Il faut prouver que tout espace vectoriel admet une base; cela va résulter du théorème plus précis suivant:

Le th. 1 résultera de cet énoncé en prenant $L = \varnothing$.

Pour prouver le th. 2, notons que l’ensemble $\mathscr{L}$ des parties libres de $E$ contenues dans $S$, ordonné par inclusion, est un ensemble inductif (E, III, p. 20), en vertu de II, p. 26; il en est de même de l’ensemble $\mathfrak{M}$ des parties libres contenant $L$ et contenues dans $S$. En vertu du th. de Zorn, $\mathfrak{M}$ admet un élément maximal $B$, et il suffit de prouver que le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $B$ est égal à $E$. Cela résulte aussitôt de la définition de $B$ et du lemme suivant:

Supposons que l’on ait une relation $\mu b + \sum_i \lambda_i a_i = 0$ avec $\mu \in K$ et $\lambda_i \in K$ pour tout $i \in I$, la famille $(\lambda_i)$ ayant un support fini; si on avait $\mu \neq 0$, on en déduirait $b = -\sum_i (\mu^{-1}\lambda_i)a_i$, donc $b \in F$ contrairement à l’hypothèse; on doit donc avoir $\mu = 0$, et il reste la relation $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, qui entraîne $\lambda_i = 0$ pour tout $i \in I$ par hypothèse; d’où le lemme.

Remarquons d’abord que si E admet une base infinie B, il résulte de II, p. 30, cor. 2 que toute autre base de E est équipotente à B. On peut donc se limiter au cas où E possède une base finie de $n$ éléments. Remarquons que tout espace vectoriel monogène sur K, non réduit à 0, est un K-module simple (I, p. 36, déf. 7), car il est engendré par chacun de ses éléments $\neq 0$, en vertu de la relation $\mu a = (\mu \lambda)(\lambda^{-1}a)$ pour $\mu \in K, \lambda \in K$ et $\lambda \neq 0$. Cela étant, si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de E, on a $E = \bigoplus_{i=1}^n Ka_i$ à un isomorphisme près, et les sous-espaces $E_k = \bigoplus_{i=1}^k Ka_i$ pour $0 \leq k \leq n$ forment une suite de Jordan-Hölder de E, $E_k/E_{k-1}$ étant isomorphe à $Ka_k$. Le th. 3 résulte donc dans ce cas du th. de Jordan-Hölder (I, p. 41, th. 6).

On peut donner une démonstration indépendante du th. de Jordan-Hölder, en montrant par récurrence sur $n$ que si E admet une base B de $n$ éléments, toute autre base B’ a au plus $n$ éléments. La proposition est évidente pour $n = 0$. Si $n \geq 1$, B’ n’est pas vide; soit donc $a \in B'$. En vertu du th. 2 (II, p. 95), il existe une partie C de B telle que $\{a\} \cup C$ soit une base de E et que $a \notin C$, puisque $\{a\} \cup B$ est évidemment un système générateur de E. Comme B est une base de E, on ne peut avoir C = B (II, p. 96, corollaire), donc C a au plus $n - 1$ éléments. Soient V le sous-espace engendré par C, V' le sous-espace engendré par B' - {a}; V et V' sont tous deux supplémentaires du sous-espace Ka de E, donc sont isomorphes (II, p. 20, prop. 13). Comme V admet une base ayant au plus $n - 1$ éléments, B' - {a} a au plus $n - 1$ éléments en vertu de l’hypothèse de récurrence, donc B' a au plus $n$ éléments.

En effet, si V est le sous-espace vectoriel de E engendré par M, M contient une base B' de V (II, p. 95, th. 2) et comme B' est une partie libre de E, elle est contenue dans une base B de E (II, p. 95, th. 2); on a Card(B') $\leqslant$ Card(B), d’où le corollaire.

Les th. 2 et 3 entraînent aussitôt la proposition suivante:

(ii) Pour que deux espaces vectoriels $K_s^m$ et $K_s^n$ soient isomorphes (m et n entiers $\geqslant 0$) il faut et il suffit que $m = n$.

