha)$ pour un $\alpha \in I$ et un $x_\alpha \in E_\alpha$, et par hypothèse $x_\alpha = \sum_i \lambda^{(i)}_\alpha y^{(i)}_\alpha$, où $\lambda^{(i)}_\alpha \in A_\alpha$ et $y^{(i)}_\alpha \in S_\alpha$; si on pose $\lambda^{(i)} = \varphi_\alpha(\lambda^{(i)}_\alpha)$, $y^{(i)} = f_\alpha(y^{(i)}_\alpha)$, on a $x = \sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)}$.

Il résulte de la prop. 4 que $E$ est somme des $M^\lambda$. Soit $(y^\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille telle que $y^\lambda \in M^\lambda$ pour tout $\lambda \in L$, dont le support est fini, et supposons que $\sum_\lambda y^\lambda = 0$. En vertu de E, III, p. 62, lemme 1, il existe un $\alpha \in I$ et une famille $(x^\lambda_\alpha)_{\lambda \in L}$, de support fini, formée d’éléments de $E_\alpha$ tels que $x^\lambda_\alpha \in M^\lambda_\alpha$ et $y^\lambda = f_\alpha(x^\lambda_\alpha)$ pour tout $\lambda \in L$. La relation $f_\alpha \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ entraîne l’existence d’un $\beta \geq \alpha$ tel que $f_{\beta \alpha} \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ (E, III, p. 62, lemme 1) ce qui s’écrit $\sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\beta = 0$, où $x^\lambda_\beta = f_{\beta \alpha}(x^\lambda_\alpha) \in M^\lambda_\beta$ par hypothèse; on a donc $x^\lambda_\beta = 0$ pour tout $\lambda \in L$, et par suite $y^\lambda = f_\beta(x^\lambda_\beta) = 0$ pour tout $\lambda \in L$, ce qui prouve que la somme des $M^\lambda$ est directe.

La seconde assertion résulte aussitôt de la première et de la prop. 4. Il suffit donc de prouver que si les $P_\alpha$ sont libres, toute partie $\{y^{(i)}\}_{1 \leq i \leq n}$ formée d’éléments de $P$ deux à deux distincts, est libre. Il existe un $\alpha \in I$ et des éléments $x_\alpha^{(i)} \in P_\alpha$ tels que $y^{(i)} = f_\alpha(x_\alpha^{(i)})$ pour $1 \leq i \leq n$ (E, III, p. 62, lemme 1); si $\sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)} = 0$, on peut supposer que $\lambda^{(i)} = \varphi_\alpha(\lambda_\alpha^{(i)})$ pour $1 \leq i \leq n$, donc on a $f_\alpha(\sum_i \lambda_\alpha^{(i)} x_\alpha^{(i)}) = 0$; cela entraîne $\sum_i \lambda_\beta^{(i)} x_\beta^{(i)} = 0$ pour un $\beta \geq \alpha$, avec $\lambda_\beta^{(i)} = \varphi_{\beta \alpha}(\lambda_\alpha^{(i)})$, $x_\beta^{(i)} = f_{\beta \alpha}(x_\alpha^{(i)})$, et les $x_\beta^{(i)}$ appartiennent à $P_\beta$ et sont deux à deux distincts, puisque $y^{(i)} = f_\beta(x_\beta^{(i)})$; on a donc $\lambda_\beta^{(i)} = 0$ pour $1 \leq i \leq n$, d’où $\lambda^{(i)} = \varphi_\beta(\lambda_\beta^{(i)}) = 0$ pour $1 \leq i \leq n$.

Supposons maintenant que tous les anneaux $A_\alpha$ soient égaux à un même anneau $A$ et les $\varphi_{\beta \alpha}$ à $1_A$; alors, pour tout système inductif $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ de $A$-modules, $E = \lim E_\alpha$ est un $A$-module. Soit $F$ un $A$-module et pour tout $\alpha$, soit $u_\alpha : E_\alpha \to F$ une application $A$-linéaire telle que $(u_\alpha)$ soit un système inductif d’applications; alors $u = \lim u_\alpha$ est une application $A$-linéaire de $E$ dans $F$. Inversement, pour toute application $A$-linéaire $v : \lim E_\alpha \to F$, la famille des $v_\alpha = v \circ f_\alpha$ est un système inductif d’applications $A$-linéaires tel que $v = \lim v_\alpha$. Notons d’autre part que pour $\alpha \leq \beta$, l’application

est un homomorphisme de $\mathbf{Z}$-modules tel que $(\operatorname{Hom}_A(E_\alpha, F), \bar{f}_{\alpha \beta})$ soit un système projectif de $\mathbf{Z}$-modules; comme $\bar{f}_{\alpha \beta}(v_\beta) = v_\beta \circ f_{\beta \alpha}$, les remarques précédentes peuvent s’exprimer comme suit:

Pour tout $u \in \mathrm{Hom}(\lim_{\longrightarrow} E_\alpha, F)$, on a en effet $d_F(v \circ u) = (v \circ u \circ f_\alpha)$, et la commutativité du diagramme (6) résulte alors aussitôt des définitions.

