$B$ có thể được xem như một song môđun $(B, A)$ bằng $\rho$; khi đó có một đẳng cấu chính tắc của $\mathbf{Z}$-môđun

(1)

như đã thấy trong $§ 4$, no. 1, Mệnh đề 1. Nhưng A-môđun trái $\operatorname{Hom}_B(B_s, F)$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\rho^*(F)$: thật vậy, theo định nghĩa ($§ 1$, no. 14), ứng với một phần tử $y \in F$ là đồng cấu $\theta(y) : B_s \to F$ sao cho $(\theta(y))(1) = y$; với mọi $\lambda \in A$, do đó ứng với $\rho(\lambda)y \in F$ là đồng cấu $\mu \mapsto \mu \rho(\lambda)y$ từ $B_s$ vào $F$, mà chính là $\lambda \theta(y)$ đối với cấu trúc A-môđun trái trên $\operatorname{Hom}_B(B_s, F)$ ($§ 1$, no. 14). Dùng sự đồng nhất này, do đó ta thu được một đẳng cấu $\mathbf{Z}$-môđun chính tắc, nghịch đảo của (1)

(2)

và từ các định nghĩa suy ra ngay lập tức rằng nếu $\delta(f) = \bar{f}$ thì $\bar{f}(1 \otimes x) = f(x)$ với mọi $x \in E$. Đặc biệt, ánh xạ $\phi_E : x \mapsto 1 \otimes x$ chính là (3)

Vậy Mệnh đề 1 được chứng minh. Ánh xạ $\phi_E : E \to \rho_*(\rho^*(E))$ được gọi là chính tắc.

giao hoán, trong đó $\phi_E$ và $\phi_{E'}$ là các ánh xạ chính tắc.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 1 cho đồng cấu A $\phi_{E'} \circ u : E \to E'_{(B)}$.

Ánh xạ $v$ được định nghĩa trong hệ quả trên được ký hiệu là $\rho^*(u)$ hoặc $u_{(B)}$.

Nếu $E''$ là một A-môđun trái thứ ba và $v : E' \to E''$ là một ánh xạ A-tuyến tính, thì ngay lập tức có

Mở rộng vành các toán tử của một môđun là một phép toán bắc cầu; nói chính xác hơn:

ánh xạ $1 \otimes (1 \otimes x)$ tới $1 \otimes x$ với mọi $x \in E$ và đồng cấu này là song ánh.

Các $\mathbf{Z}$-môđun nền của $\sigma^*(\rho^*(E))$ và $(\sigma \circ \rho)^*(E)$ tương ứng là $C \otimes_B (B \otimes_A E)$ và $C \otimes_A E$. Tồn tại một $\mathbf{Z}$-đẳng cấu chính tắc $C \otimes_B (B \otimes_A E) \to (C \otimes_B B) \otimes_A E$ ($§ 3$, no. 8, Mệnh đề 8), đẳng cấu này cũng là một C-đẳng cấu đối với các cấu trúc C-môđun trái ở hai vế. Hơn nữa, C-môđun $C \otimes_B B$ được đồng nhất một cách chính tắc với C-môđun $C_s$ dưới đẳng cấu ánh xạ $\gamma \otimes \beta$ tới $\gamma \sigma(\beta)$ (§ 3, no. 4, Mệnh đề 4) và đẳng cấu này cũng là một đẳng cấu đối với cấu trúc A-môđun phải trên $C \otimes_B B$ được xác định bởi $\rho$ và cấu trúc A-môđun phải trên C được xác định bởi $\sigma \circ \rho$. Do đó thu được một đẳng cấu chính tắc

và, hợp thành nó với đẳng cấu

đã được xác định ở trên, ta thu được đẳng cấu chính tắc cần tìm.

Nếu $\phi, \phi'$ và $\phi''$ ký hiệu các ánh xạ chính tắc $E \to \rho^*(E), \rho^*(E \to) \sigma^*(\rho^*(E))$ và $E \to (\sigma \circ \rho)^*(E)$, thì $\phi' \circ \phi$ được đồng nhất với $\phi''$ dưới đẳng cấu chính tắc của Mệnh đề 2.

ánh xạ $(1 \otimes x) \otimes (1 \otimes x')$ tới $1 \otimes (x \otimes x')$ với $x \in E, x' \in E'$, và đồng cấu này là song ánh.

