Bourbaki

§ 3. Produits tensoriels

1. Produit tensoriel de deux modules

Soient G1,G2G_1, G_2 deux Z\mathbf{Z}-modules; on dit qu’une application uu de l’ensemble G=G1×G2G = G_1 \times G_2 dans un Z\mathbf{Z}-module est biadditive (ou Z\mathbf{Z}-bilinéaire) si u(x1,x2)u(x_1, x_2) est « additive par rapport à x1x_1 et par rapport à x2x_2 »; de façon précise, cela signifie que, pour x1,y1x_1, y_1 dans G1G_1, x2,y2x_2, y_2 dans G2G_2, on a

u(x1+y1,x2)=u(x1,x2)+u(y1,x2)u(x1,x2+y2)=u(x1,x2)+u(x1,y2). \begin{align*} u(x_1 + y_1, x_2) &= u(x_1, x_2) + u(y_1, x_2) \\ u(x_1, x_2 + y_2) &= u(x_1, x_2) + u(x_1, y_2). \end{align*}
On notera que cela entraîne en particulier u(0,x2)=u(x1,0)=0u(0, x_2) = u(x_1, 0) = 0 quels que soient x1∈G1,x2∈G2x_1 \in G_1, x_2 \in G_2.

Soient AA un anneau, EE un AA-module à droite, FF un AA-module à gauche. Nous allons considérer le problème d’application universelle (E, IV, p. 22) où Σ\Sigma est l’espèce de structure de Z\mathbf{Z}-module (les morphismes étant donc les applications Z\mathbf{Z}-linéaires, autrement dit les homomorphismes de groupes additifs) et où les α\alpha-applications sont les applications ff de E×FE \times F dans un Z\mathbf{Z}-module GG qui sont Z\mathbf{Z}-bilinéaires et sont telles en outre que, pour tout x∈Ex \in E, tout y∈Fy \in F et tout λ∈A\lambda \in A, on ait

f(xλ,y)=f(x,λy). f(x \lambda, y) = f(x, \lambda y).
Montrons que ce problème admet une solution. Pour cela, considérons le Z\mathbf{Z}-module C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)} des combinaisons linéaires formelles des éléments de E×FE \times F à coefficients dans Z\mathbf{Z} (II, p. 25), dont on peut considérer qu’une base est formée des couples (x,y)(x, y), où x∈Ex \in E et y∈Fy \in F. Soit DD le sous-Z\mathbf{Z}-module de CC engendré par les éléments de l’un des types suivants:
{(x1+x2,y)−(x1,y)−(x2,y)(x,y1+y2)−(x,y1)−(x,y2)(xλ,y)−(x,λy) \begin{cases} (x_1 + x_2, y) - (x_1, y) - (x_2, y) \\ (x, y_1 + y_2) - (x, y_1) - (x, y_2) \\ (x \lambda, y) - (x, \lambda y) \end{cases}
où x,x1,x2x, x_1, x_2 sont dans EE, y,y1,y2y, y_1, y_2 dans FF et λ\lambda dans AA.

INITION 1. — On appelle produit tensoriel du A-module à droite E et du A-module à gauche F, et on note E⊗AFE \otimes_A F ou E⊗AFE \otimes_A F (ou simplement E⊗FE \otimes F si aucune confusion n’est à craindre) le Z\mathbf{Z}-module quotient C/DC/D (quotient du Z\mathbf{Z}-module CC des combinaisons linéaires formelles d’éléments de E×FE \times F à coefficients dans Z\mathbf{Z}, par le sous-module DD engendré par les éléments de l’un des types (2)). Pour x∈Ex \in E et y∈Fy \in F, on note x⊗yx \otimes y et on appelle produit tensoriel de xx et de yy l’élément de E⊗AFE \otimes_A F image canonique de l’élément (x,y)(x, y) de C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)}.

L’application (x,y)↦x⊗y(x, y) \mapsto x \otimes y de E×FE \times F dans E⊗AFE \otimes_A F est dite canonique. C’est une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire qui vérifie les conditions (1).

Montrons que le produit tensoriel E⊗AFE \otimes_A F et l’application canonique précédente forment une solution du problème d’application universelle posé plus haut. De façon précise:

Proposition 1

a) Soit gg une application Z\mathbf{Z}-linéaire de E⊗AFE \otimes_A F dans un Z\mathbf{Z}-module GG. L’application (x,y)↦f(x,y)=g(x⊗y)(x, y) \mapsto f(x, y) = g(x \otimes y) de E×FE \times F dans GG est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et vérifie les conditions (1).

b) Réciproquement, soit ff une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire de E×FE \times F dans un Z\mathbf{Z}-module GG, vérifiant les conditions (1). Il existe alors une application Z\mathbf{Z}-linéaire gg de E⊗AFE \otimes_A F dans GG et une seule telle que f(x,y)=g(x⊗y)f(x, y) = g(x \otimes y) pour x∈E,y∈Fx \in E, y \in F.

Si φ\varphi désigne l’application canonique de E×FE \times F dans E⊗AFE \otimes_A F, on a f=g∘φf = g \circ \varphi; d’où a). Pour démontrer b), remarquons qu’avec les notations de la déf. 1, ff se prolonge en une application Z\mathbf{Z}-linéaire fˉ\bar{f} de CC dans GG (II, p. 24, prop. 17). En vertu des relations (1), fˉ\bar{f} s’annule pour tous les éléments de CC de l’un des types (2), donc dans DD. Il existe par suite une application Z\mathbf{Z}-linéaire gg de C/D=E⊗AFC/D = E \otimes_A F dans GG telle que fˉ=g∘ψ\bar{f} = g \circ \psi, où ψ:C→C/D\psi : C \to C/D est l’homomorphisme canonique (II, p. 16, Remarque). L’unicité de gg est immédiate, puisque E⊗AFE \otimes_A F est engendré, en tant que Z\mathbf{Z}-module, par les éléments de la forme x⊗yx \otimes y.

La prop. 1 définit un isomorphisme canonique du Z\mathbf{Z}-module des applications Z\mathbf{Z}-bilinéaires ff de E×FE \times F dans GG, vérifiant les conditions (1), sur le Z\mathbf{Z}-module HomZ(E⊗AF,G)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, G).

Lorsque A=ZA = \mathbf{Z}, les conditions (1) sont automatiquement vérifiées pour toute application Z\mathbf{Z}-bilinéaire ff, et le sous-module DD de CC est déjà engendré par les éléments des deux premiers types (2).

Si maintenant on revient au cas général, et si E′E' et F′F' désignent les Z\mathbf{Z}-modules sous-jacents à EE et FF respectivement, la remarque précédente et la déf. 1 montrent aussitôt que le Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F peut s’identifier canoniquement au quotient du Z\mathbf{Z}-module E′⊗ZF′E' \otimes_{\mathbf{Z}} F' par le sous-Z\mathbf{Z}-module engendré par les éléments de la forme (xλ)⊗y−x⊗(λy)(x \lambda) \otimes y - x \otimes (\lambda y), où xx parcourt EE, yy parcourt FF et λ\lambda parcourt AA.

Corollaire 1

Soient HH un Z\mathbf{Z}-module, h:E×F→Hh : E \times F \to H une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire vérifiant les conditions (1) et telle que HH soit engendré par h(E×F)h(E \times F). Supposons que pour tout Z\mathbf{Z}-module GG et toute application Z\mathbf{Z}-bilinéaire ff de E×FE \times F dans GG vérifiant (1), il existe une application Z\mathbf{Z}-linéaire g:H→Gg : H \to G telle que f=g∘hf = g \circ h. Alors, si φ\varphi désigne l’application canonique de E×FE \times F dans E⊗AFE \otimes_A F, il existe un isomorphisme et un seul θ\theta de E⊗AFE \otimes_A F sur HH tel que h=θ∘φh = \theta \circ \varphi.

L’hypothèse que h(E×F)h(E \times F) engendre HH entraîne en effet l’unicité de gg; le corollaire n’est autre alors que la propriété générale d’unicité d’une solution d’un problème d’application universelle (E, IV, p. 23).

Corollaire 2

Désignons par E0E^0 (resp. F0F^0) le module EE (resp. FF) considéré comme module à gauche (resp. à droite) sur l’anneau opposé A0A^0; il existe alors un isomorphisme σ:E⊗AF→F0⊗A0E0\sigma : E \otimes_A F \to F^0 \otimes_{A^0} E^0 de Z\mathbf{Z}-modules et un seul tel que l’on ait σ(x⊗y)=y⊗x\sigma(x \otimes y) = y \otimes x pour x∈Ex \in E et y∈Fy \in F (« commutativité » du produit tensoriel).

En effet, par définition des structures de A0A^0-module sur E0E^0 et F0F^0, l’application (x,y)↦y⊗x(x, y) \mapsto y \otimes x de E×FE \times F dans F0⊗A0E0F^0 \otimes_{A^0} E^0 est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et vérifie les conditions (1), d’où l’existence et l’unicité de l’application Z\mathbf{Z}-linéaire σ\sigma. On définit de même une application Z\mathbf{Z}-linéaire τ:F0⊗A0E0→E⊗AF\tau : F^0 \otimes_{A^0} E^0 \to E \otimes_A F telle que τ(y⊗x)=x⊗y\tau(y \otimes x) = x \otimes y, et il est clair que σ\sigma et τ\tau sont des isomorphismes réciproques.

Remarque

Le produit tensoriel de modules non réduits à 0 peut se réduire à 0 : par exemple, si l’on considère les deux Z\mathbf{Z}-modules E=Z/2ZE = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} et F=Z/3ZF = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}, on a 2x=02x = 0 et 3y=03y = 0 quels que soient x∈Ex \in E, y∈Fy \in F; par suite, dans E⊗FFE \otimes_F F, on a x⊗y=3(x⊗y)−2(x⊗y)=x⊗(3y)−(2x)⊗y=0x \otimes y = 3(x \otimes y) - 2(x \otimes y) = x \otimes (3y) - (2x) \otimes y = 0 quels que soient xx et yy (cf. II, p. 60, cor. 4).

2. Produit tensoriel de deux applications linéaires

Soient AA un anneau, E,E′E, E' deux AA-modules à droite, F,F′F, F' deux AA-modules à gauche, u:E→E′u : E \to E' et v:F→F′v : F \to F' deux applications AA-linéaires. On vérifie immédiatement que l’application

(x,y)↦u(x)⊗v(y) (x, y) \mapsto u(x) \otimes v(y)
de E×FE \times F dans E′⊗AF′E' \otimes_A F' est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et satisfait aux conditions (1) de II, p. 50. En vertu de la prop. 1 de II, p. 51, il existe donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire et une seule w:E⊗AF→E′⊗AF′w : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F' telle que
w(x⊗y)=u(x)⊗v(y) w(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)
pour x∈E,y∈Fx \in E, y \in F. Cette application se note u⊗vu \otimes v (lorsqu’il n’en résulte pas de confusion) et s’appelle le produit tensoriel des applications linéaires uu et vv.

On déduit aussitôt de (3) que (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v est une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire dite canonique :

Hom⁡A(E,E′)×Hom⁡A(F,F′)→Hom⁡Z(E⊗AF,E′⊗AF′) \operatorname{Hom}_A(E, E') \times \operatorname{Hom}_A(F, F') \to \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, E' \otimes_A F')
Il lui correspond d’après la prop. 1 de II, p. 51 une application Z\mathbf{Z}-linéaire dite canonique :
Hom⁡A(E,E′)⊗ZHom⁡A(F,F′)→Hom⁡Z(E⊗AF,E′⊗AF′) \operatorname{Hom}_A(E, E') \otimes_{\mathbf{Z}} \operatorname{Hom}_A(F, F') \to \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, E' \otimes_A F')
qui, à tout élément u⊗vu \otimes v du produit tensoriel, fait correspondre l’application linéaire u⊗v:E⊗AF→E′⊗AF′u \otimes v : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F'. On notera que l’application canonique (4) n’est pas nécessairement injective ni surjective. La notation u⊗vu \otimes v pourra donc prêter à confusion et il sera nécessaire que le contexte indique s’il s’agit d’un élément d’un produit tensoriel ou d’une application linéaire.

En outre, soient E′′E'' un A-module à droite, F′′F'' un A-module à gauche, u′:E′→E′′u': E' \to E'', v′:F′→F′′v': F' \to F'' des applications A-linéaires; il résulte de (3) que l’on a

(u′∘u)⊗(v′∘v)=(u′⊗v′)∘(u⊗v). (u' \circ u) \otimes (v' \circ v) = (u' \otimes v') \circ (u \otimes v).

3. Changement d’anneau

Proposition 2

Soient A,BA, B deux anneaux, ρ:B→A\rho : B \to A un homomorphisme d’anneaux, EE (resp. FF) un A-module à droite (resp. à gauche). Il existe alors une application Z\mathbf{Z}-linéaire et une seule

φ:ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)→E⊗AF \varphi : \rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) \to E \otimes_A F
telle que pour tout x∈Ex \in E et tout y∈Fy \in F, l’image par φ\varphi de l’élément x⊗yx \otimes y de ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)\rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) soit l’élément x⊗yx \otimes y de E⊗AFE \otimes_A F; cette application Z\mathbf{Z}-linéaire est surjective.

