Bourbaki

§ 3. Tích tenxơ

1. Tích tenxơ của hai môđun

Cho G1,G2G_1, G_2 là hai Z\mathbf{Z}-môđun; một ánh xạ uu từ tập hợp G=G1×G2G = G_1 \times G_2 vào một Z\mathbf{Z}-môđun được gọi là song cộng tính (hay Z\mathbf{Z}-song tuyến tính) nếu u(x1,x2)u(x_1, x_2) là "cộng tính đối với x1x_1 và đối với x2x_2"; nói chính xác, điều này có nghĩa là, với x1,y1x_1, y_1 trong G1G_1, x2,y2x_2, y_2 trong G2G_2,

u(x1+y1,x2)=u(x1,x2)+u(y1,x2) u(x_1 + y_1, x_2) = u(x_1, x_2) + u(y_1, x_2)
u(x1,x2+y2)=u(x1,x2)+u(x1,y2). u(x_1, x_2 + y_2) = u(x_1, x_2) + u(x_1, y_2).

Chú ý rằng điều này đặc biệt kéo theo u(0,x2)=u(x1,0)=0u(0, x_2) = u(x_1, 0) = 0 với mọi x1∈G1,x2∈G2x_1 \in G_1, x_2 \in G_2.

Cho A là một vành, E là một A-môđun phải và F là một A-môđun trái. Ta sẽ xét bài toán ánh xạ phổ quát (Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 1) trong đó Σ\Sigma là loài cấu trúc Z\mathbf{Z}-môđun (khi đó các cấu xạ là các ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính, nói cách khác, các đồng cấu nhóm cộng) và các ánh xạ α\alpha là các ánh xạ ff từ E×FE \times F vào một Z\mathbf{Z}-môđun G vừa là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính vừa còn thỏa mãn, với mọi x∈E,y∈Fx \in E, y \in F và λ∈A\lambda \in A

(1)(1)
f(xλ,y)=f(x,λy). f(x \lambda, y) = f(x, \lambda y).

Ta chứng minh rằng bài toán này có nghiệm. Để làm điều đó ta xét Z\mathbf{Z}-môđun C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)} của các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của E×FE \times F với hệ số trong Z\mathbf{Z} (§ 1, no. 11), một cơ sở của nó có thể được xem là gồm các cặp có thứ tự (x,y)(x, y), trong đó x∈Ex \in E và y∈Fy \in F. Cho D là môđun con-Z\mathbf{Z} của C sinh bởi các phần tử thuộc một trong các kiểu sau:

(2)(2)
{(x1+x2,y)−(x1,y)−(x2,y)(x,y1+y2)−(x,y1)−(x,y2)(xλ,y)−(x,λy) \begin{cases} (x_1 + x_2, y) - (x_1, y) - (x_2, y) \\ (x, y_1 + y_2) - (x, y_1) - (x, y_2) \\ (x \lambda, y) - (x, \lambda y) \end{cases}

trong đó x,x1,x2x, x_1, x_2 thuộc EE, y,y1,y2y, y_1, y_2 thuộc FF và λ\lambda thuộc AA.

Định nghĩa 1

Tích tenxơ của A-môđun phải E và A-môđun trái F*, ký hiệu là E⊗AFE \otimes_A F hoặc E⊗AFE \otimes_A F (hoặc đơn giản là E⊗FE \otimes F nếu không sợ nhầm lẫn) là thương Z\mathbf{Z}-môđun C/DC/D (thương của Z\mathbf{Z}-môđun C gồm các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của E×FE \times F với các hệ số trong Z\mathbf{Z}, theo môđun con DD sinh bởi các phần tử thuộc một trong các kiểu (2)). *Với x∈Ex \in E và y∈Fy \in F, phần tử của E⊗AFE \otimes_A F là ảnh chính tắc của phần tử (x,y)(x, y) của C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)} được ký hiệu bởi x⊗yx \otimes y và được gọi là tích tenxơ của xx và yy.

Ánh xạ (x,y)↦x⊗y(x, y) \mapsto x \otimes y từ E×FE \times F vào E⊗AFE \otimes_A F được gọi là chính tắc. Đó là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính thỏa mãn các điều kiện (1).

Ta chứng minh rằng tích tenxơ E⊗AFE \otimes_A F và ánh xạ chính tắc ở trên tạo thành một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đã nêu trước đó. Chính xác hơn:

Mệnh đề 1

(a) *Cho gg là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính từ E⊗AFE \otimes_A F vào một Z\mathbf{Z}-môđun GG. Ánh xạ (x,y)↦f(x,y)=g(x⊗y)(x, y) \mapsto f(x, y) = g(x \otimes y) từ E×FE \times F vào GG là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1).

(b) Ngược lại, cho ff là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính từ E×FE \times F vào một Z\mathbf{Z}-môđun GG thỏa mãn các điều kiện (1). Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính gg từ E⊗AFE \otimes_A F vào GG sao cho f(x,y)=g(x⊗y)f(x, y) = g(x \otimes y) với x∈E,y∈Fx \in E, y \in F.

Nếu ϕ\phi ký hiệu ánh xạ chính tắc từ E×FE \times F vào E⊗AFE \otimes_A F, thì f=g∘ϕf = g \circ \phi; do đó suy ra (a). Để chỉ ra (b), ta chú ý rằng, theo ký hiệu của Định nghĩa 1, ff kéo dài thành một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính fˉ\bar{f} từ CC vào GG (§ 1, no. 11, Mệnh đề 17). Do các hệ thức (1), fˉ\bar{f} bằng không trên mọi phần tử của CC thuộc một trong các kiểu (2), và vì thế trên DD. Vậy nên tồn tại một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính gg từ C/D=E⊗AFC/D = E \otimes_A F vào GG sao cho fˉ=g∘ψ\bar{f} = g \circ \psi, trong đó ψ:C→C/D\psi : C \to C/D là đồng cấu chính tắc (§ 1, no. 8, Nhận xét). Tính duy nhất của gg là ngay lập tức vì E⊗AFE \otimes_A F được sinh, như một Z\mathbf{Z}-môđun, bởi các phần tử có dạng x⊗yx \otimes y.

Mệnh đề 1 xác định một đẳng cấu chính tắc từ Z\mathbf{Z}-môđun các ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính ff từ E×FE \times F vào GG, thỏa mãn các điều kiện (1), lên Z\mathbf{Z}-môđun HomZ(E⊗AF,G)\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, G).

Khi A=ZA = \mathbf{Z}, các điều kiện (1) tự động được thỏa mãn đối với mọi ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính ff và môđun con DD của CC đã được sinh bởi các phần tử thuộc hai kiểu đầu tiên trong (2).

Bây giờ nếu trở lại trường hợp tổng quát và E′E' và F′F' lần lượt ký hiệu các Z\mathbf{Z}-môđun nền của EE và FF, thì nhận xét trên và Định nghĩa 1 chỉ ra ngay lập tức rằng Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F có thể được đồng nhất một cách chính tắc với thương của Z\mathbf{Z}-môđun E′⊗ZF′E' \otimes_{\mathbf{Z}} F' bởi môđun con-Z\mathbf{Z} sinh bởi các phần tử có dạng (xλ)⊗y−x⊗(λy)(x \lambda) \otimes y - x \otimes (\lambda y), trong đó xx chạy qua EE, yy chạy qua FF và λ\lambda chạy qua AA.

Hệ quả 1

Cho HH là một Z\mathbf{Z}-môđun và h:E×F→Hh : E \times F \to H là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính thỏa mãn các điều kiện (1) và sao cho HH được sinh bởi h(E×F)h(E \times F). Giả sử rằng với mọi Z\mathbf{Z}-môđun GG và mọi ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính ff từ E×FE \times F vào GG thỏa mãn (1)* tồn tại một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính g:H→Gg : H \to G sao cho f=g∘hf = g \circ h. Khi đó, nếu ϕ\phi ký hiệu ánh xạ chính tắc từ E×FE \times F vào E⊗AFE \otimes_A F, thì tồn tại một và chỉ một đẳng cấu θ\theta từ E⊗AFE \otimes_A F lên HH sao cho h=θ∘ϕh = \theta \circ \phi.

Giả thiết rằng h(E×F)h(E \times F) sinh ra HH kéo theo tính duy nhất của gg; khi đó hệ quả này chỉ là tính chất duy nhất tổng quát của một nghiệm của một bài toán ánh xạ phổ quát (Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 1).

Hệ quả 2

Cho* E0E^0 (resp. F0F^0) ký hiệu môđun EE (resp. FF) được xét như một môđun trái (resp. phải) trên vành đối A0A^0; khi đó tồn tại một và chỉ một Z\mathbf{Z}*-môđun đẳng cấu* σ:E⊗AF→F0⊗A0E0\sigma : E \otimes_A F \to F^0 \otimes_{A^0} E^0 sao cho σ(x⊗y)=y⊗x\sigma(x \otimes y) = y \otimes x với x∈Ex \in E và y∈Fy \in F ("tính giao hoán" của các tích tenxơ).

Theo định nghĩa của các cấu trúc A0A^0-môđun trên E0E^0 và F0F^0, ánh xạ (x,y)↦y⊗x(x, y) \mapsto y \otimes x từ E×FE \times F vào F0⊗A0E0F^0 \otimes_{A^0} E^0 là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1), do đó tồn tại duy nhất ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính σ\sigma. Tương tự, xác định được một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính τ:F0⊗A0E0→E⊗AF\tau : F^0 \otimes_{A^0} E^0 \to E \otimes_A F sao cho τ(y⊗x)=x⊗y\tau(y \otimes x) = x \otimes y và rõ ràng σ\sigma và τ\tau là các đẳng cấu nghịch đảo của nhau.

Nhận xét

Tích tenxơ của các môđun khác không có thể bằng không: ví dụ, lấy hai Z\mathbf{Z}-môđun E=Z/2ZE = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} và F=Z/3ZF = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}, ta có 2x=02x = 0 và 3y=03y = 0 với mọi x∈Ex \in E và y∈Fy \in F; do đó, trong E⊗ZFE \otimes_{\mathbf{Z}} F,

x⊗y=3(x⊗y)−2(x⊗y)=x⊗(3y)−(2x)⊗y=0 x \otimes y = 3(x \otimes y) - 2(x \otimes y) = x \otimes (3y) - (2x) \otimes y = 0
với mọi xx và yy (xem no. 6, Hệ quả 4 của Mệnh đề 6).

2. Tích tenxơ của hai ánh xạ tuyến tính

Cho AA là một vành, E,E′E, E' là hai AA-môđun phải, F,F′F, F' là hai AA-môđun trái và u:E→E′u : E \to E' và v:F→F′v : F \to F' là hai ánh xạ tuyến tính AA. Dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ

(x,y)↦u(x)⊗v(y) (x, y) \mapsto u(x) \otimes v(y)
từ E×FE \times F vào E′⊕AF′E' \oplus_A F' là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1) của no. 1. Do đó theo Mệnh đề 1 của no. 1 tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính Z\mathbf{Z} w:E⊗AF→E′⊗AF′w : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F' sao cho
w(x⊗y)=u(x)⊗v(y) w(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)
với x∈E,y∈Fx \in E, y \in F. Ánh xạ này được ký hiệu là u⊗vu \otimes v (khi không thể có sự lẫn lộn) và được gọi là tích tenxơ của các ánh xạ tuyến tính uu và vv.

Từ (3) suy ra ngay lập tức rằng (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v là một ánh xạ Z-song tuyeˆˊn tıˊnh\mathbf{Z}\text{-song tuyến tính} gọi là chính tắc

Hom⁡A(E,E′)×Hom⁡A(F,F′)→Hom⁡Z(E⊗AF,E′⊗AF′). \operatorname{Hom}_A(E, E') \times \operatorname{Hom}_A(F, F') \to \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, E' \otimes_A F').

Theo Mệnh đề 1 của no. 1, tương ứng với nó có một ánh xạ tuyến tính Z\mathbf{Z} gọi là chính tắc

(4)

Hom⁡A(E,E′)⊗ZHom⁡A(F,F′)→Hom⁡Z(E⊗AF,E′⊗AF′) \operatorname{Hom}_A(E, E') \otimes_{\mathbf{Z}} \operatorname{Hom}_A(F, F') \to \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(E \otimes_A F, E' \otimes_A F')
ánh xạ này gắn với mọi phần tử u⊗vu \otimes v của tích tenxơ ánh xạ tuyến tính u⊗v:E⊗AF→E′⊗AF′u \otimes v : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F'. Chú ý rằng ánh xạ chính tắc (4) không nhất thiết là đơn ánh cũng không nhất thiết là toàn ánh. Vì vậy ký hiệu u⊗vu \otimes v có thể gây ra sự lẫn lộn và ngữ cảnh sẽ cần chỉ rõ nó ký hiệu một phần tử của tích tenxơ hay một ánh xạ tuyến tính.

Hơn nữa, cho E′′E'' là một AA-môđun phải, F′′F'' là một AA-môđun trái và u′:E′→E′′u' : E' \to E'', v′:F′→F′′v' : F' \to F'' là các ánh xạ tuyến tính AA; từ (3) suy ra rằng (5)

(u′∘u)⊗(v′∘v)=(u′⊗v′)∘(u⊗v). (u' \circ u) \otimes (v' \circ v) = (u' \otimes v') \circ (u \otimes v).

3. Thay đổi vành

Mệnh đề 2

Cho A,BA, B là hai vành, ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành và EE (resp. FF) là một AA-môđun phải (resp. trái). Khi đó tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính Z\mathbf{Z}* (6)

ϕ:ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)→E⊗AF \phi : \rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) \to E \otimes_A F
\* sao cho, với mọi x∈Ex \in E và y∈Fy \in F, ảnh qua ϕ\phi của phần tử x⊗yx \otimes y của ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)\rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) là phần tử x⊗yx \otimes y của E⊗AFE \otimes_A F; ánh xạ tuyến tính Z\mathbf{Z} này là toàn ánh.

