Structure des groupes compacts

Notons $\hat{G}$ l’ensemble des classes de représentations continues irréductibles unitaires de G dans des espaces hilbertiens complexes de dimension finie (TS, à paraître). Pour tout $u \in \hat{G}$, soient $H_u$ l’espace de $u$ et $\rho_u : G \to U(H_u)$ l’homomorphisme associé à $u$. D’après le théorème de Peter-Weyl (TS, à paraître), l’homomorphisme continu $\rho = (\rho_u)_{u \in \hat{G}}$ de G dans $\prod_{u \in \hat{G}} U(H_u)$ est injectif ; puisque G est compact, $\rho$ induit un isomorphisme de G sur un sous-groupe fermé du groupe $\prod_{u \in \hat{G}} U(H_u)$.

Soit $(K_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de groupes de Lie compacts telle que G s’identifie à un sous-groupe fermé de $\prod_{\lambda \in L} K_\lambda$; pour $\lambda \in L$, notons $p_\lambda : G \to K_\lambda$ la restriction à G de la projection canonique. Il existe un ensemble fini $J \subset L$, et pour chaque $\lambda \in J$ un voisinage de l’origine $V_\lambda$ dans $K_\lambda$, tels que V contienne $\bigcap_{\lambda \in J} p_\lambda^{-1}(V_\lambda)$. Il suffit alors de poser $H = \bigcap_{\lambda \in J} \mathrm{Ker}(p_\lambda)$.

Notons $(H_\alpha)_{\alpha \in I}$ la famille filtrante décroissante des sous-groupes fermés distingués de G, tels que le quotient $G/H_\alpha$ soit un groupe de Lie. Considérons le système projectif des groupes de Lie compacts $G/H_\alpha$ (cf. TG, III, p. 60).

En effet le cor. 1 entraîne que la condition (AP) de TG, III, p. 60 est vérifiée ; l’assertion résulte alors de la prop. 2 de loc. cit.

La nécessité de cette condition a déjà été prouvée (III, § 4, n° 2, cor. 1 au th. 2), et la suffisance est une conséquence immédiate du cor. 1.

a) Les sous-groupes $\overline{D(G_\alpha)}$ (resp. $C(G_\alpha)$, resp. $C(G_\alpha)_0$) forment un système projectif de parties des $G_\alpha$.

b) On a $\overline{D(G)} = \lim_\alpha \overline{D(G_\alpha)}$ et $C(G) = \lim_\alpha C(G_\alpha)$.

c) Si $G_\alpha$ est compact pour tout $\alpha \in I$, on a $C(G)_0 = \lim_\alpha C(G_\alpha)_0$.

Soient $\alpha, \beta$ deux éléments de I, avec $\alpha \leq \beta$. On a $f_{\alpha\beta}(D(G_\beta)) \subset D(G_\alpha)$, et $f_{\alpha\beta}(C(G_\beta)) \subset C(G_\alpha)$ puisque $f_{\alpha\beta}$ est surjectif ; comme $f_{\alpha\beta}$ est continu, on en déduit $f_{\alpha\beta}(D(G_\beta)) \subset D(G_\alpha)$ et $f_{\alpha\beta}(C(G_\beta)_0) \subset C(G_\alpha)_0$, d’où a). Puisque $f_\alpha$ est surjectif, on a $f_\alpha(D(G)) = D(G_\alpha)$ (A, I, p. 67, prop. 6), d’où $\overline{D(G)} = \lim_\alpha \overline{D(G_\alpha)}$ (TG, I, p. 29, corollaire). La surjectivité de $f_\alpha$ entraîne aussi l’inclusion $f_\alpha(C(G)) \subset C(G_\alpha)$ et donc $C(G) \subset \lim_\alpha C(G_\alpha)$; l’inclusion opposée est immédiate. Enfin l’assertion c) résulte de b) et de TG, III, p. 62, prop. 4.

Notons $s_a$ (resp. $t_b$) l’algèbre de Lie de $S_a$ (resp. $T_b$) pour $a \in A$ (resp. $b \in B$), et considérons l’homomorphisme $L(u) : \prod_{a \in A} s_a \to \prod_{b \in B} t_b$. Son noyau est un idéal de l’algèbre de Lie semi-simple $\prod_{a \in A} s_a$, donc est de la forme $\prod_{a \in A''} s_a$, avec $A'' \subset A$ (I, § 6, n° 2, cor. 1). Posons $A' = A - A''$. Par restriction, $L(u)$ induit un isomorphisme $f : \prod_{a \in A'} s_a \to \prod_{b \in B} t_b$. D’après loc. cit., pour tout $a$ dans $A'$, l’idéal $f(s_a)$ est égal à l’un des $t_b$; il existe donc une bijection $l : B \to A'$ telle que $f(s_{l(b)}) = t_b$ pour $b \in B$, et $f$ induit un isomorphisme $f_b : s_{l(b)} \to t_b$. Puisque les groupes $S_a$ et $T_b$ sont simplement connexes, il existe des isomorphismes $u_b : S_{l(b)} \to T_b$ tels que $L(u_b) = f_b$ pour $b \in B$ (III, § 6, n° 3, th. 3).

Notons $\tilde{u} : \prod_{a \in A} S_a \to \prod_{b \in B} T_b$ le morphisme défini par $\tilde{u}((s_a)_{a \in A}) = (u_b(s_{l(b)}))_{b \in B}$. On a par construction $L(\tilde{u}) = f = L(u)$, d’où $\tilde{u} = u$, ce qui démontre le lemme.