Considérons en effet l’application (x,y)↦x⊗y(x, y) \mapsto x \otimes y de ρ∗(E)×ρ∗(F)\rho_*(E) \times \rho_*(F) dans E⊗AFE \otimes_A F; elle est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et pour tout β∈B\beta \in B, on a par définition (xρ(β))⊗y=x⊗(ρ(β)y)(x \rho(\beta)) \otimes y = x \otimes (\rho(\beta)y), donc les conditions (1) de II, p. 50 sont vérifiées, d’où l’existence et l’unicité de φ\varphi (II, p. 51, prop. 1). La dernière assertion résulte de ce que les éléments x⊗yx \otimes y engendrent le Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F.

L’application (6) est dite canonique.

Corollaire

Soient J\mathfrak{J} un idéal bilatère de AA, tel que J\mathfrak{J} soit contenu dans l’annulateur de EE et dans l’annulateur de FF, de sorte que EE (resp. FF) est canoniquement muni d’une structure de (A/J)(A/\mathfrak{J})-module à droite (resp. à gauche) (II, p. 28). Alors l’homomorphisme canonique (6)

φ:E⊗AF→E⊗A/JF \varphi : E \otimes_A F \to E \otimes_{A/\mathfrak{J}} F
correspondant à l’homomorphisme canonique ρ:A→A/J\rho : A \to A/\mathfrak{J}, est l’identité.

En effet, pour tout α‾∈A/J\overline{\alpha} \in A/\mathfrak{J}, tout x∈Ex \in E et tout y∈Fy \in F, on a xα‾=xαx \overline{\alpha} = x \alpha (resp. α‾y=αy\overline{\alpha} y = \alpha y) pour tout α\alpha tel que ρ(α)=α‾\rho(\alpha) = \overline{\alpha}. Si C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)}, le sous-module de CC engendré par les éléments (xα,y)−(x,αy)(x \alpha, y) - (x, \alpha y) est donc égal au sous-module engendré par les éléments (xα‾,y)−(x,α‾y)(x \overline{\alpha}, y) - (x, \overline{\alpha} y).

Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 2, soient E′E' un B-module à droite, F′F' un B-module à gauche, et considérons deux applications u:E′→Eu : E' \to E, v:F′→Fv : F' \to F semi-linéaires relativement à l’homomorphisme ρ:B→A\rho : B \to A; uu (resp. vv) peut être considéré comme une application B-linéaire E′→ρ∗(E)E' \to \rho_*(E) (resp. F′→ρ∗(F)F' \to \rho_*(F)), d’où une application Z\mathbf{Z}-linéaire w:E′⊗BF′→ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)w : E' \otimes_B F' \to \rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) telle que w(x′⊗y′)=u(x′)⊗v(y′)w(x' \otimes y') = u(x') \otimes v(y') pour x′∈E′,y′∈F′x' \in E', y' \in F'; en composant avec cette application l’application canonique (6), on obtient donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire w′:E′⊗BF′→E⊗AFw' : E' \otimes_B F' \to E \otimes_A F telle que w′(x′⊗y′)=u(x′)⊗v(y′)w'(x' \otimes y') = u(x') \otimes v(y') pour x' \in E', y' \in F'; c'est cette application que l'on notera d'ordinaire u⊗vu \otimes v s'il n'en résulte pas de confusion. Il est clair que (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v est une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire

Hom⁡B(E′,ρ∗(E))×Hom⁡B(F′,ρ∗(F))→Hom⁡Z(E′⊗BF′,E⊗AF). \operatorname{Hom}_B(E', \rho_*(E)) \times \operatorname{Hom}_B(F', \rho_*(F)) \to \operatorname{Hom}_\mathbf{Z}(E' \otimes_B F', E \otimes_A F).

En outre, si C est un troisième anneau, σ:C→B\sigma : C \to B un homomorphisme, E′′E'' un C-module à droite, F′′F'' un C-module à gauche, u′:E′′→E′u' : E'' \to E', v′:F′′→F′v' : F'' \to F' des applications semi-linéaires relatives à σ\sigma, on a

(u∘u′)⊗(v∘v′)=(u⊗v)∘(u′⊗v′).(u \circ u') \otimes (v \circ v') = (u \otimes v) \circ (u' \otimes v').

4. Opérateurs sur un produit tensoriel; produits tensoriels comme multimodules

Les hypothèses et notations étant celles du n° 1, pour tout endomorphisme uu (resp. vv) du A-module E (resp. F), u⊗1Fu \otimes 1_F (resp. 1E⊗v1_E \otimes v) est un endomorphisme du Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F; il résulte aussitôt de (5) (II, p. 53) que l’application u↦u⊗1Fu \mapsto u \otimes 1_F (resp. v↦1E⊗vv \mapsto 1_E \otimes v) est un homomorphisme d’anneaux End⁡A(E)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(E) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) (resp. End⁡A(F)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(F) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F)); en outre, on a

(u⊗1F)∘(1E⊗v)=(1E⊗v)∘(u⊗1F)=u⊗v(u \otimes 1_F) \circ (1_E \otimes v) = (1_E \otimes v) \circ (u \otimes 1_F) = u \otimes v

et par suite (II, p. 33) E⊗AFE \otimes_A F est canoniquement muni d’une structure de bimodule à gauche par rapport aux anneaux End⁡A(E)\operatorname{End}_A(E) et End⁡A(F)\operatorname{End}_A(F).

Cela étant, supposons données sur E une structure de ((Bi′);A,(Cj′))−multimodule((B'_i); A, (C'_j))-multimodule, et sur F une structure de (A,(Bh′′);(Ck′′))−multimodule(A, (B''_h); (C''_k))-multimodule (II, p. 33); il revient au même de dire que l’on s’est donné des homomorphismes d’anneaux Bi′→End⁡A(E)B'_i \to \operatorname{End}_A(E), Cj′0→End⁡A(E){C'_j}^0 \to \operatorname{End}_A(E) d’images deux à deux permutables, et des homomorphismes d’anneaux Bh′′→End⁡A(F)B''_h \to \operatorname{End}_A(F), Ck′′0→End⁡A(F){C''_k}^0 \to \operatorname{End}_A(F) d’images deux à deux permutables. Si l’on compose respectivement avec ces homomorphismes les homomorphismes canoniques End⁡A(E)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(E) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) et End⁡A(F)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(F) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) définis plus haut, on voit (compte tenu de (7)) que l’on définit ainsi des homomorphismes d’anneaux

Bi′→End⁡Z(E⊗AF),Cj′0→End⁡Z(E⊗AF)Bh′′→End⁡Z(E⊗AF),Ck′′0→End⁡Z(E⊗AF) \begin{align*} B'_i &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F), & {C'_j}^0 &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) \\ B''_h &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F), & {C''_k}^0 &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) \end{align*}

d’images deux à deux permutables; autrement dit, on a défini sur E⊗AFE \otimes_A F une structure de ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))−multimodule((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-multimodule; c’est ce multimodule qu’on appelle encore produit tensoriel (relatif à A) du ((Bi′);A,(Cj′))−multimodule∗E∗etdu∗((B'_i); A, (C'_j))-multimodule* E *et du*(A, (B''_h); (C''_k))-multimodule* F. Ce multimodule est solution d’un problème d’application universelle analogue à celui considéré au n° 1; de façon précise:

Proposition 3

Soit G un* ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))−multimodule((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-multimodule.

a) Soit g une application linéaire du multimodule E⊗AFE \otimes_A F dans G. L’application f:(x,y)↦g(x⊗y)f : (x, y) \mapsto g(x \otimes y) de E×FE \times F dans G est Z\mathbf{Z}*-bilinéaire*, vérifie les relations (1) de II, p. 50, ainsi que les conditions* (8)

{f(μi′x,y)=μi′f(x,y),f(xνj′,y)=f(x,y)νj′f(x,μh′′y)=μh′′f(x,y),f(x,yνk′′)=f(x,y)νk′′ \begin{cases} f(\mu_i' x, y) = \mu_i' f(x, y), & f(x \nu_j', y) = f(x, y) \nu_j' \\ f(x, \mu_h'' y) = \mu_h'' f(x, y), & f(x, y \nu_k'') = f(x, y) \nu_k'' \end{cases}
pour x∈E,y∈F,μi′∈Bi′,νj′∈Cj′,μh′′∈Bh′′,νk′′∈Ck′′,i,j,h,kx \in E, y \in F, \mu_i' \in B_i', \nu_j' \in C_j', \mu_h'' \in B_h'', \nu_k'' \in C_k'', i, j, h, k quelconques.

b) Réciproquement, soit ff une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire de E×FE \times F dans GG, vérifiant les conditions (1) (II, p. 50) et (8). Il existe alors une application linéaire et une seule gg du multimodule E⊗AFE \otimes_A F dans le multimodule GG telle que l’on ait f(x,y)=g(x⊗y)f(x, y) = g(x \otimes y) pour x∈E,y∈Fx \in E, y \in F.

L’assertion a) résulte aussitôt de la définition de la structure de multimodule de E⊗AFE \otimes_A F, car on a par exemple (x⊗y)νj′=(xνj′)⊗y(x \otimes y) \nu_j' = (x \nu_j') \otimes y. Pour prouver b), remarquons d’abord que la prop. 1 de II, p. 51 donne l’existence et l’unicité d’une application Z\mathbf{Z}-linéaire gg telle que g(x⊗y)=f(x,y)g(x \otimes y) = f(x, y) pour x∈E,y∈Fx \in E, y \in F; tout revient à voir que gg est linéaire pour les structures de multimodule. Comme les éléments x⊗yx \otimes y engendrent le Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F, il suffit de vérifier les relations g(μi′(x⊗y))=μi′g(x⊗y)g(\mu_i'(x \otimes y)) = \mu_i' g(x \otimes y) et les analogues; mais cela résulte aussitôt de la formule g(x⊗y)=f(x,y)g(x \otimes y) = f(x, y) et des relations (8).

Scholie

Un élément de E⊗AFE \otimes_A F s’écrit en général de plusieurs manières sous la forme ∑i(xi⊗yi)\sum_i (x_i \otimes y_i), où xi∈Ex_i \in E et yi∈Fy_i \in F; mais pour définir une application linéaire gg du multimodule E⊗AFE \otimes_A F dans un multimodule GG, il est inutile de vérifier que pour ∑i(xi⊗yi)=∑j(xj′⊗yj′)\sum_i (x_i \otimes y_i) = \sum_j (x_j' \otimes y_j'), on a ∑ig(xi⊗yi)=∑jg(xj′⊗yj′)\sum_i g(x_i \otimes y_i) = \sum_j g(x_j' \otimes y_j'); il suffit de se donner g(x⊗y)g(x \otimes y) pour x∈Ex \in E et y∈Fy \in F et de s’assurer que (x,y)↦g(x⊗y)(x, y) \mapsto g(x \otimes y) est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et vérifie les conditions (1) (II, p. 50) et (8).

Soient E′E' un ((Bi′);A,(Cj′))((B_i'); A, (C_j'))-multimodule, F′F' un (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B_h''); (C_k''))-multimodule, u:E→E′u : E \to E', v:F→F′v : F \to F' des applications linéaires de multimodules; il résulte aussitôt des définitions (II, p. 52) que u⊗vu \otimes v est une application linéaire du multimodule E⊗AFE \otimes_A F dans le multimodule E′⊗AF′E' \otimes_A F'.

Désignant toujours par EE un AA-module à droite, notons sAd{}_sA_d l’anneau AA considéré comme (A,A)(A, A)-bimodule (II, p. 34, Exemple 1); d’après ce qui précède, le produit tensoriel E⊗A(sAd)E \otimes_A ({}_sA_d) est muni canoniquement d’une structure de A-module à droite telle que (x⊗λ)μ=x⊗(λμ)(x \otimes \lambda)\mu = x \otimes (\lambda \mu) pour x∈E,λ∈A,μ∈Ax \in E, \lambda \in A, \mu \in A. L’application (x,λ)↦xλ(x, \lambda) \mapsto x \lambda de E×(sAd)E \times ({}_sA_d) dans EE est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et vérifie les conditions (1) (II, p. 50) et (8) (où, dans ces dernières, les Bi′,Cj′B_i', C_j' et Bh′′B_h'' sont absents, la famille (Ck′′)(C_k'') réduite à AA); donc (II, p. 54, prop. 3), il existe une application A-linéaire gg (dite canonique) de E⊗A(sAd)E \otimes_A ({}_sA_d) dans EE telle que g(x⊗λ)=xλg(x \otimes \lambda) = x \lambda pour x∈E,λ∈Ax \in E, \lambda \in A.

Proposition 4

Si EE est un AA-module à droite, l’application h:x↦x⊗1h : x \mapsto x \otimes 1 de EE dans E⊗A(sAd)E \otimes_A ({}_sA_d) est un isomorphisme de AA-modules à droite, dont l’isomorphisme réciproque gg est tel que g(x⊗λ)=xλg(x \otimes \lambda) = x \lambda pour x∈E,λ∈Ax \in E, \lambda \in A.

