(1)

(2)

Supposons la suite (1) exacte. Si $w \in \operatorname{Hom}(E'', F)$ et si $\bar{v}(w) = w \circ v = 0$, alors $w = 0$ puisque $v$ est surjectif. La suite (2) est donc exacte en $\operatorname{Hom}(E'', F)$. Montrons qu’elle est exacte en $\operatorname{Hom}(E, F)$. On a $\bar{u} \circ \bar{v} = \operatorname{Hom}(v \circ u, 1_F)$ (II, p. 6, formule (10)) et $v \circ u = 0$ puisque la suite (1) est exacte en E. Par conséquent $\bar{u} \circ \bar{v} = 0$, c’est-à-dire $\operatorname{Im}(\bar{v}) \subset \operatorname{Ker}(\bar{u})$. D’autre part, si $w \in \operatorname{Ker}(\bar{u})$, alors $w \circ u = 0$, donc $\operatorname{Ker}(w) \supset \operatorname{Im}(u)$. Mais comme la suite (1) est exacte en E, $\operatorname{Im}(u) = \operatorname{Ker}(v)$, donc $\operatorname{Ker}(w) \supset \operatorname{Ker}(v)$; comme $v$ est surjectif, il résulte de II, p. 7, Remarque qu’il existe un $w' \in \operatorname{Hom}(E'', F)$ tel que $w = w' \circ v = \bar{v}(w')$. Par conséquent $\operatorname{Ker}(\bar{u}) \subset \operatorname{Im}(\bar{v})$, ce qui achève de prouver que la suite (2) est exacte.

Inversement, supposons que (2) soit exacte pour tout A-module F. Comme $\bar{u} \circ \bar{v} = \operatorname{Hom}(v \circ u, 1_F) = 0$, on a $w \circ v \circ u = 0$ pour tout homomorphisme $w : E'' \to F$. Prenant $F = E''$ et $w = 1_{E''}$, on voit d’abord que $v \circ u = 0$, donc $u(E') \subset \operatorname{Ker}(v)$. Prenons ensuite $F = \operatorname{Coker}(u)$, et soit $\varphi : E \to F = E/u(E')$ l’application canonique. On a $\bar{u}(\varphi) = \varphi \circ u = 0$ par définition, donc il existe un $\psi \in \operatorname{Hom}(E'', F)$ tel que $\varphi = \bar{v}(\psi) = \psi \circ v$; cela entraîne évidemment $u(E') = \operatorname{Ker}(\varphi) \supset \operatorname{Ker}(v)$, ce qui prouve que la suite (1) est exacte en E. Enfin, soit $\theta$ l’homomorphisme canonique de $E''$ sur $F = E''/v(E)$; on a $\bar{v}(0) = \theta \circ v = 0$, donc $\theta = 0$; par suite, $F = \{0\}$ et $v$ est surjectif. La suite (1) est donc exacte en $E''$.

Il suffit d’appliquer le th. 1 au cas où $E'' = \{0\}$ (resp. $E' = \{0\}$, resp. $E'' = E$ et $v = 1_E$).

On notera que si l’on part d’une suite exacte

n’est pas nécessairement exacte, autrement dit, l’homomorphisme $\bar{u}$ n’est pas nécessairement surjectif. Si on identifie $E'$ à un sous-module de $E$, cela signifie qu’une application linéaire de $E'$ dans $F$ ne peut pas toujours se prolonger en une application linéaire de $E$ dans $F$ (II, p. 184–185, exerc. 11 et 12). Toutefois:

est scindée (autrement dit, si $u(E')$ est facteur direct de $E$) la suite

est exacte et scindée. Inversement, si, pour tout A-module F, la suite (4) est exacte, la suite (3) est scindée.

Si la suite exacte (3) est scindée, il existe une rétraction linéaire $u': E \to E'$ associée à $u$ (II, p. 20, prop. 15); si

le fait que $u' \circ u$ soit l’identité entraîne que $\bar{u} \circ \bar{u}'$ est l’identité (II, p. 6, formule (10)), donc la première assertion résulte de II, p. 20, prop. 15. Inversement, supposons la suite (4) exacte pour $F = E'$. Il existe alors un élément $f \in \mathrm{Hom}(E, E')$ tel que $f \circ u = 1_{E'}$, et la conclusion résulte de II, p. 20, prop. 15.