Pour tout $\alpha \in I$, le groupe $G_\alpha$ est produit direct d'une famille finie de sous-groupes presque simples simplement connexes $(S^\lambda_\alpha)_{\lambda \in L_\alpha}$ (III, § 9, no 8, prop. 28). Soit $\beta \in I$, $\beta \geq \alpha$. D'après le lemme 2, il existe une application $l_{\beta \alpha}: L_\alpha \to L_\beta$ telle que $f_{\alpha \beta}(S^{l_{\beta \alpha}(\lambda)}_\beta) = S^\lambda_\alpha$ pour $\lambda \in L_\alpha$. On a $l_{\gamma \beta} \circ l_{\beta \alpha} = l_{\gamma \alpha}$ pour $\alpha \leq \beta \leq \gamma$, de sorte que $(L_\alpha, l_{\beta \alpha})$ est un système inductif d'ensembles relatif à $I$. Soit $L$ sa limite ; les applications $l_{\beta \alpha}$ étant injectives, on peut identifier $L_\alpha$ à un sous-ensemble de $L$, de sorte qu'on a $L = \bigcup_{\alpha \in I} L_\alpha$.

Soit $\lambda \in L$. Posons $S^\lambda_\alpha = \{1\}$ lorsque $\lambda \notin L_\alpha$, et notons $\varphi^\lambda_{\alpha \beta}: S^\lambda_\beta \to S^\lambda_\alpha$ le morphisme déduit de $f_{\alpha \beta}$; on obtient ainsi un système projectif de groupes topologiques $(S^\lambda_\alpha, \varphi^\lambda_{\alpha \beta})$, dont la limite $S_\lambda$ est isomorphe à $S_\lambda$ pour $\alpha$ assez grand. L'homomorphisme canonique de groupes topologiques

est bijectif (E, III, p. 57, cor. 2); c'est donc un isomorphisme puisque les groupes considérés sont compacts. Or le premier de ces groupes s'identifie à $G$ et le second au produit des $S_\lambda$, d'où le lemme.

c) Il existe une famille $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ de groupes de Lie compacts presque simples et un homomorphisme continu surjectif $\prod_{\alpha \in L} S_\alpha \to D(G)$, dont le noyau est un sous-groupe central compact totalement discontinu.

Soit $(G_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif de groupes de Lie compacts, relatif à un ensemble filtrant $I$, tel que $G$ soit isomorphe à $\lim_{\leftarrow} G_\alpha$ et que les applications canoniques $f_\alpha : G \to G_\alpha$ soient surjectives (cor. 2 à la prop. 1). Pour $\alpha \in I$, soit $\pi_\alpha : \tilde{D}(G_\alpha) \to D(G_\alpha)$ un revêtement universel du groupe $D(G_\alpha)$. On déduit des $f_{\alpha\beta}$ des morphismes $\tilde{f}_{\alpha\beta} : \tilde{D}(G_\beta) \to \tilde{D}(G_\alpha)$, de sorte que $(\tilde{D}(G_\alpha), \tilde{f}_{\alpha\beta})$ est un système projectif de groupes topologiques satisfaisant aux hypothèses du lemme 3.

Il résulte de ce lemme que le groupe topologique $\lim_{\leftarrow} \tilde{D}(G_\alpha)$ est isomorphe au produit d'une famille $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ de groupes de Lie compacts presque simples. La limite du système projectif d'homomorphismes $(\pi_\alpha)$ s'identifie d'après le lemme 1 à un homomorphisme continu $\pi : \prod_{\lambda \in L} S_\lambda \to \overline{D(G)}$, qui est surjectif (TG, I, p. 65, cor. 2).

Observons maintenant que le groupe $\prod_{\lambda \in L} S_\lambda$ est égal à son groupe dérivé : cela résulte du § 4, no 5, cor. à la prop. 10. Il en est donc de même pour $\overline{D(G)}$, puisque $\pi$ est surjectif. On a par conséquent $D(G) \supset D(\overline{D(G)}) = \overline{D(G)}$. Ainsi le groupe $D(G)$ est compact et égal à son groupe dérivé ; ceci prouve a), car les assertions concernant $C(G)_0$ sont triviales.

D'autre part le noyau de $\pi : \prod_{\lambda \in L} S_\lambda \to D(G)$ s'identifie à $\lim_{\leftarrow} \mathrm{Ker}(\pi_\alpha)$ (A, II, p. 89, remarque 1), donc à un sous-groupe central, compact et totalement discontinu, d'où c).

Prouvons b). Pour tout $\alpha$ dans $I$, le morphisme $s_\alpha : C(G_\alpha)_0 \times D(G_\alpha) \to G_\alpha$ tel que $s_\alpha(x, y) = xy$ pour $x \in C(G_\alpha)_0,\ y \in D(G_\alpha)$, est surjectif et a pour noyau un sous-groupe fini central (§ 1, no 4, cor. 1 à la prop. 4). Les $s_\alpha$ forment un système projectif d'applications, dont la limite s'identifie d'après ce qui précède à l'homomorphisme $(x, y) \mapsto xy$ de $C(G)_0 \times D(G)$ dans $G$. On voit alors comme précédemment que celui-ci est surjectif et que son noyau est central et totalement discontinu, d'où b).

En effet le groupe dérivé est alors résoluble et égal à son groupe dérivé (prop. 2, a)), donc réduit à l'élément neutre.