En effet, si gg est l’application canonique, g∘hg \circ h est l’application identique 1E1_E et h∘gh \circ g coïncide avec l’application identique de E⊗A(sAd)E \otimes_A ({}_sA_d) sur lui-même pour les éléments de la forme x⊗λx \otimes \lambda, qui engendrent ce dernier Z\mathbf{Z}-module; d’où la conclusion.

On écrira d’ordinaire E⊗AAE \otimes_A A au lieu de E⊗A(sAd)E \otimes_A (sA_d) et on identifiera souvent E⊗AAE \otimes_A A et EE au moyen des isomorphismes canoniques précédents. On observera que si EE est en outre muni d’une structure de B-module (à gauche ou à droite) compatible avec sa structure de A-module à droite, gg et hh sont aussi des isomorphismes pour les structures de B-module de EE et de E⊗AAE \otimes_A A (donc des isomorphismes de multimodules).

Soit maintenant FF un A-module à gauche; (sAd)⊗AF(sA_d) \otimes_A F (aussi noté A⊗AFA \otimes_A F) est alors canoniquement muni d’une structure de A-module à gauche, et on définit comme dans la prop. 4 (II, p. 55) un isomorphisme canonique de A⊗AFA \otimes_A F sur FF transformant λ⊗x\lambda \otimes x en λx\lambda x, et son isomorphisme réciproque x↦1⊗xx \mapsto 1 \otimes x.

En particulier il existe un isomorphisme canonique du (A, A)-bimodule (sAd)⊗A(sAd)(sA_d) \otimes_A (sA_d) sur sAdsA_d, qui transforme λ⊗μ\lambda \otimes \mu en λμ\lambda \mu.

5. Produit tensoriel de deux modules sur un anneau commutatif

Soit C un anneau commutatif; pour tout C-module E, la structure de module sur E est compatible avec elle-même (II, p. 33). Si E et F sont deux C-modules, les considérations de II, p. 54 permettent donc de définir sur le produit tensoriel E⊗CFE \otimes_C F deux structures de C-module, respectivement telles que γ(x⊗y)=(γx)⊗y\gamma(x \otimes y) = (\gamma x) \otimes y et γ(x⊗y)=x⊗(γy)\gamma(x \otimes y) = x \otimes (\gamma y); mais comme en vertu de II, p. 51, déf. 1 on a ici (γx)⊗y=x⊗(γy)(\gamma x) \otimes y = x \otimes (\gamma y), ces deux structures sont les mêmes. Quand on parlera désormais de E⊗CFE \otimes_C F comme d’un C-*module*, c’est de la structure ainsi définie qu’il sera question, sauf mention expresse du contraire. L’isomorphisme canonique σ:F⊗CE→E⊗CF\sigma : F \otimes_C E \to E \otimes_C F (II, p. 52, cor. 2) est alors un isomorphisme de C-modules.

Il résulte de cette définition que si (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in \mathbf{L}} (resp. (bμ)μ∈M(b_\mu)_{\mu \in \mathbf{M}}) est un système générateur du C-module E (resp. F), (aλ⊗bμ)(a_\lambda \otimes b_\mu) est un système générateur du C-module E⊗CFE \otimes_C F; en particulier, si E et F sont des C-modules de type fini, il en est de même de E⊗CFE \otimes_C F.

Pour tout C-module G, les applications Z\mathbf{Z}-bilinéaires ff de E×FE \times F dans G pour lesquelles on a

f(γx,y)=f(x,γy)=γf(x,y)pour x∈E,y∈F,γ∈C f(\gamma x, y) = f(x, \gamma y) = \gamma f(x, y) \quad \text{pour } x \in E, y \in F, \gamma \in C
sont alors appelées C-*bilinéaires*, et forment un C-*module* que l’on note L2(E,F;G)\mathscr{L}_2(E, F; G); la prop. 3 (II, p. 54) définit un isomorphisme canonique de C-modules (cf. II, p. 35, Remarque 1)
L2(E,F;G)→HomC(E⊗CF,G). \mathscr{L}_2(E, F; G) \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, G).
Soient E′,F′E', F' deux C-modules, u:E→E′u : E \to E', v:F→F′v : F \to F' deux applications C-linéaires; alors (II, p. 55) u⊗vu \otimes v est une application C-*linéaire* de E⊗CFE \otimes_C F dans E′⊗CF′E' \otimes_C F'. En outre, il est immédiat que (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v est une application C-bilinéaire de HomC(E,E′)×HomC(F,F′)\mathrm{Hom}_C(E, E') \times \mathrm{Hom}_C(F, F') dans HomC(E⊗CF,E′⊗CF′)\mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, E' \otimes_C F'); il lui correspond donc canoniquement une application C-linéaire, dite canonique:

(11)

HomC(E,E′)⊗CHomC(F,F′)→HomC(E⊗CF,E′⊗CF′) \mathrm{Hom}_C(E, E') \otimes_C \mathrm{Hom}_C(F, F') \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, E' \otimes_C F')

qui, à tout élément u⊗vu \otimes v du produit tensoriel

HomC(E,E′)⊗CHomC(F,F′) \mathrm{Hom}_C(E, E') \otimes_C \mathrm{Hom}_C(F, F')

fait correspondre l’application linéaire u⊗vu \otimes v. On notera que l’application canonique (11) n’est pas nécessairement injective ni surjective (II, p. 190, exerc. 2).

Remarque 1

Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ:B→A\rho : B \to A un homomorphisme d’anneaux, E et F deux A-modules; alors l’application canonique (6) de II, p. 53 est une application B-linéaire

(12)

ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)→ρ∗(E⊗AF). \rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) \to \rho_*(E \otimes_A F).

Remarque 2

Les considérations de ce n° peuvent se généraliser au cas suivant: soient E un A-module à droite, F un A-module à gauche, C un anneau commutatif, ρ:C→A\rho : C \to A un homomorphisme de C dans A tel que ρ(C)\rho(C) soit contenu dans le centre de A (cf. III, p. 6). On peut alors considérer les C-modules ρ∗(E)\rho_*(E) et ρ∗(F)\rho_*(F) et l’hypothèse sur ρ\rho entraîne que les structures de ces C-modules sont respectivement compatibles avec les structures de A-module de E et F (II, p. 33). Le produit tensoriel E⊗AFE \otimes_A F est donc (en vertu de II, p. 54) muni de deux structures de C-modules telles que γ(x⊗y)=(xρ(γ))⊗y\gamma(x \otimes y) = (x \rho(\gamma)) \otimes y et γ(x⊗y)=x⊗(ρ(γ)y)\gamma(x \otimes y) = x \otimes (\rho(\gamma)y) respectivement pour γ∈C,x∈E,y∈F\gamma \in C, x \in E, y \in F, et la déf. 1 (II, p. 51) montre encore que ces deux structures sont identiques. Si E′E' (resp. F′F') est un A-module à droite (resp. à gauche), u:E→E′,v:F→F′u : E \to E', v : F \to F' deux applications A-linéaires, alors u⊗v:E⊗AF→E′⊗AF′u \otimes v : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F' est C-linéaire pour les structures de C-modules qu’on vient de définir; l’application (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v:

HomA(E,E′)×HomA(F,F′)→HomC(E⊗AF,E′⊗AF′) \mathrm{Hom}_A(E, E') \times \mathrm{Hom}_A(F, F') \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, E' \otimes_A F')

est C-*bilinéaire* (pour les structures de C-module sur HomA(E,E′)\mathrm{Hom}_A(E, E') et HomA(F,F′)\mathrm{Hom}_A(F, F') définies dans II, p. 35, Remarque 1) d’où l’on déduit encore une application C-linéaire, dite *canonique

(13)

HomA(E,E′)⊗CHomA(F,F′)→HomC(E⊗AF,E′⊗AF′). \mathrm{Hom}_A(E, E') \otimes_C \mathrm{Hom}_A(F, F') \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, E' \otimes_A F').

Remarque 3

Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, l’application canonique

(E[A])⊗A(F[A])→E⊗KF (E_{[A]}) \otimes_A (F_{[A]}) \to E \otimes_K F

(II, p. 53 et p. 30) est bijective. Il suffit en effet (II, p. 55) de prouver que si ff est une application A-*bilinéaire* de E×FE \times F dans un K-espace vectoriel G, ff est aussi K-*bilinéaire*. Or, pour tout α≠0\alpha \neq 0 dans A, on a alors d’où

αf(α−1x,y)=f(x,y)=αf(x,α−1y), \alpha f(\alpha^{-1}x, y) = f(x, y) = \alpha f(x, \alpha^{-1}y),
puisque G est un K-espace vectoriel.

6. Propriétés de E⊗AFE \otimes_A F relatives aux suites exactes

Proposition 5

Soient E,E′,E′′E, E', E'' des AA-modules à droite, F un AA-module à gauche,

(14)

E′→uE→vE′′⟶0 E' \xrightarrow{u} E \xrightarrow{v} E'' \longrightarrow 0
une suite exacte d’applications linéaires. Si l’on pose uˉ=u⊗1F,vˉ=v⊗1F\bar{u} = u \otimes 1_F, \bar{v} = v \otimes 1_F, la suite

(15)

E′⊗AF→uˉE⊗AF→vˉE′′⊗AF⟶0 E' \otimes_A F \xrightarrow{\bar{u}} E \otimes_A F \xrightarrow{\bar{v}} E'' \otimes_A F \longrightarrow 0
de Z\mathbf{Z}-homomorphismes est exacte.

En vertu de II, p. 53, formule (5), on a vˉ∘uˉ=(v∘u)⊗1F=0\bar{v} \circ \bar{u} = (v \circ u) \otimes 1_F = 0; l’image H=uˉ(E′⊗F)H = \bar{u}(E' \otimes F) est contenue dans le noyau L=Ker(vˉ)L = \mathrm{Ker}(\bar{v}); par passage au quotient, on déduit donc de vˉ\bar{v} une application Z\mathbf{Z}-linéaire ff du conoyau M=(E⊗F)/HM = (E \otimes F)/H de uˉ\bar{u} dans E′′⊗FE'' \otimes F; il s’agit de prouver que ff est bijective, et il suffira donc de définir une application Z\mathbf{Z}-linéaire g:E′′⊗F→Mg : E'' \otimes F \to M telle que g∘fg \circ f et f∘gf \circ g soient les applications identiques.

Soient x′′∈E′′,y∈Fx'' \in E'', y \in F; par hypothèse il existe x∈Ex \in E tel que v(x)=x′′v(x) = x''. Montrons que si x1,x2x_1, x_2 sont deux éléments de EE tels que v(x1)=v(x2)=x′′v(x_1) = v(x_2) = x'' et si φ:E⊗F→M\varphi : E \otimes F \to M est l’application canonique, on a φ(x1⊗y)=φ(x2⊗y)\varphi(x_1 \otimes y) = \varphi(x_2 \otimes y). Il suffit de prouver que si v(x)=0v(x) = 0, on a φ(x⊗y)=0\varphi(x \otimes y) = 0; cela résulte de ce que x=u(x′)x = u(x'), avec x′∈E′x' \in E', d’où x⊗y=u(x′)⊗y=uˉ(x′⊗y)∈Hx \otimes y = u(x') \otimes y = \bar{u}(x' \otimes y) \in H. Si à (x′′,y)(x'', y) on fait correspondre la valeur unique de φ(x⊗y)\varphi(x \otimes y) pour tous les x∈Ex \in E tels que v(x)=x′′v(x) = x'', on définit une application de E′′×FE'' \times F dans MM; cette application est Z\mathbf{Z}-bilinéaire et vérifie les conditions (1) (II, p. 50), puisque v(xλ)=x′′λv(x\lambda) = x''\lambda et (xλ)⊗y=x⊗(λy)(x\lambda) \otimes y = x \otimes (\lambda y) pour x∈Ex \in E; il existe donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire gg de E′′⊗FE'' \otimes F dans MM telle que g(x′′⊗y)=φ(x⊗y)g(x'' \otimes y) = \varphi(x \otimes y), pour y∈F,x∈Ey \in F, x \in E et x′′=v(x)x'' = v(x). Cette définition prouve en outre que f∘gf \circ g coïncide avec l’application identique pour les éléments de E′′⊗FE'' \otimes F de la forme x′′⊗yx'' \otimes y, donc f∘gf \circ g est l’application identique de E′′⊗FE'' \otimes F; d’autre part, pour x∈Ex \in E et y∈Fy \in F, on a f(φ(x⊗y))=v(x)⊗yf(\varphi(x \otimes y)) = v(x) \otimes y par définition, donc g(f(φ(x⊗y)))=φ(x⊗y)g(f(\varphi(x \otimes y))) = \varphi(x \otimes y), et comme les éléments de la forme φ(x⊗y)\varphi(x \otimes y) engendrent MM, g∘fg \circ f est l’application identique de MM.