Ta xét ánh xạ (x,y)↦x⊗y(x, y) \mapsto x \otimes y từ ρ∗(E)×ρ∗(F)\rho_*(E) \times \rho_*(F) vào E⊗AFE \otimes_A F; nó là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và, với mọi β∈B\beta \in B, theo định nghĩa ta có (xρ(β))⊗y=x⊗(ρ(β)y)(x \rho(\beta)) \otimes y = x \otimes (\rho(\beta)y), do đó các điều kiện (1) của no. 1 được thỏa mãn, do đó có sự tồn tại và tính duy nhất của ϕ\phi (no. 1, Mệnh đề 1). Mệnh đề sau cùng suy ra từ việc các phần tử x⊗yx \otimes y sinh Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F.

Ánh xạ (6) được gọi là chính tắc.

Hệ quả

Cho J\mathfrak{J} là một iđêan hai phía của AA sao cho J\mathfrak{J} được chứa trong linh hóa tử của EE và trong linh hóa tử của FF, để EE (tương ứng, FF) có một cấu trúc môđun trái (tương ứng, phải) chính tắc trên (A/J)(A/\mathfrak{J})* (§1§ 1, no. 12). Khi đó đồng cấu chính tắc (6)

ϕ:E⊗AF→E⊗A/JF \phi : E \otimes_A F \to E \otimes_{A/\mathfrak{J}} F
*tương ứng với đồng cấu chính tắc ρ:A→A/J\rho : A \to A/\mathfrak{J} là đồng nhất.

Với mọi αˉ∈A/J\bar{\alpha} \in A/\mathfrak{J}, mọi x∈Ex \in E và mọi y∈Fy \in F, ta có xαˉ=xαx \bar{\alpha} = x \alpha (tương ứng, αˉy=αy\bar{\alpha} y = \alpha y) với mọi α\alpha sao cho ρ(α)=αˉ\rho(\alpha) = \bar{\alpha}. Nếu C=Z(E×F)C = \mathbf{Z}^{(E \times F)}, thì môđun con của CC sinh bởi các phần tử (xα,y)−(x,αy)(x \alpha, y) - (x, \alpha y) khi đó bằng môđun con sinh bởi các phần tử (xαˉ,y)−(x,αˉy)(x \bar{\alpha}, y) - (x, \bar{\alpha} y).

Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 2, cho E′E' là một BB-môđun phải, F′F' là một BB-môđun trái và xét hai ánh xạ nửa tuyến tính u:E′→Eu : E' \to E, v:F′→Fv:F' \to F đối với đồng cấu ρ:B→A\rho : B \to A; uu (tương ứng, vv) có thể được xem như một ánh xạ BB-tuyến tính E′→ρ∗(E)E' \to \rho_*(E) (tương ứng, F′→ρ∗(F′)F' \to \rho_*(F')), do đó một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính w:E′⊗BF′→ρ∗(E)⊗Bρ∗(F)w : E' \otimes_B F' \to \rho_*(E) \otimes_B \rho_*(F) sao cho w(x′⊗y′)=u(x′)⊗v(y′)w(x' \otimes y') = u(x') \otimes v(y') với x′∈E′, y′∈F′x' \in E',\ y' \in F'; hợp thành ánh xạ chính tắc (6) với ánh xạ này, do đó thu được một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính w′:E′⊗BF′→E⊗AFw' : E' \otimes_B F' \to E \otimes_A F sao cho w′(x′⊗y′)=u(x′)⊗v(y′)w'(x' \otimes y') = u(x') \otimes v(y') với x′∈E′, y′∈F′x' \in E',\ y' \in F'; đó là ánh xạ thường sẽ được ký hiệu bởi u⊗vu \otimes v nếu không thể có sự lẫn lộn nào. Rõ ràng (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính

Hom⁡B(E′,ρ∗(E))×Hom⁡B(F′,ρ∗(F))→Hom⁡Z(E′⊗BF′,E⊗AF). \operatorname{Hom}_B(E', \rho_*(E)) \times \operatorname{Hom}_B(F', \rho_*(F)) \to \operatorname{Hom}_\mathbf{Z}(E' \otimes_B F', E \otimes_A F).

Hơn nữa, nếu CC là một vành thứ ba, σ:C→B\sigma : C \to B là một đồng cấu, E′′E'' là một CC-môđun phải, F′′F'' là một CC-môđun trái, u′:E′′→E′u' : E'' \to E' và v′:F′′→F′v' : F'' \to F' là các ánh xạ nửa tuyến tính đối với σ\sigma, thì

(u∘u′)⊗(v∘v′)=(u⊗v)∘(u′⊗v′). (u \circ u') \otimes (v \circ v') = (u \otimes v) \circ (u' \otimes v').

4. Toán tử trên một tích tenxơ; các tích tenxơ như những đa môđun

Với các giả thiết và ký hiệu của no. 1, với mọi tự đồng cấu uu (resp. vv) của AA-môđun EE (resp. FF), u⊗1Fu \otimes 1_F (resp. 1E⊗v1_E \otimes v) là một tự đồng cấu của Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F; ngay lập tức suy ra từ (5) (no. 2) rằng ánh xạ u↦u⊗1Fu \mapsto u \otimes 1_F (resp. v↦1E⊗vv \mapsto 1_E \otimes v) là một đồng cấu vành

End⁡A(E)→End⁡Z(E⊗AF) \operatorname{End}_A(E) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F)

(resp. End⁡A(F)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(F) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F)); hơn nữa,

(u⊗1F)∘(1E⊗v)=(1E⊗v)∘(u⊗1F)=u⊗v (u \otimes 1_F) \circ (1_E \otimes v) = (1_E \otimes v) \circ (u \otimes 1_F) = u \otimes v

và do đó (§ 1, no. 14) E⊗AFE \otimes_A F có một cấu trúc song môđun trái chính tắc đối với các vành End⁡A(E)\operatorname{End}_A(E) và End⁡A(F)\operatorname{End}_A(F).

Như vậy, giả sử trên EE cho một cấu trúc đa môđun ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j)) và trên FF một cấu trúc đa môđun (A,(Bh′′);(Ckc′′))(A, (B''_h); (C''_{k_c})) (§ 1, no. 14); điều đó cũng tương đương với việc cho các đồng cấu vành Bi′→End⁡A(E)B'_i \to \operatorname{End}_A(E), Cj′0→End⁡A(E)C'_j{}^0 \to \operatorname{End}_A(E) có các ảnh giao hoán từng đôi một, và các đồng cấu vành Bh′′→End⁡A(F)B''_h \to \operatorname{End}_A(F), Ckc′′0→End⁡A(F)C''_{k_c}{}^0 \to \operatorname{End}_A(F) có các ảnh giao hoán từng đôi một. Nếu hợp thành các đồng cấu này tương ứng với các đồng cấu chính tắc End⁡A(E)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(E) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) và End⁡A(F)→End⁡Z(E⊗AF)\operatorname{End}_A(F) \to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) đã định nghĩa ở trên, thì thấy được (có tính đến (7)) rằng các đồng cấu vành

Bi′→End⁡Z(E⊗AF),Cj′0→End⁡Z(E⊗AF)Bh′′→End⁡Z(E⊗AF),Ckc′′0→End⁡Z(E⊗AF) \begin{align*} B'_i &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F), & C'_j{}^0 &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) \\ B''_h &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F), & C''_{k_c}{}^0 &\to \operatorname{End}_\mathbf{Z}(E \otimes_A F) \end{align*}

được xác định với các ảnh giao hoán từng đôi một; nói cách khác, trên E⊗AFE \otimes_A F đã được xác định một cấu trúc đa môđun ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ckc′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_{k_c})); chính đa môđun này cũng được gọi là tích tenxơ (tương đối với AA) của

đa môđun ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j)) E và đa môđun (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B''_h); (C''_k)) F. Đa môđun này là nghiệm của một bài toán ánh xạ phổ quát tương tự như bài toán đã xét trong no. 1; nói chính xác:

Mệnh đề 3

Cho G là một đa môđun ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k)).

(a) Cho g là một ánh xạ tuyến tính của đa môđun E ⊗A\otimes_A F vào G. Ánh xạ f:(x,y)↦g(x⊗y)f : (x, y) \mapsto g(x \otimes y) từ E ×\times F vào G là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các hệ thức (1) của no. 1 và các điều kiện

{f(μi′x,y)=μi′f(x,y),f(xvj′,y)=f(x,y)vj′f(x,μh′′y)=μh′′f(x,y),f(x,yvk′′)=f(x,y)vk′′ \begin{cases} f(\mu'_i x, y) = \mu'_i f(x, y), & f(x v'_j, y) = f(x, y) v'_j \\ f(x, \mu''_h y) = \mu''_h f(x, y), & f(x, y v''_k) = f(x, y) v''_k \end{cases}

với mọi x∈E,y∈F,μi′∈Bi′,vj′∈Cj′,μh′′∈Bh′′,vk′′∈Ck′′,i,j,h,kx \in E, y \in F, \mu'_i \in B'_i, v'_j \in C'_j, \mu''_h \in B''_h, v''_k \in C''_k, i, j, h, k tùy ý.

(b) Ngược lại, cho f là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính từ E ×\times F vào G thỏa mãn các điều kiện (1) (no. 1) và (8). Khi đó tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính g của đa môđun E ⊗A\otimes_A F vào đa môđun G sao cho f(x,y)=g(x⊗y)f(x, y) = g(x \otimes y) với x∈E,y∈Fx \in E, y \in F.

Mệnh đề (a) suy ra ngay lập tức từ định nghĩa của cấu trúc đa môđun trên E ⊗A\otimes_A F, vì chẳng hạn (x⊗y)vj′=(xvj′)⊗y(x \otimes y)v'_j = (xv'_j) \otimes y. Để chứng minh (b), trước hết chú ý rằng Mệnh đề 1 của no. 1 cho sự tồn tại và tính duy nhất của một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính g sao cho g(x⊗y)=f(x,y)g(x \otimes y) = f(x, y) với x∈E,y∈Fx \in E, y \in F; điều duy nhất cần làm là kiểm tra rằng g là tuyến tính đối với các cấu trúc đa môđun. Vì các phần tử x⊗yx \otimes y sinh Z\mathbf{Z}-môđun E ⊗A\otimes_A F, chỉ cần kiểm tra các hệ thức g(μ′(x⊗y))=μi′g(x⊗y)g(\mu'(x \otimes y)) = \mu'_i g(x \otimes y) và các hệ thức tương tự; nhưng điều này suy ra ngay lập tức từ công thức g(x⊗y)=f(x,y)g(x \otimes y) = f(x, y) và các hệ thức (8).

Chú giải

Một phần tử của E ⊗A\otimes_A F nói chung có thể được viết theo nhiều cách dưới dạng ∑i(xi⊗yi)\sum_i (x_i \otimes y_i), trong đó xi∈Ex_i \in E và yi∈Fy_i \in F; nhưng để định nghĩa một ánh xạ tuyến tính g của đa môđun E ⊗A\otimes_A F vào một đa môđun G, không cần phải kiểm tra rằng, nếu ∑i(xi⊗yi)=∑j(xj′⊗yj′)\sum_i (x_i \otimes y_i) = \sum_j (x'_j \otimes y'_j), thì ∑ig(xi⊗yi)=∑jg(xj′⊗yj′)\sum_i g(x_i \otimes y_i) = \sum_j g(x'_j \otimes y'_j); chỉ cần cho trước g(x⊗y)g(x \otimes y) với x∈Ex \in E và y∈Fy \in F và kiểm tra rằng (x,y)↦g(x⊗y)(x, y) \mapsto g(x \otimes y) là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1) (no. 1) và (8).

Cho E' là một đa môđun ((B'_i), A, (C'_j)), F' là một đa môđun (A, (B''_h); (C''_k)) và u:E→E′,v:F→F′u : E \to E', v : F \to F' là các ánh xạ tuyến tính của các đa môđun; ngay lập tức suy ra từ các định nghĩa (no. 2) rằng u⊗vu \otimes v là một ánh xạ tuyến tính của đa môđun E ⊗A\otimes_A F vào đa môđun E' ⊗A\otimes_A F'.

Vẫn ký hiệu E là một A-môđun phải, ký hiệu sAd_sA_d là vành A được xét như một (A, A)-song môđun (§ 1, no. 14, Ví dụ 1); theo điều trên, tích tenxơ E ⊗A(sAd)\otimes_A (_sA_d) có một cấu trúc A-môđun phải chính tắc sao cho (x⊗λ)μ=x⊗(λμ)(x \otimes \lambda)\mu = x \otimes (\lambda \mu) với x∈E,λ∈A,μ∈Ax \in E, \lambda \in A, \mu \in A. Ánh xạ (x,λ)↦xλ(x, \lambda) \mapsto x \lambda từ E ×(sAd)\times (_sA_d) vào E là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1) (no. 1) và (8) (trong đó, ở điều kiện sau, các Bi′,Cj′B'_i, C'_j và Bh′′B''_h không có mặt và họ (Ck′′)(C''_k) thu về A); do đó (Mệnh đề 3), tồn tại một ánh xạ A-tuyến tính gg (gọi là chính tắc) từ E⊗A(sAd)E \otimes_A (sA_d) vào EE sao cho g(x⊗λ)=xλg(x \otimes \lambda) = x\lambda với x∈E,λ∈Ax \in E, \lambda \in A.

Mệnh đề 4

Nếu EE là một A-môđun phải, thì ánh xạ h:x↦x⊗1h : x \mapsto x \otimes 1 từ EE vào E⊗A(sAd)E \otimes_A (sA_d) là một đẳng cấu A-môđun phải, mà đẳng cấu nghịch đảo gg của nó thỏa mãn g(x⊗λ)=xλg(x \otimes \lambda) = x\lambda với x∈E,λ∈Ax \in E, \lambda \in A.

Nếu gg là ánh xạ chính tắc, thì g∘hg \circ h là ánh xạ đồng nhất 1E1_E và h∘gh \circ g trùng với ánh xạ đồng nhất của E⊗A(sAd)E \otimes_A (sA_d) lên chính nó đối với các phần tử có dạng x⊗yx \otimes y, là các phần tử sinh ra Z\mathbf{Z}-môđun sau; do đó có kết luận.

