(5)

(b) Cho E là một A-môđun phải, F là một (A, C)-song môđun và G là một C-môđun phải. Với mọi ánh xạ $h \in \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, G)$, gọi $h'$ là ánh xạ từ E vào $\mathrm{Hom}_C(F, G)$ được xác định bởi $(h'(x))(y) = h(x \otimes y)$ với $x \in E, y \in F$. Ánh xạ $h \mapsto h'$ là một đẳng cấu

(6)

Đặc biệt B và C có thể được lấy là một vành con $\Gamma$ của tâm của vành A; khi đó với mọi $\Gamma$-môđun G, ba $\Gamma$-môđun

đẳng cấu chính tắc với môđun $\Gamma$ của các ánh xạ $\Gamma$-*song tuyến tính* từ $E \times F$ vào G thỏa mãn (1). Cụ thể hơn:

(ii) Khi $E$ là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì đồng cấu chính tắc (7) là song ánh.

Giữ cố định E và G, với mọi B-môđun trái F, ta viết

với mọi đồng cấu B-môđun trái $u : F \to F'$, ta viết $T(u) = 1 \otimes u$ (1 ở đây chỉ ánh xạ đồng nhất của $\mathrm{Hom}_A(E, G)$),

mặt khác ta viết $\nu_F$ thay cho $\nu$. Khi đó ta có các bổ đề sau:

là giao hoán.

Việc kiểm tra là ngay lập tức.

Tính giao hoán suy ra từ Bổ đề 1, các khẳng định còn lại suy ra từ § 1, no. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 6 và § 3, no. 7, Mệnh đề 7.

Điều này suy ra từ Bổ đề 2 và § 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 6.

Khi đó Bổ đề 3, cùng với § 2, no. 2, Mệnh đề 4, cho thấy chỉ cần xét trường hợp $F$ là một môđun tự do. Nhưng, nếu $(b_\mu)$ là một cơ sở của $F$, thì mọi phần tử của $\mathrm{Hom}_A(E, G) \otimes_B F$ khi đó đều được viết duy nhất dưới dạng $\sum_\mu u_\mu \otimes b_\mu$, trong đó $u_\mu \in \mathrm{Hom}_A(E, G)$ (§ 3, no. 7, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7); ảnh của phần tử này qua $\nu$ là ánh xạ $A$-tuyến tính $x \mapsto \sum_\mu u_\mu(x) \otimes b_\mu$; nó không thể bằng không với mọi $x \in E$ trừ khi $u_\mu(x) = 0$ với mọi $x \in E$ và mọi $\mu$, điều này tương đương với việc nói rằng $u_\mu = 0$ với mọi $\mu$; do đó $\nu$ là đơn ánh. Khi $F$ cũng có một cơ sở hữu hạn, Bổ đề 3 cho thấy (bằng quy nạp theo số phần tử trong cơ sở của $F$) rằng để chứng minh $\nu$ là toàn ánh, chỉ cần làm điều đó khi $F = B_s$; nhưng trong trường hợp này hai vế của (7) được đồng nhất một cách chính tắc với $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ (§ 3, no. 4, Mệnh đề 4) và $\nu$ trở thành ánh xạ đồng nhất.

(ii) Để chứng minh mệnh đề khi $E$ là xạ ảnh và sinh hữu hạn, lần này ta cố định $F$ và $G$ và viết, với mọi $A$-môđun trái $E$,

và, với mọi đồng cấu môđun trái $A$ $v : E \to E'$,

mặt khác, ta viết $\nu_E$ thay cho $\nu$. Khi đó ta có hai bổ đề sau:

Chúng được chứng minh như các Bổ đề 1 và 2, có tính đến § 1, no. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 6, § 2, no. 1, Mệnh đề 1 và § 3, no. 7, Mệnh đề 7.

Phần còn lại của chứng minh được tiến hành như trong (i) và quy về trường hợp $E = A_s$; khi đó hai vế của (7) được đồng nhất một cách chính tắc với $G \otimes_B F$ và $\nu$ trở thành ánh xạ đồng nhất.

Đặc biệt, lấy $B = A$ và $G$ là $(A, A)$-song môđun ${}_sA_d$ ($§ 3$, no. 4), nên A-môđun phải $\mathrm{Hom}_A(E, {}_sA_d)$ chỉ là đối ngẫu $E^*$ của $E$ và $({}_sA_d) \otimes_A F$ được đồng nhất một cách chính tắc với $F$ ($§ 3$, no. 4, Mệnh đề 4). Đồng cấu (7) khi đó trở thành một đồng cấu chính tắc $\mathbf{Z}$

và $\theta(x^* \otimes y)$ là ánh xạ tuyến tính từ $E$ vào $F$

Nhận xét (1). Đặc trưng hóa các xạ ảnh $A$-môđun được cho trong $§ 2$, no. 6, Mệnh đề 12, cũng có thể được phát biểu như sau: để một trái $A$-môđun $E$ là xạ ảnh, điều cần và đủ là đồng cấu chính tắc

sao cho $1_E$ thuộc ảnh của $\theta_E$.