Corollaire

Soient F,F′,F′′F, F', F'' des AA-modules à gauche, EE un AA-module à droite,

(16)

F′→sF→tF′′⟶0 F' \xrightarrow{s} F \xrightarrow{t} F'' \longrightarrow 0
une suite exacte d’applications linéaires. Si on pose sˉ=1E⊗s,tˉ=1E⊗t\bar{s} = 1_E \otimes s, \bar{t} = 1_E \otimes t, la suite de Z\mathbf{Z}-homomorphismes

(17) E⊗AF′→sˉE⊗AF→iE⊗AF′′⟶0E \otimes_A F' \xrightarrow{\bar{s}} E \otimes_A F \xrightarrow{i} E \otimes_A F'' \longrightarrow 0

est exacte.

En effet, quand on considère EE (resp. FF) comme un A0A^0-module à gauche (resp. à droite), F⊗A0EF \otimes_{A^0} E s’identifie à E⊗AFE \otimes_A F, et on a des identifications analogues pour F′⊗A0EF' \otimes_{A^0} E et F′′⊗A0EF'' \otimes_{A^0} E (II, p. 52, cor. 2); le corollaire résulte donc aussitôt de la prop. 5.

Remarque

On notera qu’en général, si E′E' est un sous-module d’un AA-module à droite EE, j:E′→Ej : E' \to E l’injection canonique, l’application j⊗1F:E′⊗F→E⊗Fj \otimes 1_F : E' \otimes F \to E \otimes F n’est pas nécessairement injective. Autrement dit, d’une suite exacte

(18) 0⟶E′→uE→vE′′⟶00 \longrightarrow E' \xrightarrow{u} E \xrightarrow{v} E'' \longrightarrow 0

on ne peut pas conclure en général que la suite

(19) 0⟶E′⊗F→uˉE⊗F→vˉE′′⊗F⟶00 \longrightarrow E' \otimes F \xrightarrow{\bar{u}} E \otimes F \xrightarrow{\bar{v}} E'' \otimes F \longrightarrow 0

soit exacte.

Prenons par exemple A=ZA = \mathbf{Z}, E=ZE = \mathbf{Z}, E′=2ZE' = 2\mathbf{Z}, F=Z/2ZF = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}. Comme E′E' est isomorphe à EE, E′⊗FE' \otimes F est isomorphe à E⊗FE \otimes F, lui-même isomorphe à FF (II, p. 55, prop. 4). Mais pour tout x′=2x∈E′x' = 2x \in E' (où x∈Ex \in E), et tout y∈Fy \in F, on a j(x′)⊗y=(2x)⊗y=x⊗(2y)=0j(x') \otimes y = (2x) \otimes y = x \otimes (2y) = 0 puisque 2y=02y = 0, et l’image canonique de E′⊗FE' \otimes F dans E⊗FE \otimes F est réduite à 0.

En d’autres termes, il faut soigneusement distinguer, pour un sous-module E′E' de EE et un élément x∈E′x \in E', entre l’élément x⊗yx \otimes y « calculé dans E′⊗FE' \otimes F » et l’élément x⊗yx \otimes y « calculé dans E⊗FE \otimes F » (autrement dit, l’élément j(x)⊗yj(x) \otimes y).

Nous étudierons plus tard, sous le nom de modules plats, les modules FF tels que la suite (19) soit exacte pour toute suite exacte (18) (AC, I, § 2).

Proposition 6

Si on a les deux suites exactes (14) et (16) (II, p. 58), l’homomorphisme v⊗t:E⊗AF→E′′⊗AF′′v \otimes t : E \otimes_A F \to E'' \otimes_A F'' est surjectif et son noyau est égal à

Im⁡(u⊗1F)+Im⁡(1E⊗s). \operatorname{Im}(u \otimes 1_F) + \operatorname{Im}(1_E \otimes s).

En effet, on a v⊗t=(v⊗1F′′)∘(1E⊗t)v \otimes t = (v \otimes 1_{F''}) \circ (1_E \otimes t) (II, p. 53, formule (5)), et v⊗tv \otimes t est donc surjectif, étant composé de deux homomorphismes surjectifs en vertu de la prop. 5 (II, p. 58) et de son corollaire (II, p. 58). D’autre part, pour que z∈E⊗Fz \in E \otimes F soit dans le noyau de v⊗tv \otimes t, il faut et il suffit que (1E⊗t)(z)(1_E \otimes t)(z) appartienne au noyau de v⊗1F′′v \otimes 1_{F''}, c’est-à-dire, en vertu de (15) (II, p. 58), à l’image de u⊗1F′′:E′⊗F′′→E⊗F′′u \otimes 1_{F''} : E' \otimes F'' \to E \otimes F''. Mais comme l’homomorphisme t:F→F′′t : F \to F'' est surjectif, il en est de même de 1E′⊗t:E′⊗F→E′⊗F′′1_{E'} \otimes t : E' \otimes F \to E' \otimes F'', en vertu de II, p. 58, corollaire, donc la condition pour zz se réduit à l’existence d’un a∈E′⊗Fa \in E' \otimes F tel que

(1E⊗t)(z)=(u⊗t)(a). (1_E \otimes t)(z) = (u \otimes t)(a).

Posons b=z−(u⊗1F)(a)b = z - (u \otimes 1_F)(a); on aura alors (1E⊗t)(b)=0(1_E \otimes t)(b) = 0, et en vertu de (17), bb appartient à l’image de 1E⊗s1_E \otimes s, ce qui démontre la proposition.

Autrement dit: COROLLAIRE 1. — Soient E' un sous-module d’un A-module à droite E, F' un sous-module d’un A-module à gauche F, Im(E' \otimes_A F) et Im(E \otimes_A F') les sous-\mathbf{Z}-modules de E \otimes_A F, images respectives des applications canoniques E' \otimes_A F \to E \otimes_A F, E \otimes_A F' \to E \otimes_A F. On a alors un isomorphisme canonique de \mathbf{Z}-modules (20) π:(E/E′)⊗A(F/F′)→(E⊗AF)/(Im(E′⊗AF)+Im(E⊗AF′))\pi : (E/E') \otimes_A (F/F') \to (E \otimes_A F)/(Im(E' \otimes_A F) + Im(E \otimes_A F')) tel que pour ξ∈E/E′,η∈F/F′,π(ξ⊗η)\xi \in E/E', \eta \in F/F', \pi(\xi \otimes \eta) soit la classe de tout élément x⊗y∈E⊗AFx \otimes y \in E \otimes_A F tel que x∈ξx \in \xi et y∈ηy \in \eta.

On notera que lorsque E est un ((B'_i); A, (C'_j))-multimodule, F un (A, (B''_h); (C''_k))-multimodule, E' et F' des sous-multimodules de E et F respectivement, l’isomorphisme (20) est un isomorphisme pour les structures de ((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-multimodules des deux membres (II, p. 54).

Corollaire 2

Soient a un idéal à droite de A, F un A-module à gauche, aF le sous-\mathbf{Z}-module de F engendré par les éléments de la forme λx\lambda x, où λ∈a\lambda \in a et x∈Fx \in F. On a alors un isomorphisme canonique de \mathbf{Z}-modules (21) π:(A/a)⊗AF→F/aF\pi : (A/a) \otimes_A F \to F/aF tel que pour tout λˉ∈A/a\bar{\lambda} \in A/a et tout x∈Fx \in F, π(λˉ⊗x)\pi(\bar{\lambda} \otimes x) soit la classe mod. aF de λx\lambda x, ou λ∈λˉ\lambda \in \bar{\lambda}.

En particulier, pour A = \mathbf{Z}, on voit que pour tout entier n et tout \mathbf{Z}-module F, (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \otimes_{\mathbf{Z}} F s’identifie canoniquement au \mathbf{Z}-module quotient F/nF.

Corollaire 3

Soient A un anneau commutatif, a un idéal de A, E et F deux A-modules, tels que a soit contenu dans l’annulateur de F. Alors les (A/a)-modules E \otimes_A F et (E/aE) \otimes_{A/a} F sont canoniquement isomorphes.

En effet, F et E \otimes_A F étant annulés par a, sont canoniquement munis de structures de (A/a)-modules (II, p. 28), et si on pose E' = aE, on a Im(E' \otimes_A F) = 0; on a donc un isomorphisme canonique (20) de E \otimes_A F sur (E/aE) \otimes_A F, et ce dernier est lui-même identique à (E/aE) \otimes_{A/a} F (II, p. 35, corollaire).

Corollaire 4

Soient a, b deux idéaux dans un anneau commutatif C; le C-module (C/a) \otimes_C (C/b) est alors canoniquement isomorphe à C/(a + b).

7. Produits tensoriels de produits et de sommes directes

Soient (E_\lambda)_{\lambda \in L} une famille de A-modules à droite, (F_\mu)_{\mu \in M} une famille de A-modules à gauche, et considérons les modules produits C = \prod_{\lambda \in L} E_\lambda, D = \prod_{\mu \in M} F_\mu. L’application ((x_\lambda), (y_\mu)) \mapsto (x_\lambda \otimes y_\mu) de C \times D dans le \mathbf{Z}-module produit \prod_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) est \mathbf{Z}-bilinéaire et satisfait aux conditions (1) (II, p. 50) de façon évidente. Il existe donc (II, p. 51, prop. 1) une application Z\mathbf{Z}-linéaire, dite canonique

f:(∏λ∈LEλ)⊗A(∏μ∈MFμ)→∏(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ) f : (\prod_{\lambda \in L} E_\lambda) \otimes_A (\prod_{\mu \in M} F_\mu) \to \prod_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu)

telle que l’on ait f((xλ)⊗(yμ))=(xλ⊗yμ)f((x_\lambda) \otimes (y_\mu)) = (x_\lambda \otimes y_\mu).

Lorsque C=RL,D=SM,RC = R^L, D = S^M, R (resp. SS) étant un AA-module à droite (resp. à gauche), l’application canonique (22) fait correspondre à tout produit tensoriel u⊗vu \otimes v, où uu est une application de LL dans RR et vv une application de MM dans SS, l’application (λ,μ)↦u(λ)⊗v(μ)(\lambda, \mu) \mapsto u(\lambda) \otimes v(\mu) de L×ML \times M dans R⊗ASR \otimes_A S; même dans ce cas l’application canonique (22) n’est en général ni injective ni surjective (II, p. 189, exerc. 3; cf. II, p. 63, cor. 3).

Lorsque les EλE_\lambda sont des ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j))-multimodules et les FμF_\mu des (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B''_h); (C''_k))-multimodules, l’homomorphisme (22) est aussi un homomorphisme pour les structures de ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-multimodules des deux membres.

Considérons maintenant le sous-module E=⨁λ∈LEλE = \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda (resp. F=⨁μ∈MFμF = \bigoplus_{\mu \in M} F_\mu) de CC (resp. DD); les injections canoniques E→C,F→DE \to C, F \to D définissent canoniquement une application Z\mathbf{Z}-linéaire E⊗AF→C⊗ADE \otimes_A F \to C \otimes_A D qui, composée avec l’application (22), donne une application Z\mathbf{Z}-linéaire gg de E⊗AFE \otimes_A F dans ∏λ,μ(Eλ⊗AFμ)\prod_{\lambda, \mu} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) telle que g((xλ)⊗(yμ))=(xλ⊗yμ)g((x_\lambda) \otimes (y_\mu)) = (x_\lambda \otimes y_\mu); en outre, comme les familles (xλ)(x_\lambda) et (yμ)(y_\mu) ont un support fini, il en est de même de (xλ⊗yμ)(x_\lambda \otimes y_\mu), donc gg est finalement un homomorphisme canonique

g:(⨁λ∈LEλ)⊗A(⨁μ∈MFμ)→⨁(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ), g : (\bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda) \otimes_A (\bigoplus_{\mu \in M} F_\mu) \to \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu),

qui est un homomorphisme de multimodules sous les mêmes conditions que (22).

Proposition 7

L’application canonique (23) est bijective.

Il suffit pour cela de définir une application Z\mathbf{Z}-linéaire hh de la somme directe G=⨁(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ)G = \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) dans E⊗AFE \otimes_A F telle que g∘hg \circ h et h∘gh \circ g soient les applications identiques. Or, pour définir une application Z\mathbf{Z}-linéaire de GG dans E⊗AFE \otimes_A F, il suffit (II, p. 12, prop. 6), de définir une application Z\mathbf{Z}-linéaire

hλμ:Eλ⊗AFμ→E⊗AF h_{\lambda \mu} : E_\lambda \otimes_A F_\mu \to E \otimes_A F

pour tout couple (λ,μ)(\lambda, \mu), et on prendra hλμ=iλ⊗jμh_{\lambda \mu} = i_\lambda \otimes j_\mu, où iλ:Eλ→Ei_\lambda : E_\lambda \to E et jμ:Fμ→Fj_\mu : F_\mu \to F sont les injections canoniques. Il est clair alors que h∘gh \circ g coïncide avec l’application identique pour les éléments de la forme (∑xλ)⊗(∑yμ)(\sum x_\lambda) \otimes (\sum y_\mu), qui engendrent le Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F; de même g∘hg \circ h coïncide avec l’application identique pour les éléments de la forme ∑λ,μ(xλ⊗yμ)\sum_{\lambda, \mu} (x_\lambda \otimes y_\mu), qui engendrent le Z\mathbf{Z}-module GG, puisque pour chaque couple (λ,μ)(\lambda, \mu) les produits xλ⊗yμx_\lambda \otimes y_\mu (xλ∈Eλ,yμ∈Fμx_\lambda \in E_\lambda, y_\mu \in F_\mu) engendrent le Z\mathbf{Z}-module Eλ⊗AFμE_\lambda \otimes_A F_\mu. D’où la proposition.

