(5)

b) Soient E un A-module à droite, F un (A, C)-bimodule, G un C-module à droite. Pour toute application $h \in \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, G)$, soit $h'$ l’application de E dans $\mathrm{Hom}_C(F, G)$ définie par $(h'(x))(y) = h(x \otimes y)$ pour $x \in E, y \in F$. L’application $h \mapsto h'$ est un isomorphisme

(6)

On peut en particulier prendre pour B et C un sous-anneau $\Gamma$ du centre de l’anneau A ; alors pour tout $\Gamma$-module G, les trois $\Gamma$-modules

sont canoniquement isomorphes au $\Gamma$-module des applications $\Gamma$-*bilinéaires* de $E \times F$ dans G qui vérifient (1) (II, p. 73). Plus particulièrement :

sont canoniquement isomorphes.

(ii) Lorsque E est un A-module projectif de type fini, l’homomorphisme canonique (7) est bijectif.

(i) Fixons E et G, et pour tout B-module à gauche F, posons $T(F) = \operatorname{Hom}_A(E, G) \otimes_B F$, $T'(F) = \operatorname{Hom}_A(E, G \otimes_B F)$; pour tout homomorphisme $u : F \to F'$ de B-modules à gauche, posons $T(u) = 1 \otimes u$ (1 désignant ici l’application identique de $\operatorname{Hom}_A(E, G)$), $T'(u) = \operatorname{Hom}(1_E, 1_G \otimes u)$; écrivons d’autre part $\nu_F$ au lieu de $\nu$. On a alors les lemmes suivants:

est commutatif.

La vérification est immédiate.

est commutatif, et les flèches verticales sont bijectives.

La commutativité résulte du lemme 1; les autres assertions, de II, p. 13, cor. 2 et de II, p. 61, prop. 7.

Cela résulte du lemme 2 et de II, p. 13, cor. 1.

Cela étant, le lemme 3, joint à II, p. 39, prop. 4, montre qu’il suffit de considérer le cas où F est un module libre. Or, si $(b_\mu)$ est une base de F, tout élément de $\mathrm{Hom}_A(E, G) \otimes_B F$ s’écrit alors d’une seule manière $\sum_\mu u_\mu \otimes b_\mu$, où $u_\mu \in \mathrm{Hom}_A(E, G)$ (II, p. 62, cor. 1); l’image de cet élément par $\nu$ est l’application A-linéaire $x \mapsto \sum_\mu u_\mu(x) \otimes b_\mu$; elle ne peut être nulle pour tout $x \in E$ que si $u_\mu(x) = 0$ pour tout $x \in E$ et tout $\mu$, ce qui équivaut à dire que $u_\mu = 0$ pour tout $\mu$; donc $\nu$ est injectif. Lorsqu’en outre F admet une base finie, le lemme 3 montre (par récurrence sur le nombre d’éléments de la base de F) que pour prouver que $\nu$ est surjectif, il suffit de le faire lorsque $F = B_s$; mais dans ce cas les deux membres de (7) s’identifient canoniquement à $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ (II, p. 55, prop. 4) et $\nu$ devient l’identité.

(ii) Pour démontrer la proposition lorsque E est projectif et de type fini, fixons cette fois F et G, et posons, pour tout A-module à gauche E, $T(E) = \mathrm{Hom}_A(E, G) \otimes_B F$, $T'(E) = \mathrm{Hom}_A(E, G \otimes_B F)$, et pour tout homomorphisme $v : E \to E'$ de A-modules à gauche, $T(v) = \mathrm{Hom}(v, 1_G) \otimes 1_F$, $T'(v) = \mathrm{Hom}(v, 1_G \otimes 1_F)$; écrivons d’autre part $\nu_E$ au lieu de $\nu$. On a alors les deux lemmes:

Ils se démontrent comme les lemmes 1 et 2, compte tenu de II, p. 13, cor. 2, de II, p. 37, prop. 1 et de II, p. 61, prop. 7.

Le reste de la démonstration procède alors comme dans (i) et on est ramené au cas où $E = A_s$; les deux membres de (7) s’identifient alors canoniquement à $G \otimes_B F$ et $\nu$ devient l’identité.

C. Q. F. D.

Prenons en particulier $B = A$, et pour $G$ le $(A, A)$-bimodule ${}_sA_d$ (II, p. 55), de sorte que le $A$-module à droite $\mathrm{Hom}_A(E, {}_sA_d)$ n’est autre que le dual $E^*$ de $E$, et $({}_sA_d) \otimes_A F$ s’identifie canoniquement à $F$ (II, p. 55, prop. 4). L’homomorphisme (7) se particularise alors en un $\mathbf{Z}$-homomorphisme canonique

et $\theta(x^* \otimes y)$ est l’application linéaire de $E$ dans $F$

Remarque 1). — La caractérisation des $A$-modules projectifs donnée dans II, p. 46, prop. 12, peut encore s’exprimer de la façon suivante: pour qu’un $A$-module à gauche de type fini $E$ soit projectif, il faut et il suffit que l’homomorphisme canonique

soit tel que $1_E$ appartienne à l’image de $\theta_E$.

