§ 6. Giới hạn ngược và trực tiếp của các môđun

Trong suốt đoạn này, ta ký hiệu một tập tiền thứ tự khác rỗng và $\alpha \leq \beta$ là quan hệ tiền thứ tự trên I. Trừ khi có nói khác đi, các hệ ngược và hệ trực tiếp đều có tập chỉ số là I.

1. Giới hạn ngược của các môđun

Cho $(A_\alpha, \phi_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược các vành (I, § 10, no. 1), $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược các nhóm giao hoán (viết theo phép cộng) (I, § 10, no. 1) và giả sử mỗi $E_\alpha$ có một cấu trúc môđun trái trên $A_\alpha$ ; hơn nữa, giả sử rằng với $\alpha \leq \beta$ $(f_{\alpha \beta}, \phi_{\alpha \beta})$ là một dimorphism của $E_\beta$ vào $E_\alpha$ (§ 1, no. 13), nói cách khác,

f_{\alpha \beta}(\lambda_\beta x_\beta) = \phi_{\alpha \beta}(\lambda_\beta) f_{\alpha \beta}(x_\beta),

với

x_\beta \in E_\beta

\lambda_\beta \in A_\beta

; khi đó từ I, § 10, no. 2 suy ra rằng

E = \lim \leftarrow E_\alpha

có một cấu trúc môđun trái trên

A = \lim \leftarrow A_\alpha

. Với mọi

\alpha \in I

, gọi

f : E \to E_\alpha

\phi_\alpha : A \to A_\alpha

là các ánh xạ chính tắc; khi đó

(f_\alpha, \phi_\alpha)

là một dimorphism của E vào

E_\alpha

. Ta sẽ nói rằng

(E_\alpha, f_{\alpha\beta})

là một hệ ngược các môđun trái $A_\alpha$ và môđun

A

E

là giới hạn ngược của nó.

Cho $(E'_\alpha, f'_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược khác của các môđun trái $A_\alpha$ và, với mọi $\alpha$ , gọi $u_\alpha : E'_\alpha \to E_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính $A_\alpha$ , các ánh xạ này lập thành một hệ ngược; khi đó $u = \lim u_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính $A$ của $\lim E'_\alpha$ vào $\lim E_\alpha$ .

Hơn nữa:

Mệnh đề 1

Cho* $(E_\alpha, f_{\alpha\beta}),\ (E'_\alpha, f'_{\alpha\beta}),\ (E''_\alpha, f''_{\alpha\beta})$ là ba hệ ngược các môđun $A_\alpha$ và $(u_\alpha),\ (v_\alpha)$ *là hai hệ ngược các ánh xạ tuyến tính $A_\alpha$ sao cho các dãy

0 \longrightarrow E'_\alpha \xrightarrow{u_\alpha} E_\alpha \xrightarrow{v_\alpha} E''_\alpha

là khớp với mọi $\alpha$ . Khi đặt $u = \lim u_\alpha,\ v = \lim v_\alpha$ , dãy

0 \longrightarrow \lim E'_\alpha \xrightarrow{u} \lim E_\alpha \xrightarrow{v} \lim E''_\alpha

là khớp.

Vì $u_\alpha^{-1}(0) = \{0\}$ với mọi $\alpha$ , theo Lý thuyết Tập hợp, III, § 7, no. 2, Mệnh đề 2 suy ra rằng $u^{-1}(0) = \{0\}$ , do đó $u$ là đơn ánh; hơn nữa, các $u_\alpha(E'_\alpha)$ lập thành một hệ ngược các tập con của các $E_\alpha$ và do đó $u(\lim E'_\alpha) = \lim u_\alpha(E'_\alpha)$ . Theo $u_\alpha(E'_\alpha) = v_\alpha^{-1}(0)$ do giả thiết, $v^{-1}(0) = \lim u_\alpha(E'_\alpha) = u(\lim E'_\alpha)$ (Lý thuyết Tập hợp, III, § 7, no. 2, Mệnh đề 2), điều này hoàn tất chứng minh.

Nhận xét

(1) Mệnh đề 1 và chứng minh của nó đúng với các nhóm tùy ý, ngoại trừ thay đổi ký hiệu.

