En effet, B peut être considéré comme un (B, A)-bimodule au moyen de ρ; on a donc un isomorphisme canonique de Z-modules

(1)

comme on l’a vu dans II, p. 74, prop. 1. Mais le A-module à gauche Hom_B(B_s, F) s’identifie canoniquement à ρ*(F): en effet, par définition (II, p. 35), à un élément y ∈ F correspond l’homomorphisme θ(y) : B_s → F tel que (θ(y))(1) = y; pour tout λ ∈ A, il correspond donc à ρ(λ)y ∈ F l’homomorphisme μ ↦ μρ(λ)y de B_s dans F, qui n’est autre que λθ(y) pour la structure de A-module à gauche de Hom_B(B_s, F) (II, p. 35). Compte tenu de cette identification, on a donc un isomorphisme canonique de Z-modules, réciproque de (1)

(2)

et il résulte aussitôt des définitions que si δ(f) = ĝ, on a ĝ(1 ⊗ x) = f(x) pour tout x ∈ E. En particulier, l’application φ_E : x ↦ 1 ⊗ x n’est autre que

(3)

La prop. 1 est donc démontrée. L’application φ_E : E → ρ_*(ρ^*(E)) est dite canonique.

Il suffit en effet d’appliquer la prop. 1 au A-homomorphisme $\varphi_{E'} \circ u : E \to E'_{(B)}$.

L’application $v$ définie dans le corollaire précédent se note $\rho^*(u)$ ou $u_{(B)}$.

Si $E''$ est un troisième A-module à gauche, $v : E' \to E''$ une application A-linéaire, il est immédiat que l’on a

L’extension de l’anneau d’opérateurs d’un module est une opération transitive ; de façon précise :

transformant $1 \otimes (1 \otimes x)$ en $1 \otimes x$ pour tout $x \in E$, et cet homomorphisme est bijectif.

En effet, les $\mathbf{Z}$-modules sous-jacents à $\sigma^*(\rho^*(E))$ et à $(\sigma \circ \rho)^*(E)$ sont respectivement $C \otimes_B (B \otimes_A E)$ et $C \otimes_A E$. Il existe un $\mathbf{Z}$-isomorphisme canonique $C \otimes_B (B \otimes_A E) \to (C \otimes_B B) \otimes_A E$ (II, p. 64, prop. 8), qui est aussi un C-isomorphisme pour les structures de C-module à gauche de deux membres. En outre, le C-module $C \otimes_B B$ s’identifie canoniquement au C-module $C_s$ par l’isomorphisme qui à $\gamma \otimes \beta$ fait correspondre $\gamma \sigma(\beta)$ (II, p. 55, prop. 4), et cet isomorphisme est aussi un isomorphisme pour la structure de A-module à droite sur $C \otimes_B B$ définie par $\rho$ et la structure de A-module à droite sur C définie par $\sigma \circ \rho$. On obtient donc bien un isomorphisme canonique

et en le composant avec l’isomorphisme $C \otimes_B (B \otimes_A E) \to (C \otimes_B B) \otimes_A E$ défini plus haut, on obtient l’isomorphisme canonique cherché.

Si $\varphi, \varphi', \varphi''$ désignent les applications canoniques $E \to \rho^*(E), \rho^*(E) \to \sigma^*(\rho^*(E))$ et $E \to (\sigma \circ \rho)^*(E)$, $\varphi' \circ \varphi$ s’identifie à $\varphi''$ par l’isomorphisme canonique de la prop. 2.

transformant $(1 \otimes x) \otimes (1 \otimes x')$ en $1 \otimes (x \otimes x')$ pour $x \in E, x' \in E'$, et cet homomorphisme est bijectif.

En effet, le premier membre de (5) s’écrit $(B \otimes_A E) \otimes_B (B \otimes_A E')$ et s’identifie à $(E \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A E')$ puisque A et B sont commutatifs ; ce dernier produit s’identifie successivement à $E \otimes_A (B \otimes_B B) \otimes_A E'$, à $E \otimes_A (B \otimes_A E')$, à $E \otimes_A (E' \otimes_A B)$ et finalement à $(E \otimes_A E') \otimes_A B$, par utilisation de l’associativité du produit tensoriel (II, p. 64, prop. 8), de la prop. 4 de II, p. 55, et de la commutativité de A et B. L’isomorphisme cherché est le composé de ces isomorphismes canoniques successifs.

Il est clair que si S est un système générateur de E, l’image de S par l’application canonique $E \to E_{(B)}$ est un système générateur de $E_{(B)}$; en particulier, si E est un A-module de type fini, $E_{(B)}$ est un B-module de type fini.

La première assertion résulte aussitôt de II, p. 62, cor. 1. En outre, on a, pour toute famille $(\xi_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’éléments de A, de support fini, $\varphi \left( \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda \right) = \sum_{\lambda \in L} \rho(\xi_\lambda) \varphi(a_\lambda)$, et la relation $\varphi \left( \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda \right) = 0$ équivaut donc à $\rho(\xi_\lambda) = 0$ pour tout $\lambda \in L$, d’où la seconde assertion.

En effet, il existe par hypothèse un A-module libre M contenant E et dans lequel E admet un supplémentaire F. Il résulte aussitôt de II, p. 61, prop. 7 que $M_{(B)}$ s’identifie à la somme directe de $E_{(B)}$ et $F_{(B)}$, et si $\varphi$ et $\psi$ sont les applications canoniques $E \to E_{(B)}$ et $F \to F_{(B)}$, l’application canonique $M \to M_{(B)}$ n’est autre que $x + y \mapsto \varphi(x) + \psi(y)$. Le corollaire résulte aussitôt de la prop. 4 appliquée au A-module M.