(ii) Lorsque $E$ est un module projectif de type fini, l’homomorphisme canonique (11) est bijectif.

Même lorsque $E$ et $F$ sont tous deux de type fini, $\theta$ n’est pas nécessairement surjectif, comme le montre l’exemple $A = \mathbf{Z}$, $E = F = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$; le second membre de (11) n’est pas réduit à 0, mais on a $E^* = \{0\}$. D’autre part, on peut donner des exemples où $E$ est libre, mais où (11) n’est ni injectif ni surjectif (II, p. 189, exerc. 3 b)).

Lorsque $E$ admet une base finie $(e_i)$, on peut expliciter de la façon suivante l’isomorphisme réciproque $\theta^{-1}$ de $\theta$. En effet, soit $(e_i^*)$ la base duale de $(e_i)$ (II, p. 45); pour tout $u \in \mathrm{Hom}_A(E, F)$ et tout $x = \sum_i \xi_i e_i$ avec $\xi_i \in A$, on a $u(x) = \sum_i \xi_i u(e_i) = \sum_i \langle x, e_i^* \rangle u(e_i)$, et par suite on a $u = \sum_i \theta(e_i^* \otimes u(e_i))$, autrement dit

En particulier, si de plus $F = E$, on voit que l’image par $\theta_E^{-1}$ de l’application identique $1_E$ est l’élément $\sum_i e_i^* \otimes e_i$, qui est donc indépendant de la base $(e_i)$ considérée dans $E$.

Notons d’autre part que lorsque $E$ est un module projectif de type fini, on peut transporter par $\theta_E^{-1}$ la structure d’*anneau* de $\mathrm{End}_A(E)$ à $E^* \otimes_A E$; on vérifie immédiatement que pour $x, y$ dans $E$, $x^*, y^*$ dans $E^*$, on a, dans l’anneau $\mathrm{End}_A(E)$

Remarque 2). — Soit $E$ un $A$-module à droite; remplaçant $E$ par $E^*$ dans (11), on obtient un $\mathbf{Z}$-homomorphisme canonique

D’autre part, on a un A-homomorphisme canonique $c_E : E \to E^{**}$, d’où un $\mathbf{Z}$-homomorphisme $c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$; composant avec ce dernier l’homomorphisme (14), on obtient donc un $\mathbf{Z}$-homomorphisme canonique

tel que $\theta'(x \otimes y)$ soit l’application linéaire

Si $E$ et $F$ sont des modules projectifs, l’application (15) est injective. En effet, $c_E$ est alors injective (II, p. 47, cor. 4), et comme $F$ est projectif, le $\mathbf{Z}$-homomorphisme $c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$ est aussi injectif (II, p. 63, cor. 6); enfin, on a vu (II, p. 75, prop. 2) que l’homomorphisme (14) est injectif, d’où la conclusion.

Si $E$ est projectif de type fini, l’application (15) est bijective car les deux applications dont elle est composée sont alors bijectives (II, p. 47, cor. 4, et II, p. 75, prop. 2).

Les deux applications $(u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(u \circ v), (u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(v \circ u)$ de

dans $C$ sont $C$-bilinéaires; il suffit donc de vérifier (20) lorsque $u$ est de la forme $x \mapsto \langle x, a^*\rangle b$ et $v$ de la forme $y \mapsto \langle y, b^*\rangle a$, avec $a \in E, a^* \in E^*, b \in F, b^* \in F^*$. Mais alors $v \circ u$ est l’application $x \mapsto \langle x, a^*\rangle \langle b, b^*\rangle a$ et $u \circ v$ l’application $y \mapsto \langle y, b^*\rangle \langle a, a^*\rangle b$. La formule (17) montre que les valeurs des deux membres de (20) sont égales à $\langle a, a^*\rangle \langle b, b^*\rangle$.

Il suffit d’appliquer (20) au produit

On notera par contre qu’on n’a pas nécessairement $\mathrm{Tr}(u \circ v \circ w) = \mathrm{Tr}(u \circ w \circ v)$ pour trois endomorphismes $u, v, w$ de $E$.

Il suffit évidemment de faire la démonstration pour les couples $(E_1, F_1)$ et $(E_1, E_2)$.