Soient uλ:Eλ→Eλ′,vμ:Fμ→Fμ′u_\lambda : E_\lambda \to E'_\lambda, v_\mu : F_\mu \to F'_\mu des A-homomorphismes; il est clair que le diagramme

(⨁λEλ)⊗A(⨁μFμ)⟶⨁λ,μ(Eλ⊗AFμ)(⨁λuλ)⊗(⨁μvμ)↓↓(⨁λuλ⊗vμ)(⨁λEλ′)⊗A(⨁μFμ′)⟶⨁λ,μ(Eλ′⊗AFμ′) \begin{array}{ccc} (\bigoplus_\lambda E_\lambda) \otimes_A (\bigoplus_\mu F_\mu) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda,\mu} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) \\ (\bigoplus_\lambda u_\lambda) \otimes (\bigoplus_\mu v_\mu) \downarrow & & \downarrow (\bigoplus_\lambda u_\lambda \otimes v_\mu) \\ (\bigoplus_\lambda E'_\lambda) \otimes_A (\bigoplus_\mu F'_\mu) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda,\mu} (E'_\lambda \otimes_A F'_\mu) \end{array}

est commutatif.

Corollaire 1

Si le A-module à gauche F admet une base (bμ)μ∈M(b_\mu)_{\mu \in M}, tout élément de E⊗AFE \otimes_A F s’écrit d’une seule manière sous la forme ∑μ(xμ⊗bμ)\sum_\mu (x_\mu \otimes b_\mu), où xμ∈Ex_\mu \in E et la famille (xμ)(x_\mu) a un support fini. Le Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F est isomorphe à E(M)E^{(M)} considéré comme Z\mathbf{Z}-module.

En effet, la base (bμ)(b_\mu) définit un isomorphisme de F sur ⨁μ∈MAbμ\bigoplus_{\mu \in M} Ab_\mu, d’où un isomorphisme E⊗AF→⨁μ∈M(E⊗AAbμ)E \otimes_A F \to \bigoplus_{\mu \in M} (E \otimes_A Ab_\mu) en vertu de la prop. 7; comme ξ↦ξbμ\xi \mapsto \xi b_\mu est un isomorphisme de AsA_s sur AbμAb_\mu, x↦x⊗bμx \mapsto x \otimes b_\mu est un isomorphisme de E sur E⊗A(Abμ)E \otimes_A (Ab_\mu) en vertu de la prop. 4 de II, p. 55, d’où le corollaire.

Si E est un ((Bi′);A,(Cj′))((B_i'); A, (C_j'))-multimodule, l’isomorphisme canonique E⊗AF→E(M)E \otimes_A F \to E^{(M)} est un isomorphisme de ((Bi′);(Cj′))((B_i'); (C_j'))-multimodules.

En particulier, si en outre E admet aussi une base (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in L}, tout z∈E⊗AFz \in E \otimes_A F s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme ∑λ,μ(aλξλμ)⊗bμ\sum_{\lambda, \mu} (a_\lambda \xi_{\lambda \mu}) \otimes b_\mu, où les ξλμ\xi_{\lambda \mu} appartiennent à A (et forment une famille à support fini); l’application z↦(ξλμ)(λ,μ)∈L×Mz \mapsto (\xi_{\lambda \mu})_{(\lambda, \mu) \in L \times M} est un isomorphisme de E⊗AFE \otimes_A F sur A(L×M)A^{(L \times M)} pour les structures de Z\mathbf{Z}-module (et même les structures de module sur le centre de A). Plus particulièrement:

Corollaire 2

Si E et F sont deux modules libres sur un anneau commutatif C, et si (aλ)(a_\lambda) (resp. (bμ)(b_\mu)) est une base du C-module E (resp. F), alors (aλ⊗bμ)(a_\lambda \otimes b_\mu) est une base du C-module E⊗CFE \otimes_C F.

Par abus de langage, on dit parfois que la base (aλ⊗bμ)(a_\lambda \otimes b_\mu) est le produit tensoriel des bases (aλ)(a_\lambda) et (bμ)(b_\mu).

Remarque 1). — Soient E un A-module à droite libre, F un A-module à gauche libre, (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in L} une base de E, (bμ)μ∈M(b_\mu)_{\mu \in M} une base de F. Tout élément z∈E⊗AFz \in E \otimes_A F s’écrit d’une seule manière ∑λaλ⊗yλ\sum_\lambda a_\lambda \otimes y_\lambda, où yλ∈Fy_\lambda \in F, et aussi d’une seule manière ∑μxμ⊗bμ\sum_\mu x_\mu \otimes b_\mu, où xμ∈Ex_\mu \in E. Si on pose yλ=∑μηλμbμy_\lambda = \sum_\mu \eta_{\lambda \mu} b_\mu, xμ=∑λaλξλμx_\mu = \sum_\lambda a_\lambda \xi_{\lambda \mu}, où les ξλμ\xi_{\lambda \mu} et ηλμ\eta_{\lambda \mu} appartiennent à A, on a ξλμ=ηλμ\xi_{\lambda \mu} = \eta_{\lambda \mu} pour tout (λ,μ)(\lambda, \mu), car ∑λ(aλ⊗(∑μηλμbμ))=∑λ,μ((aληλμ)⊗bμ)=∑μ((∑λaληλμ)⊗bμ)\sum_\lambda (a_\lambda \otimes (\sum_\mu \eta_{\lambda \mu} b_\mu)) = \sum_{\lambda, \mu} ((a_\lambda \eta_{\lambda \mu}) \otimes b_\mu) = \sum_\mu ((\sum_\lambda a_\lambda \eta_{\lambda \mu}) \otimes b_\mu).

Corollaire 3

Soient (Eλ)λ∈L(E_\lambda)_{\lambda \in L} une famille de AA-modules à droite, FF un AA-module à gauche libre (resp. libre et de type fini). Alors l’application canonique (22)

(∏λ∈LEλ)⊗AF→∏λ∈L(Eλ⊗AF) \left( \prod_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A F \to \prod_{\lambda \in L} (E_\lambda \otimes_A F)

est injective (resp. bijective).

En effet, si (bμ)(b_\mu) est une base de FF, tout élément de (∏λ∈LEλ)⊗AF\left( \prod_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A F peut s’écrire d’une seule manière z=∑μ((xλ(μ))⊗bμ)z = \sum_\mu ((x_\lambda^{(\mu)}) \otimes b_\mu) (II, p. 62, cor. 1); dire que son image canonique est nulle signifie que pour tout λ∈L\lambda \in L, on a ∑μ(xλ(μ)⊗bμ)=0\sum_\mu (x_\lambda^{(\mu)} \otimes b_\mu) = 0, donc xλ(μ)=0x_\lambda^{(\mu)} = 0 pour tout λ∈L\lambda \in L et tout μ\mu (II, p. 62, cor. 1), et par suite z=0z = 0.

Pour démontrer que l’application canonique est bijective lorsque FF admet une base finie, on est aussitôt ramené, en vertu de la prop. 7, au cas où F=AsF = A_s; mais alors les deux membres s’identifient canoniquement à ∏λ∈LEλ\prod_{\lambda \in L} E_\lambda (II, p. 55, prop. 4) et après ces identifications, l’application canonique (22) devient l’identité.

Corollaire 4

Soient AA un anneau sans diviseur de zéro, EE un AA-module à droite libre, FF un AA-module à gauche libre. Alors la relation x⊗y=0x \otimes y = 0 dans E⊗AFE \otimes_A F entraîne x=0x = 0 ou y=0y = 0.

En effet, soient (aλ)(a_\lambda) une base de EE, (bμ)(b_\mu) une base de FF, et soient x=∑λaλξλx = \sum_\lambda a_\lambda \xi_\lambda, y=∑μημbμy = \sum_\mu \eta_\mu b_\mu; on a x⊗y=∑λ,μ((aλξλημ)⊗bμ)x \otimes y = \sum_{\lambda, \mu} ((a_\lambda \xi_\lambda \eta_\mu) \otimes b_\mu) et la relation x⊗y=0x \otimes y = 0 entraîne ξλημ=0\xi_\lambda \eta_\mu = 0 pour tout couple d’indices (λ,μ)(\lambda, \mu) (II, p. 62, cor. 1). Donc, si l’on a x≠0x \neq 0, c’est-à-dire ξλ≠0\xi_\lambda \neq 0 pour un λ\lambda au moins, on en conclut ημ=0\eta_\mu = 0 pour tout μ\mu, d’où y=0y = 0.

Corollaire 5

Soient EE un AA-module à droite, FF un AA-module à gauche, MM un sous-module de EE, NN un sous-module de FF. Si MM est facteur direct de EE et NN facteur direct de FF, l’homomorphisme canonique M⊗AN→E⊗AFM \otimes_A N \to E \otimes_A F est injectif, et l’image de M⊗ANM \otimes_A N par cet homomorphisme est facteur direct du Z\mathbf{Z}-module E⊗AFE \otimes_A F.

Cela résulte aussitôt de la prop. 7.

On notera que si EE est un ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j))-multimodule et FF un (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B''_h); (C''_k))-multimodule, MM et NN des facteurs directs dans ces multimodules, M⊗NM \otimes N est facteur direct du ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-multimodule E⊗FE \otimes F.

Corollaire 6

Soient PP un AA-module à gauche projectif, E,FE, F deux AA-modules à droite. Pour tout homomorphisme injectif u:E→Fu : E \to F, l’homomorphisme

u⊗1P:E⊗AP→F⊗AP u \otimes 1_P : E \otimes_A P \to F \otimes_A P

est injectif.

En effet, il existe un AA-module à gauche QQ tel que L=P⊕QL = P \oplus Q soit libre (II, p. 39, prop. 4), et u⊗1Lu \otimes 1_L s’identifie (prop. 7) à (u⊗1P)⊕(u⊗1Q)(u \otimes 1_P) \oplus (u \otimes 1_Q);

il suffit donc de prouver le corollaire lorsque P est libre (II, p. 14, cor. 1). Le même raisonnement ramène au cas où P=AsP = A_s, qui découle aussitôt de II, p. 55, prop. 4.

Corollaire 7

Soit C un anneau commutatif. Si E et F sont deux C-modules projectifs, E⊗CFE \otimes_C F est un C-module projectif.

Cela résulte aussitôt de II, p. 63, cor. 5 et du fait que le produit tensoriel de deux C-modules libres est un C-module libre (II, p. 61, cor. 2).

Remarque 2). — Sous les hypothèses de la prop. 7 (II, p. 61), soient Eλ′E'_\lambda un sous-module de EλE_\lambda, Fμ′F'_{\mu} un sous-module de FμF_\mu, et posons E′=⨁λ∈LEλ′E' = \bigoplus_{\lambda \in L} E'_\lambda, F′=⨁μ∈MFμ′F' = \bigoplus_{\mu \in M} F'_{\mu}. Désignons par Im⁡(E′⊗AF′)\operatorname{Im}(E' \otimes_A F') (resp. Im⁡(Eλ′⊗AFμ′)\operatorname{Im}(E'_\lambda \otimes_A F'_{\mu})) l’image de E′⊗AF′E' \otimes_A F' (resp. Eλ′⊗AFμ′E'_\lambda \otimes_A F'_{\mu}) dans E⊗AFE \otimes_A F (resp. Eλ⊗AFμE_\lambda \otimes_A F_\mu) par l’application canonique; alors l’isomorphisme (23) identifie les sous-Z\mathbf{Z}-modules

Im⁡(E′⊗AF′)et⨁(λ,μ)∈L×MIm⁡(Eλ′⊗AFμ′); \operatorname{Im}(E' \otimes_A F') \quad \text{et} \quad \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in L \times M} \operatorname{Im}(E'_\lambda \otimes_A F'_{\mu});

cela résulte aussitôt de la commutativité du diagramme

(⨁λEλ′)⊗A(⨁μFμ′)⟶(⨁λEλ)⊗A(⨁μFμ)↓↓⨁λ,μ(Eλ′⊗AFμ′)⟶⨁λ,μ(Eλ⊗AFμ) \begin{array}{ccc} (\bigoplus_{\lambda} E'_\lambda) \otimes_A (\bigoplus_{\mu} F'_{\mu}) & \longrightarrow & (\bigoplus_{\lambda} E_\lambda) \otimes_A (\bigoplus_{\mu} F_\mu) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bigoplus_{\lambda, \mu} (E'_\lambda \otimes_A F'_{\mu}) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda, \mu} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) \end{array}

où les flèches verticales sont les isomorphismes canoniques.