Ta sẽ thường viết E⊗AAE \otimes_A A thay cho E⊗A(sAd)E \otimes_A (sA_d) và sẽ thường đồng nhất E⊗AAE \otimes_A A với EE nhờ các đẳng cấu chính tắc ở trên. Lưu ý rằng, nếu EE còn có một cấu trúc BB-môđun (trái hoặc phải) tương thích với cấu trúc AA-môđun phải của nó, thì gg và hh cũng là các đẳng cấu đối với các cấu trúc BB-môđun trên EE và E⊗AAE \otimes_A A (và do đó là các đẳng cấu đa môđun).

Bây giờ cho FF là một AA-môđun trái; khi đó (sAd)⊗AF(sA_d) \otimes_A F (cũng được ký hiệu bởi A⊗AFA \otimes_A F) có một cấu trúc AA-môđun trái chính tắc và, như trong Mệnh đề 4, ta định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ A⊗AFA \otimes_A F lên FF biến λ⊗x\lambda \otimes x thành λx\lambda x, và đẳng cấu nghịch đảo của nó là x↦1⊗xx \mapsto 1 \otimes x.

Đặc biệt, tồn tại một đẳng cấu chính tắc của song môđun (A,A)(A, A) (sAd)⊗A(sAd)(sA_d) \otimes_A (sA_d) lên sAdsA_d biến λ⊗μ\lambda \otimes \mu thành λμ\lambda \mu.

5. Tích tenxơ của hai môđun trên một vành giao hoán

Cho CC là một vành giao hoán; với mọi CC-môđun EE, cấu trúc môđun trên EE là tương thích với chính nó (§ 1, no. 14). Nếu EE và FF là hai CC-môđun, thì các nhận xét của no. 4 cho phép ta định nghĩa hai cấu trúc CC-môđun trên tích tenxơ E⊗CFE \otimes_C F, lần lượt sao cho γ(x⊗y)=(γx)⊗y\gamma(x \otimes y) = (\gamma x) \otimes y và sao cho γ(x⊗y)=x⊗(γy)\gamma(x \otimes y) = x \otimes (\gamma y); nhưng vì, theo Định nghĩa 1 của no. 1, trong trường hợp này (γx)⊗y=x⊗(γy)(\gamma x) \otimes y = x \otimes (\gamma y), nên hai cấu trúc ấy trùng nhau. Từ nay về sau, khi nói về E⊗CFE \otimes_C F như một CC-*môđun*, ta sẽ hiểu là với cấu trúc được định nghĩa như vậy, trừ khi có nói rõ ngược lại. Đẳng cấu chính tắc

σ:F⊗CE→E⊗CF \sigma : F \otimes_C E \to E \otimes_C F

(no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 1) khi đó là một đẳng cấu CC-môđun.

Theo định nghĩa này, nếu (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in L} (resp. (bμ)μ∈M(b_\mu)_{\mu \in M}) là một hệ sinh của CC-môđun EE (resp. FF), thì (aλ⊗bμ)(a_\lambda \otimes b_\mu) là một hệ sinh của CC-môđun E⊗CFE \otimes_C F; đặc biệt, nếu EE và FF là các CC-môđun sinh hữu hạn, thì E⊗CFE \otimes_C F cũng vậy.

Với mọi C-môđun GG, các ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính ff của E×FE \times F vào GG sao cho

f(γx,y)=f(x,γy)=γf(x,y)với x∈E,y∈F,γ∈C f(\gamma x, y) = f(x, \gamma y) = \gamma f(x, y) \quad \text{với } x \in E, y \in F, \gamma \in C

khi đó được gọi là C-song tuyến tính và tạo thành một C-môđun ký hiệu bởi L2(E,F;G)\mathscr{L}_2(E, F; G); Mệnh đề 3 (no. 4) xác định một đẳng cấu C-môđun chính tắc (x. § 1, no. 14, Nhận xét 1).

L2(E,F;G)→HomC(E⊗CF,G). \mathscr{L}_2(E, F; G) \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, G).

Cho E', F' là hai C-môđun và u:E→E′u : E \to E', v:F→F′v : F \to F' là hai ánh xạ C-tuyến tính; khi đó (no. 4) u⊗vu \otimes v là một ánh xạ C-tuyến tính của E⊗CFE \otimes_C F vào E′⊗CF′E' \otimes_C F'. Hơn nữa, ngay lập tức thấy rằng (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v là một ánh xạ C-song tuyến tính của HomC(E,E′)×HomC(F,F′)\mathrm{Hom}_C(E, E') \times \mathrm{Hom}_C(F, F') vào HomC(E⊗CF,E′⊗CF′)\mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, E' \otimes_C F'); do đó tương ứng với nó một cách chính tắc có một ánh xạ C-tuyến tính, gọi là chính tắc:

HomC(E,E′)⊗CHomC(F,F′)→HomC(E⊗CF,E′⊗CF′) \mathrm{Hom}_C(E, E') \otimes_C \mathrm{Hom}_C(F, F') \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_C F, E' \otimes_C F')

ánh xạ này gán cho mọi phần tử u⊗vu \otimes v của tích tenxơ

HomC(E,E′)⊗CHomC(F,F′) \mathrm{Hom}_C(E, E') \otimes_C \mathrm{Hom}_C(F, F')

ánh xạ tuyến tính u⊗vu \otimes v. Chú ý rằng ánh xạ chính tắc (11) không nhất thiết là đơn ánh cũng không toàn ánh (§ 4, Bài tập 2).

Nhận xét

(1) Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành và E và F là hai A-môđun; khi đó ánh xạ chính tắc (6) của no. 3 là một ánh xạ B-tuyến tính

ρ∗(E)⊗ρ∗(F)→ρ∗(E⊗AF). \rho_*(E) \otimes \rho_*(F) \to \rho_*(E \otimes_A F).

(2) Điều đã nói trong no. này có thể được tổng quát hóa cho trường hợp sau: cho E là một A-môđun phải, F là một A-môđun trái, C là một vành giao hoán và ρ:C→A\rho : C \to A là một đồng cấu của C vào A sao cho ρ(C)\rho(C) được chứa trong tâm của A (x. III, § 1, no. 3). Khi đó ta có thể xét các C-môđun ρ∗(E)\rho_*(E) và ρ∗(F)\rho_*(F) và giả thiết trên ρ\rho kéo theo rằng các cấu trúc C-môđun này tương thích tương ứng với các cấu trúc A-môđun trên E và F (§ 1, no. 14). Tích tenxơ E⊗AFE \otimes_A F do đó (nhờ no. 4) được cho hai cấu trúc C-môđun sao cho γ(x⊗y)=(xρ(γ))⊗y\gamma(x \otimes y) = (x \rho(\gamma)) \otimes y và

γ(x⊗y)=x⊗(ρ(γ)y) \gamma(x \otimes y) = x \otimes (\rho(\gamma)y)

tương ứng với γ∈C\gamma \in C, x∈Ex \in E, y∈Fy \in F và Định nghĩa 1 (no. 1) cũng cho thấy rằng hai cấu trúc này là đồng nhất. Nếu E' (resp. F') là một A-môđun phải (resp. trái) và u:E→E′u : E \to E', v:F→F′v : F \to F' là hai ánh xạ A-tuyến tính, thì u⊗v:E⊗AF→E′⊗AF′u \otimes v : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F' là C-tuyến tính đối với các cấu trúc C-môđun vừa được định nghĩa; ánh xạ (u,v)↦u⊗v(u, v) \mapsto u \otimes v:

HomA(E,E′)×HomA(F,F′)→HomC(E⊗AF,E′⊗AF′) \mathrm{Hom}_A(E, E') \times \mathrm{Hom}_A(F, F') \to \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, E' \otimes_A F')

là C-song tuyến tính (đối với các cấu trúc C-môđun trên HomA(E,E′)\mathrm{Hom}_A(E, E') và HomA(F,F′)\mathrm{Hom}_A(F, F')) được định nghĩa ở § 1, no. 14, Nhận xét 1), do đó ta cũng suy ra một ánh xạ C-tuyến tính, gọi là *chính tắc

(13) Hom⁡A(E,E′)⊗CHom⁡A(F,F′)→Hom⁡C(E⊗AF,E′⊗AF′)\operatorname{Hom}_A(E, E') \otimes_C \operatorname{Hom}_A(F, F') \to \operatorname{Hom}_C(E \otimes_A F, E' \otimes_A F').

(3) Cho A là một miền nguyên và K là trường phân thức của nó. Nếu E và F là hai không gian vectơ K, ánh xạ chính tắc

(E[A])⊗A(F[A])→E⊗KF (E_{[A]}) \otimes_A (F_{[A]}) \to E \otimes_K F

(no. 3 và § 1, no. 13) là song ánh. Chỉ cần (no. 4) chứng minh rằng nếu ff là một ánh xạ A-song tuyến tính của E×FE \times F vào một không gian vectơ K G, thì ff cũng là K-song tuyến tính. Thật vậy, với mọi α≠0\alpha \neq 0 trong A.

αf(α−1x,y)=f(x,y)=αf(x,α−1y) \alpha f(\alpha^{-1}x, y) = f(x, y) = \alpha f(x, \alpha^{-1}y)
do đó
f(α−1x,y)=f(x,α−1y)=α−1f(x,y) f(\alpha^{-1}x, y) = f(x, \alpha^{-1}y) = \alpha^{-1}f(x, y)
vì G là một không gian vectơ K.

6. Các tính chất của E⊗AFE \otimes_A F đối với các dãy khớp

Mệnh đề 5

Cho* E, E', E'' là các A-*môđun phải*, F là một A-*môđun trái* và

(14)

E′→uE→vE′′→0 E' \xrightarrow{u} E \xrightarrow{v} E'' \to 0

là một dãy khớp các ánh xạ tuyến tính.* Viết uˉ=u⊗1F,vˉ=v⊗1F,\bar{u} = u \otimes 1_F, \bar{v} = v \otimes 1_F, *thì dãy

(15)

E′⊗AF→uˉE⊗AF→vˉE′′⊗AF→0 E' \otimes_A F \xrightarrow{\bar{u}} E \otimes_A F \xrightarrow{\bar{v}} E'' \otimes_A F \to 0

các Z\mathbf{Z}-*đồng cấu* là khớp.

Chiếu theo no. 2, công thức (5), vˉ∘uˉ=(v∘u)⊗1F=0\bar{v} \circ \bar{u} = (v \circ u) \otimes 1_F = 0; ảnh H=uˉ(E′⊗F)H = \bar{u}(E' \otimes F) được chứa trong hạt nhân L=Ker⁡(vˉ)L = \operatorname{Ker}(\bar{v}); bằng cách chuyển qua thương, do đó ta suy ra từ vˉ\bar{v} một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính ff từ đối hạt nhân M=(E⊗F)/HM = (E \otimes F)/H của uˉ\bar{u} vào E′′⊗FE'' \otimes F; cần phải chứng minh rằng ff là song ánh và vì thế sẽ đủ để định nghĩa một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính g:E′′⊗F→Mg : E'' \otimes F \to M sao cho g∘fg \circ f và f∘gf \circ g là các ánh xạ đồng nhất.

Cho x′′∈E′′x'' \in E'', y∈Fy \in F; theo giả thiết tồn tại x∈Ex \in E sao cho v(x)=x′′v(x) = x''. Ta chỉ ra rằng, nếu x1,x2x_1, x_2 là hai phần tử của E sao cho v(x1)=v(x2)=x′′v(x_1) = v(x_2) = x'' và ϕ:E⊗F→M\phi : E \otimes F \to M là ánh xạ chính tắc, thì ϕ(x1⊗y)=ϕ(x2⊗y)\phi(x_1 \otimes y) = \phi(x_2 \otimes y). Chỉ cần chứng minh rằng nếu v(x)=0v(x) = 0 thì ϕ(x⊗y)=0\phi(x \otimes y) = 0, điều này suy ra từ sự kiện rằng x=u(x′)x = u(x') với x′∈E′x' \in E', do đó x⊗y=u(x′)⊗y=uˉ(x′⊗y)∈Hx \otimes y = u(x') \otimes y = \bar{u}(x' \otimes y) \in H. Nếu (x′′,y)(x'', y) được ánh xạ tới giá trị duy nhất ϕ(x⊗y)\phi(x \otimes y) với mọi x∈Ex \in E sao cho v(x)=x′′v(x) = x'', thì một ánh xạ từ E′′×FE'' \times F vào M được định nghĩa; ánh xạ này là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1) (no. 1), vì v(xλ)=x′′λv(x \lambda) = x'' \lambda và (xλ)⊗y=x⊗(λy)(x \lambda) \otimes y = x \otimes (\lambda y) với x∈Ex \in E; do đó có một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính gg từ E′′⊗FE'' \otimes F vào M sao cho g(x′′⊗y)=ϕ(x⊗y)g(x'' \otimes y) = \phi(x \otimes y) với y∈F,x∈Ey \in F, x \in E và x′′=v(x)x'' = v(x). Định nghĩa này còn chứng minh rằng f∘gf \circ g trùng với ánh xạ đồng nhất trên các phần tử của

E′′⊗FE'' \otimes F có dạng x′′⊗yx'' \otimes y và do đó f∘gf \circ g là ánh xạ đồng nhất của E′′⊗FE'' \otimes F; mặt khác, với x∈Ex \in E và y∈Fy \in F, f(ϕ(x⊗y))=v(x)⊗yf(\phi(x \otimes y)) = v(x) \otimes y theo định nghĩa, do đó g(f(ϕ(x⊗y)))=ϕ(x⊗y)g(f(\phi(x \otimes y))) = \phi(x \otimes y) và, vì các phần tử có dạng ϕ(x⊗y)\phi(x \otimes y) sinh ra MM, g∘fg \circ f là ánh xạ đồng nhất của MM.

Hệ quả

Cho F, F', F'' là các A-môđun trái, E là một A-môđun phải và*

F′→sF→tF′′⟶0 \begin{array}{ccccc} F' & \xrightarrow{s} & F & \xrightarrow{t} & F'' \longrightarrow 0 \end{array}
(16) là một dãy khớp các ánh xạ tuyến tính. Đặt \bar{s} = lE \otimes s, \bar{t} = l_E \otimes t, dãy các \mathbf{Z}-đồng cấu*
E⊗AF′→sˉE⊗AF→tˉE⊗AF′′⟶0 \begin{array}{cccccc} E \otimes_A F' & \xrightarrow{\bar{s}} & E \otimes_A F & \xrightarrow{\bar{t}} & E \otimes_A F'' & \longrightarrow 0 \end{array}
(17) *là khớp.