Ngay cả khi $E$ và $F$ đều sinh hữu hạn, $\theta$ cũng không nhất thiết toàn ánh, như được chỉ ra bởi ví dụ $A = \mathbf{Z}, E = F = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$; vế phải của (11) khác không nhưng $E^* = 0$. Mặt khác, có thể cho ví dụ trong đó $E$ là tự do, nhưng (11) vừa không đơn ánh vừa không toàn ánh (Bài tập 3(b)).

Khi $E$ có một cơ sở hữu hạn $(e_i)$, đẳng cấu nghịch đảo $\theta^{-1}$ của $\theta$ có thể được tìm một cách tường minh như sau. Gọi $(e_i^*)$ là cơ sở đối ngẫu của $(e_i)$ (§ 2, no. 6); với mọi $u \in \mathrm{Hom}(E, F)$ và mọi $x = \sum_i \xi_i e_i$ với $\xi_i \in A$,

và do đó $u = \sum_i \theta(e_i^* \otimes u(e_i))$, nói cách khác

Đặc biệt, nếu thêm $F = E$, thì thấy rằng ảnh của ánh xạ đồng nhất $1_E$ qua $\theta_E^{-1}$ là phần tử $\sum_i e_i^* \otimes e_i$, và do đó độc lập với cơ sở $(e_i)$ được xét trong $E$.

Chú ý mặt khác rằng khi $E$ là một môđun xạ ảnh sinh hữu hạn thì cấu trúc vành trên $\mathrm{End}_A(E)$ có thể được chuyển bởi $\theta_E^{-1}$ sang $E^* \otimes_A E$; ngay lập tức kiểm tra được rằng, với $x, y$ trong $E$, $x^*, y^*$ trong $E^*$, trong vành $\mathrm{End}_A(E)$,

Nhận xét (2). Cho $E$ là một A-môđun phải; thay thế $E$ bằng $E^*$ trong (11), ta thu được một đồng cấu chính tắc $\mathbf{Z}$

Mặt khác, có một $A$-đồng cấu chính tắc $c_E : E \to E^{**}$, do đó có một $\mathbf{Z}$-đồng cấu $c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$; hợp đồng cấu sau với đồng cấu (14), ta suy ra một $\mathbf{Z}$-đồng cấu chính tắc

sao cho $\theta'(x \otimes y)$ là ánh xạ tuyến tính

Nếu E và F là các môđun xạ ảnh, thì ánh xạ (15) là đơn ánh. Thật vậy, $c_E$ khi đó là đơn ánh (§ 2, no. 7, Hệ quả 4 của Mệnh đề 13) và vì F là xạ ảnh, nên $\mathbf{Z}$-đồng cấu $c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$ cũng là đơn ánh (§ 3, no. 7, Hệ quả 6 của Mệnh đề 7); cuối cùng, đã thấy (Mệnh đề 2) rằng đồng cấu (14) là đơn ánh, do đó suy ra kết luận.

Nếu E là xạ ảnh và sinh hữu hạn, thì ánh xạ (15) là song ánh vì hai ánh xạ mà nó gồm thành khi đó đều song ánh (§ 2, no. 7, Hệ quả 4 của Mệnh đề 13 và Mệnh đề 2 ở trên).

Hai ánh xạ $(u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(u \circ v), (u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(v \circ u)$ từ

vào $C$ là $C$*-song tuyến tính*; do đó chỉ cần kiểm tra (20) khi $u$ có dạng $x \mapsto \langle x, a^* \rangle b$ và $v$ có dạng $y \mapsto \langle y, b^* \rangle a$, với $a \in E, a^* \in E^*, b \in F, b^* \in F^*$. Nhưng khi đó $v \circ u$ là ánh xạ $x \mapsto \langle x, a^* \rangle \langle b, b^* \rangle a$ và $u \circ v$ là ánh xạ $y \mapsto \langle y, b^* \rangle \langle a, a^* \rangle b$. Công thức (17) chỉ ra rằng các giá trị của hai vế của (20) đều bằng $\langle a, a^* \rangle \langle b, b^* \rangle$.

với $1 \leq i \leq p$ ("tính bất biến của vết đối với phép hoán vị chu kỳ").

Chỉ cần áp dụng (20) cho tích

Chú ý rằng mặt khác không nhất thiết đúng rằng

với ba tự đồng cấu $u, v, w$ của E.

Hiển nhiên chỉ cần thực hiện chứng minh cho các cặp có thứ tự $(E_1, F_1)$ và $(E_1, E_2)$.