(2) Chú ý rằng nếu có các dãy khớp

0 \longrightarrow E'_\alpha \xrightarrow{u_\alpha} E_\alpha \xrightarrow{v_\alpha} E''_\alpha \longrightarrow 0

thì không nhất thiết suy ra* rằng dãy

0 \longrightarrow \lim E'_\alpha \xrightarrow{u} \lim E_\alpha \xrightarrow{v} \lim E''_\alpha \longrightarrow 0

là khớp; nói cách khác, giới hạn ngược của một hệ ngược các ánh xạ tuyến tính toàn ánh không nhất thiết là toàn ánh* (xem Bài tập 1).

Giả sử bây giờ các $A_\alpha$ bằng cùng một vành $A$ và các $\phi_{\alpha\beta}$ bằng $1_A$ ; khi đó với mọi hệ ngược $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ của các môđun $A$ , $E = \lim E_\alpha$ là một $A$ -môđun. Cho $F$ là một $A$ -môđun và, với mọi $\alpha$ , cho $u_\alpha : F \to E_\alpha$ là một ánh xạ $A$ -tuyến tính sao cho $(u_\alpha)$ là một hệ ngược của các ánh xạ; khi đó $u = \lim u_\alpha$ là một ánh xạ $A$ -tuyến tính từ $F$ vào $\lim E_\alpha$ . Ngược lại, với mọi ánh xạ $A$ -tuyến tính $v : F \to \lim E_\alpha$ , họ của các $v_\alpha = f_\alpha \circ v$ là một hệ ngược của các ánh xạ $A$ -tuyến tính sao cho $v = \lim_{\leftarrow} v_\alpha$ . Mặt khác ta chú ý rằng với $\alpha \leq \beta$ ánh xạ

\operatorname{Hom}(1_F, f_{\alpha \beta}) = \bar{f}_{\alpha \beta}: \operatorname{Hom}_A(F, E_\beta) \to \operatorname{Hom}_A(F, E_\alpha)

là một đồng cấu môđun $\mathbf{Z}$ sao cho $(\operatorname{Hom}_A(F, E_\alpha), \bar{f}_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược của các môđun $\mathbf{Z}$ ; vì $\bar{f}_{\alpha \beta}(v_\beta) = f_{\alpha \beta} \circ v_\beta$ , các nhận xét trên do đó có thể được biểu diễn như sau:

Mệnh đề 2

Với mọi hệ ngược* $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ của các môđun $A$ -và mọi môđun $A$ -môđun $F$ , ánh xạ chính tắc $u \mapsto (f_\alpha \circ u)$ *là một đẳng cấu môđun $\mathbf{Z}$

(2)

l_F: \operatorname{Hom}_A(F, \lim_{\leftarrow} E_\alpha) \to \lim_{\leftarrow} \operatorname{Hom}_A(F, E_\alpha).

Hệ quả

Với mọi đồng cấu môđun $A$ $v: F \to F'$ , ánh xạ

\bar{v}_\alpha = \operatorname{Hom}(v, 1_{E_\alpha}): \operatorname{Hom}(F', E_\alpha) \to \operatorname{Hom}(F, E_\alpha)

tạo thành một hệ ngược của các ánh xạ tuyến tính $\mathbf{Z}$ và biểu đồ

(3)

\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(F', \lim_{\leftarrow} E_\alpha) & \xrightarrow{l_{F'}} & \lim_{\leftarrow} \operatorname{Hom}(F', E_\alpha) \\ \downarrow \operatorname{Hom}(v, 1_E) & & \downarrow \lim_{\leftarrow} \bar{v}_\alpha \\ \operatorname{Hom}(F, \lim_{\leftarrow} E_\alpha) & \xrightarrow{l_F} & \lim_{\leftarrow} \operatorname{Hom}(F, E_\alpha) \end{array}

là giao hoán.

Với mọi $u \in \operatorname{Hom}(F', \lim_{\leftarrow} E_\alpha)$ , $l_F(u \circ v) = (f_\alpha \circ u \circ v)$ theo định nghĩa và tính giao hoán của biểu đồ (3) suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa.

2. Giới hạn trực tiếp của các môđun

Từ nay I được giả sử là có hướng phải.