Khi E (tương ứng F) được xét như một A^0-môđun trái (tương ứng phải), F \otimes_{A^0} E được đồng nhất với E \otimes_A F và có các sự đồng nhất tương tự cho F' \otimes_{A^0} E và F'' \otimes_{A^0} E (no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 1); khi đó hệ quả suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 5.

Nhận xét

Chú ý rằng nói chung, nếu E' là một môđun con của một A-môđun phải E và j : E' \to E là đơn ánh chính tắc, thì ánh xạ chính tắc

j⊗1F:E′⊗F→E⊗F j \otimes 1_F : E' \otimes F \to E \otimes F
không nhất thiết là đơn ánh. Nói cách khác, đối với một dãy khớp
0⟶E′→uE→vE′′⟶0 \begin{array}{ccccccc} 0 & \longrightarrow & E' & \xrightarrow{u} & E & \xrightarrow{v} & E'' \longrightarrow 0 \end{array}
(18) nói chung không thể kết luận rằng dãy
0⟶E′⊗F→uE⊗F→vE′′⊗F⟶0 \begin{array}{ccccccc} 0 & \longrightarrow & E' \otimes F & \xrightarrow{u} & E \otimes F & \xrightarrow{v} & E'' \otimes F \longrightarrow 0 \end{array}
(19) *là khớp.

Lấy chẳng hạn A = \mathbf{Z}, E = \mathbf{Z}, E' = 2\mathbf{Z}, F = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}. Vì E' đẳng cấu với E, E' \otimes F đẳng cấu với E \otimes F mà bản thân nó lại đẳng cấu với F (no. 4, Mệnh đề 4). Nhưng với mọi x' = 2x \in E' (trong đó x \in E) và mọi y \in F, j(x') \otimes y = (2x) \otimes y = x \otimes (2y) = 0, vì 2y = 0, và ảnh chính tắc của E' \otimes F trong E \otimes F thu về 0.

Nói cách khác, phải cẩn thận phân biệt, với một môđun con E' của E và một phần tử x \in E', giữa phần tử x \otimes y "được tính trong E' \otimes F'" và phần tử x \otimes y "được tính trong E \otimes F" (nói cách khác, phần tử j(x) \otimes y).

Sau này ta sẽ nghiên cứu, dưới tên gọi các môđun phẳng, các môđun F sao cho dãy (19) là khớp với mọi dãy khớp (18) (Đại số giao hoán, I, § 2).

Mệnh đề 6

Cho hai dãy khớp (14) và (16), đồng cấu v \otimes t : E \otimes_A F \to E'' \otimes_A F'' là toàn ánh và hạt nhân của nó bằng*

Im⁡(u⊗1F)+Im⁡(lE⊗s) \operatorname{Im}(u \otimes 1_F) + \operatorname{Im}(l_E \otimes s)

Bây giờ v⊗t=(v⊗1F′′)∘(1E⊗t)v \otimes t = (v \otimes 1_{F''}) \circ (1_E \otimes t) (no. 2, công thức (5)) và do đó v⊗tv \otimes t là toàn ánh, vì nó là hợp thành của hai đồng cấu toàn ánh theo Mệnh đề 5 và Hệ quả của nó. Mặt khác, để z∈E⊗Fz \in E \otimes F thuộc hạt nhân của v⊗tv \otimes t, điều kiện cần và đủ là (1E⊗t)(z)(1_E \otimes t)(z) thuộc hạt nhân của v⊗1F′′v \otimes 1_{F''}, tức là, chiếu theo (15), thuộc ảnh của

u⊗1F′′:E′⊗F′′→E⊗F′′. u \otimes 1_{F''}: E' \otimes F'' \to E \otimes F''.

Nhưng vì đồng cấu t:F→F′′t: F \to F'' là toàn ánh, nên

1E′⊗t:E′⊗F→E′⊗F′′ 1_{E'} \otimes t: E' \otimes F \to E' \otimes F''

cũng toàn ánh theo Hệ quả của Mệnh đề 5, do đó điều kiện trên z quy về sự tồn tại của một a∈E′⊗Fa \in E' \otimes F sao cho

(lE⊗t)(z)=(u⊗t)(a). (l_E \otimes t)(z) = (u \otimes t)(a).

Cho b=z−(u⊗1F)(a)b = z - (u \otimes 1_F)(a); khi đó (lE⊗t)(b)=0(l_E \otimes t)(b) = 0, và theo (17), bb thuộc ảnh của lE⊗sl_E \otimes s, điều đó chứng minh mệnh đề.

Nói cách khác:

Hệ quả 1

Cho E′E' là một môđun con của một A-môđun phải EE, F′F' là một môđun con của một A-môđun trái FF và Im⁡(E′⊗AF)\operatorname{Im}(E' \otimes_A F) và Im⁡(E⊗AF′)\operatorname{Im}(E \otimes_A F') là các Z\mathbf{Z}-môđun con của E⊗AFE \otimes_A F, là các ảnh tương ứng của các ánh xạ chính tắc E′⊗AF→E⊗AFE' \otimes_A F \to E \otimes_A F,

E⊗AF′→E⊗AF. E \otimes_A F' \to E \otimes_A F.

Khi đó có một đẳng cấu Z\mathbf{Z}-môđun chính tắc

(20)π:(E/E′)⊗A(F/F′)→(E⊗AF)/(Im⁡(E′⊗AF)+Im⁡(E⊗AF′))(20)\quad \pi : (E/E') \otimes_A (F/F') \to (E \otimes_A F)/(\operatorname{Im}(E' \otimes_A F) + \operatorname{Im}(E \otimes_A F'))

*sao cho, với ξ∈E/E′\xi \in E/E', η∈F\eta \in F, π(ξ⊗η)\pi(\xi \otimes \eta) là lớp của mọi phần tử x⊗y∈E⊗AFx \otimes y \in E \otimes_A F sao cho x∈ξx \in \xi và y∈ηy \in \eta.

Chú ý rằng khi EE là một ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j))-đa môđun, FF là một (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B''_h); (C''_k))-đa môđun và E′E' và F′F' lần lượt là các đa môđun con của EE và FF, thì đẳng cấu (20) là một đẳng cấu đối với các cấu trúc ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k))-đa môđun của hai vế (no. 3).

Hệ quả 2

Cho aa là một iđêan phải của AA, FF là một A-môđun trái và aFaF là Z\mathbf{Z}-môđun con của FF sinh bởi các phần tử dạng λx\lambda x, trong đó λ∈a\lambda \in a và x∈Fx \in F. Khi đó có một đẳng cấu Z\mathbf{Z}-môđun chính tắc

(21)π:(A/a)⊗AF→F/aF(21)\quad \pi : (A/a) \otimes_A F \to F/aF

*sao cho, với mọi λˉ∈A/a\bar{\lambda} \in A/a và mọi x∈Fx \in F, π(λˉ⊗x)\pi(\bar{\lambda} \otimes x) là lớp mod. aFaF của λx\lambda x, trong đó λ∈λˉ\lambda \in \bar{\lambda}.

Đặc biệt, với A=ZA = \mathbf{Z}, ta thấy rằng với mọi số nguyên nn và mọi Z\mathbf{Z}-môđun FF, (Z/nZ)⊗ZF(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \otimes_{\mathbf{Z}} F được đồng nhất một cách chính tắc với Z\mathbf{Z}-môđun thương F/nFF/nF.

Hệ quả 3

Cho AA là một vành giao hoán, aa là một iđêan của AA và EE và FF là hai AA-môđun sao cho aa được chứa trong linh hóa tử của FF. Khi đó các (A/a)(A/a)-môđun E⊗AFE \otimes_A F và (E/aE)⊗A/aF(E/aE) \otimes_{A/a} F đẳng cấu chính tắc.

FF và E⊗AFE \otimes_A F bị triệt tiêu bởi aa và do đó có các cấu trúc (A/a)(A/a)-môđun chính tắc (§1§ 1, no. 12) và nếu ta viết E′=aEE' = aE, thì Im⁡(E′⊗AF)=0\operatorname{Im}(E' \otimes_A F) = 0; khi đó có một đẳng cấu chính tắc (20) từ E⊗AFE \otimes_A F lên (E/aE)⊗AF(E/aE) \otimes_A F và môđun sau này tự nó đồng nhất với (E/aE)⊗A/aF(E/aE) \otimes_{A/a} F (no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 2).

Hệ quả 4

Cho a,ba, b là hai iđêan trong một vành giao hoán CC; khi đó CC-môđun (C/a)⊗C(C/b)(C/a) \otimes_C (C/b) đẳng cấu chính tắc với C(a+b)C(a + b).

7. Tích tenxơ của các tích và các tổng trực tiếp

Cho (Eλ)λ∈L(E_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ các AA-môđun phải, (Fμ)μ∈M(F_\mu)_{\mu \in M} là một họ các AA-môđun trái và xét các môđun tích C=∏λ∈LEλ,D=∏μ∈MFμC = \prod_{\lambda \in L} E_\lambda, D = \prod_{\mu \in M} F_\mu. Ánh xạ ((xλ),(yμ))↦(xλ⊗yμ)((x_\lambda), (y_\mu)) \mapsto (x_\lambda \otimes y_\mu) từ C×DC \times D vào Z\mathbf{Z}-môđun tích

∏(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ) \prod_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu)
là song tuyến tính trên Z\mathbf{Z} và hiển nhiên thỏa mãn các điều kiện (1) (no. 1). Vì vậy tồn tại (no. 1, Mệnh đề 1) một ánh xạ tuyến tính trên Z\mathbf{Z}, gọi là chính tắc,
f:(∏λ∈LEλ)⊗A(∏μ∈MFμ)→∏(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ) f : \left( \prod_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A \left( \prod_{\mu \in M} F_\mu \right) \to \prod_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu)
sao cho f((xλ)⊗(yμ))=(xλ⊗yμ)f((x_\lambda) \otimes (y_\mu)) = (x_\lambda \otimes y_\mu).

Khi C=RL,D=SM,RC = R^L, D = S^M, R (resp. SS) là một AA-môđun phải (resp. trái), ánh xạ chính tắc (22) gắn với mọi tích tenxơ u⊗vu \otimes v, trong đó uu là một ánh xạ từ LL vào RR và vv là một ánh xạ từ MM vào SS, ánh xạ (λ,μ)↦u(λ)⊗v(μ)(\lambda, \mu) \mapsto u(\lambda) \otimes v(\mu) từ L×ML \times M vào R⊗ASR \otimes_A S; ngay cả trong trường hợp này ánh xạ chính tắc (22) nói chung cũng không đơn ánh cũng không toàn ánh (Bài tập 3; xem Hệ quả 3 của Mệnh đề 7).

Khi các EλE_\lambda là các đa môđun ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j)) và các FμF_\mu là các đa môđun (A,(Bh′′);(Ckc′′))(A, (B''_h); (C''_{k_c})), đồng cấu (22) cũng là một đồng cấu đối với các cấu trúc đa môđun ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ckc′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_{k_c})) của hai vế.

Xét bây giờ môđun con E=⨁λ∈LEλE = \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda (resp. ⨁μ∈MFμ\bigoplus_{\mu \in M} F_\mu) của CC (resp. DD); các đơn cấu chính tắc E→C,F→DE \to C, F \to D xác định một cách chính tắc một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính E⊗AF→C⊗ADE \otimes_A F \to C \otimes_A D mà khi hợp thành với ánh xạ (22) cho một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính gg từ E⊗AFE \otimes_A F vào ∏λ,μ(Eλ⊗AFμ)\prod_{\lambda, \mu} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) sao cho

g((xλ)⊗(yμ))=(xλ⊗yμ); g((x_\lambda) \otimes (y_\mu)) = (x_\lambda \otimes y_\mu);

hơn nữa, vì các họ (xλ)(x_\lambda) và (yμ)(y_\mu) có giá hữu hạn nên (xλ⊗yμ)(x_\lambda \otimes y_\mu) cũng vậy và do đó cuối cùng gg là một đồng cấu chính tắc

g:(⨁λ∈LEλ)⊗A(⨁μ∈MFμ)→⨁(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ), g : \left( \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A \left( \bigoplus_{\mu \in M} F_\mu \right) \to \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu),

là một đồng cấu đa môđun trong cùng các điều kiện như (22).

Mệnh đề 7

Ánh xạ chính tắc (23) là song ánh.

Để chứng minh điều này, chỉ cần định nghĩa một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính hh từ tổng trực tiếp G=⨁(λ,μ)∈L×M(Eλ⊗AFμ)G = \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) vào E⊗AFE \otimes_A F sao cho g∘hg \circ h và h∘gh \circ g là các ánh xạ đồng nhất. Nhưng để định nghĩa một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính từ GG vào E⊗AFE \otimes_A F, chỉ cần (§ 1, no. 6, Mệnh đề 6) định nghĩa một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính

hλμ:Eλ⊗AFμ→E⊗AF h_{\lambda \mu} : E_\lambda \otimes_A F_\mu \to E \otimes_A F

cho mọi cặp có thứ tự (λ,μ)(\lambda, \mu), và ta lấy hλμ=iλ⊗jμh_{\lambda \mu} = i_\lambda \otimes j_\mu, trong đó iλ:Eλ→Ei_\lambda : E_\lambda \to E và jμ:Fμ→Fj_\mu : F_\mu \to F là các đơn cấu chính tắc. Khi đó rõ ràng h∘gh \circ g trùng với ánh xạ đồng nhất trên các phần tử dạng (∑λxλ)⊗(∑μyμ)\left( \sum_\lambda x_\lambda \right) \otimes \left( \sum_\mu y_\mu \right) sinh ra Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F; tương tự, g∘hg \circ h trùng với ánh xạ đồng nhất trên các phần tử dạng ∑λ,μ(xλ⊗yμ)\sum_{\lambda, \mu} (x_\lambda \otimes y_\mu) sinh ra Z\mathbf{Z}-môđun GG, vì với mỗi cặp có thứ tự (λ,μ)(\lambda, \mu), các tích

xλ⊗yμ(xλ∈Eλ,yμ∈Fμ) x_\lambda \otimes y_\mu \quad (x_\lambda \in E_\lambda, y_\mu \in F_\mu)

sinh ra Z\mathbf{Z}-môđun Eλ⊗AFμE_\lambda \otimes_A F_\mu. Do đó suy ra mệnh đề.