Vế trái của (5) có thể được viết là $(B \otimes_A E) \otimes_B (B \otimes_A E')$ và được đồng nhất với $(E \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A E')$ vì A và B là giao hoán; tích sau lần lượt được đồng nhất với $E \otimes_A (B \otimes_B B) \otimes_A E'$, $E \otimes_A (B \otimes_A E')$, $E \otimes_A (E' \otimes_A B)$, và cuối cùng với $(E \otimes_A E') \otimes_A B$, bằng cách dùng tính kết hợp của tích tenxơ (§ 3, no. 8, Mệnh đề 8), Mệnh đề 4, § 3, no. 4, và tính giao hoán của A và B. Đẳng cấu cần tìm là hợp thành của các đẳng cấu chính tắc liên tiếp đó.

Rõ ràng nếu S là một hệ sinh của E, thì ảnh của S dưới ánh xạ chính tắc $E \to E_{(B)}$ là một hệ sinh của $E_{(B)}$; đặc biệt, nếu E là một A-môđun hữu hạn sinh, thì $E_{(B)}$ là một B-môđun hữu hạn sinh.

Mệnh đề thứ nhất suy ra ngay lập tức từ § 3, no. 7, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7. Hơn nữa, với mọi họ $(\xi_\lambda)_{\lambda \in L}$ các phần tử của A có giá hữu hạn,

và do đó quan hệ $\phi \left( \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda \right) = 0$ tương đương với $\rho(\xi_\lambda) = 0$ với mọi $\lambda \in L$, do đó suy ra mệnh đề thứ hai.

Theo giả thiết tồn tại một A-môđun tự do M chứa E và trong đó E thừa nhận một phần bù F. Theo § 3, no. 7, Mệnh đề 7, ngay lập tức suy ra rằng $M_{(B)}$ được đồng nhất với tổng trực tiếp của $E_{(B)}$ và $F_{(B)}$ và nếu $\phi$ và $\psi$ là các ánh xạ chính tắc $E \to E_{(B)}$ và $F \to F_{(B)}$, thì ánh xạ chính tắc $M \to M_{(B)}$ đơn giản là $x + y \mapsto \phi(x) + \psi(y)$. Hệ quả suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 4 áp dụng cho A-môđun M.

Khi E là một A-môđun phải, ta viết tương tự $\rho^*(E) = E \otimes_A \rho_*(B_s)$, lần này B được xét như một song môđun (A, B) và cấu trúc B-môđun phải trên $\rho^*(E)$ sao cho $(x \otimes \beta)\beta' = x \otimes (\beta\beta')$ với $\beta \in B' \ \beta' \in B$ và $x \in E$. Chúng tôi để cho người đọc phát biểu đối với các môđun phải những kết quả tương ứng với các kết quả của no. này và no. tiếp theo.

Nhận xét (4). Xét A-môđun trái $\rho_*(B_s)$ được định nghĩa bởi $\rho$ và với mọi A-môđun trái E, xét $\mathbf{Z}$-môđun

Vì $\rho_*(B_s)$ có một cấu trúc B-môđun phải, nên một cấu trúc B-môđun trái được dẫn xuất trên $\tilde{\rho}(E)$ (§ 1, no. 14) sao cho, nếu $u \in \tilde{\rho}(E)$ và $b' \in B$, thì $b'u$ là đồng cấu $b \mapsto u(bb')$ từ $\rho_*(B_s)$ vào E. Ta còn định nghĩa một ánh xạ A-tuyến tính, gọi là chính tắc, ứng với mỗi đồng cấu $u \in \tilde{\rho}(E)$ phần tử $u(1)$ của E. Vì B có thể được xét như một song môđun (A, B) nhờ $\rho$, nên với mọi B-môđun trái F, có một đẳng cấu $\mathbf{Z}$-môđun chính tắc (§ 1, no. 1, Mệnh đề 1). Vì A-môđun trái $\rho^*(B_s) \otimes_B F$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\rho_*(F)$ theo § 3, no. 4, Mệnh đề 4, nên ta thu được một đẳng cấu $\mathbf{Z}$-môđun chính tắc, nghịch đảo của đẳng cấu trên, đẳng cấu này ứng với mỗi ánh xạ B-tuyến tính g từ F vào $\tilde{\rho}(E)$ ánh xạ hợp thành $\eta \circ g$, được xét như một ánh xạ A-tuyến tính từ $\rho_*(F)$ vào E. Đặc biệt, dưới các giả thiết của Mệnh đề 2, nếu thay F bằng $\sigma_*(C_s)$, ta thu được một C-đẳng cấu chính tắc

lần lượt bằng các ánh xạ đồng nhất của $\rho^*(E)$ và $\rho_*(F)$.