(iii) Dans un espace vectoriel E de dimension finie n, tout système générateur a au moins n éléments; un système générateur de E ayant n éléments est une base de E.

(iv) Dans un espace vectoriel E de dimension finie n, toute partie libre a au plus n éléments; une partie libre ayant n éléments est une base de E.

En effet, si on identifie canoniquement les $E_t$ à des sous-espaces de $E = \bigoplus_{t \in I} E_t$, et si $B_t$ est une base de $E_t$ ($t \in I$), alors $B = \bigcup_{t \in I} B_t$ est une base de E (II, p. 26, prop. 19); d’où la relation (1) puisque les $B_t$ sont deux à deux disjoints.

Remarque 1). — On peut donner des exemples de modules admettant deux bases finies n’ayant pas le même nombre d’éléments (II, p. 181, exerc. 16 c)). Toutefois:

Considérons en effet l’espace vectoriel $\rho^*(E) = D \otimes_A E$ sur D obtenu par extension à D de l’anneau des scalaires (II, p. 82), et soit $\varphi : x \mapsto 1 \otimes x$ l’application canonique de E dans $\rho^*(E)$; si $(a_\lambda)$ est une base de E, $(\varphi(a_\lambda))$ est une base de $\rho^*(E)$ (II, p. 84, prop. 4); la proposition résulte donc du th. 3 (II, p. 96).

En effet, il existe dans $A$ au moins un idéal maximal $m$ (I, p. 99, th. 1), et comme $A/m$ est un corps, les conditions de la prop. 3 sont remplies.

Comme l’espace vectoriel quotient $E/F$ est un module libre, on sait (II, p. 27, prop. 21) que $F$ est facteur direct de $E$; la relation (3) est alors un cas particulier de II, p. 97, formule (1).

C’est une autre façon d’exprimer la prop. 4 (II, p. 21).

on a la relation

ou, si tous les espaces $E_i$ sont de dimension finie

Soit $I_k = \operatorname{Im} u_k = \operatorname{Ker} u_{k+1}$ pour $0 \leq k \leq n-1$; $I_{k+1}$ est par suite isomorphe à $E_{k+1}/I_k$, donc (II, p. 98, formule (3)) $\dim I_k + \dim I_{k+1} = \dim E_{k+1}$ pour $0 \leq k \leq n-2$ et en outre $\dim I_0 = \dim E_0$ et $I_{n-1} = E_n$, donc $\dim I_{n-1} = \dim E_n$. Remplaçant $\dim E_i$ par son expression en fonction des $\dim I_k$ dans les deux membres de (5), on trouve de chaque côté $\sum_{k=0}^{n-1} \dim I_k$, d’où le corollaire.

L’inégalité codim$_E$ F $\leqslant$ dim E est évidente en vertu de (9), et si dim E est finie la relation codim$_E$ F = dim E entraîne dim F = 0, donc F = {0}. Le reste de la proposition découle de là, car on a codim$_E$ F' = codim$_{E/F}$ (F'/F), puisque E/F' est canoniquement isomorphe à (E/F)/(F'/F) (I, p. 39, th. 4).

On notera que si E est de dimension finie, (10) est conséquence de (7) et (9) (II, p. 99).

En effet, si $F = \bigcap_i F_i$, E/F est isomorphe à un sous-espace de la somme directe des E/F$_i$ (II, p. 15, formule (27)).

On donne souvent aux sous-espaces vectoriels de dimension 1 (resp. de dimension 2) d’un espace vectoriel E le nom de droites passant par 0 (resp. plans passant par 0) (ou simplement droites (resp. plans)) s’il n’en résulte pas de confusion (cf. II, p. 129), par analogie avec le langage de la Géométrie classique; on dit qu’un sous-espace de E est un hyperplan passant par 0 (ou simplement un hyperplan) s’il est de codimension 1. On peut encore définir les hyperplans comme les éléments maximaux de l’ensemble $\mathscr{S}$ des sous-espaces vectoriels de E distincts de E, ordonné par inclusion. En effet, il y a correspondance biunivoque entre les sous-espaces de E contenant un sous-espace H et les sous-espaces de E/H (I, p. 39, th. 4); si E est de dimension $\geqslant 1$, $\mathscr{S}$ est non vide, et dire que H est maximal dans $\mathscr{S}$ signifie que E/H ne contient aucun sous-espace distinct de {0} et de E/H, ce qui entraîne que E/H est engendré par un quelconque de ses éléments $\neq 0$, autrement dit est de dimension 1.