Cho $(A_\alpha, \phi_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp của các vành (I, § 10, no. 3), $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp của các nhóm giao hoán (viết theo phép cộng) (I, § 10, no. 3) và giả sử rằng mỗi $E_\alpha$ có một cấu trúc môđun $A_\alpha$ trái; hơn nữa, giả sử rằng, với $\alpha \leq \beta$ , $(f_{\beta \alpha}, \phi_{\beta \alpha})$ là một đồng cấu đôi của $E_\alpha$ vào $E_\beta$ (§ 1, no. 13), nói cách khác rằng

(4)

f_{\beta \alpha}(\lambda_\alpha x_\alpha) = \phi_{\beta \alpha}(\lambda_\alpha) f_{\beta \alpha}(x_\alpha)

với $x_\alpha \in E_\alpha, \lambda_\alpha \in A_\alpha$ ; khi đó $E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$ có cấu trúc môđun trái trên $A = \lim_{\longrightarrow} A_\alpha$ (I, § 10, no. 4). Với mọi $\alpha \in I$ , đặt $f_\alpha: E_\alpha \to E, \phi_\alpha: A_\alpha \to A$ là các ánh xạ chính tắc; khi đó $(f_\alpha, \phi_\alpha)$ là một đồng cấu của $E_\alpha$ vào $E$ . Ta sẽ nói rằng $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp các môđun trái $A_\alpha$ và môđun $A$ * $E$ là giới hạn trực tiếp của nó.

Cho $(E'_\alpha, f'_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp khác của các môđun trái $A_\alpha$ * và, với mọi $\alpha$ , cho $u_\alpha : E'_\alpha \to E_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính $A_\alpha$ -tuyến tính, các ánh xạ này lập thành một hệ trực tiếp; khi đó $u = \lim \to u_\alpha$ là một ánh xạ $A$ -tuyến tính của $\lim \to E'_\alpha$ vào $\lim \to E_\alpha$ .

Hơn nữa:

Mệnh đề 3

Cho* $(E_\alpha, f_{\beta \alpha}), (E'_\alpha, f'_{\beta \alpha}), (E''_\alpha, f''_{\beta \alpha})$ là ba hệ trực tiếp của các $A_\alpha$ *-môđun và* $(u_\alpha), (v_\alpha)$ là hai hệ trực tiếp của các ánh xạ $A_\alpha$ *-tuyến tính sao cho các dãy

E'_\alpha \xrightarrow{u_\alpha} E_\alpha \xrightarrow{v_\alpha} E''_\alpha

là khớp với mọi $\alpha$ . Khi viết $u = \lim \to u_\alpha, v = \lim \to v_\alpha$ , dãy

\lim \to E'_\alpha \xrightarrow{u} \lim \to E_\alpha \xrightarrow{v} \lim \to E''_\alpha

là khớp.

$u(\lim \to E'_\alpha) = \lim \to u_\alpha(E'_\alpha)$ và $v^{-1}(0) = \lim \to v_\alpha^{-1}(0)$ (Lý thuyết Tập hợp, III, § 7, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 7).

Nói một cách không chính thức, Mệnh đề 3 cũng có thể được phát biểu bằng cách nói rằng chuyển qua giới hạn trực tiếp bảo toàn tính khớp.

Mệnh đề 4

Cho* $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp của các $A_\alpha$ *-môđun, $E = \lim \to E_\alpha$ là giới hạn trực tiếp của nó và $\phi_\alpha : A_\alpha \to A$ và $f_\alpha : E_\alpha \to E$ là các ánh xạ chính tắc với mọi $\alpha \in I$ . Nếu, với mọi $\alpha \in I$ , $S_\alpha$ là một hệ sinh của $E_\alpha$ , thì $S = \bigcup_{\alpha \in I} f_\alpha(S_\alpha)$ là một hệ sinh của $E$ .

Mọi $x \in E$ đều có dạng $f_\alpha(x_\alpha)$ với một $\alpha \in I$ nào đó và một $x_\alpha \in E_\alpha$ nào đó và theo giả thiết $x = \sum_i \lambda^{(i)}_\alpha y^{(i)}_\alpha$ , trong đó $\lambda^{(i)}_\alpha \in A_\alpha$ và $y^{(i)}_\alpha \in S_\alpha$ ; viết $\lambda^{(i)} = \phi_\alpha(\lambda^{(i)}_\alpha)$ , $y^{(i)} = f_\alpha(y^{(i)}_\alpha)$ , ta được $x = \sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)}$ .