Ta cho chứng minh, chẳng hạn, cho (12); với mọi $x \in E$, ánh xạ $\rho^*(\phi_E)$ biến $1 \otimes x$ thành phần tử $1 \otimes (1 \otimes x)$ và ánh xạ $\psi_{\rho^*(E)}$ biến $1 \otimes (1 \otimes x)$ thành phần tử $1 \otimes x$; kết luận suy ra từ thực tế là các phần tử dạng $1 \otimes x$ sinh B-môđun $\rho^*(E)$; chứng minh cho (13) còn đơn giản hơn nữa.

Đây là một hệ quả của Mệnh đề 5 và § 1, no. 9, Hệ quả 2 của Mệnh đề 15.

biến $y \otimes x$ thành $y \otimes (1 \otimes x)$ với mọi $x \in E$ và mọi $y \in F$, và đồng cấu này là song ánh.

Theo định nghĩa, vế phải của (14) là $F \otimes_B (B \otimes_A E)$, trong đó B được xét như một song môđun (B, A), và có một $\mathbf{Z}$-đẳng cấu chính tắc $(F \otimes_B B) \otimes_A E \to F \otimes_B (B \otimes_A E)$ được định nghĩa ở § 3, no. 8, Mệnh đề 8; mặt khác, đẳng cấu chính tắc $F \to F \otimes_B B$ của § 3, no. 4, Mệnh đề 4 là một đẳng cấu đối với các cấu trúc A-môđun phải ở hai vế, được xác định bởi $\rho$. Do đó có đẳng cấu cần tìm.

Khi A và B là giao hoán, đẳng cấu (14) là một đẳng cấu A-môđun

(i) Nếu B là một A-môđun xạ ảnh (resp. xạ ảnh sinh hữu hạn), đồng cấu (17) là đơn ánh (resp. song ánh).

(ii) Nếu E là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, đồng cấu (17) là song ánh.

Vì (16) là song ánh, mệnh đề suy ra từ § 4, no. 2. Mệnh đề 2, áp dụng cho đồng cấu chính tắc (15).

Điều này suy ra từ điều trên và § 4, no. 2, Mệnh đề 2.

Giả sử đặc biệt rằng E là một A-môđun tự do sinh hữu hạn và gọi $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của E và $(e_i^*)$ là cơ sở đối ngẫu; khi đó đẳng cấu chính tắc (19) ánh xạ cơ sở $(e_i^* \otimes 1)$ của $(E^*)_{(B)}$ lên cơ sở đối ngẫu của cơ sở $(1 \otimes e_i)$ của $E_{(B)}$.

Ta biết (§ 2, no. 6, Mệnh đề 12) rằng tồn tại một họ $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ các phần tử của P và một họ $(a_\lambda^*)_{\lambda \in L}$ các phần tử của đối ngẫu P* sao cho, với mọi $x \in P$, họ $\langle x, a_\lambda^* \rangle$ có giá hữu hạn và $x = \sum_\lambda \langle x, a_\lambda^* \rangle a_\lambda$. Vì $P_{(B)}$ là sinh hữu hạn, tồn tại một họ hữu hạn $(y_i)_{i \in I}$ các phần tử của P sao cho $P_{(B)}$ được sinh bởi các phần tử $1 \otimes y_i$. Với mỗi chỉ số i, họ $\langle y_i, a_\lambda^* \rangle$ có giá hữu hạn. Do đó tồn tại một tập con hữu hạn H của L sao cho $\langle y_i, a_\lambda^* \rangle = 0$ với $i \in I$ và $\lambda \notin H$. Vì

nên suy ra rằng $1 d_B \otimes a_\lambda^* = 0$ với $\lambda \notin H$. Do đó, với mọi $x \in P$, với $\lambda \notin H$. Điều này cho thấy A-môđun P được sinh bởi các $a_\lambda$ sao cho $\lambda \in H$.