Posons $P = \lim_{\longrightarrow} (E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha)$ et, pour tout $\alpha \in I$, soit $h_\alpha : E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to P$ l’application canonique. Soit d’autre part, pour tout $\alpha \in I$,

l’application $\mathbf{Z}$-bilinéaire canonique; pour $\alpha \leq \beta$, on a $t_\beta(f_{\beta \alpha}(x_\alpha), g_{\beta \alpha}(y_\alpha)) =$ f_{\beta \alpha}(x_\alpha) \otimes g_{\beta \alpha}(y_\alpha) = h_{\beta \alpha}(t_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)), donc $(t_\alpha)$ est un système inductif d’applications. Identifiant canoniquement $\lim \rightarrow (E_\alpha \times F_\alpha)$ à $E \times F$ (E, III, p. 67, prop. 10), on en déduit une application $t = \lim \rightarrow t_\alpha : E \times F \to P$, telle que $t(f_\alpha(x_\alpha), g_\alpha(y_\alpha)) = h_\alpha(t_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)) = h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)$. Tenant compte du lemme 1 de E, III, p. 62, on voit aussitôt que $t$ est $\mathbf{Z}$-bilinéaire; en outre, pour $x \in E, y \in F, \lambda \in A$, il existe $\alpha \in I$ tel que $x = f_\alpha(x_\alpha), y = g_\alpha(y_\alpha), \lambda = \rho_\alpha(\lambda_\alpha)$ avec $\lambda_\alpha \in A_\alpha, x_\alpha \in E_\alpha, y_\alpha \in F_\alpha$ (E, III, p. 62, lemme 1); d’où $t(x\lambda, y) = h_\alpha((x_\alpha \lambda_\alpha) \otimes y_\alpha) = h_\alpha(x_\alpha \otimes (\lambda_\alpha y_\alpha)) = t(x, \lambda y)$. Il existe donc une application $\mathbf{Z}$-linéaire et une seule $\pi' : E \otimes_A F \to P$ telle que $\pi'(x \otimes y) = t(x, y)$ (II, p. 51, prop. 1). En outre, on a par définition

et comme les éléments de la forme $f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)$ (resp. $h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)$) engendrent le $\mathbf{Z}$-module $E \otimes_A F$ (resp. $P$), $\pi' \circ \pi$ et $\pi \circ \pi'$ sont les applications identiques.

C. Q. F. D.

De façon imagée, on exprime la prop. 7 en disant que le produit tensoriel commute avec les limites inductives, et l’on identifie d’ordinaire les deux membres de (7) au moyen de l’isomorphisme $\pi$.

La vérification est immédiate.

Soit $(A'_\alpha, \rho'_{\beta \alpha})$ un second système inductif d’anneaux, et supposons que chaque $E_\alpha$ soit un $(A'_\alpha, A_\alpha)$-bimodule, les $f_{\beta \alpha}$ étant $(A'_\alpha, A_\alpha)$-linéaires pour $\alpha \leq \beta$. Alors, si on pose $A' = \lim \rightarrow A'_\alpha$, l’isomorphisme (7) (II, p. 93) est linéaire pour les structures de $A'$-modules à gauche des deux membres en vertu du cor. 1. On généralise immédiatement à des multimodules quelconques.

En particulier, si les $A_\alpha$ sont commutatifs, $A = \lim \rightarrow A_\alpha$ est commutatif et l’isomorphisme (7) est un isomorphisme de $A$-modules.

Il suffit d’appliquer la prop. 7 (II, p. 93) en prenant pour $F_\alpha$ l’anneau $A$ considéré comme $(A_\alpha, A)$-bimodule au moyen de $\rho_\alpha$.

Il suffit de faire $A_\alpha = A$ et $F_\alpha = F$ pour tout $\alpha \in I$ dans la prop. 7 (II, p. 93).

En particulier, si $\rho : A \to B$ est un homomorphisme d’anneaux, $\varprojlim \rho^*(E_\alpha)$ et $\rho^*(\varprojlim E_\alpha)$ sont canoniquement isomorphes.

En effet, $M$ (resp. $N$) s’identifie canoniquement à la limite inductive de la famille filtrante de ses sous-modules de type fini contenant les $x_i$ (resp. les $y_i$), et il suffit d’appliquer E, III, p. 62, lemme 1.