On notera que la première assertion de la prop. 1 peut aussi être considérée comme un cas particulier de II, p. 13, cor. 1, identifiant canoniquement $\mathrm{Hom}(E', F) \oplus \mathrm{Hom}(E'', F)$ à $\mathrm{Hom}(E' \oplus E'', F)$ au moyen de l’application $\mathbf{Z}$-linéaire $\mathrm{Hom}(p', 1_F) + \mathrm{Hom}(p'', 1_F)$, où $p': E' \oplus E'' \to E'$ et $p'': E' \oplus E'' \to E''$ sont les projections canoniques.

soit exacte, il faut et il suffit que, pour tout A-module E, la suite

(où l’on a posé $\bar{u} = \mathrm{Hom}(1_E, u), \bar{v} = \mathrm{Hom}(1_E, v)$) soit exacte.

Supposons la suite (5) exacte. Notons d’abord que l’on a $\bar{v} \circ \bar{u} = \mathrm{Hom}(1_E, v \circ u) = 0$ (II, p. 6, formule (10)) puisque $v \circ u = 0$. L’image de $\mathrm{Hom}(E, F')$ par $\bar{u}$ est donc contenue dans le noyau N de $\bar{v}$; soit $f$ l’homomorphisme du $\mathbf{Z}$-module $\mathrm{Hom}(E, F')$ dans N dont le graphe est égal à celui de $\bar{u}$; il s’agit de prouver que $f$ est bijective, donc de définir une application $g: N \to \mathrm{Hom}(E, F')$ telle que $f \circ g$ et $g \circ f$ soient les applications identiques. Pour cela, soit $w$ un élément de N, c’est-à-dire une application linéaire $w: E \to F$ telle que $v \circ w = 0$. Cette dernière relation équivaut à $w(E) \subset \mathrm{Ker}(v) = u(F')$ par hypothèse, donc, puisque $u$ est injectif, il existe une application linéaire et une seule $w': E \to F'$ telle que $w = u \circ w'$, et on prend $g(w) = w'$; il est immédiat de vérifier que $g$ satisfait aux conditions voulues.

Inversement, supposons que la suite (6) soit exacte pour tout A-module E. Comme $\mathrm{Hom}(1_E, v \circ u) = \bar{v} \circ \bar{u} = 0$, on a $v \circ u \circ w = 0$ pour tout homomorphisme $w : E \to F'$. Prenant $E = F'$ et $w = 1_{F'}$, on voit d’abord que $v \circ u = 0$, donc $u(F') \subset \mathrm{Ker}(v)$. Prenons ensuite $E = \mathrm{Ker}(v)$ et soit $\varphi : E \to F$ l’injection canonique. On a $\bar{v}(\varphi) = v \circ \varphi = 0$ par définition, donc il existe un $\psi \in \mathrm{Hom}(E, F')$ tel que $\varphi = \bar{u}(\psi) = u \circ \psi$, ce qui entraîne évidemment $\mathrm{Ker}(v) \subset u(F')$ et achève la démonstration de l’exactitude de (5) en F. Enfin, si $\theta$ est l’application identique de $\mathrm{Ker}\, u$, on a $\bar{u}(\theta) = 0$, donc $\theta = 0$, et $\mathrm{Ker}\, u = \{0\}$, ce qui prouve l’exactitude de (5) en $F'$.

Remarque 1). — Le th. 2 permet, pour tout sous-module $F'$ de F, d’identifier $\mathrm{Hom}(E, F')$ à un sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathrm{Hom}(E, F)$. Lorsqu’on fait cette identification, on a, pour toute famille $(M_\lambda)$ de sous-modules de F

Il suffit d’appliquer le th. 2 au cas où $F' = \{0\}$.