8. Associativité du produit tensoriel.

Proposition 8

Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, F un (A, B)-bimodule, G un B-module à gauche. Alors E⊗AFE \otimes_A F est un B-module à droite, F⊗BGF \otimes_B G un A-module à gauche, et il existe une application Z\mathbf{Z}-linéaire et une seule

φ:(E⊗AF)⊗BG→E⊗A(F⊗BG) \varphi : (E \otimes_A F) \otimes_B G \to E \otimes_A (F \otimes_B G)

telle que φ((x⊗y)⊗z)=x⊗(y⊗z)\varphi((x \otimes y) \otimes z) = x \otimes (y \otimes z) pour x∈E,y∈F,z∈Gx \in E, y \in F, z \in G; en outre cette application Z\mathbf{Z}-*linéaire est bijective* (« associativité » du produit tensoriel).

Les structures de B-module à droite sur E⊗AFE \otimes_A F et de A-module à gauche sur F⊗BGF \otimes_B G ont été définies dans II, p. 54. L’unicité de φ\varphi est évidente puisque les éléments (x⊗y)⊗z(x \otimes y) \otimes z engendrent le Z\mathbf{Z}-module (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G. Pour démontrer l’existence de φ\varphi, remarquons que pour tout z∈Gz \in G, hz:y↦y⊗zh_z : y \mapsto y \otimes z est une application A-linéaire du A-module à gauche F dans le A-module à gauche F⊗BGF \otimes_B G. Posons gz=1E⊗hzg_z = 1_E \otimes h_z, qui est donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire de E⊗AFE \otimes_A F dans E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G), et considérons l’application (t,z)↦gz(t)(t, z) \mapsto g_z(t) de (E⊗AF)×G(E \otimes_A F) \times G dans E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G); comme hz+z′=hz+hz′h_{z+z'} = h_z + h_{z'} pour z∈G,z′∈Gz \in G, z' \in G, il est immédiat que l’application précédente est Z\mathbf{Z}-bilinéaire. En outre, montrons que pour tout μ∈B\mu \in B, on a gμz(t)=gz(tμ)g_{\mu z}(t) = g_z(t\mu); il suffit évidemment de le faire pour t=x⊗yt = x \otimes y, où x∈Ex \in E et y∈Fy \in F; or on a gμz(x⊗y)=x⊗(y⊗μz)g_{\mu z}(x \otimes y) = x \otimes (y \otimes \mu z) et gz((x⊗y)μ)=gz(x⊗yμ)=x⊗(yμ⊗z)g_z((x \otimes y)\mu) = g_z(x \otimes y\mu) = x \otimes (y\mu \otimes z). La prop. 1 (II, p. 51) prouve donc l’existence d’une application Z\mathbf{Z}-linéaire

φ:(E⊗AF)⊗BG→E⊗A(F⊗BG) \varphi : (E \otimes_A F) \otimes_B G \to E \otimes_A (F \otimes_B G)

telle que φ(t⊗z)=gz(t)\varphi(t \otimes z) = g_z(t), donc φ((x⊗y)⊗z)=x⊗(y⊗z)\varphi((x \otimes y) \otimes z) = x \otimes (y \otimes z). On définit de la même façon une application Z\mathbf{Z}-linéaire

ψ:E⊗A(F⊗BG)→(E⊗AF)⊗BG \psi : E \otimes_A (F \otimes_B G) \to (E \otimes_A F) \otimes_B G

telle que ψ(x⊗(y⊗z))=(x⊗y)⊗z\psi(x \otimes (y \otimes z)) = (x \otimes y) \otimes z, et il est clair que ψ∘φ\psi \circ \varphi et φ∘ψ\varphi \circ \psi sont les applications identiques de (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G et E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G) respectivement, puisqu’elles se réduisent à l’identité sur des systèmes générateurs de ces Z\mathbf{Z}-modules.

Il est immédiat que si EE est un ((Ci′);A,(Dj′))((C'_i); A, (D'_j))-multimodule, FF un (A,(Ch′′));B,(Dk′′))(A, (C''_h)); B, (D''_k))-multimodule, GG un (B,(Cl′′′));(Dm′′′))(B, (C'''_l)); (D'''_m))-multimodule, l’isomorphisme canonique défini dans la prop. 8 (II, p. 64) est un isomorphisme de ((Ci′),(Ch′′),(Cl′′′));(Dj′),(Dk′′),(Dm′′′))((C'_i), (C''_h), (C'''_l)); (D'_j), (D''_k), (D'''_m))-multimodules. En particulier, si CC est un anneau commutatif, E,F,GE, F, G trois CC-modules, on a un isomorphisme canonique de CC-modules

(E⊗CF)⊗CG→E⊗C(F⊗CG). (E \otimes_C F) \otimes_C G \to E \otimes_C (F \otimes_C G).

Nous allons voir ci-dessous que l’on peut, sous certaines conditions, généraliser la définition du produit tensoriel à une famille de multimodules, ce qui en particulier nous fournira, sous les hypothèses de la prop. 8 (II, p. 64), un Z\mathbf{Z}-module E⊗AF⊗BGE \otimes_A F \otimes_B G, canoniquement isomorphe à chacun des Z\mathbf{Z}-modules (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G et E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G), et auquel on identifiera ces derniers.

9. Produit tensoriel de familles de multimodules

Soit (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} une famille de Z-modules\mathbf{Z}\text{-modules}; on dit qu’une application uu de l’ensemble G=∏λ∈LGλG = \prod_{\lambda \in L} G_\lambda dans un Z\mathbf{Z}-module est multiadditive (ou Z\mathbf{Z}-*multilinéaire*) si (xλ)↦u((xλ))(x_\lambda) \mapsto u((x_\lambda)) est additive par rapport à chacune des variables xλx_\lambda: de façon précise, cela signifie que pour tout μ∈L\mu \in L et tout élément (aλ)∈∏λ≠μGλ(a_\lambda) \in \prod_{\lambda \neq \mu} G_\lambda, on a, en identifiant canoniquement GG à Gμ×∏λ≠μGλG_\mu \times \prod_{\lambda \neq \mu} G_\lambda

u(xμ+yμ,(aλ))=u(xμ,(aλ))+u(yμ,(aλ))pour xμ,yμ dans Gμ. u(x_\mu + y_\mu, (a_\lambda)) = u(x_\mu, (a_\lambda)) + u(y_\mu, (a_\lambda)) \quad \text{pour } x_\mu, y_\mu \text{ dans } G_\mu.

(24)

Cela entraîne en particulier u((xλ))=0u((x_\lambda)) = 0 si un des xλx_\lambda est nul.

Considérons encore le problème d’application universelle où Σ\Sigma est l’espèce de structure de Z\mathbf{Z}-module, et les α\alpha-applications les applications multiadditives de GG dans un Z\mathbf{Z}-module. On en obtient encore une solution en considérant le Z\mathbf{Z}-module C=Z(G)C = \mathbf{Z}^{(G)} des combinaisons linéaires formelles d’éléments de GG à coefficients dans Z\mathbf{Z}, et le sous-Z\mathbf{Z}-module DD de CC engendré par les éléments de la forme

(xμ+yμ,(zλ)λ≠μ)−(xμ,(zλ)λ≠μ)−(yμ,(zλ)λ≠μ) (x_\mu + y_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu}) - (x_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu}) - (y_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu})

où μ∈L\mu \in L, xμ∈Gμx_\mu \in G_\mu, yμ∈Gμy_\mu \in G_\mu et les zλ∈Gλz_\lambda \in G_\lambda (λ≠μ\lambda \neq \mu) sont arbitraires. On appelle produit tensoriel (sur Z\mathbf{Z}) de la famille (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} de Z\mathbf{Z}-modules et on note ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda le Z\mathbf{Z}-module quotient C/DC/D; pour tout élément (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} de GG qui est un élément de la base canonique de CC, on note ⨂λ∈Lxλ\bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda l’image canonique de cet élément dans C/DC/D. Il résulte des définitions précédentes que l’application φ:(xλ)↦⨂λ∈Lxλ\varphi : (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda de GG dans ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda est Z\mathbf{Z}-multilinéaire, et que pour toute application Z\mathbf{Z}-multilinéaire ff de GG dans un Z\mathbf{Z}-module HH, il existe une application Z\mathbf{Z}-linéaire et une seule g:⨂λ∈LGλ→Hg : \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda \to H telle que f=g∘φf = g \circ \varphi; le couple (⨂λ∈LGλ,φ)(\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda, \varphi) résout donc le problème d’application universelle considéré.

Soit (Gλ′)λ∈L(G'_\lambda)_{\lambda \in L} une seconde famille de Z\mathbf{Z}-modules, et pour tout λ∈L\lambda \in L, soit vλ:Gλ→Gλ′v_\lambda : G_\lambda \to G'_\lambda une application Z\mathbf{Z}-linéaire (autrement dit un homomorphisme de groupes commutatifs). Alors l’application

(xλ)↦⨂λ∈Lvλ(xλ) (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda(x_\lambda)

de GG dans ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda est Z\mathbf{Z}-multilinéaire, et définit donc canoniquement une application Z\mathbf{Z}-linéaire de ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda dans ⨂λ∈LGλ′\bigotimes_{\lambda \in L} G'_\lambda, qu’on note ⨂λ∈Lvλ\bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda et qui est telle que

(⨂λ∈Lvλ)(⨂λ∈Lxλ)=⨂λ∈Lvλ(xλ). (\bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda)(\bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda) = \bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda(x_\lambda).

En particulier, considérons, pour un μ∈L\mu \in L, un endomorphisme θ\theta de GμG_\mu; nous désignerons par θ~\tilde{\theta} l’endomorphisme de ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda égal à ⨂λ∈Lvλ\bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda, où l’on prend vμ=θv_\mu = \theta et vλ=1Gλv_\lambda = 1_{G_\lambda} pour λ≠μ\lambda \neq \mu.

Cela étant, supposons donnés un ensemble Ω\Omega, une application

c:ω↦(ρ(ω),σ(ω)) c : \omega \mapsto (\rho(\omega), \sigma(\omega))

de Ω\Omega dans L×LL \times L, et pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega, un endomorphisme pωp_\omega de Gρ(ω)G_{\rho(\omega)}, et un endomorphisme qωq_\omega de Gσ(ω)G_{\sigma(\omega)}; il leur correspond deux endomorphismes p~ω\tilde{p}_\omega et q~ω\tilde{q}_\omega de P=⨂λ∈LGλP = \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda. Soit RR le sous-Z\mathbf{Z}-module de PP engendré par la réunion des images des endomorphismes p~ω−q~ω\tilde{p}_\omega - \tilde{q}_\omega lorsque ω\omega parcourt Ω\Omega. Le Z\mathbf{Z}-module quotient P/RP/R s’appelle le produit tensoriel de la famille (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} relativement à c,p,qc, p, q et se note ⨂(c,p,q)Gλ\bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda; en composant l’homomorphisme canonique P→P/RP \to P/R avec l’application φ:G→⨂λ∈LGλ\varphi : G \to \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda définie ci-dessus, on obtient une application Z\mathbf{Z}-multilinéaire φ(c,p,q):G→⨂(c,p,q)Gλ\varphi_{(c, p, q)} : G \to \bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda et on pose φ(c,p,q)((xλ))=⨂(c,p,q)xλ\varphi_{(c, p, q)}((x_\lambda)) = \bigotimes_{(c, p, q)} x_\lambda ou simplement ⨂(c)xλ\bigotimes_{(c)} x_\lambda. Le couple formé de ⨂(c,p,q)Gλ\bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda et de φ(c,p,q)\varphi_{(c, p, q)} résout le problème d’application universelle suivant: désignons par pˉω\bar{p}_\omega (resp. qˉω\bar{q}_\omega) l’application

(xρ(ω),(xλ)λ≠ρ(ω))↦(pˉω(xρ(ω)),(xλ)λ≠ρ(ω)) (x_{\rho(\omega)}, (x_\lambda)_{\lambda \neq \rho(\omega)}) \mapsto (\bar{p}_\omega(x_{\rho(\omega)}), (x_\lambda)_{\lambda \neq \rho(\omega)})
(resp. (xσ(ω),(xλ)λ≠σ(ω))↦(qˉω(xσ(ω)),(xλ)λ≠σ(ω))(x_{\sigma(\omega)}, (x_\lambda)_{\lambda \neq \sigma(\omega)}) \mapsto (\bar{q}_\omega(x_{\sigma(\omega)}), (x_\lambda)_{\lambda \neq \sigma(\omega)})) de GG dans lui-même. On prend alors pour Σ\Sigma l’espèce de structure de Z\mathbf{Z}-module, et pour α\alpha-applications les applications Z\mathbf{Z}-multilinéaires uu de GG dans un Z\mathbf{Z}-module vérifiant en outre les conditions
(26)(26)
u∘pˉω=u∘qˉωu \circ \bar{p}_\omega = u \circ \bar{q}_\omega
pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega. La démonstration est évidente à partir des définitions précédentes.

Cette construction redonne en particulier celle de E⊗AFE \otimes_A F décrite dans II, p. 51: il faut ici prendre L={1,2}L = \{1, 2\}, G1=EG_1 = E, G2=FG_2 = F, Ω=A\Omega = A; en outre, pour tout ω∈A\omega \in A, on doit poser ρ(ω)=1\rho(\omega) = 1, σ(ω)=2\sigma(\omega) = 2, pˉω\bar{p}_\omega est l’endomorphisme x↦xωx \mapsto x \omega du Z\mathbf{Z}-module EE et qˉω\bar{q}_\omega l’endomorphisme y↦ωyy \mapsto \omega y du Z\mathbf{Z}-module FF.