Cho uλ:Eλ→Eλ′u_\lambda : E_\lambda \to E'_\lambda, vμ:Fμ→Fμ′v_\mu : F_\mu \to F'_\mu là các đồng cấu AA; rõ ràng biểu đồ

(⨁λEλ)⊗A(⨁μFμ)⟶⨁λ,μ(Eλ⊗A(Fμ))(⨁uλ)⊗(⨁vμ)↓↓(⨁(uλ⊗vμ))(⨁λEλ′)⊗A(⨁μFμ′)⟶⨁λ,μ(Eλ′⊗AFμ′) \begin{array}{ccc} \left( \bigoplus_\lambda E_\lambda \right) \otimes_A \left( \bigoplus_\mu F_\mu \right) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda, \mu} (E_\lambda \otimes_A (F_\mu)) \\ (\bigoplus u_\lambda) \otimes (\bigoplus v_\mu) \downarrow & & \downarrow (\bigoplus (u_\lambda \otimes v_\mu)) \\ \left( \bigoplus_\lambda E'_\lambda \right) \otimes_A \left( \bigoplus_\mu F'_\mu \right) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda, \mu} (E'_\lambda \otimes_A F'_\mu) \end{array}

là giao hoán.

Hệ quả 1

Nếu AA-môđun trái FF thừa nhận một cơ sở (bμ)μ∈M(b_\mu)_{\mu \in M}, thì mọi phần tử của E⊗AFE \otimes_A F có thể được viết duy nhất dưới dạng ∑μ(xμ⊗bμ)\sum_\mu (x_\mu \otimes b_\mu), trong đó xμ∈Ex_\mu \in E và họ (xμ)(x_\mu) có giá hữu hạn. Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F đẳng cấu với E(M)E^{(M)} được xét như một Z\mathbf{Z}-môđun.

Cơ sở (bμ)(b_\mu) xác định một đẳng cấu của FF lên ⨁μ∈MAbμ\bigoplus_{\mu \in M} Ab_\mu, do đó theo Mệnh đề 7 có một đẳng cấu E⊗AF→⨁μ∈M(E⊗AAbμ)E \otimes_A F \to \bigoplus_{\mu \in M} (E \otimes_A Ab_\mu); vì ξ ↦ ξb_μ là một đẳng cấu của A_s lên Ab_μ, nên x ↦ x ⊗ b_μ là một đẳng cấu của E lên E ⊗_A (Ab_μ) theo Mệnh đề 4 của no. 4, do đó suy ra hệ quả.

Nếu E là một đa môđun ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j)), thì đẳng cấu chính tắc E ⊗_A F → E^{(M)} là một đẳng cấu đa môđun ((Bi′);(Cj′))((B'_i); (C'_j)).

Đặc biệt, nếu E cũng có một cơ sở (a_λ)_{λ ∈ L}, thì mọi z ∈ E ⊗_A F đều có thể được viết dưới dạng ∑λ,μ(aλξλμ)⊗bμ\sum_{\lambda, \mu} (a_\lambda \xi_{\lambda\mu}) \otimes b_\mu theo một và chỉ một cách, trong đó các ξ_{λμ} thuộc A (và tạo thành một họ có giá hữu hạn); ánh xạ z↦(ξλμ)(λ,μ)∈L×Mz \mapsto (\xi_{\lambda\mu})_{(\lambda, \mu) \in L \times M} là một đẳng cấu của E ⊗_A F lên A^{(L × M)} đối với các cấu trúc Z\mathbf{Z}-môđun (và thậm chí cả các cấu trúc môđun trên tâm của A). Cụ thể hơn:

Hệ quả 2

Nếu E và F là hai môđun tự do trên một vành giao hoán C và (a_λ) (resp. (b_μ)) là một cơ sở của C-môđun E (resp. F), thì (a_λ ⊗ b_μ) là một cơ sở của C-môđun E ⊗_C F.

Do lạm dụng ngôn ngữ, cơ sở (a_λ ⊗ b_μ) đôi khi được gọi là tích tenxơ của các cơ sở (a_λ) và (b_μ).

Nhận xét (1). Cho E là một A-môđun phải tự do, F là một A-môđun trái tự do, (a_λ)_{λ ∈ L} một cơ sở của E và (b_μ)_{μ ∈ M} một cơ sở của F. Mọi phần tử z ∈ E ⊗_A F đều có thể được viết duy nhất dưới dạng ∑λaλ⊗yλ\sum_\lambda a_\lambda \otimes y_\lambda, trong đó y_λ ∈ F, và cũng được viết duy nhất dưới dạng ∑μxμ⊗bμ\sum_\mu x_\mu \otimes b_\mu, trong đó x_μ ∈ E. Nếu ta viết yλ=∑μηλμbμy_\lambda = \sum_\mu \eta_{\lambda\mu} b_\mu, xμ=∑λaλξλμx_\mu = \sum_\lambda a_\lambda \xi_{\lambda\mu}, trong đó các ξ_{λμ} và η_{λμ} thuộc A, thì ξλμ=ηλμ\xi_{\lambda\mu} = \eta_{\lambda\mu} với mọi (λ, μ), vì

∑λ(aλ⊗(∑μηλμbμ))=∑λ,μ((aληλμ)⊗bμ)=∑μ((∑λaληλμ)⊗bμ). \sum_\lambda \left( a_\lambda \otimes \left( \sum_\mu \eta_{\lambda\mu} b_\mu \right) \right) = \sum_{\lambda, \mu} ((a_\lambda \eta_{\lambda\mu}) \otimes b_\mu) = \sum_\mu \left( \left( \sum_\lambda a_\lambda \eta_{\lambda\mu} \right) \otimes b_\mu \right).

Hệ quả 3

Cho (E_λ)_{λ ∈ L} là một họ các A-môđun phải và F là một A-môđun trái tự do (resp. tự do sinh hữu hạn). Khi đó ánh xạ chính tắc (22)

(∏λ∈LEλ)⊗AF→∏λ∈L(Eλ⊗AF) \left( \prod_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A F \to \prod_{\lambda \in L} (E_\lambda \otimes_A F)

là đơn ánh (resp. song ánh).

Nếu (b_μ) là một cơ sở của F, mọi phần tử của (∏λ∈LEλ)⊗AF\left( \prod_{\lambda \in L} E_\lambda \right) \otimes_A F có thể được viết duy nhất dưới dạng z=∑μ((xλ(μ))⊗bμ)z = \sum_\mu ((x_\lambda^{(\mu)}) \otimes b_\mu) (Hệ quả 1); nói rằng ảnh chính tắc của nó bằng không có nghĩa là, với mọi λ ∈ L, ∑μ(xλ(μ)⊗bμ)=0\sum_\mu (x_\lambda^{(\mu)} \otimes b_\mu) = 0, do đó xλ(μ)=0x_\lambda^{(\mu)} = 0 với mọi λ ∈ L và mọi μ (Hệ quả 1) và vì thế z=0z = 0.

Việc chứng minh rằng ánh xạ chính tắc là song ánh khi F có một cơ sở hữu hạn được quy ngay lập tức, theo Mệnh đề 7, về trường hợp

F = A_s; nhưng khi đó hai vế được đồng nhất một cách chính tắc với ∏λ∈LEλ\prod_{\lambda \in L} E_\lambda (no. 4, Mệnh đề 4) và sau các sự đồng nhất này ánh xạ chính tắc (22) trở thành đồng nhất ánh xạ.

Hệ quả 4

Cho A là một vành không có ước của không, E là một A-môđun phải tự do và F là một A-môđun trái tự do. Khi đó quan hệ x ⊗\otimes y = 0 trong E ⊗A\otimes_A F kéo theo x = 0 hoặc y = 0.

Cho (aλ)(a_\lambda) là một cơ sở của E, (bμ)(b_\mu) là một cơ sở của F và đặt x=∑λaλξλ,y=∑μημbμx = \sum_\lambda a_\lambda \xi_\lambda, y = \sum_\mu \eta_\mu b_\mu; khi đó x⊗y=∑λ,μ((aλξλημ)⊗bμx \otimes y = \sum_{\lambda, \mu} ((a_\lambda \xi_\lambda \eta_\mu) \otimes b_\mu và quan hệ x⊗y=0x \otimes y = 0 kéo theo ξλημ=0\xi_\lambda \eta_\mu = 0 với mọi cặp chỉ số có thứ tự (λ,μ)(\lambda, \mu) (Hệ quả 1). Do đó, nếu x≠0x \neq 0, tức là ξλ≠0\xi_\lambda \neq 0 với ít nhất một λ\lambda, thì suy ra ημ=0\eta_\mu = 0 với mọi μ\mu, do đó y=0y = 0.

Hệ quả 5

Cho E là một A-môđun phải, F là một A-môđun trái, M là một môđun con của E và N là một môđun con của F. Nếu M là một nhân tử trực tiếp của E và N là một nhân tử trực tiếp của F, thì đồng cấu chính tắc M⊗AN→E⊗AFM \otimes_A N \to E \otimes_A F là đơn ánh và ảnh của M⊗ANM \otimes_A N dưới đồng cấu này là một nhân tử trực tiếp của Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AFE \otimes_A F.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 7.

Chú ý rằng nếu E là một đa môđun ((Bi′);A,(Cj′))((B'_i); A, (C'_j)) và F là một đa môđun (A,(Bh′′);(Ck′′))(A, (B''_h); (C''_k)) và M và N là các nhân tử trực tiếp trong các đa môđun này, thì M⊗NM \otimes N là một nhân tử trực tiếp của đa môđun ((Bi′),(Bh′′);(Cj′),(Ck′′))((B'_i), (B''_h); (C'_j), (C''_k)) E⊗FE \otimes F.

Hệ quả 6

Cho P là một A-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai A-môđun phải. Với mọi đơn cấu u:E→Fu : E \to F, đồng cấu*

u⊗1P:E⊗AP→F⊗AP u \otimes 1_P : E \otimes_A P \to F \otimes_A P
*là đơn ánh.

Tồn tại một A-môđun trái Q sao cho L=P⊕QL = P \oplus Q là tự do (§ 2, no. 2, Mệnh đề 4) và u⊗1Lu \otimes 1_L được đồng nhất (Mệnh đề 7) với

(u⊗1P)⊕(u⊗1Q);(u \otimes 1_P) \oplus (u \otimes 1_Q);
do đó chỉ cần chứng minh hệ quả trong trường hợp P là tự do (§ 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7). Lập luận tương tự quy bài toán về trường hợp P=AsP = A_s, trường hợp này suy ra ngay lập tức từ no. 4, Mệnh đề 4.

Hệ quả 7

Cho C là một vành giao hoán. Nếu E và F là hai C-môđun xạ ảnh, thì E⊗CFE \otimes_C F là một C-môđun xạ ảnh.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 5 và thực tế là tích tenxơ của hai C-môđun tự do là một C-môđun tự do (Hệ quả 2).

Nhận xét 2

Dưới các giả thiết của Mệnh đề 7, cho Eλ′E'_\lambda là một môđun con của EλE_\lambda, Fμ′F'_\mu là một môđun con của FμF_\mu và đặt E′=⨁λ∈LEλ′E' = \bigoplus_{\lambda \in L} E'_\lambda, F′=⨁μ∈MFμ′F' = \bigoplus_{\mu \in M} F'_\mu. Gọi Im(E′⊗AF′)(E' \otimes_A F') (resp. Im(E'_λ ⊗_A F'_μ)) là ảnh của E' ⊗_A F' (resp. E'_λ ⊗_A F'_μ) trong E ⊗_A F (resp. E_λ ⊗_A F_μ) dưới ánh xạ chính tắc; khi đó đẳng cấu (23) đồng nhất các môđun con-Z\mathbf{Z}

Im⁡(E′⊗AF′)vaˋ⨁(λ,μ)∈I×MIm⁡(Eλ′⊗AFμ′); \operatorname{Im}(E' \otimes_A F') \quad \text{và} \quad \bigoplus_{(\lambda, \mu) \in I \times M} \operatorname{Im}(E'_\lambda \otimes_A F'_\mu);

điều này suy ra ngay lập tức từ tính giao hoán của biểu đồ

(⨁λEλ′)⊗A(⨁μFμ′)⟶(⨁λEλ)⊗A(⨁μFμ)↓↓⨁λ,μ(Eλ′⊗AFμ′)⟶⨁λ,μ(Eλ⊗AFμ) \begin{array}{ccc} \left( \bigoplus_\lambda E'_\lambda \right) \otimes_A \left( \bigoplus_\mu F'_\mu \right) & \longrightarrow & \left( \bigoplus_\lambda E_\lambda \right) \otimes_A \left( \bigoplus_\mu F_\mu \right) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bigoplus_{\lambda, \mu} (E'_\lambda \otimes_A F'_\mu) & \longrightarrow & \bigoplus_{\lambda, \mu} (E_\lambda \otimes_A F_\mu) \end{array}

trong đó các mũi tên thẳng đứng là các đẳng cấu chính tắc.

8. Tính kết hợp của tích tenxơ

Mệnh đề 8

Cho A, B là hai vành, E một A-môđun phải, F một song môđun (A, B) và G một B-môđun trái. Khi đó E ⊗_A F là một B-môđun phải, F ⊗_B G là một A-môđun trái và tồn tại một và chỉ một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính

ϕ:(E⊗AF)⊗BG→E⊗A(F⊗BG) \phi : (E \otimes_A F) \otimes_B G \to E \otimes_A (F \otimes_B G)

thỏa mãn ϕ((x⊗y)⊗z)=x⊗(y⊗z)\phi((x \otimes y) \otimes z) = x \otimes (y \otimes z) với x∈E, y∈F, z∈G;x \in E,\ y \in F,\ z \in G; hơn nữa ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính này là song ánh ("tính kết hợp" của tích tenxơ).