Mệnh đề 5

Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 4, giả sử rằng với mọi* $\alpha \in I$ , $E_\alpha$ là tổng trực tiếp của một họ $(M^\lambda_\alpha)_{\alpha \in L}$ gồm các môđun con (tập chỉ số $L$ độc lập với $\alpha$ ) và rằng $f_{\beta \alpha}(M^\lambda_\alpha) \subset M^\lambda_\alpha$ đối với $\alpha \leq \beta$ và với mọi $\lambda \in L$ . Khi đó $E$ là tổng trực tiếp của các môđun con $M^\lambda = \lim \to M^\lambda_\alpha$ $(\lambda \in L)$ .

Suy ra từ Mệnh đề 4 rằng $E$ là tổng của các $M^\lambda$ . Cho $(y^\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ sao cho $y^\lambda \in M^\lambda$ với mọi $\lambda \in L$ và có giá hữu hạn, và giả sử rằng $\sum_\lambda y^\lambda = 0$ . Nhờ Lý thuyết tập hợp, III, § 7, no. 5, Bổ đề 1, tồn tại một $\alpha \in I$ và một họ $(x^\lambda_\alpha)_{\alpha \in L}$ có giá hữu hạn gồm các phần tử của $E_\alpha$ sao cho $x^\lambda_\alpha \in M^\lambda_\alpha$ và $y^\lambda = f_\alpha(x^\lambda_\alpha)$ với mọi $\lambda \in L$ . Quan hệ $f_\alpha \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ kéo theo sự tồn tại của một $\beta \geq \alpha$ sao cho $f_{\beta \alpha} \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ (Lý thuyết tập hợp, III, § 7, no. 5, Bổ đề 1), điều này có thể viết là $\sum_{\lambda \in L} x_\beta^\lambda = 0$ , trong đó $x_\beta^\lambda = f_{\beta \alpha}(x_\alpha^\lambda) \in M_\beta^\lambda$ theo giả thiết; do đó $x_\beta^\lambda = 0$ với mọi $\lambda \in L$ và vì thế $y^\lambda = f_\beta(x_\beta^\lambda) = 0$ với mọi $\lambda \in L$ , điều này chứng tỏ rằng tổng của các $M^\lambda$ *là trực tiếp.

Hệ quả

Cho* $(P_\alpha)$ là một hệ trực tiếp của các tập con của $E_\alpha$ và đặt $P = \lim \overrightarrow{P_\alpha}$ . Nếu, với mọi $\alpha \in I$ , $P_\alpha$ là một tập con tự do (resp. cơ sở) của $E_\alpha$ , thì $P$ là một tập con tự do (resp. cơ sở) của $E$ .

Khẳng định thứ hai suy ra ngay lập tức từ khẳng định thứ nhất và Mệnh đề 4. Do đó đủ để chứng minh rằng nếu các $P_\alpha$ đều tự do thì mọi tập con $\{ y^{(i)} \}_{1 \leq i \leq n}$ gồm các phần tử phân biệt của $P$ , đều tự do. Tồn tại một $\alpha \in I$ và các phần tử $x_\alpha^{(i)} \in P_\alpha$ sao cho $y^{(i)} = f_\alpha(x_\alpha^{(i)})$ với $1 \leq i \leq n$ (Set Theory, III, § 7, no. 5, Bổ đề 1); nếu $\sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)} = 0$ , thì có thể giả sử rằng $\lambda^{(i)} = \phi_\alpha(\lambda_\alpha^{(i)})$ với $1 \leq i \leq n$ và do đó $f_\alpha \left( \sum_i \lambda_\beta^{(i)} x_\beta^{(i)} \right) = 0$ ; điều này suy ra $\sum_i \lambda_\beta^{(i)} x_\beta^{(i)} = 0$ với một $\beta \geq \alpha$ nào đó, trong đó $\lambda_\beta^{(i)} = \phi_{\beta \alpha}(\lambda_\alpha^{(i)})$ , $x_\beta^{(i)} = f_{\beta \alpha}(x_\alpha^{(i)})$ và các $x_\beta^{(i)}$ thuộc $P_\beta$ và phân biệt vì $y^{(i)} = f_\beta(x_\beta^{(i)})$ ; khi đó $\lambda_\beta^{(i)} = 0$ với $1 \leq i \leq n$ , do đó