Trước hết ta xét trường hợp của cặp có thứ tự $(E_1, F_1)$; ta cố định $E_2, F_1, F_2$ và viết với mọi C-môđun $T(E) = \operatorname{Hom}(E, F_1) \otimes_c \operatorname{Hom}(E_2, F_2)$ và $T'(E) = \operatorname{Hom}(E \otimes E_2, F_1 \otimes F_2)$ và, với mọi đồng cấu C-môđun $v : E \to E'$,

và

Khi đó Các Bổ đề 4 và 5 (no. 2) (trong đó v được thay bởi $\lambda$) đều đúng và được chứng minh bằng các phương pháp hoàn toàn tương tự.

Tiếp theo ta cố định $E_2$ và $F_2$ và lần này viết, với mọi C-môđun F,

và $T'(F) = \operatorname{Hom}(C \otimes E_2, F \otimes F_2)$ và, với mọi đồng cấu C-môđun $u : F \to F'$,

và

Lần này ta kiểm tra ngay lập tức rằng Các Bổ đề 1 và 2 (no. 2) (trong đó $\lambda$ luôn thay thế v) đều đúng.

Do đó, ta chứng minh mệnh đề trước hết khi $E_1 = C$ và $F_1$ là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Lập luận của no. 2 (dựa trên Các Bổ đề 1 và 2), cùng với các nhận xét trên, quy về việc chứng minh mệnh đề khi đồng thời $F_1 = C$; khi đó $\operatorname{Hom}(E_1, F_1), E_1 \otimes E_2$ và $F_1 \otimes F_2$ lần lượt được đồng nhất với C, $E_2$ và $F_2$ (§ 3, no. 4, Mệnh đề 4); hai vế của (21)

ĐỒNG CẤU $\operatorname{Hom}_c(E_1, F_1) \otimes_c \operatorname{Hom}(E_2, F_2)$

khi đó đều được đồng nhất một cách chính tắc với $\operatorname{Hom}(E_2, F_2)$ và, sau các phép đồng nhất này, ta kiểm tra được rằng $\lambda$ trở thành đồng nhất.

Bây giờ giả sử rằng $F_1$ là xạ ảnh và sinh hữu hạn; lập luận của no. 2 (lần này dựa vào Các Bổ đề 4 và 5) quy việc chứng minh đối với $E_1$ là một môđun xạ ảnh sinh hữu hạn tùy ý về trường hợp $E_1 = C$, tức là trường hợp đầu tiên đã xét.

Đối với cặp có thứ tự $(E_1, E_2)$, quy trình tương tự, lần này áp dụng Các Bổ đề 4 và 5 hai lần; ta để lại các chi tiết cho người đọc.

Chú ý rằng khi $E_1 = C^{(I)}$, $E_2 = C^{(J)}$ là tự do (sinh hữu hạn hoặc không), thì $\operatorname{Hom}(E_1, F_1) = F_1^I$, $\operatorname{Hom}(E_2, F_2 = F_2^J$ và

sai khác một đẳng cấu chính tắc và (21) khi đó trùng với một trường hợp đặc biệt của đồng cấu chính tắc (22) của § 3, no. 7.

Khi $E_2 = C$, đồng cấu chính tắc (21) cho, sau khi đồng nhất $\operatorname{Hom}(E_2, F_2)$ với $F_2$ và $E_1 \otimes E_2$ với $E_1$, một đồng cấu chính tắc

đối với bất kỳ ba $C$-môđun $E, F, G$ nào, và đó chính là đồng cấu (7) của no. 2 cho $A = B = C$.

Chú ý rằng khi $F = C$ thì đồng cấu chính tắc (22) lại cho (11) (no. 2) trong trường hợp của một vành giao hoán.

Giả sử bây giờ $F_1 = F_2 = C$; vì $F_1 \otimes F_2$ được đồng nhất với $C$, lần này có một đồng cấu chính tắc

cho hai $C$-môđun $E, F$; với $x^* \in E^*, y^* \in F^*$, ảnh của $x^* \otimes y^*$ dưới đồng cấu chính tắc (23) là dạng tuyến tính $u$ trên $E \otimes F$ sao cho Hơn nữa, nếu $E_1, E_2, F_1, F_2$ là bốn $C$-môđun, $f : E_1 \to E_2, g : F_1 \to F_2$ là hai ánh xạ tuyến tính, thì ngay lập tức từ (24) suy ra biểu đồ là giao hoán.

Do tính tuyến tính, chỉ cần xét trường hợp $u_1$ có dạng $x_1 \mapsto \langle x_1, x_1^* \rangle y_1$ và $u_2$ có dạng $x_2 \mapsto \langle x_2, x_2^* \rangle y_2$; khi đó ảnh của $x_1 \otimes x_2$ dưới $u_1 \otimes u_2$ theo định nghĩa là

$x_1^* \otimes x_2^*$ được đồng nhất một cách chính tắc dưới $\mu$ với một phần tử của $(E_1 \otimes E_2)^*$. Vì $\langle y_1 \otimes y_2, x_1^* \otimes x_2^* \rangle = \langle y_1, x_1^* \rangle \langle y_2, x_2^* \rangle$, nên công thức (26) suy ra trong trường hợp này từ (17).