Cấu trúc B-môđun phải trên E ⊗_A F và cấu trúc A-môđun trái trên F ⊗_B G đã được định nghĩa ở no. 4. Tính duy nhất của ϕ\phi là hiển nhiên vì các phần tử (x⊗y)⊗z(x \otimes y) \otimes z sinh ra Z\mathbf{Z}-môđun (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G. Để chứng minh sự tồn tại của ϕ\phi, ta chú ý rằng, với mọi z∈G, hz:y↦y⊗zz \in G,\ h_z : y \mapsto y \otimes z là một ánh xạ A-tuyến tính từ A-môđun trái F vào A-môđun trái F ⊗_B G. Ta viết gz=1E⊗hzg_z = 1_E \otimes h_z, do đó đây là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính từ E ⊗_A F vào E ⊗_A (F ⊗_B G) và xét ánh xạ (t,z)↦gz(t)(t, z) \mapsto g_z(t) từ (E⊗AF×G(E \otimes_A F \times G vào E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G); vì hz+z′=hz+hz′h_{z + z'} = h_z + h_{z'} với z∈G, z′∈Gz \in G,\ z' \in G, hiển nhiên là ánh xạ trên là Z\mathbf{Z}-song tuyến tính. Hơn nữa, ta chứng minh rằng với mọi μ∈B, gμz(t)=gz(tμ)\mu \in B,\ g_{\mu z}(t) = g_z(t \mu); hiển nhiên là chỉ cần làm điều này với t=x⊗yt = x \otimes y trong đó x∈Ex \in E và y∈Fy \in F; khi đó

gμz(x⊗y)=x⊗(y⊗μz) g_{\mu z}(x \otimes y) = x \otimes (y \otimes \mu z)
gz((x⊗y)μ)=gz(x⊗yμ)=x⊗(yμ⊗z). g_z((x \otimes y)\mu) = g_z(x \otimes y\mu) = x \otimes (y\mu \otimes z).

Mệnh đề 1 (no. 1) khi đó chứng minh sự tồn tại của một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính

ϕ:(E⊗AF)⊗BG→E⊗A(F⊗BG) \phi : (E \otimes_A F) \otimes_B G \to E \otimes_A (F \otimes_B G)

thỏa mãn ϕ(t⊗z)=gz(t)\phi(t \otimes z) = g_z(t), do đó ϕ((x⊗y)⊗z)=x⊗(y⊗z)\phi((x \otimes y) \otimes z) = x \otimes (y \otimes z). Tương tự, một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính

ψ:E⊗A(F⊗BG)→(E⊗AF)⊗BG \psi : E \otimes_A (F \otimes_B G) \to (E \otimes_A F) \otimes_B G

được định nghĩa sao cho ψ(x⊗(y⊗z))=(x⊗y)⊗z\psi(x \otimes (y \otimes z)) = (x \otimes y) \otimes z và hiển nhiên ψ∘ϕ\psi \circ \phi và ϕ∘ψ\phi \circ \psi lần lượt là các ánh xạ đồng nhất của (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G và E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G), vì chúng rút gọn thành các ánh xạ đồng nhất trên các hệ sinh của các Z\mathbf{Z}-môđun này.

Hiển nhiên là, nếu EE là một đa môđun ((Ci′);A,(Dj′))((C'_i); A, (D'_j)), FF là một đa môđun (A,(Ch′′);B,(Dk′′))(A, (C''_h); B, (D''_k)) và GG là một đa môđun (B,(Cl′′′);(Dm′′′))(B, (C'''_l); (D'''_m)), thì đẳng cấu chính tắc được định nghĩa trong Mệnh đề 8 là một đẳng cấu đa môđun ((Ci′),(Ch′′),(Cl′′′);(Dj′),(Dk′′),(Dm′′′))((C'_i), (C''_h), (C'''_l); (D'_j), (D''_k), (D'''_m)). Đặc biệt, nếu CC là một vành giao hoán và E,F,GE, F, G là ba CC-môđun, thì có một đẳng cấu chính tắc C-môđun

(E⊗CF)⊗CG→E⊗C(F⊗CG). (E \otimes_C F) \otimes_C G \to E \otimes_C (F \otimes_C G).

Ta sẽ thấy ở dưới rằng, dưới những điều kiện nào đó, định nghĩa của tích tenxơ có thể được tổng quát hóa cho một họ các đa môđun, điều này đặc biệt sẽ cho ta dưới các giả thiết của Mệnh đề 8 một Z\mathbf{Z}-môđun E⊗AF⊗BGE \otimes_A F \otimes_B G, đẳng cấu chính tắc với mỗi Z\mathbf{Z}-môđun (E⊗AF)⊗BG(E \otimes_A F) \otimes_B G và E⊗A(F⊗BG)E \otimes_A (F \otimes_B G), và các môđun sau này sẽ được đồng nhất với nó.

9. Tích tenxơ của các họ đa môđun

Cho (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ các Z\mathbf{Z}-môđun; một ánh xạ uu từ tập hợp G=∏λ∈LGλG = \prod_{\lambda \in L} G_\lambda vào một Z\mathbf{Z}-môđun được gọi là đa cộng tính (hay Z\mathbf{Z}-*đa tuyến tính*) nếu (xλ)↦u((xλ))(x_\lambda) \mapsto u((x_\lambda)) là cộng tính đối với từng biến xλx_\lambda; nói chính xác hơn, điều này có nghĩa là, với mọi μ∈L\mu \in L và mọi phần tử (aλ)∈∏λ≠μGλ(a_\lambda) \in \prod_{\lambda \neq \mu} G_\lambda, bằng cách đồng nhất một cách chính tắc GG với Gμ×∏λ≠μGλG_\mu \times \prod_{\lambda \neq \mu} G_\lambda,

u(xμ+yμ,(aλ))=u(xμ,(aλ))+u(yμ,(aλ))với xμ,yμ thuộc Gμ. u(x_\mu + y_\mu, (a_\lambda)) = u(x_\mu, (a_\lambda)) + u(y_\mu, (a_\lambda)) \quad \text{với } x_\mu, y_\mu \text{ thuộc } G_\mu.

Điều này đặc biệt suy ra rằng u((xλ))=0u((x_\lambda)) = 0 nếu một trong các xλx_\lambda bằng không.

Ta cũng xét bài toán ánh xạ phổ quát trong đó Σ\Sigma là loài các cấu trúc Z\mathbf{Z}-môđun và các ánh xạ α\alpha là các ánh xạ đa cộng tính từ GG vào một Z\mathbf{Z}-môđun. Một nghiệm vẫn thu được bằng cách xét Z\mathbf{Z}-môđun C=Z(G)C = \mathbf{Z}^{(G)} gồm các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của GG với hệ số trong Z\mathbf{Z} và môđun con-Z\mathbf{Z} DD của CC sinh bởi các phần tử có dạng

(xμ+yμ,(zλ)λ≠μ)−(xμ,(zλ)λ≠μ)−(yμ,(zλ)λ≠μ) (x_\mu + y_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu}) - (x_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu}) - (y_\mu, (z_\lambda)_{\lambda \neq \mu})

trong đó μ∈L,xμ∈Gμ,yμ∈Gμ\mu \in L, x_\mu \in G_\mu, y_\mu \in G_\mu và các zλ∈Gλz_\lambda \in G_\lambda (λ≠μ\lambda \neq \mu) là tùy ý. Z\mathbf{Z}-môđun thương C/DC/D được gọi là tích tenxơ (trên Z\mathbf{Z}) của họ (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} các Z\mathbf{Z}-*môđun* và được ký hiệu bởi ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda; với mọi phần tử (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} của GG là một phần tử của cơ sở chính tắc của CC, ⨂λ∈Lxλ\bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda ký hiệu ảnh chính tắc của phần tử này trong C/D. Từ các định nghĩa trên suy ra rằng ánh xạ ϕ:(xλ)↦⨂λ∈Lxλ\phi : (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda từ G vào ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda là Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính và rằng, với mọi ánh xạ Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính ff từ G vào một Z\mathbf{Z}-môđun H, tồn tại một và chỉ một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính g:⨂λ∈LGλ→Hg : \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda \to H sao cho f=g∘ϕf = g \circ \phi; do đó cặp có thứ tự (⨂λ∈LGλ,ϕ)\left( \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda, \phi \right) giải quyết bài toán ánh xạ phổ quát đang xét.

Cho (Gλ′)λ∈L(G'_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ khác các Z\mathbf{Z}-môđun và, với mọi λ∈L\lambda \in L, cho vλ:Gλ→Gλ′v_\lambda : G_\lambda \to G'_\lambda là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính (nói cách khác là một đồng cấu các nhóm giao hoán). Khi đó ánh xạ

(xλ)↦⨂λ∈Lvλ(xλ) (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda(x_\lambda)
từ G vào ⨂λ∈LGλ′\bigotimes_{\lambda \in L} G'_\lambda là Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính và do đó xác định một cách chính tắc một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính từ ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda vào ⨂λ∈LGλ′\bigotimes_{\lambda \in L} G'_\lambda được ký hiệu là ⨂λ∈Lvλ\bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda và sao cho
(⨂λ∈Lvλ)(⨂λ∈Lxλ)=⨂λ∈Lvλ(xλ). \left( \bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda \right) \left( \bigotimes_{\lambda \in L} x_\lambda \right) = \bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda(x_\lambda).
Đặc biệt, xét, với một μ∈L\mu \in L nào đó, một tự đồng cấu θ\theta của GμG_\mu; ta ký hiệu bởi θ~\tilde{\theta} tự đồng cấu của ⨂λ∈LGλ\bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda bằng với ⨂λ∈Lvλ\bigotimes_{\lambda \in L} v_\lambda trong đó vμ=θv_\mu = \theta và vλ=1Gλv_\lambda = 1_{G_\lambda} với λ≠μ\lambda \neq \mu.

Tiếp đó giả sử đã cho một tập hợp Ω\Omega, một ánh xạ

c:ω↦(ρ(ω),σ(ω)) c : \omega \mapsto (\rho(\omega), \sigma(\omega))
từ Ω\Omega vào L×LL \times L và, với mọi ω∈Ω\omega \in \Omega, một tự đồng cấu pωp_\omega của Gρ(ω)G_{\rho(\omega)} và một tự đồng cấu qωq_\omega của Gσ(ω)G_{\sigma(\omega)}; tương ứng với chúng là hai tự đồng cấu p~ω\tilde{p}_\omega và q~ω\tilde{q}_\omega của P=⨂λ∈LGλP = \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda. Cho R là môđun con-Z\mathbf{Z} của P được sinh bởi hợp các ảnh của các tự đồng cấu p~ω−q~ω\tilde{p}_\omega - \tilde{q}_\omega khi ω\omega chạy qua Ω\Omega. Z\mathbf{Z}-môđun thương P/RP/R được gọi là tích tenxơ của họ (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda \in L} đối với c, p, q và được ký hiệu là ⨂(c,p,q)Gλ\bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda; hợp thành đồng cấu chính tắc P→P/RP \to P/R với ánh xạ ϕ:G→⨂λ∈LGλ\phi : G \to \bigotimes_{\lambda \in L} G_\lambda được định nghĩa ở trên, ta thu được một ánh xạ Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính ϕ(c,p,q):G→⨂(c,p,q)Gλ\phi_{(c, p, q)} : G \to \bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda và viết ϕ(c,p,q)((xλ))=⨂(c,p,q)xλ\phi_{(c, p, q)}((x_\lambda)) = \bigotimes_{(c, p, q)} x_\lambda hoặc đơn giản là ⨂(c)xλ\bigotimes_{(c)} x_\lambda. Cặp có thứ tự gồm ⨂(c,p,q)xλ\bigotimes_{(c, p, q)} x_\lambda và ϕ(c,p,q)\phi_{(c, p, q)} giải quyết bài toán ánh xạ phổ quát sau đây: ký hiệu bởi pˉω\bar{p}_\omega (tương ứng qˉω\bar{q}_\omega) ánh xạ
(xρ(ω),(xλ)λ≠ρ(ω))↦(pω(xρ(ω)),(xλ)λ≠ρ(ω)) (x_{\rho(\omega)}, (x_\lambda)_{\lambda \neq \rho(\omega)}) \mapsto (p_\omega(x_{\rho(\omega)}), (x_\lambda)_{\lambda \neq \rho(\omega)})
(tương ứng (xσ(ω),(xλ)λ≠σ(ω))↦(qω(xσ(ω)),(xλ)λ≠σ(ω))(x_{\sigma(\omega)}, (x_\lambda)_{\lambda \neq \sigma(\omega)}) \mapsto (q_\omega(x_{\sigma(\omega)}), (x_\lambda)_{\lambda \neq \sigma(\omega)})) từ G vào chính nó. Khi đó Σ\Sigma được lấy là loài cấu trúc Z\mathbf{Z}-môđun và các ánh xạ α là các ánh xạ Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính uu từ GG vào một Z\mathbf{Z}-môđun mà còn thỏa mãn các điều kiện

(26)(26)
u∘pˉω=u∘qˉω u \circ \bar{p}_\omega = u \circ \bar{q}_\omega

với mọi ω∈Ω\omega \in \Omega. Chứng minh là hiển nhiên từ các định nghĩa trên.

Phép dựng này đặc biệt cho lại phép dựng của E⊗AFE \otimes_A F đã được mô tả ở no. 1: trong trường hợp này ta lấy L={1,2}L = \{1, 2\}, G1=EG_1 = E, G2=FG_2 = F, Ω=A\Omega = A; hơn nữa, với mọi ω∈A\omega \in A, phải có ρ(ω)=1\rho(\omega) = 1, σ(ω)=2\sigma(\omega) = 2, ω\omega là tự đồng cấu x↦xωx \mapsto x\omega của Z\mathbf{Z}-môđun EE và qωq_\omega là tự đồng cấu y↦ωyy \mapsto \omega y của Z\mathbf{Z}-môđun FF.