Dans un espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$, les hyperplans sont les sous-espaces de dimension $n - 1$, en vertu de II, p. 98, formule (3).

Il suffit de montrer que pour tout $x \notin F$, il existe un hyperplan H contenant F et ne contenant pas x. On a par hypothèse $F \cap Kx = \{0\}$, donc la somme M de F et de Kx est directe. Soit N un supplémentaire de M dans E; E est alors somme directe de $H = F + N$ et de $Kx$, et H est donc un hyperplan répondant à la question.

Cela résulte aussitôt des relations (12) et (13).

Si E est un espace vectoriel de dimension infinie, il y a des endomorphismes injectifs (resp. surjectifs) de E qui ne sont pas bijectifs (II, p. 194, exerc. 9).

Soient K, K' deux corps, $\sigma : K \to K'$ un isomorphisme de K sur K', E un K-espace vectoriel, E' un K'-espace vectoriel, $u : E \to E'$ une application semi-linéaire relative à $\sigma$ (II, p. 32); on appelle encore rang de $u$ la dimension du sous-espace $u(E)$ de E'. C’est aussi le rang de $u$ considéré comme application linéaire de E dans $\sigma_*(E')$, car toute base de $u(E)$ est aussi une base de $\sigma_*(u(E))$.

Si K est le corps des scalaires de E, E est isomorphe à un espace $K_s^{(I)}$ et par suite $E^*$ est isomorphe à $K_d^{I}$ (II, p. 44, prop. 10). Comme $K_d^{(I)}$ est un sous-espace de $K_d^{I}$, on a $\dim E = \mathrm{Card}(I) \leq \dim E^*$ (II, p. 99, cor. 4); en outre, si I est fini, on a $K_d^{I} = K_d^{(I)}$ (cf. II, p. 192, exerc. 3d)).

Cela résulte de ce que tout sous-espace vectoriel est facteur direct (II, p. 98, prop. 4) et de II, p. 37, prop. 1 et p. 38, prop. 2.

On en déduit en particulier que pour tout sous-espace vectoriel M de E, l’homomorphisme canonique $E^*/M' \to M^*$, où $M'$ est le sous-espace de $E^*$ orthogonal à M (II, p. 42), est bijectif.

La première assertion et le fait que si E est de dimension finie $c_E$ est bijective, sont des cas particuliers de II, p. 47, prop. 14. Supposons E de dimension infinie, de sorte que l’on peut supposer que $E = K_s^{(L)}$, où L est un ensemble infini, et par suite $E^* = K_d^L$. Soit $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ la base canonique de E, et soit $(e^*_\lambda)_{\lambda \in L}$ la famille correspondante des formes coordonnées dans $E^*$ (II, p. 45); le sous-espace vectoriel de $E^*$ engendré par les $e^*_\lambda$ n’est autre que la somme directe $F' = K_d^{(L)}$ et l’hypothèse que L est infini entraîne $F' \neq E^*$. Il existe donc un hyperplan $H'$ de $E^*$ contenant $F'$ (II, p. 100, prop. 8), et comme $E^*/H'$ n’est pas réduit à 0, il en est de même de son dual (II, p. 102, cor. du. th. 4), qui s’identifie à l’orthogonal $H''$ de $H'$ dans $E^{**}$ (II, p. 44, corollaire). Mais $H'' \cap c_E(E)$ est contenu dans l’image par $c_E$ de l’orthogonal de $F'$ dans E, qui par définition est réduit à 0; on ne peut donc avoir $c_E(E) = E^{**}$.

On identifiera d’ordinaire E au sous-espace de $E^{**}$ image de $c_E$.

Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K, $u : E \to F$ une application linéaire. Nous allons définir des isomorphismes canoniques:

1° Du dual de $\operatorname{Im}(u) = u(E)$ sur $\operatorname{Im}(t^u) = t^u(F^*)$. 2° Du dual de $\operatorname{Ker}(u) = \overline{u}^{-1}(0)$ sur $\operatorname{Coker}(t^u) = E^*/t^u(F^*)$. 3° Du dual de $\operatorname{Coker}(u) = F/u(E)$ sur $\operatorname{Ker}({}^t u) = {}^t u^{-1}(0)$.

Posons en effet $I = \operatorname{Im}(u)$, $N = \operatorname{Ker}(u)$, $C = \operatorname{Coker}(u)$; des suites exactes

on déduit, par transposition (II, p. 102, cor. du th. 5), les suites exactes

En outre, comme $u = j \circ p$, on a $t^u = t^p \circ t^j$; les suites exactes (15) définissent donc des isomorphismes canoniques de $C^*$ sur $\operatorname{Ker}(t^u)$, de $I^*$ sur $\operatorname{Im}(t^u)$ et de $N^*$ sur $\operatorname{Coker}(t^u)$, puisque $t^p$ est injective et $t^j$ surjective. De façon plus précise, soient $y \in \operatorname{Im}(u)$, $z \in \operatorname{Ker}(u)$, $t \in \operatorname{Coker}(u)$, $y' \in \operatorname{Im}(t^u)$, $z' \in \operatorname{Coker}(t^u)$, $t' \in \operatorname{Ker}(t^u)$; lorsqu’on identifie canoniquement $y'$, $z'$, $t'$ à des formes linéaires sur $\operatorname{Im}(u)$, $\operatorname{Ker}(u)$ et $\operatorname{Coker}(u)$ respectivement, on a

On déduit en particulier de ces résultats:

(i) Pour que u soit injective (resp. surjective), il faut et il suffit que $t^u$ soit surjective (resp. injective).

(ii) On a $\mathrm{rg}(u) \leq \mathrm{rg}(t^u)$, et $\mathrm{rg}(u) = \mathrm{rg}(t^u)$ si $\mathrm{rg}(u)$ est fini.

La seconde assertion résulte en effet de ce qui précède et du th. 4 (II, p. 102).

(i) On a $\dim F' \geq \mathrm{codim}_E F$; pour que $\dim F'$ soit fini, il faut et il suffit que $\mathrm{codim}_E F$ soit fini, et alors on a $\dim F' = \mathrm{codim}_E F$.

(ii) L’orthogonal de F' dans E est égal à F.

(iii) Tout sous-espace G' de E* de dimension finie est l’orthogonal d’un sous-espace de E, nécessairement égal à l’orthogonal de G' dans E et de codimension finie.

(i) On sait que F' est isomorphe au dual (E/F)* (II, p. 44, corollaire), donc l’assertion résulte de II, p. 102, th. 4, puisque $\dim(E/F) = \mathrm{codim}_E F$ par définition.

(ii) Soit $F_1$ l’orthogonal de F' dans E; il est clair que $F \subset F_1$ et que l’orthogonal $F'_1$ de $F_1$ est égal à $F'$ (II, p. 42); l’application linéaire canonique $(E/F_1)^* \to (E/F)^*$, transposée de $E/F \to E/F_1$, est donc bijective (II, p. 45, corollaire); il résulte alors de la prop. 10 que l’application canonique $E/F \to E/F_1$ est bijective, ce qui entraîne $F_1 = F$.

(iii) Soient G' un sous-espace de E* de dimension finie $p$ et soit F son orthogonal dans E; on a alors $\mathrm{codim}_E F \leq \dim G'$. En effet, si $(a_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ est une base de G', F est le noyau de l’application linéaire $x \mapsto (\langle x, a_i^* \rangle)$ de E dans $K_s^p$, dont le rang est au plus $p$ (II, p. 101, prop. 9), d’où la conclusion (II, p. 101). Soit alors F' l’orthogonal de F dans E*; il résulte de (i) que $\dim F' \leq \dim G'$; mais d’autre part on a évidemment $G' \subset F'$, d’où $F' = G'$ (II, p. 99, cor. 4).

