Exercice 9, § 2

Étant donné un A-module E, pour tout sous-module M de E (resp. tout sous-module M’ de E*), on désigne par $M^0$ (resp. ${M'}^0$) l’orthogonal de M dans E* (resp. l’orthogonal de M’ dans E). On considère les quatre propriétés suivantes: (A) L’homomorphisme canonique $c_E : E \to E^{**}$ est bijectif. (B) Pour tout sous-module M de E, l’homomorphisme canonique $E^*/M^0 \to M^*$ est bijectif. (C) Pour tout sous-module M de E, on a $M^{00} = M$. (D) Pour tout couple de sous-modules M, N de E, on a

a) Montrer que la condition (B) entraîne (D) (prouver que pour $x^* \in (M \cap N)^0$, il existe $y^* \in E^*$ tel que $\langle x + y, y^* \rangle = \langle x, x^* \rangle$ pour $x \in M$ et $y \in N$). b) Soit A un anneau sans diviseur de zéro, mais n’ayant pas de corps des fractions à gauche (par exemple l’algèbre tensorielle d’un espace vectoriel de dimension > 1, cf. III, p. 185, exerc. 5). Si on prend $E = A_s$, la condition (A) est satisfaite, mais aucune des conditions (B), (C), (D) (pour un exemple où (B), (C), (D) sont vérifiées, mais non (A), voir II, p. 103, th. 6). c) On prend pour A un anneau produit $K^I$, où K est un corps commutatif et I un ensemble infini. Montrer que le A-module $E = A$ vérifie les conditions (A) et (B), mais non (C) (observer que les annulateurs des idéaux de A sont tous de la forme $K^J$, où $J \subset I$). d) On suppose que pour deux sous-modules M, N de E tels que $N \subset M$ et $N \neq M$, le dual $(M/N)^*$ ne soit pas réduit à 0 ; alors montrer que la condition (B) entraîne (C). e) Le noyau de $c_E$ est l’orthogonal $(E^*)^0$ de $E^*$ dans E. Donner un exemple où ni $E^*$ ni $(E^*)^0$ ne sont réduits à 0 (considérer un module contenant un élément dont l’annulateur contient un élément non diviseur de 0). f) Soit M un facteur direct de E ; montrer que l’on a $M^{00} = M + (E^*)^0$.