Lorsque E est un A-module à droite, on pose de même $\rho^*(E) = E \otimes_A \rho_*(B_s)$, B étant cette fois considéré comme (A, B)-bimodule, et la structure de B-module à droite de $\rho^*(E)$ étant telle que $(x \otimes \beta)\beta' = x \otimes (\beta\beta')$ pour $\beta \in B$, $\beta' \in B$ et $x \in E$. Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer pour les modules à droite les résultats correspondant à ceux de ce n° et du suivant.

Remarque 4). — Considérons le A-module à gauche $\rho_*(B_s)$ défini par $\rho$, et pour tout A-module à gauche E, considérons le $\mathbf{Z}$-module

Comme $\rho_*(B_s)$ est muni d’une structure de B-*module à droite*, on en déduit sur $\tilde{\rho}(E)$ une structure de B-*module à gauche* (II, p. 35) telle que si $u \in \tilde{\rho}(E)$ et $b' \in B$, $b'u$ est l’homomorphisme $b \mapsto u(bb')$ de $\rho_*(B_s)$ dans E. On définit en outre une application A-linéaire, dite canonique: en faisant correspondre à tout homomorphisme $u \in \tilde{\rho}(E)$ l’élément $u(1)$ dans E. Comme B peut être considéré comme un (A, B)-bimodule au moyen de $\rho$, on a, pour tout B-module à gauche F, un isomorphisme canonique de $\mathbf{Z}$-modules

(II, p. 74, prop. 1). Comme le A-module à gauche $\rho_*(B_s) \otimes_B F$ s’identifie canoniquement à $\rho_*(F)$ en vertu de II, p. 55, prop. 4, on obtient donc un isomorphisme canonique de $\mathbf{Z}$-modules, réciproque du précédent

qui, à toute application B-linéaire $g$ de $F$ dans $\tilde{\rho}(E)$, fait correspondre l’application composée $\eta \circ g$, considérée comme application A-linéaire de $\rho_*(F)$ dans $E$. En particulier, sous les hypothèses de la prop. 2 (II, p. 83), si on remplace $F$ par $\sigma_*(C_s)$, on obtient un C-isomorphisme canonique

Montrons-le par exemple pour (12); pour tout $x \in E$, l’application $\rho^*(\varphi_E)$ fait correspondre à $1 \otimes x$ l’élément $1 \otimes (1 \otimes x)$ et l’application $\psi_{\rho^*(E)}$ fait correspondre à $1 \otimes (1 \otimes x)$ l’élément $1 \otimes x$; la conclusion résulte de ce que les éléments de la forme $1 \otimes x$ engendrent le B-module $\rho^*(E)$; la démonstration est encore plus simple pour (13).

C’est une conséquence de la prop. 5 et de II, p. 21, cor. 2.

transformant $y \otimes x$ en $y \otimes (1 \otimes x)$ pour tout $x \in E$ et tout $y \in F$, et cet homomorphisme est bijectif.

En effet, par définition le second membre de (14) est $F \otimes_B (B \otimes_A E)$, où B est considéré comme $(B, A)$-bimodule, et on a un $\mathbf{Z}$-isomorphisme canonique $(F \otimes_B B) \otimes_A E \to F \otimes_B (B \otimes_A E)$ défini dans II, p. 64, prop. 8; d’autre part, l’isomorphisme canonique $F \to F \otimes_B B$ de II, p. 55, prop. 4 est un isomorphisme pour les structures de A-module à droite des deux membres, définies par $\rho$. D’où l’isomorphisme cherché.

Lorsque A et B sont commutatifs, l’isomorphisme (14) est un isomorphisme de A-modules

Supposons en particulier que $E$ soit un A-module libre de type fini et soient $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $E$, $(e_i^*)_{1 \leq i \leq n}$ la base duale; alors l’isomorphisme canonique (19) de II, p. 87 fait correspondre à la base $(e_i^* \otimes 1)$ de $(E^*)_{(B)}$ la base duale de la base $(1 \otimes e_i)$ de $E_{(B)}$.

On sait (II, p. 46, prop. 12) qu’il existe une famille $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’éléments de $P$ et une famille $(a_\lambda^*)_{\lambda \in L}$ d’éléments du dual $P^*$ telles que, pour tout $x \in P$, la famille $(\langle x, a_\lambda^* \rangle)$ soit de support fini et que l’on ait $x = \sum_\lambda \langle x, a_\lambda^* \rangle a_\lambda$. Puisque $P_{(B)}$ est de type fini, il existe une famille finie $(y_i)_{i \in I}$ d’éléments de $P$ telle que $P_{(B)}$ soit engendré par les éléments $1 \otimes y_i$. Pour chaque indice $i$, la famille $(\langle y_i, a_\lambda^* \rangle)$ a un support fini. Il existe donc une partie finie $H$ de $L$ telle que $\langle y_i, a_\lambda^* \rangle = 0$ pour $i \in I$ et $\lambda \notin H$. Puisque $\langle 1 \otimes y_i, \mathrm{Id}_B \otimes a_\lambda^* \rangle = \langle y_i, a_\lambda^* \rangle$, il en résulte que $\mathrm{Id}_B \otimes a_\lambda^* = 0$ pour $\lambda \notin H$. Quel que soit $x \in P$, on a donc $\langle x, a_\lambda^* \rangle = \langle 1 \otimes x, \mathrm{Id}_B \otimes a_\lambda^* \rangle = 0$ pour $\lambda \notin H$. Ceci montre que le A-module $P$ est engendré par les $a_\lambda$ tels que $\lambda \in H$.