Alors $\mathrm{codim}_E F$ est égal au rang de l’ensemble des $x_i^*$, et toute forme linéaire sur E qui

¹ En munissant E et E* de topologies convenables, et en ne considérant dans E et E* que des sous-espaces fermés pour ces topologies, on peut rétablir une symétrie parfaite entre les propriétés de E et E* lorsque E est de dimension infinie (cf. EVT, II, § 6).

est nulle dans F est combinaison linéaire des $x_i^*$. On a $\operatorname{codim}_E F \leq p$, et pour que $\operatorname{codim}_E F = p$, il faut et il suffit que les $x_i^*$ soient linéairement indépendantes.

En effet, l’ensemble $G'$ des combinaisons linéaires des $x_i^*$ est un sous-espace de $E^*$ et $F$ est l’orthogonal de $G'$ dans $E$, donc $\operatorname{codim}_E F = \dim G'$ en vertu du th. 7; on a en outre $\dim G' \leq p$, et la relation $\dim G' = p$ signifie que $(x_i^*)$ est un système libre (II, p. 97, prop. 1); d’où le corollaire.

(ii) Soit $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ une suite finie d’éléments de $E$. Pour que $(x_i)$ soit un système libre, il faut et il suffit qu’il existe une suite $(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ de formes linéaires sur $E$ telles que $\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$.

Il est clair que (ii) se déduit de (i), en considérant $E$ comme identifié à un sous-espace de $E^{**}$ au moyen de $c_E$ (II, p. 103, th. 6). Soient $G'$ le sous-espace de $E^*$ engendré par les $x_i^*$, $F$ son orthogonal dans $E$; $E/F$ et $G'$ peuvent être chacun identifié canoniquement au dual de l’autre; si la famille $(x_i^*)$ est libre, il y a dans $E/F$ une base $(\dot{x}_i)$ duale de $(x_i^*)$ et tout système $(x_i)$ de représentants des classes $\dot{x}_i$ répond à la question. Inversement l’existence du système $(x_i)$ tel que $\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$ entraîne que pour tout $i$ le sous-espace de $E^*$ orthogonal à $K.x_i$ contient les $x_j^*$ d’indice $j \neq i$ mais ne contient pas $x_i$, donc le système $(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ est libre.

L’espace $K_d^S$ est canoniquement identifié au dual de $E = K_s^{(S)}$, et on a $f(s) = \langle e_s, f \rangle$ pour $s \in S$ et $f \in K_d^S$, $(e_s)_{s \in S}$ étant la base canonique de $E$. Le cor. 2 montre donc que la condition est suffisante. Inversement, supposons que $\dim V \geq p$, de sorte qu’il existe un sous-espace $G'$ de $V$ de dimension $p$; soit $F$ l’orthogonal de $G'$ dans $E$, de sorte que $\dim(E/F) = p$. Il résulte de II, p. 95, th. 2 qu’il existe $p$ éléments $s_i \in S$ tels que les $e_{s_i}$ ($1 \leq i \leq p$) forment une base d’un supplémentaire de $F$ dans $E$ (en appliquant le th. 2 (II, p. 95) à une partie libre engendrant $F$ et au système générateur réunion de cette partie libre et de la base canonique de $E$); on prendra alors pour les $f_i$ les éléments d’une base de $G'$, duale de la base de $E/F$ formée des classes des $e_{s_i}$ mod. $F$.

En effet, comme $M$ (resp. $N$) est l’orthogonal de $M'$ (resp. $N'$) dans $E$ (II, p. 104, th. 7), $M \cap N$ est l’orthogonal de $M' + N'$ dans $E$, donc $M' + N'$ est l’orthogonal de $M \cap N$ dans $E^*$ (II, p. 104, th. 7, (iii)).