\lambda^{(i)} = \phi_\beta(\lambda_\beta^{(i)}) = 0

với

1 \leq i \leq n

Giả sử bây giờ rằng tất cả các vành $A_\alpha$ đều bằng cùng một vành $A$ và các $\phi_{\beta \alpha}$ đều bằng $1_A$ ; khi đó, với mọi hệ trực tiếp $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ của các $A$ -môđun, $E = \lim \overrightarrow{E_\alpha}$ là một $A$ -môđun. Cho $F$ là một $A$ -môđun và với mọi $\alpha$ đặt $u_\alpha : E_\alpha \to F$ là một ánh xạ $A$ -tuyến tính sao cho $(u_\alpha)$ là một hệ trực tiếp các ánh xạ; khi đó $u = \lim \overrightarrow{u_\alpha}$ là một ánh xạ $A$ -tuyến tính từ $E$ vào $F$ . Ngược lại, với mọi ánh xạ $A$ -tuyến tính $v : \lim \overrightarrow{E_\alpha} \to F$ , họ của $v_\alpha = v \circ f_\alpha$ là một hệ trực tiếp các ánh xạ $A$ -tuyến tính sao cho $v = \lim \overrightarrow{v_\alpha}$ . Mặt khác ta nhận thấy rằng với $\alpha \leq \beta$ thì ánh xạ

\operatorname{Hom}(f_{\beta \alpha}, 1_F) = \bar{f}_{\alpha \beta} : \operatorname{Hom}_A(E_\beta, F) \to \operatorname{Hom}_A(E_\alpha, F)

là một đồng cấu

\mathbf{Z}

-môđun sao cho

(\operatorname{Hom}_A(E_\alpha, F), \bar{f}_{\alpha \beta})

là một hệ ngược của

\mathbf{Z}

*-môđun*; vì

\bar{f}_{\alpha \beta}(v_\beta) = v_\beta \circ f_{\beta \alpha}

, các nhận xét trên có thể phát biểu như sau:

Mệnh đề 6

Với mọi hệ trực tiếp* $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ của các $A$ *-môđun và mọi* $A$ *-môđun* $F$ , ánh xạ chính tắc $u \mapsto (u \circ f_\alpha)$ là một đẳng cấu $\mathbf{Z}$ *-môđun*

d_F : \operatorname{Hom}_A(\lim \overrightarrow{E_\alpha}, F) \to \lim \leftarrow \operatorname{Hom}_A(E_\alpha, F).

Hệ quả 1

Với mọi* $A$ *-đồng cấu môđun* $v : F \to F'$ , các

\bar{v}_\alpha = \operatorname{Hom}(1_{E_\alpha}, v) : \operatorname{Hom}(E_\alpha, F) \to \operatorname{Hom}(E_\alpha, F')

lập thành một hệ ngược các $\mathbf{Z}$ -ánh xạ tuyến tính và biểu đồ

\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(\lim E_\alpha, F) & \xrightarrow{d_F} & \lim \operatorname{Hom}(E_\alpha, F) \\ \downarrow \operatorname{Hom}(1_E, v) & & \downarrow \lim \overline{v}_\alpha \\ \operatorname{Hom}(\lim E_\alpha, F') & \xrightarrow{d_{F'}} & \lim \operatorname{Hom}(E_\alpha, F') \end{array}

giao hoán.

Với mọi $u \in \operatorname{Hom}(\lim E_\alpha, F)$ , $d_{F'}(v \circ u) = (v \circ u \circ f_\alpha)$ theo định nghĩa, và tính giao hoán của biểu đồ (6) suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa.

Hệ quả 2

Nếu* $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp các $A$ *-môđun trái và* $E = \lim \longrightarrow E_\alpha$ , $(E_\alpha^*, t f_{\beta \alpha})$ là một hệ ngược các $A$ *-môđun phải và* $\lim \leftarrow E_\alpha^*$ đẳng cấu chính tắc với $E^*$ .

Nhận xét

Cho $E$ là một $A$ *-môđun và* $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ một họ tăng các môđun con của $E$ sao cho $E$ là hợp của các $M_\alpha$ ; nếu $j_{\beta \alpha}: M_\alpha \to M_\beta$ (với $\alpha \leq \beta$ ) và $j_\alpha: M_\alpha \to E$ là các ánh xạ nhúng chính tắc, thì rõ ràng $j = \lim \longrightarrow j_\alpha$ là một đẳng cấu từ $\lim \longrightarrow M_\alpha$ lên $E$ (Lý thuyết tập hợp, III, § 7, no. 6, Nhận xét 1). Đặc biệt, mọi $A$ *-môđun đều là giới hạn trực tiếp của họ có hướng phải các* môđun con sinh hữu hạn của nó.