Cho (Gλ′)λ∈L(G'_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ thứ hai các Z\mathbf{Z}-môđun; vẫn giữ nguyên ánh xạ cc, giả sử rằng với mọi ω∈Ω\omega \in \Omega, đã cho một tự đồng cấu pω′p'_\omega của Gρ(ω)′G'_{\rho(\omega)} và một tự đồng cấu qω′q'_\omega của Gσ(ω)′G'_{\sigma(\omega)}. Khi đó, với mọi λ∈L\lambda \in L, cho vλ:Gλ→Gλ′v_\lambda : G_\lambda \to G'_\lambda là một ánh xạ tuyến tính trên Z\mathbf{Z} sao cho, với mọi ω∈Ω\omega \in \Omega,

(27)(27)
vρ(ω)∘pω=pω′∘vρ(ω)vaˋvσ(ω)∘qω=qω′∘vσ(ω) v_{\rho(\omega)} \circ p_\omega = p'_\omega \circ v_{\rho(\omega)} \quad \text{và} \quad v_{\sigma(\omega)} \circ q_\omega = q'_\omega \circ v_{\sigma(\omega)}

(nói cách khác, với mọi λ∈L\lambda \in L, vλv_\lambda là một cấu xạ đối với các luật tác động trên GλG_\lambda (resp. Gλ′G'_\lambda) được xác định bởi các pξp_\xi và qηq_\eta (resp. pξ′p'_\xi và qη′q'_\eta), với ξ\xi và η\eta sao cho ρ(ξ)=λ\rho(\xi) = \lambda và σ(η)=λ\sigma(\eta) = \lambda). Khi đó ánh xạ

u:(xλ)↦⨂(c,p′,q′)vλ(xλ) u : (x_\lambda) \mapsto \bigotimes_{(c, p', q')} v_\lambda(x_\lambda)
từ GG vào ⨂(c,p′,q′)Gλ′\bigotimes_{(c, p', q')} G'_\lambda là Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (26), do đó xác định một ánh xạ tuyến tính trên Z\mathbf{Z} từ ⨂(c,p,q)Gλ\bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda vào ⨂(c,p′,q′)Gλ′\bigotimes_{(c, p', q')} G'_\lambda, mà ta sẽ ký hiệu đơn giản là ⨂(c)vλ\bigotimes_{(c)} v_\lambda nếu không thể có sự nhầm lẫn.

Bây giờ ta sẽ nêu một tính chất "kết hợp" đối với các tích tenxơ tổng quát đã được định nghĩa như trên. Cho (Li)1≤i≤n(L_i)_{1 \leq i \leq n} là một phân hoạch hữu hạn của LL; với mỗi chỉ số ii, ký hiệu Ωi\Omega_i là tập con của Ω\Omega gồm các phần tử sao cho ρ(ω)∈Li\rho(\omega) \in L_i và σ(ω)∈Li\sigma(\omega) \in L_i; rõ ràng các Ωi\Omega_i rời nhau từng đôi một; đặt Ω′=Ω−(⋃iΩi)\Omega' = \Omega - \left( \bigcup_i \Omega_i \right). Với mỗi chỉ số ii, c(i)c^{(i)} sẽ ký hiệu ánh xạ ω↦(ρ(ω),σ(ω))\omega \mapsto (\rho(\omega), \sigma(\omega)) từ Ωi\Omega_i vào Li×LiL_i \times L_i; với ω∈Ωi\omega \in \Omega_i, ta viết pω(i)p^{(i)}_\omega và qω(i)q^{(i)}_\omega thay cho pωp_\omega và qωq_\omega. Khi đó với mỗi ii có một tích tenxơ "bộ phận"

Fi=⨂(c(i),p(i),q(i))Gλ. F_i = \bigotimes_{(c^{(i)}, p^{(i)}, q^{(i)})} G_\lambda.

Hơn nữa ta sẽ đặt giả thiết "hoán vị được" sau đây:

(P) Nếu ω∈Ω′\omega \in \Omega', thì pωp_\omega (resp. qωq_\omega) hoán vị với mỗi tự đồng cấu pξp_\xi và qηq_\eta của Gρ(ω)G_{\rho(\omega)} (resp. Gσ(ω)G_{\sigma(\omega)}) sao cho ξ∉Ω′\xi \notin \Omega', η∉Ω′\eta \notin \Omega' và ρ(ω)=ρ(ξ)=σ(η)\rho(\omega) = \rho(\xi) = \sigma(\eta) (resp. σ(ω)=ρ(ξ)=σ(η)\sigma(\omega) = \rho(\xi) = \sigma(\eta)).

Với mỗi ω∈Ω′\omega \in \Omega', gọi ii là chỉ số sao cho ρ(ω)∈Li\rho(\omega) \in L_i; khi đó xét họ (vλ)λ∈Li(v_\lambda)_{\lambda \in L_i} trong đó vρ(ω)=pωv_{\rho(\omega)} = p_\omega và vλ=1Gλv_\lambda = 1_{G_\lambda} với λ≠ρ(ω)\lambda \neq \rho(\omega); giả thiết (P) kéo theo rằng họ (vλ)(v_\lambda) thỏa mãn các điều kiện (27) (trong đó p′p' và pp phải được thay bằng p(i)p^{(i)}, q′q' và qq bằng q(i)q^{(i)}, ω\omega bằng một phần tử ξ\xi chạy qua Ωi\Omega_i); do đó một tự đồng cấu ⨂(c(i))vλ=rω\bigotimes_{(c^{(i)})} v_\lambda = r_\omega được dẫn xuất của Z\mathbf{Z}-môđun FiF_i. Tương tự, một tự đồng cấu sωs_\omega của Z\mathbf{Z}-môđun FjF_j được định nghĩa từ qωq_\omega, trong đó jj là chỉ số sao cho σ(ω)∈Lj\sigma(\omega) \in L_j; sau cùng đặt d(ω)=(i,j)d(\omega) = (i, j). Khi đó ta có thể định nghĩa tích tenxơ ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i và ánh xạ chính tắc tương ứng

ϕ(d,r,s):∏i=1nFi→⨂(d,r,s)Fi. \phi_{(d, r, s)} : \prod_{i=1}^n F_i \to \bigotimes_{(d, r, s)} F_i.

Mặt khác, với mỗi ii, ánh xạ chính tắc

ψi=ϕ(c(i),p(i),q(i)):∏λ∈LiGλ→Fi; \psi_i = \phi_{(c^{(i)}, p^{(i)}, q^{(i)})} : \prod_{\lambda \in L_i} G_\lambda \to F_i;

dùng tính kết hợp của tích các tập hợp, từ đó dẫn xuất một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính nhiều biến ψ=ϕ(d,r,s)∘(ψi)\psi = \phi_{(d, r, s)} \circ (\psi_i) từ GG vào ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i. Ta chứng minh rằng cặp có thứ tự (⨂(d,r,s)Fi,ψ)\left( \bigotimes_{(d, r, s)} F_i, \psi \right) là một nghiệm của cùng bài toán phổ quát như (⨂(c,p,q)Gλ,ϕ(c,p,q))\left( \bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda, \phi_{(c, p, q)} \right), do đó sẽ suy ra sự tồn tại của một đẳng cấu Z\mathbf{Z}-môđun duy nhất

θ:⨂(c,p,q)Gλ→⨂(d,r,s)Fi \theta : \bigotimes_{(c, p, q)} G_\lambda \to \bigotimes_{(d, r, s)} F_i

sao cho ψ=θ∘ϕ(c,p,q)\psi = \theta \circ \phi_{(c, p, q)} (Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 1).

Bằng quy nạp theo nn, chứng minh được quy về trường hợp n=2n = 2; để đơn giản ta viết F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2 và y1⊗(d)y2y_1 \otimes_{(d)} y_2 thay cho ⨂(d,r,s)Fi\bigotimes_{(d, r, s)} F_i và ⨂(d,r,s)yi\bigotimes_{(d, r, s)} y_i. Xét ánh xạ từ GG vào F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2

h:(xλ)→(⨂(c(1))xλ)⊗(d)(⨂(c(2))xλ). h : (x_\lambda) \to \left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) \otimes_{(d)} \left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right).

Nó hiển nhiên là Z\mathbf{Z}-tuyến tính nhiều biến; ta chứng minh rằng nó thỏa mãn các điều kiện (26) với mọi ω∈Ω\omega \in \Omega. Điều này là hiển nhiên nếu ω∈Ω1\omega \in \Omega_1 hoặc ω∈Ω2\omega \in \Omega_2; nếu không, giả sử, để cụ thể hóa, rằng ρ(ω)∈L1\rho(\omega) \in L_1 và σ(ω)∈L2\sigma(\omega) \in L_2, thì các giá trị của h∘pˉωh \circ \bar{p}_\omega và h∘qˉωh \circ \bar{q}_\omega tại (xλ)(x_\lambda) lần lượt là

(rω(⨂(c(1))xλ))⊗(d)(⨂(c(2))xλ)vaˋ(⨂(c(1))xλ)⊗(d)(sω(⨂(c(2))xλ)) \left( r_\omega \left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) \right) \otimes_{(d)} \left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) \quad \text{và} \quad \left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) \otimes_{(d)} \left( s_\omega \left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) \right)

mà cũng bằng nhau theo định nghĩa của F1⊗(d)F2F_1 \otimes_{(d)} F_2.

Khi đó, cho uu là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính nhiều biến từ GG vào một Z\mathbf{Z}-môđun HH, thỏa mãn các điều kiện (26); ta sẽ định nghĩa một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính v:F1⊗(d)F2→Hv : F_1 \otimes_{(d)} F_2 \to H sao cho u=v∘hu = v \circ h và điều đó sẽ chứng minh mệnh đề của chúng ta (lặp lại lập luận của no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1). Với mọi z2=(xλ)λ∈L2z_2 = (x_\lambda)_{\lambda \in L_2} ta xét ánh xạ tuyến tính "bộ phận" từ ∏λ∈L1Gλ\prod_{\lambda \in L_1} G_\lambda vào HH

u(.,z2):(xλ)λ∈L1↦u((xλ)λ∈L1,z2)=u((xλ)λ∈L). u(., z_2): (x_\lambda)_{\lambda \in L_1} \mapsto u((x_\lambda)_{\lambda \in L_1}, z_2) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L}).

Rõ ràng nó là Z\mathbf{Z}-tuyến tính nhiều biến và thỏa mãn các điều kiện (26) với ω∈Ω1\omega \in \Omega_1; do định nghĩa, vì vậy tồn tại một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính y1↦w1(y1,x2)y_1 \mapsto w_1(y_1, x_2) từ F1F_1 vào HH sao cho

w1(⨂(c(1))xλ,z2)=u((xλ)λ∈L1,z2) w_1\left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda, z_2 \right) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L_1}, z_2)

Tiếp theo ta xét ánh xạ

u2:(xλ)λ∈L2↦w1(.,(xλ)λ∈L2) u_2: (x_\lambda)_{\lambda \in L_2} \mapsto w_1(., (x_\lambda)_{\lambda \in L_2})

của ∏λ∈L2Gλ\prod_{\lambda \in L_2} G_\lambda vào HomZ(F1,H)\mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(F_1, H); nó hiển nhiên là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (26) đối với ω∈Ω2\omega \in \Omega_2, nhờ giả thiết đặt trên uu và các quan hệ (28) và (29), đồng thời lưu ý rằng các phần tử có dạng ⨂(c(1))xλ\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda sinh Z\mathbf{Z}-môđun F1F_1. Do đó có một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính

w2:F2→HomZ(F1,H) w_2: F_2 \to \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(F_1, H)

sao cho

w2(⨂(c(2))xλ)=u2((xλ)λ∈L2) w_2\left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) = u_2((x_\lambda)_{\lambda \in L_2})

hay cũng là

(w2(⨂(c(2))xλ))(⨂(c(1))xλ)=u((xλ)λ∈L). \left( w_2\left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) \right)\left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) = u((x_\lambda)_{\lambda \in L}).

Bây giờ ta xét, với y1∈F1,y2∈F2y_1 \in F_1, y_2 \in F_2, phần tử sau của HH

w(y1,y2)=(w2(y2))(y1). w(y_1, y_2) = (w_2(y_2))(y_1).

Rõ ràng ww là một ánh xạ Z\mathbf{Z}-song tuyến tính từ F1×F2F_1 \times F_2 vào HH. Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng, với mọi ω∈Ω′\omega \in \Omega', (giả sử, để cố định ý tưởng, rằng ρ(ω)∈L1\rho(\omega) \in L_1 và σ(ω)∈L2\sigma(\omega) \in L_2)

w(rω(y1),y2)=w(y1,sω(y2)). w(r_\omega(y_1), y_2) = w(y_1, s_\omega(y_2)).

Chỉ cần kiểm tra quan hệ này khi y1y_1 (tương ứng y2y_2) có dạng ⨂(c(1))xλ\bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda (tương ứng ⨂(c(2))xλ\bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda), vì các phần tử ấy sinh Z\mathbf{Z}-môđun F1F_1 (tương ứng F2F_2). Nhưng theo định nghĩa, rω(⨂(c(1))xλ)=⨂(c(1))xλ′r_\omega\left( \bigotimes_{(c^{(1)})} x_\lambda \right) = \bigotimes_{(c^{(1)})} x'_\lambda, trong đó xρ(ω)′=pω(xρ(ω))x'_{\rho(\omega)} = p_\omega(x_{\rho(\omega)}) và xλ′=xλx'_\lambda = x_\lambda với λ≠ρ(ω)\lambda \neq \rho(\omega) trong L1L_1; tương tự sω(⨂(c(2))xλ)=⨂(c(2))xλ′′s_\omega\left( \bigotimes_{(c^{(2)})} x_\lambda \right) = \bigotimes_{(c^{(2)})} x''_\lambda, trong đó xσ(ω)′′=qω(xσ(ω)′)x''_{\sigma(\omega)} = q_\omega(x'_{\sigma(\omega)}) và xλ′′=xλx''_\lambda = x_\lambda với λ≠σ(ω)\lambda \neq \sigma(\omega) trong L2L_2; dùng (30) và (31), khi đó quan hệ (32) suy ra từ (26). Do đó tồn tại một ánh xạ Z\mathbf{Z}-tuyến tính vv từ F1⊗F2F_1 \otimes F_2 vào HH sao cho v(y1⊗y2)=w(y1,y2)v(y_1 \otimes y_2) = w(y_1, y_2), và khi đó từ (30) và (31) suy ra rằng v∘h=uv \circ h = u.