Le th. 7 donne une autre caractérisation des hyperplans dans E:

Cet énoncé ne fait que traduire le th. 7 de II, p. 104 pour les sous-espaces de E de codimension 1 et les sous-espaces de E* de dimension 1.

Si H est un hyperplan et x_0^* une forme linéaire telle que H = x_0^{*-1}(0), on dit que la relation

qui caractérise les éléments x ∈ H, est une équation de H.

Plus généralement, si (x_i^*) est une famille de formes linéaires sur E et si F désigne le sous-espace vectoriel intersection des hyperplans x_i^{-1}(0), la relation « quel que soit i, ⟨x, xi^*⟩ = 0 » caractérise les éléments x de F; on dit que les relations

forment un système d’équations du sous-espace F. Le th. 7, (ii) (II, p. 104) exprime que tout sous-espace vectoriel de E peut être défini par un système d’équations.

Le th. 7, (i) et (ii), (II, p. 104) prouve en outre qu’un sous-espace F de codimension finie p peut être défini par un système de p équations

(19)

où les formes x_i^* sont linéairement indépendantes. Inversement, le cor. 1 de II, p. 104 montre qu’un sous-espace F défini par un système de p équations (19) est de codimension $\leq p$, et qu’il est de codimension p si et seulement si les x_i^* sont linéairement indépendantes; il revient au même de dire que F ne peut être défini par un système formé d’au plus $p - 1$ des équations (19).

(20)

ait au moins une solution $x \in E$, il faut et il suffit que $y_0$ soit orthogonal au noyau de l’application transposée $^t u$.

En effet, l’orthogonal de $u(E)$ dans $F^*$ est $^t u^{-1}(0)$ (II, p. 43, corollaire), et l’orthogonal de $^t u^{-1}(0)$ dans $F$ est donc $u(E)$ (II, p. 104, th. 7 (ii)).

Nous allons obtenir un critère plus maniable pour les systèmes d’équations linéaires scalaires

où l’inconnue $x$ prend ses valeurs dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$, les $x_i^*$ sont des formes linéaires sur $E$, et les seconds membres $\eta_i$ des éléments de $K$.

Si on considère une base $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ de $E$, le système (21) est équivalent au système d’équations

avec $x = \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda$, les solutions de (22) devant être des familles $(\xi_\lambda)$ d’éléments de $K$ à support fini.

En effet, si $F'$ est le sous-espace de $E^*$ engendré par les $x_i^*$, le noyau de $u$ est l’orthogonal $F$ de $F'$ dans $E$; si $F'$ est de dimension $r$, $F$ est de codimension $r$ et réciproquement (II, p. 104, th. 7), et on a $\mathrm{rg}(u) = \mathrm{codim}_E F$ (II, p. 101, formule (11)).

un système d’équations linéaires scalaires dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$. Pour que ce système ait au moins une solution, il est nécessaire que pour toute famille $(\rho_i)$ de scalaires, de support fini, telle que $\sum_i x_i^* \rho_i = 0$, on ait $\sum_i \eta_i \rho_i = 0$. Si le rang du système (21) est fini, cette condition est aussi suffisante.

La condition est évidemment nécessaire. Elle exprime que, si $F'$ est le sous-espace de $E^*$ engendré par la famille $(x_i^*)$, il existe une application linéaire $f : F' \to K_d$, telle que $f(x_i^*) = \eta_i$ pour tout $\iota \in I$. Si $F'$ est de dimension finie $r$, $F'$ est l’orthogonal d’un sous-espace $F$ de $E$, de codimension $r$ (II, p. 104, th. 7), et $F'$ s’identifie au dual de $E/F$ (II, p. 44, corollaire); $f$ est donc un élément du bidual $(E/F)^{**}$. Comme $E/F$ est de dimension finie, il existe un élément $y \in E/F$ et un seul tel que $f(x^*) = \langle y, x^* \rangle$ pour tout $x^* \in F'$ (II, p. 103, th. 6). Les solutions de (21) sont alors les $x \in E$ dont $y$ est l’image canonique dans $E/F$.

Il en sera toujours ainsi si les équations sont en nombre fini $< n$.