Si l’on part d’une suite exacte

La première assertion résulte de ce que

Remarque 2). — Les résultats de ce n° sont valables sans modification pour tous les groupes commutatifs à opérateurs.

est surjectif. Pour voir que c) implique d), il suffit d’appliquer c) à l’homomorphisme surjectif $v : E \to P$ et à l’homomorphisme $1_P : P \to P$; l’existence d’un homomorphisme $g : P \to E$ tel que $1_P = v \circ g$ entraîne que la suite

est scindée (II, p. 20, prop. 15). Comme pour tout A-module M, il existe un A-module libre L et une suite exacte $0 \to R \to L \to M \to 0$ (II, p. 27, prop. 20), il est clair que d) entraîne e). Enfin e) entraîne a) en vertu de la prop. 3 et de son corollaire.

La condition est évidemment suffisante; inversement, un module projectif de type fini E est isomorphe à un quotient d’un module libre F ayant une base finie (II, p. 27) et E est isomorphe à un facteur direct de F en vertu de la prop. 4 d).

En effet, on peut supposer qu’il y a deux C-modules libres de type fini M, N tels que $M = E \oplus E', \ N = F \oplus F'$; il résulte de II, p. 13, cor. 1 que $\mathrm{Hom}_C(M, N)$ est libre de type fini, et d’autre part que $\mathrm{Hom}_C(M, N)$ est isomorphe à $\mathrm{Hom}_C(E, F) \oplus \mathrm{Hom}_C(E', F) \oplus \mathrm{Hom}_C(E, F') \oplus \mathrm{Hom}_C(E', F')$, d’où le corollaire.

C’est le cas particulier de l’isomorphisme canonique $E \to \mathrm{Hom}_A(A_s, E)$ de II, p. 35, Remarque 2, correspondant à $E = A_s$; la commutativité du diagramme (50) de II, p. 35, montre qu’il s’agit ici d’un isomorphisme de $A$-modules à droite.

Si on identifie $A_d$ au dual de $A_s$ au moyen de l’isomorphisme de la prop. 5, la forme bilinéaire canonique sur $A_s \times A_d$ s’explicite donc par

De même, le dual de $A_d$ s’identifie canoniquement à $A_s$, la forme bilinéaire canonique sur $A_d \times A_s$ s’explicitant par

Ces résultats sont des conséquences immédiates des définitions.

On a une proposition analogue (que nous laissons au lecteur le soin d’énoncer) pour les sous-modules de E orthogonaux aux parties de E*.

Si M est un sous-module de E, M' le sous-module de E* orthogonal à M, M'' le sous-module de E orthogonal à M', on a $M \subset M''$ mais on peut avoir $M \neq M''$ (II, p. 184, exerc. 9). Notons toutefois que si M'' est l’orthogonal de M'' dans E*, on a $M''' = M'$; en effet, on a $M' \subset M''$ et d’autre part la relation $M \subset M''$ entraîne $M'' \subset M'$.

Cela résulte aussitôt de (15).

En effet, l’orthogonal de $E$ dans $E^*$ est réduit à 0.

Si $u : E \to F$ est un isomorphisme, $t u : F^* \to E^*$ est un isomorphisme et si $v : F \to E$ est l’isomorphisme réciproque de $u$, $t v$ est l’isomorphisme réciproque de $t u$ (formules (17) et (18)).

En effet, si $j : M \to E$ est l’injection canonique, le noyau de $^t j$ est par définition l’orthogonal de $M$ dans $E^*$.

En outre, avec les notations du corollaire, on obtient par passage au quotient à partir de $^t j$ un homomorphisme injectif $E^*/M' \to M^*$.

C’est un cas particulier de II, p. 13, cor. 1, appliqué au cas où $\prod_\lambda F_\lambda = A_s$.