Trường hợp đặc biệt quan trọng nhất của tích tenxơ tổng quát được định nghĩa ở trên là trường hợp sau đây: ta bắt đầu với một họ (Ai)1≤i≤n−1(A_i)_{1 \leq i \leq n-1} các vành và một họ (Ei)1≤i≤n(E_i)_{1 \leq i \leq n}, trong đó E1E_1 là một môđun phải A1A_1, EnE_n là một môđun trái An−1A_{n-1} và, với 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1, EiE_i là một song môđun (Ai−1,Ai)(A_{i-1}, A_i). Khi đó định nghĩa ở trên được áp dụng như sau: L là tập hợp [1,n][1, n], Gi=EiG_i = E_i, Ω là tập hợp tổng của các AiA_i (1≤i≤n−11 \leq i \leq n-1). Với ω∈Ai\omega \in A_i (1≤i≤n−11 \leq i \leq n-1), lấy ρ(ω)=i\rho(\omega) = i, σ(ω)=i+1\sigma(\omega) = i + 1, pωp_\omega là tự đồng cấu x↦xωx \mapsto x\omega của ZZ-môđun EiE_i và qωq_\omega là tự đồng cấu y↦ωyy \mapsto \omega y của ZZ-môđun Ei+1E_{i+1}; tích tenxơ tương ứng được ký hiệu là

E1⊗A1E2⊗A2E3⊗⋯⊗An−2En−1⊗An−1En E_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes_{A_2} E_3 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-2}} E_{n-1} \otimes_{A_{n-1}} E_n

(một ký hiệu trong đó các AiA_i đôi khi có thể được lược bỏ) và các phần tử ⨂(c,p,q)xi\bigotimes_{(c, p, q)} x_i của tích tenxơ này, với một họ (xi)(x_i) sao cho xi∈Eix_i \in E_i với 1≤i≤n1 \leq i \leq n, có thể được viết là x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n nếu không thể gây ra nhầm lẫn; một ký hiệu tương tự được dùng cho một ánh xạ tuyến tính ZZ ⨂(c)vi\bigotimes_{(c)} v_i. Giả thiết (P) đúng với mọi phân hoạch của [1,n][1, n], vì các EiE_i là song môđun với 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1. Khi n=3n = 3, như vậy ta đã định nghĩa ZZ-môđun E⊗AF⊗BGE \otimes_A F \otimes_B G được nhắc đến trong no. 8, và thu được lại Mệnh đề 8 (no. 8).

Khi mỗi EiE_i là một môđun đa tạp (với, đối với 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1, Ai−1A_{i-1} là một trong các vành tác động bên trái và AiA_i là một trong các vành tác động bên phải, và các điều kiện tương tự đối với i=1i = 1 và i=ni = n), như trong no. 4, một cấu trúc môđun đa tạp được xác định trên E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n đối với tất cả các vành ngoại trừ các AiA_i tác động trên EiE_i (1≤i≤n1 \leq i \leq n).

Đặc biệt, cho C là một vành giao hoán, (Ei)1≤i≤n(E_i)_{1 \leq i \leq n} là một họ các C-môđun. Bằng cách trang bị cho E1E_1 và EnE_n hai cấu trúc C-môđun đồng nhất với cấu trúc đã cho và cho EiE_i, với 2≤i≤n−12 \leq i \leq n-1, ba cấu trúc C-môđun đồng nhất với cấu trúc đã cho, ta xác định trên tích tenxơ

E1⊗CE2⊗CE3⊗⋯⊗CEn−1⊗CEn E_1 \otimes_C E_2 \otimes_C E_3 \otimes \cdots \otimes_C E_{n-1} \otimes_C E_n

nn cấu trúc C-môđun tương thích với nhau và thực ra đồng nhất, vì với mọi γ∈C\gamma \in C và (xi)∈∏i=1nEi(x_i) \in \prod_{i=1}^n E_i, theo định nghĩa

(γx1)⊗x2⊗⋯⊗xn=x1⊗(γx2)⊗⋯⊗xn=⋯=x1⊗x2⊗⋯⊗(γxn). (\gamma x_1) \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n \\ = x_1 \otimes (\gamma x_2) \otimes \cdots \otimes x_n = \cdots = x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes (\gamma x_n).

Khi ta nói đến tích tenxơ (34) như một C-môđun, ta sẽ luôn hiểu là với cấu trúc này, trừ khi có nói khác, và tích tenxơ (34) cũng được ký hiệu bởi ⨂1≤i≤nEi\bigotimes_{1 \leq i \leq n} E_i nếu không thể nảy sinh nhầm lẫn. Với mọi C-môđun G, các ánh xạ Z\mathbf{Z}-đa tuyến tính từ ∏i=1nEi\prod_{i=1}^n E_i vào G mà, với mọi chỉ số i, thỏa mãn quan hệ

f(x1,…,xi−1,γxi,xi+1,…,xn)=γf(x1,…,xn) f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \gamma x_i, x_{i+1}, \ldots, x_n) = \gamma f(x_1, \ldots, x_n)

với γ∈C\gamma \in \mathbf{C} và (xi)∈∏iEi(x_i) \in \prod_i E_i khi đó được gọi là C-đa tuyến tính và tạo thành một C-môđun ký hiệu là Ln(E1,…,En;G)\mathscr{L}_n(E_1, \ldots, E_n; G); khi đó tính chất phổ quát của tích tenxơ (34) cho phép ta định nghĩa một đẳng cấu C-môđun chính tắc

Ln(E1,…,En;G)→Hom⁡C(E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn,G) \mathscr{L}_n(E_1, \ldots, E_n; G) \to \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, G)

gắn với mỗi ánh xạ C-đa tuyến tính f ánh xạ C-tuyến tính g sao cho

f(x1,…,xn)=g(x1⊗x2⊗⋯⊗xn). f(x_1, \ldots, x_n) = g(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n).

Một ánh xạ C-đa tuyến tính từ E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n vào C\mathbf{C} cũng được gọi là một dạng nn-tuyến tính.

Cho (Fi)1≤i≤n(F_i)_{1 \leq i \leq n} là một họ khác các C-môđun; với mọi hệ gồm n ánh xạ C-tuyến tính ui:Ei→Fi,u1⊗u2⊗⋯⊗unu_i : E_i \to F_i, u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n (cũng được ký hiệu là ⨂1≤i≤nui\bigotimes_{1 \leq i \leq n} u_i) là một ánh xạ C-tuyến tính từ

E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn vaˋo F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn. E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n \text{ vào } F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n.

Hơn nữa, (u1,…,un)↦u1⊗u2⊗⋯⊗un(u_1, \ldots, u_n) \mapsto u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n là một ánh xạ C-đa tuyến tính từ ∏iHom⁡C(Ei,Fi)\prod_i \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_i, F_i) vào

Hom⁡C(E1⊗CE⊗⋯⊗CEn,F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn). \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n).

Do đó tương ứng một cách chính tắc với ánh xạ sau cùng một ánh xạ C-tuyến tính gọi là chính tắc

Hom⁡C(E1,F1)⊗CHom⁡C(E2,F2)⊗⋯⊗CHom⁡C(En,Fn) \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_1, F_1) \otimes_\mathbf{C} \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_2, F_2) \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_n, F_n)
→Hom⁡C(E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn,F1⊗CF2⊗⋯⊗CFn) \to \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(E_1 \otimes_\mathbf{C} E_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_n, F_1 \otimes_\mathbf{C} F_2 \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} F_n)

tổng quát hóa ánh xạ được định nghĩa trong no. 5 cho n=2n = 2.

Tính chất kết hợp tổng quát đã thấy trước đây có thể được chuyên biệt hóa ở đây như sau. Cho một phân hoạch (Jk)1≤k≤m(J_k)_{1 \leq k \leq m} của khoảng {1,n}\{1, n\} của N\mathbf{N}, và với mỗi kk, cho FkF_k là tích tenxơ Ei1⊗CEi2⊗⋯⊗CEirE_{i_1} \otimes_\mathbf{C} E_{i_2} \otimes \cdots \otimes_\mathbf{C} E_{i_r}, trong đó (i1,…,ir)(i_1, \ldots, i_r) là dãy tăng ngặt các phần tử của JkJ_k. Khi đó có một đẳng cấu C-môđun chính tắc (gọi là "đẳng cấu kết hợp")

F1⊗CF2⊗⋯⊗CFm→E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn F_1 \otimes_C F_2 \otimes \cdots \otimes_C F_m \to E_1 \otimes_C E_2 \otimes \cdots \otimes_C E_n

mà, theo ký hiệu ở trên, biến tích tenxơ

y1⊗y2⊗⋯⊗ym,trong đoˊ yk=xi1⊗xi2⊗⋯⊗xir, y_1 \otimes y_2 \otimes \cdots \otimes y_m, \quad \text{trong đó } y_k = x_{i_1} \otimes x_{i_2} \otimes \cdots \otimes x_{i_r},

thành tích tenxơ x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n (trong đó xi∈Eix_i \in E_i với mọi ii).

Đặc biệt, nếu π\pi là một phép hoán vị của {1,n}\{1, n\}, viết Jk={π(k)}J_k = \{\pi(k)\} với 1≤k≤n1 \leq k \leq n, ta thu được một đẳng cấu chính tắc ("giao hoán")

Eπ(1)⊗CEπ(2)⊗⋯⊗CEπ(n)→E1⊗CE2⊗⋯⊗CEn E_{\pi(1)} \otimes_C E_{\pi(2)} \otimes \cdots \otimes_C E_{\pi(n)} \to E_1 \otimes_C E_2 \otimes \cdots \otimes_C E_n

biến xπ(1)⊗xπ(2)⊗⋯⊗xπ(n)x_{\pi(1)} \otimes x_{\pi(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\pi(n)} thành x1⊗x2⊗⋯⊗xnx_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n. Ta sẽ thường đồng nhất các tích tenxơ khác nhau tương ứng với nhau qua các đẳng cấu chính tắc này.

Với 1≤i≤n1 \leq i \leq n, giả sử rằng EiE_i thừa nhận một cơ sở (bλi(i))λi∈Li(b^{(i)}_{\lambda_i})_{\lambda_i \in L_i}; bằng quy nạp theo nn, suy ra từ no. 7, Hệ quả 2 của Mệnh đề 7 rằng họ (bλ1(1)⊗bλ2(2)⊗⋯⊗bλn(n))(b^{(1)}_{\lambda_1} \otimes b^{(2)}_{\lambda_2} \otimes \cdots \otimes b^{(n)}_{\lambda_n}), trong đó (λ1,…,λn)(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) chạy qua ∏1≤i≤nLi\prod_{1 \leq i \leq n} L_i, là một cơ sở của ⨁1≤i≤nEi\bigoplus_{1 \leq i \leq n} E_i, đôi khi được gọi là tích tenxơ của các cơ sở (bλ1(1))(b^{(1)}_{\lambda_1}) đang xét.

Nhận xét

(1) Các nhận xét ở trên liên quan đến trường hợp các môđun trên một vành giao hoán được tổng quát hóa như trong no. 5, Nhận xét 2 khi có một tích tenxơ E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n trong đó các vành AiA_i không nhất thiết giao hoán và trong đó, với mỗi ii, có một đồng cấu ρi:C→A\rho_i : C \to A từ cùng một vành giao hoán CC sao cho: (1) ρi(C)\rho_i(C) được chứa trong tâm của AiA_i; (2) với 2≤i≤n−12 \leq i \leq n - 1, các cấu trúc CC-môđun trên EiE_i thu được bằng cách dùng các đồng cấu ρi−1\rho_{i-1} và ρi\rho_i là trùng nhau. Khi đó ta thu được một cấu trúc CC-*môđun* trên E1⊗A1E2⊗⋯⊗An−1EnE_1 \otimes_{A_1} E_2 \otimes \cdots \otimes_{A_{n-1}} E_n và các ánh xạ chính tắc tương tự như (13) (no. 5), mà ta để bạn đọc tự mô tả.

(2) Cho A,BA, B là hai vành, EE là một AA-môđun phải, E′E' là một AA-môđun trái, FF là một BB-môđun phải và F′F' là một BB-môđun trái. Khi đó các ánh xạ Z-song tuyeˆˊn tıˊnh\mathbf{Z}\text{-song tuyến tính} từ (E⊗AE′)×(F⊗BF′)(E \otimes_A E') \times (F \otimes_B F') vào một Z-moˆđun\mathbf{Z}\text{-môđun} GG tương ứng một-một với các ánh xạ Z-đa tuyeˆˊn tıˊnh\mathbf{Z}\text{-đa tuyến tính} ff từ E×E′×F×F′E \times E' \times F \times F' vào GG thỏa mãn các điều kiện

{f(xλ,x′,y,y′)=f(x,λx′,y,y′)f(x,x′,yμ,y′)=f(x,x′,y,μy′) \begin{cases} f(x \lambda, x', y, y') = f(x, \lambda x', y, y') \\ f(x, x', y \mu, y') = f(x, x', y, \mu y') \end{cases}

với λ∈A,μ∈B,x∈E,x′∈E′,y∈F,y′∈F′\lambda \in A, \mu \in B, x \in E, x' \in E', y \in F, y' \in F'. Các cấu tạo tổng quát đã cho trong no. này rút gọn chứng minh điều này về việc xác định một đẳng cấu chính tắc của Z-moˆđun\mathbf{Z}\text{-môđun} giữa (E⊗AE′)⊗Z(F⊗BF′)(E \otimes_A E') \otimes_{\mathbf{Z}} (F \otimes_B F') và E⊗AE′⊗ZF⊗BF′E \otimes_A E' \otimes_{\mathbf{Z}} F \otimes_B F', điều này suy ra từ tính kết hợp của các tích tenxơ dạng (33).

Bài tập

Xem bài tập của § 3.

Machine translation of the English, by gpt-5.4, gpt-5-6-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.