Soit (Gλ′)λ∈L(G'_\lambda)_{\lambda \in L} une seconde famille de Z\mathbf{Z}-modules; l’application cc restant la même, supposons donnés, pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega, un endomorphisme pω′p'_\omega de Gρ(ω)′G'_{\rho(\omega)} et un endomorphisme qω′q'_\omega de Gσ(ω)′G'_{\sigma(\omega)}. Pour tout λ∈L\lambda \in L, soit alors vλ:Gλ→Gλ′v_\lambda : G_\lambda \to G'_\lambda une application Z\mathbf{Z}-linéaire telle que, pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega, on ait

(27)(27)
vρ(ω)∘pω=pω′∘vρ(ω)etvσ(ω)∘qω=qω′∘vσ(ω)v_{\rho(\omega)} \circ p_\omega = p'_\omega \circ v_{\rho(\omega)} \quad \text{et} \quad v_{\sigma(\omega)} \circ q_\omega = q'_\omega \circ v_{\sigma(\omega)}
(en d’autres termes, pour tout λ∈L\lambda \in L, vλv_\lambda est un morphisme pour les lois d’action sur GλG_\lambda (resp. Gμ′G'_\mu) définies par les pξp_\xi et qηq_\eta (resp. pξ′p'_\xi et qη′q'_\eta), avec ξ\xi et η\eta tels que ρ(ξ)=λ\rho(\xi) = \lambda et σ(η)=λ\sigma(\eta) = \lambda). Alors l’application
u:(xλ)↦⨂(c,p′,q′)vλ(xλ)u : (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{(c, p', q')} v_\lambda(x_\lambda)
de GG dans ⨂(c,p′,q′)Gλ′\bigotimes_{(c, p', q')} G'_\lambda est Z\mathbf{Z}-multilinéaire et vérifie les conditions (26), donc définit une application Z\mathbf{Z}-linéaire de ⨂(c,p′,q)Gλ\bigotimes_{(c, p', q)} G_\lambda dans ⨂(c,p′,q′)Gλ′\bigotimes_{(c, p', q')} G'_\lambda, que nous noterons simplement ⨂(c)vλ\bigotimes_{(c)} v_\lambda s’il n’en résulte pas de confusion.

Nous allons maintenant donner une propriété d’« associativité » pour les produits tensoriels généraux ainsi définis. Soit (Li)1≤i≤n(L_i)_{1 \leq i \leq n} une partition finie de LL; pour tout indice ii, désignons par Ωi\Omega_i la partie de Ω\Omega formée des éléments tels que l’on ait ρ(ω)∈Li\rho(\omega) \in L_i et σ(ω)∈Li\sigma(\omega) \in L_i; il est clair que les Ωi\Omega_i sont deux à deux disjoints; nous poserons Ω′=Ω−(⋃iΩi)\Omega' = \Omega - (\bigcup_i \Omega_i). Pour chaque indice ii, nous désignerons par c(i)c^{(i)} l’application ω↦(ρ(ω),σ(ω))\omega \mapsto (\rho(\omega), \sigma(\omega)) de Ωi\Omega_i dans Li×LiL_i \times L_i; pour ω∈Ωi\omega \in \Omega_i, nous écrirons pω(i)p_{\omega}^{(i)} et qω(i)q_{\omega}^{(i)} au lieu de pωp_\omega et qωq_\omega. On a donc pour chaque ii un produit tensoriel « partiel »

Fi=⨂(c(i),p(i),q(i))Gλ. F_i = \bigotimes_{(c^{(i)}, p^{(i)}, q^{(i)})} G_\lambda.

Nous ferons en outre l’hypothèse de « permutabilité » suivante:

(P) Si ω∈Ω′\omega \in \Omega', pωp_\omega (resp. qωq_\omega) permute avec chacun des endomorphismes pξp_\xi et qηq_\eta de Gρ(ω)G_{\rho(\omega)} (resp. Gσ(ω)G_{\sigma(\omega)}) tels que ξ∉Ω′,η∉Ω′\xi \notin \Omega', \eta \notin \Omega' et ρ(ω)=ρ(ξ)=σ(η)\rho(\omega) = \rho(\xi) = \sigma(\eta) (resp. σ(ω)=ρ(ξ)=σ(η)\sigma(\omega) = \rho(\xi) = \sigma(\eta)).

Pour chaque ω∈Ω′\omega \in \Omega', soit ii l’indice tel que ρ(ω)∈Li\rho(\omega) \in L_i; considérons alors la famille (vλ)λ∈Li(v_\lambda)_{\lambda \in L_i} où vρ(ω)=pωv_{\rho(\omega)} = p_\omega et vλ=1Gλv_\lambda = 1_{G_\lambda} pour λ≠ρ(ω)\lambda \neq \rho(\omega); l’hypothèse (P) entraîne que la famille (vλ)(v_\lambda) vérifie les conditions (27) de II, p. 67 (où on doit remplacer p′p' et pp par p(i)p^{(i)}, q′q' et qq par q(i)q^{(i)}, ω\omega par un élément ξ\xi parcourant Ωi\Omega_i); on en déduit donc un endomorphisme ⨂(c(i))vλ=rω\bigotimes_{(c^{(i)})} v_\lambda = r_\omega du Z\mathbf{Z}-module FiF_i. De la même manière, on définit un endomorphisme sωs_\omega du Z\mathbf{Z}-module FjF_j à partir de qωq_\omega, jj étant l’indice tel que σ(ω)∈Lj\sigma(\omega) \in L_j; posons enfin d(ω)=(i,j)d(\omega) = (i, j). On peut alors définir le produit tensoriel ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i, et l’application canonique correspondante

φ(d,r,s):∏i=1nFi→⨂(d,r,s)Fi. \varphi_{(d, r, s)} : \prod_{i=1}^n F_i \to \bigotimes_{(d, r, s)} F_i.

On a d’autre part, pour chaque ii, l’application canonique ψi=φ(c(i),p(i),q(i)):∏λ∈LiGλ→Fi\psi_i = \varphi_{(c^{(i)}, p^{(i)}, q^{(i)})} : \prod_{\lambda \in L_i} G_\lambda \to F_i; utilisant l’associativité du produit d’ensembles, on en déduit une application Z\mathbf{Z}-multilinéaire ψ=φ(d,r,s)∘(ψi)\psi = \varphi_{(d, r, s)} \circ (\psi_i) de GG dans ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i. Nous allons montrer que le couple (⨂(d,r,s)Fi,ψ)(\bigotimes_{(d, r, s)} F_i, \psi) est solution du même problème universel que (⨂(c,p,q)Gλ,φ(c,p,q))(\bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda, \varphi_{(c, p, q)}), d’où résultera l’existence d’un unique isomorphisme de Z\mathbf{Z}*-modules*

θ:⨂(c,p,q)Gλ→⨂(d,r,s)Fi \theta : \bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda \to \bigotimes_{(d, r, s)} F_i

tel que ψ=θ∘φ(c,p,q)\psi = \theta \circ \varphi_{(c, p, q)} (E, IV, p. 23).

Par récurrence sur nn, on se ramène au cas n=2n = 2; nous écrirons pour simplifier F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2 et y1⊗(d)y2y_1 \otimes_{(d)} y_2 au lieu de ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i et ⨂(d,r,s)yi\bigotimes_{(d, r, s)} y_i. Considérons l’application de GG dans F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2

h:(xλ)↦(⨂(c(1))xλ)⊗(d)(⨂(c(2))xλ). h : (x_\lambda) \mapsto \left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) \otimes_{(d)} \left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right).

Elle est évidemment Z\mathbf{Z}-multilinéaire; montrons qu’elle satisfait aux conditions (26) de II, p. 67 pour tout ω∈Ω\omega \in \Omega. C’est évident si ω∈Ω1\omega \in \Omega_1 ou ω∈Ω2\omega \in \Omega_2; dans le cas contraire, en supposant pour fixer les idées que l’on ait ρ(ω)∈L1\rho(\omega) \in L_1 et σ(ω)∈L2\sigma(\omega) \in L_2, les valeurs de h∘pˉωh \circ \bar{p}_\omega et h∘qˉωh \circ \bar{q}_\omega pour (xλ)(x_\lambda) sont respectivement

(rω(⨂(c(1))xλ))⊗(d)(⨂(c(2))xλ)et(⨂(c(1))xλ)⊗(d)(sω(⨂(c(2))xλ)) (r_\omega (\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda)) \otimes_{(d)} (\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda) \quad \text{et} \quad (\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda) \otimes_{(d)} (s_\omega (\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda))

qui sont encore égales par définition de F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2.

Cela étant, soit uu une application Z\mathbf{Z}-multilinéaire de GG dans un Z\mathbf{Z}-module HH, vérifiant les conditions (26) de II, p. 67; nous allons définir une application Z\mathbf{Z}-linéaire v:F1⊗(d)F2→Hv : F_1 \otimes_{(d)} F_2 \to H telle que u=v∘hu = v \circ h, et cela prouvera notre assertion (en répétant le raisonnement de II, p. 51, cor. 1). Pour tout z2=(xλ)λ∈L2z_2 = (x_\lambda)_{\lambda \in L_2}, considérons l’application « partielle » de ∏λ∈L1Gλ\prod_{\lambda \in L_1} G_\lambda dans HH

u(.,z2):(xλ)λ∈L1↦u((xλ)λ∈L1,z2)=u((xλ)λ∈L). u(., z_2) : (x_\lambda)_{\lambda \in L_1} \mapsto u((x_\lambda)_{\lambda \in L_1}, z_2) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L}).

Il est clair qu’elle est Z\mathbf{Z}-multilinéaire et vérifie les conditions (26) de II, p. 67 pour ω∈Ω1\omega \in \Omega_1; par définition, il existe donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire y1↦w1(y1,z2)y_1 \mapsto w_1(y_1, z_2) de F1F_1 dans HH telle que

w1(⨂(c(1))xλ,z2)=u((xλ)λ∈L1,z2). w_1(\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda, z_2) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L_1}, z_2).

Considérons ensuite l’application

u2:(xλ)λ∈L2↦w1(.,(xλ)λ∈L2) u_2 : (x_\lambda)_{\lambda \in L_2} \mapsto w_1(., (x_\lambda)_{\lambda \in L_2})

de ∏λ∈L2Gλ\prod_{\lambda \in L_2} G_\lambda dans HomZ(F1,H)\mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(F_1, H); elle est évidemment Z\mathbf{Z}-multilinéaire et vérifie les conditions (26) de II, p. 67 pour ω∈Ω2\omega \in \Omega_2, en vertu de l’hypothèse sur uu et des relations (28) et (29), et compte tenu de ce que les éléments de la forme ⨂(c(1))xλ\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda engendrent le Z\mathbf{Z}-module F1F_1. Il existe donc une application Z\mathbf{Z}-linéaire

w2:F2→HomZ(F1,H) w_2 : F_2 \to \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(F_1, H)

telle que

w2(⨂(c(2))xλ)=u2((xλ)λ∈L2) w_2(\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda) = u_2((x_\lambda)_{\lambda \in L_2})

ou encore

(w2(⨂(c(2))xλ))(⨂(c(1))xλ)=u((xλ)λ∈L). (w_2(\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda))(\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L}).

Considérons alors, pour y1∈F1,y2∈F2y_1 \in F_1, y_2 \in F_2, l’élément de HH

w(y1,y2)=(w2(y2))(y1). w(y_1, y_2) = (w_2(y_2))(y_1).

Il est clair que ww est une application Z\mathbf{Z}-bilinéaire de F1×F2F_1 \times F_2 dans HH. Montrons en outre que pour tout ω∈Ω′\omega \in \Omega', on a (en supposant pour fixer les idées, que ρ(ω)∈L1\rho(\omega) \in L_1 et σ(ω)∈L2\sigma(\omega) \in L_2)

w(rω(y1),y2)=w(y1,sω(y2)). w(r_\omega(y_1), y_2) = w(y_1, s_\omega(y_2)).

Il suffit de vérifier cette relation lorsque y1y_1 (resp. y2y_2) est de la forme ⨂(c(1))xλ\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda (resp. ⨂(c(2))xλ\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda), ces éléments engendrant le Z\mathbf{Z}-module F1F_1 (resp. F2F_2). Mais par définition,

rω(⨂(c(1))xλ)=⨂(c(1))xλ′, ouˋ xρ(ω)′=pω(xρ(ω)) et xλ′=xλ pour λ≠ρ(ω) dans L1; r_\omega \left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) = \bigotimes_{(c^{(1)})} x'_\lambda, \text{ où } x'_{\rho(\omega)} = p_\omega(x_{\rho(\omega)}) \text{ et } x'_\lambda = x_\lambda \text{ pour } \lambda \neq \rho(\omega) \text{ dans } L_1;
même sω(⨂(c(2))xλ)=⨂(c(2))xλ′′s_\omega \left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) = \bigotimes_{(c^{(2)})} x''_\lambda, où xσ(ω)′′=qω(xσ(ω))x''_{\sigma(\omega)} = q_\omega(x_{\sigma(\omega)}) et xλ′′=xλx''_\lambda = x_\lambda pour λ≠σ(ω)\lambda \neq \sigma(\omega) dans L2L_2; compte tenu de (30) et (31), la relation (32) se déduit alors de (26) (II, p. 67). Il existe donc une application Z-lineˊaire v\mathbf{Z}\text{-linéaire} \ v de F1⊗(a)F2F_1 \otimes_{(a)} F_2 dans HH telle que v(y1⊗(a)y2)=w(y1,y2)v(y_1 \otimes_{(a)} y_2) = w(y_1, y_2), et il résulte alors de (30) et (31) (II. p. 69) que l’on a bien v∘h=uv \circ h = u.