Considérons d’abord le cas du couple $(E_1, F_1)$; fixons $E_2, F_1, F_2$, et posons pour tout $C$-module $E$, $T(E) = \mathrm{Hom}(E, F_1) \otimes_C \mathrm{Hom}(E_2, F_2)$ et $T'(E) = \mathrm{Hom}(E \otimes E_2, F_1 \otimes F_2)$; pour tout $C$-homomorphisme $v : E \to E'$, posons

Alors, les lemmes 4 et 5 (II, p. 76) (où on remplace $v$ par $\lambda$) sont valables et se démontrent de façons tout à fait analogues.

Fixons ensuite $E_2$ et $F_2$, et posons cette fois, pour tout $C$-module $F$, $T(F) = \mathrm{Hom}(C, F) \otimes_C \mathrm{Hom}(E_2, F_2)$ et $T'(F) = \mathrm{Hom}(C \otimes E_2, F \otimes F_2)$, et pour tout $C$-homomorphisme $u : F \to F'$, $T(u) = \mathrm{Hom}(1_C, u) \otimes 1_{\mathrm{Hom}(E_2, F_2)}$ et $T'(u) = \mathrm{Hom}(1_C \otimes 1_{E_2}, u \otimes 1_{F_2})$. Cette fois on vérifie aussitôt que les lemmes 1 et 2 (II, p. 75) (où $\lambda$ remplace toujours $v$) sont valables.

Cela étant, démontrons d’abord la proposition lorsque $E_1 = C$ et que $F_1$ est projectif de type fini. Le raisonnement de II, p. 76 (qui repose sur les lemmes 1 et 2), joint aux remarques ci-dessus, ramène à prouver la proposition lorsque l’on a aussi $F_1 = C$; alors $\mathrm{Hom}(E_1, F_1), E_1 \otimes E_2$ et $F_1 \otimes F_2$ s’identifient à

C, E_2, et F_2 respectivement (II, p. 55, prop. 4); les deux membres de (21) s’identifient alors canoniquement tous deux à Hom(E_2, F_2) et, après ces identifications, on vérifie que $\lambda$ devient l’identité.

Supposons F_1 projectif de type fini; le raisonnement de II, p. 76 (s’appuyant cette fois sur les lemmes 4 et 5) ramène la démonstration pour E_1 projectif de type fini quelconque au cas où E_1 = C, c’est-à-dire au premier cas traité.

Pour le couple (E_1, E_2), on procède de même en appliquant cette fois les lemmes 4 et 5 à deux reprises; nous laissons les détails au lecteur.

On notera que lorsque E_1 = C^{(I)}, E_2 = C^{(J)} sont libres (de type fini ou non), on a Hom(E_1, F_1) = F_1^I, Hom(E_2, F_2) = F_2^J, et Hom(E_1 \otimes E_2, F_1 \otimes F_2) = (F_1 \otimes F_2)^{I \times J} à des isomorphismes canoniques près, et (21) s’identifie alors à un cas particulier de l’homomorphisme canonique (22) de II, p. 61.

Lorsque E_2 = C, l’homomorphisme canonique (21) de II, p. 79, donne, après identification de Hom(E_2, F_2) à F_2 et de E_1 \otimes E_2 à E_1, un homomorphisme canonique

pour trois C-modules quelconques E, F, G, qui n’est autre que l’homomorphisme (7) de II, p. 75 pour A = B = C.

On notera que lorsque F = C, l’homomorphisme canonique (22) redonne (11) (II, p. 77) pour le cas d’un anneau commutatif.

Supposons maintenant que F_1 = F_2 = C; comme F_1 \otimes F_2 s’identifie à C, on a cette fois un homomorphisme canonique

pour deux C-modules E, F; pour $x^* \in E^*, y^* \in F^*$, l’image de $x^* \otimes y^*$ par l’homomorphisme canonique (23) est la forme linéaire u sur E \otimes F telle que

En outre, si E_1, E_2, F_1, F_2 sont quatre C-modules, $f : E_1 \to E_2, g : F_1 \to F_2$ deux applications linéaires, il résulte aussitôt de (24) que le diagramme

est commutatif.

Par linéarité, il suffit de considérer le cas où $u_1$ est de la forme $x_1 \mapsto \langle x_1, x_1^* \rangle y_1$ et $u_2$ de la forme $x_2 \mapsto \langle x_2, x_2^* \rangle y_2$; alors l’image de $x_1 \otimes x_2$ par $u_1 \otimes u_2$ est par définition

$x_1^* \otimes x_2^*$ étant canoniquement identifié par $\mu$ à un élément de $(E_1 \otimes E_2)^*$. Comme $\langle y_1 \otimes y_2, x_1^* \otimes x_2^* \rangle = \langle y_1, x_1^* \rangle \langle y_2, x_2^* \rangle$, la formule (26) résulte dans ce cas de (17) (II, p. 78).