Si, au moyen des injections canoniques $j_i$, on identifie les $E_i$ à des sous-modules de leur somme directe $E$, et si, au moyen de l’application produit $x^* \mapsto (j_i(x^*))$, on identifie $E^*$ à $\prod_{i \in I} E_i^*$, on peut donc dire que $\prod_{i \in I} E_i^*$ est le dual de $\bigoplus_{i \in I} E_i$, la forme bilinéaire canonique étant donnée par

On a en effet $p \circ i = 1_M$, $q \circ j = 1_N$, $p \circ j = q \circ i = 0$, $i \circ p + j \circ q = 1_E$, d’où, par transposition (II, p. 43, formules (16), (17) et (18)), $^t i \circ ^t p = 1_{M^*}$, $^t j \circ ^t q = 1_{N^*}$, $^t j \circ ^t p = ^t i \circ ^t q = 0$, $^t p \circ ^t i + ^t q \circ ^t j = 1_{E^*}$, et la proposition résulte de II, p. 13, cor. 2.

Sous les hypothèses du corollaire, on identifie souvent $M^*$ (resp. $N^*$) à l’orthogonal $^t p(M^*)$ (resp. $^t q(N^*)$) de N (resp. M) dans $E^*$, en identifiant donc toute forme linéaire $u$ sur M (resp. N) à la forme linéaire sur E prolongeant $u$ et qui s’annule dans N (resp. M).

Lorsqu’un A-module E admet une base $(e_t)_{t \in T}$, on a vu que la donnée de cette base définit canoniquement un isomorphisme $u : A_s^{(T)} \to E$. En vertu de la prop. 10 et de II, p. 41, prop. 5, le dual de $A_s^{(T)}$ s’identifie canoniquement au produit $A_d^T$; considérons l’isomorphisme contragrédient $\tilde{u} : A_d^T \to E^*$. Si, pour tout $t \in T$, $f_t$ est l’élément de $A_d^T$ dont toutes les projections sont nulles sauf celle d’indice $t$, qui est égale à 1, et si on pose $e_t^* = \tilde{u}(f_t)$, les éléments $e_t^*$ de $E^*$ sont, en vertu de (19) (II, p. 43) et (22) (II, p. 44), caractérisés par les relations

Il revient au même de dire que, pour tout $x = \sum_{t \in T} \xi_t e_t \in E$, on a $e_t^*(x) = \xi_t$; aussi dit-on que $e_t^*$ est la forme coordonnée d’indice $t$ sur E. Il résulte de (23) que $(e_t^*)$ est un système libre dans $E^*$.

En particulier, si T est fini, les $e_t^*$ forment une base de $E^*$, les $f_t$ formant alors la base canonique de $A_d^T$. Donc: PROPOSITION 11. — Le dual d’un module libre ayant une base de n éléments est un module libre ayant une base de n éléments.

On notera que le dual d’un module libre ayant une base infinie n’est pas nécessairement un module libre (VII, § 3, exerc. 10).

En effet, un A-module à gauche projectif de type fini peut être identifié à un facteur direct M d’un A-module libre $A_s^n$ ayant une base finie (II, p. 40, cor. 1). Alors (II, p. 45, prop. 11 et corollaire) M* est isomorphe à un facteur direct de $A_d^n$, d’où le corollaire.

Il existe un homomorphisme surjectif $u : L \to E$ où $L = A_s^{(T)}$, tel que, si $(e_t)_{t \in T}$ est la base canonique de L, on ait $u(e_t) = a_t$ (II, p. 24, prop. 17); pour que E soit projectif, il faut et il suffit qu’il existe une application linéaire $v : E \to L$ telle que $u \circ v = 1_E$ (II, p. 39, prop. 4 et II, p. 20, prop. 15). Si une telle application existe et si l’on pose $^t v(e_t^*) = a_t^*$, on a $\langle x, a_t^* \rangle = \langle x, ^t v(e_t^*) \rangle = \langle v(x), e_t^* \rangle$, donc la famille $(\langle x, a_t^* \rangle)$ a un support fini et l’on a $x = u \left( \sum_{t \in T} \langle v(x), e_t^* \rangle e_t \right) = \sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle a_t$ pour tout $x \in E$. Inversement, si la condition b) de l’énoncé est remplie, la somme $\sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle e_t$ est définie pour tout $x \in E$, et $x \mapsto \sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle e_t$ est une application linéaire $v : E \to L$ telle que $u \circ v = 1_E$.