Le cas particulier le plus important du produit tensoriel général défini ci-dessus est le suivant: on part d’une famille (Ai)1≤i≤n−1(A_i)_{1 \leq i \leq n-1} d’anneaux, et d’une famille (Ei)1≤i≤n(E_i)_{1 \leq i \leq n}, où E1E_1 est un A1A_1-module à droite, EnE_n un An−1A_{n-1}-module à gauche et pour 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1, EiE_i est un (Ai−1,Ai)-bimodule(A_{i-1}, A_i)\text{-bimodule}. On applique alors la définition ci-dessus comme suit: LL est l’ensemble {1,n}\{1, n\}, Gi=EiG_i = E_i, Ω\Omega est l’ensemble somme des AiA_i (1≤i≤n−11 \leq i \leq n-1). Pour ω∈Ai\omega \in A_i (1≤i≤n−11 \leq i \leq n-1), on prend ρ(ω)=i\rho(\omega) = i, σ(ω)=i+1\sigma(\omega) = i+1, pωp_\omega est l’endomorphisme x↦xωx \mapsto x \omega du Z\mathbf{Z}-module EiE_i et qωq_\omega l’endomorphisme y↦ωyy \mapsto \omega y du Z\mathbf{Z}-module Ei+1E_{i+1}; on note le produit tensoriel correspondant

E1⊗A1E2⊗A2E3⊗⋯⊗An−2En−1⊗An−1En E_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes_{A_2} E_3 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-2}} E_{n-1} \otimes_{A_{n-1}} E_n
(notation où l’on se permet parfois de supprimer les AiA_i), et l’élément ⨂(c,p,q)xi\bigotimes_{(c, p, q)} x_i de ce produit tensoriel, pour une famille (xi)(x_i) telle que xi∈Eix_i \in E_i pour 1≤i≤n1 \leq i \leq n, s’écrit x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n si aucune confusion n’en résulte; on emploie une notation analogue pour une application Z-lineˊaire ⨂(c)vi\mathbf{Z}\text{-linéaire} \ \bigotimes_{(c)} v_i. L’hypothèse (P) est vérifiée pour toute partition de {1,n}\{1, n\}, en raison de l’hypothèse que les EiE_i sont des bimodules pour 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1. Lorsque n=3n = 3, on a ainsi défini le Z\mathbf{Z}-module E⊗AF⊗BGE \otimes_A F \otimes_B G auquel il a été fait allusion dans II, p. 65, et retrouvé la prop. 8 (II, p. 64).

Lorsque chacun des EiE_i est un multimodule (dont, pour 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1, Ai−1A_{i-1} est un des anneaux opérant à gauche et AiA_i un des anneaux opérant à droite, avec des conditions analogues pour i=1i = 1 et i=ni = n) on définit comme dans II, p. 54, sur E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n une structure de multimodule par rapport à tous les anneaux autres que les AiA_i qui opèrent sur les EiE_i (1≤i≤n1 \leq i \leq n).

En particulier, soient CC un anneau commutatif, (Ei)1≤i≤n(E_i)_{1 \leq i \leq n} une famille de C-modulesC\text{-modules}. En munissant E1E_1 et EnE_n de deux structures de CC-module identiques à la structure donnée, EiE_i pour 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1 de trois structures de CC-modules identiques à la structure donnée, on définit sur le produit tensoriel

E1⊗CE2⊗CE3⊗⋯⊗CEn−1⊗CEn E_1 \otimes_C E_2 \otimes_C E_3 \otimes \cdots \otimes_C E_{n-1} \otimes_C E_n
nn structures de CC-module deux à deux compatibles, et qui sont en fait identiques, car pour γ∈C\gamma \in \mathbf{C} et (xi)∈∏i=1nEi(x_i) \in \prod_{i=1}^n E_i, on a par définition (γx1)⊗x2⊗⋯⊗xn=x1⊗(γx2)⊗⋯⊗xn=⋯=x1⊗x2⊗⋯⊗(γxn)(\gamma x_1) \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n = x_1 \otimes (\gamma x_2) \otimes \cdots \otimes x_n = \cdots = x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes (\gamma x_n).

Lorsqu’on parle du produit tensoriel (34) (II, p. 70) comme d’un C-module, c’est toujours de cette structure qu’il est question, sauf mention expresse du contraire, et le produit tensoriel (34) se note aussi ⨂1≤i≤nEi\bigotimes_{1 \leq i \leq n} E_i s’il n’en résulte pas de confusion. Pour tout C-module G, les applications Z\mathbf{Z}-multilinéaires de ∏i=1nEi\prod_{i=1}^n E_i dans G qui, pour tout indice ii, vérifient la relation

f(x1,…,xi−1,γxi,xi+1,…,xn)=γf(x1,…,xn) f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \gamma x_i, x_{i+1}, \ldots, x_n) = \gamma f(x_1, \ldots, x_n)
pour γ∈C\gamma \in \mathbf{C} et (xi)∈∏iEi(x_i) \in \prod_i E_i sont alors dites C-multilinéaires et forment un C-module que l’on note Ln(E1,…,En;G)\mathscr{L}_n(E_1, \ldots, E_n; G); la propriété universelle du produit tensoriel (34) (II, p.70) permet donc de définir un isomorphisme canonique de C-modules
Ln(E1,…,En;G)→HomC(E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn,G) \mathscr{L}_n(E_1, \ldots, E_n; G) \to \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, G)
qui à toute application C-multilinéaire ff, fait correspondre l’application C-linéaire gg telle que
f(x1,…,xn)=g(x1⊗x2⊗⋯⊗xn). f(x_1, \ldots, x_n) = g(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n).
Une application C-multilinéaire de E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n dans C\mathbf{C} est encore appelée forme nn-linéaire.

Soit (Fi)1≤i≤n(F_i)_{1 \leq i \leq n} une seconde famille de C-modules; pour tout système de nn applications C-linéaires ui:Ei→Fiu_i : E_i \to F_i, u1⊗u2⊗⋯⊗unu_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n (aussi notée ⨂1≤i≤nui\bigotimes_{1 \leq i \leq n} u_i) est une application C-linéaire de

E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn dans F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn. E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n \text{ dans } F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n.
En outre, (u1,…,un)↦u1⊗u2⊗⋯⊗un(u_1, \ldots, u_n) \mapsto u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n est une application C-multilinéaire de ∏iHomC(Ei,Fi)\prod_i \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_i, F_i) dans
HomC(E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn,F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn). \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n).
Il correspond donc canoniquement à cette dernière application une application C-linéaire dite canonique
HomC(E1,F1)⊗CHomC(E2,F2)⊗⋯⊗CHomC(En,Fn) \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_1, F_1) \otimes_\mathbf{C} \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_2, F_2) \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_n, F_n)
→HomC(E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn,F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn) \to \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n)
généralisant celle définie dans II, p. 57 pour n=2n = 2.

La propriété générale d’associativité vue plus haut se particularise ici comme suit. Étant donnée une partition (Jk)1≤k≤m(J_k)_{1 \leq k \leq m} de l’intervalle [1,n][1, n] de N\mathbf{N}, soit, pour chaque kk, FkF_k le produit tensoriel Ei1⊗CEi2⊗⋯⊗CEirE_{i_1} \otimes_\mathbf{C} E_{i_2} \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_{i_r}, où (i1,…,ir)(i_1, \ldots, i_r) est la suite strictement croissante des éléments de JkJ_k. Alors on a un isomorphisme canonique (dit « isomorphisme d’associativité ») de C-modules

F1⊗CF2⊗⋯⊗CFm→E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn F_1 \otimes_C F_2 \otimes \cdots \otimes_C F_m \to E_1 \otimes_C E_2 \otimes \cdots \otimes_C E_n

qui, avec les notations précédentes, fait correspondre le produit tensoriel x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n (où xi∈Eix_i \in E_i pour tout ii) au produit tensoriel

y1⊗y2⊗⋯⊗ym,ouˋ yk=xi1⊗xi2⊗⋯⊗xir. y_1 \otimes y_2 \otimes \cdots \otimes y_m,\quad \text{où } y_k = x_{i_1} \otimes x_{i_2} \otimes \cdots \otimes x_{i_r}.

En particulier, si π\pi est une permutation de {1,n}\{1, n\}, en posant Jk={π(k)}J_k = \{\pi(k)\} pour 1≤k≤n1 \leq k \leq n, on obtient un isomorphisme canonique (dit « de commutativité »)

Eπ(1)⊗CEπ(2)⊗⋯⊗CEπ(n)→E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn E_{\pi(1)} \otimes_C E_{\pi(2)} \otimes \cdots \otimes_C E_{\pi(n)} \to E_1 \otimes_C E_2 \otimes \cdots \otimes_C E_n

qui fait correspondre x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n à xπ(1)⊗xπ(2)⊗⋯⊗xπ(n)x_{\pi(1)} \otimes x_{\pi(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\pi(n)}. Nous identifierons souvent les divers produits tensoriels qui se correspondent par ces isomorphismes canoniques.

Pour 1≤i≤n1 \leq i \leq n, supposons que EiE_i admette une base (bλi(i))λi∈Li(b^{(i)}_{\lambda_i})_{\lambda_i \in L_i}; par récurrence sur nn, il résulte de II, p. 62, cor. 2, que la famille (bλ1(1)⊗bλ2(2)⊗⋯⊗bλn(n))(b^{(1)}_{\lambda_1} \otimes b^{(2)}_{\lambda_2} \otimes \cdots \otimes b^{(n)}_{\lambda_n}), où (λ1,...,λn)(\lambda_1, ..., \lambda_n) parcourt ∏1≤i≤nLi\prod_{1 \leq i \leq n} L_i, est une base de ⨂1≤i≤nEi\bigotimes_{1 \leq i \leq n} E_i, qu’on appelle parfois le produit tensoriel des bases (bλi(i))(b^{(i)}_{\lambda_i}) considérées.

Remarque 1

Les considérations précédentes relatives au cas des modules sur un anneau commutatif se généralisent comme dans II, p. 57, Remarque 2 lorsqu’il s’agit d’un produit tensoriel E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n où les anneaux AiA_i ne sont pas nécessairement commutatifs, et où l’on a pour chaque ii un homomorphisme ρi:C→Ai\rho_i : C \to A_i d’un même anneau commutatif CC tel que: 1° ρi(C)\rho_i(C) est contenu dans le centre de AiA_i; 2° pour 2≤i≤n−12 \leq i \leq n - 1, les structures de CC-module sur EiE_i obtenues à l’aide des homomorphismes ρi−1\rho_{i-1} et ρi\rho_i coïncident. On obtient alors sur E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n une structure de CC*-module*, et des applications canoniques analogues à (13) (II, p. 57), que nous laissons au lecteur le soin d’expliciter.

Remarque 2

Soient A,BA, B deux anneaux, EE un AA-module à droite, E′E' un AA-module à gauche, FF un BB-module à droite, F′F' un BB-module à gauche. Les applications Z\mathbf{Z}-*bilinéaires* de (E⊗AE′)×(F⊗BF′)(E \otimes_A E') \times (F \otimes_B F') dans un Z\mathbf{Z}-module GG sont alors en correspondance biunivoque avec les applications Z\mathbf{Z}-*multilinéaires* ff de E×E′×F×F′E \times E' \times F \times F' dans GG, satisfaisant aux conditions

{f(xλ,x′,y,y′)=f(x,λx′,y,y′)f(x,x′,yμ,y′)=f(x,x′,y,μy′) \begin{cases} f(x \lambda, x', y, y') = f(x, \lambda x', y, y') \\ f(x, x', y \mu, y') = f(x, x', y, \mu y') \end{cases}

pour λ∈A,μ∈B,x∈E,x′∈E′,y∈F,y′∈F′\lambda \in A, \mu \in B, x \in E, x' \in E', y \in F, y' \in F'. En effet, les constructions générales données dans ce n° ramènent à définir un isomorphisme canonique de Z\mathbf{Z}-modules entre (E⊗AE′)⊗Z(F⊗BF′)(E \otimes_A E') \otimes_{\mathbf{Z}} (F \otimes_B F') et E⊗AE′⊗ZF⊗BF′E \otimes_A E' \otimes_{\mathbf{Z}} F \otimes_B F', qui résulte de la propriété d’associativité des produits tensoriels de la forme (33).

Exercices

See the exercises for § 3.

Transcribed from the printed volume. Not translated.