3. Tích tenxơ của các giới hạn trực tiếp

Cho $(A_\alpha, \rho_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp các vành và $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ (tương ứng $(F_\alpha, g_{\beta \alpha})$ ) là một hệ trực tiếp các $A_\alpha$ *-môđun phải* (tương ứng trái). Với $\alpha \leq \beta$ , có một đồng cấu môđun $\mathbf{Z}$ *-*

f_{\beta \alpha} \otimes g_{\beta \alpha}: E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to (E_\beta)_{[A_\alpha]} \otimes_{A_\alpha} (F_\beta)_{[A_\alpha]}

và mặt khác có một đồng cấu môđun $\mathbf{Z}$ *chính tắc*

(E_\beta)_{[A_\alpha]} \otimes_{A_\alpha} (F_\beta)_{[A_\alpha]} \to E_\beta \otimes_{A_\beta} F_\beta

tương ứng với đồng cấu vành $\rho_{\beta \alpha}$ ( $§ 3$ , no. 3, Mệnh đề 2); do đó bằng hợp thành ta thu được một đồng cấu môđun $\mathbf{Z}$ *-*

h_{\beta \alpha}: E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to E_\beta \otimes_{A_\beta} F_\beta

ánh xạ tích tenxơ $x_\alpha \otimes y_\alpha$ thành $f_{\beta \alpha}(x_\alpha) \otimes g_{\beta \alpha}(y_\alpha)$ . Rõ ràng

(E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha, h_{\beta \alpha})

là một hệ trực tiếp các $\mathbf{Z}$ *-môđun. Đặt* $A = \lim \longrightarrow A_\alpha$ , $E = \lim \longrightarrow E_\alpha$ , $F = \lim \longrightarrow F_\alpha$ và

gọi $\rho_\alpha : A_\alpha \to A, f_\alpha : E_\alpha \to E, g_\alpha : F_\alpha \to F$ là các ánh xạ chính tắc. Như trên, xác định một ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$ $\pi_\alpha : E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to E \otimes_A F$ , ánh xạ tích tenxơ $x_\alpha \otimes y_\alpha$ thành $f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)$ , và rõ ràng các ánh xạ này lập thành một hệ trực tiếp. Do đó ta thu được một ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$

\pi = \lim \pi_\alpha : \lim (E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha) \to E \otimes_A F.

Mệnh đề 7

Ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$ (7) là song ánh.

Đặt $P = \lim (E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha)$ và, với mọi $\alpha \in I$ , cho $h_\alpha : E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to P$ là ánh xạ chính tắc. Mặt khác, với mọi $\alpha \in I$ , cho

t_\alpha : E_\alpha \times F_\alpha \to E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha

là ánh xạ song tuyến tính

\mathbf{Z}

chính tắc; với

\alpha \leq \beta

t_\beta(f_{\beta \alpha}(x_\alpha), g_{\beta \alpha}(y_\alpha)) = f_{\beta \alpha}(x_\alpha) \otimes g_{\beta \alpha}(y_\alpha) = h_{\beta \alpha}(t_\alpha(x_\alpha, y_\alpha))

và do đó

(t_\alpha)

là một hệ trực tiếp các ánh xạ. Đồng nhất một cách chính tắc

\lim (E_\alpha \times F_\alpha)

với

E \times F

(Set Theory, III, § 7, no. 7, Mệnh đề 10), ta suy ra một ánh xạ

t = \lim t_\alpha : E \times F \to P

sao cho

t(f_\alpha(x_\alpha), g_\alpha(y_\alpha)) = h_\alpha(t_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)) = h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha).

Xét đến Set Theory, III, § 7, no. 5, Bổ đề 1, dễ thấy ngay rằng

t

là

\mathbf{Z}

-song tuyến tính; hơn nữa, với

x \in E, y \in F, \lambda \in A

, tồn tại

\alpha \in I

sao cho

x = f_\alpha(x_\alpha), y = g_\alpha(y_\alpha), \lambda = \rho_\alpha(\lambda_\alpha)

với

\lambda_\alpha \in A_\alpha, x_\alpha \in E_\alpha, y_\alpha \in F_\alpha

(Set Theory, III, § 3, no. 7, Bổ đề 1); do đó

t(x \lambda, y) = h_\alpha((x_\alpha \lambda_\alpha) \otimes y_\alpha) = h_\alpha(x_\alpha \otimes (\lambda_\alpha y_\alpha)) = t(x, \lambda y).

Vậy tồn tại duy nhất một ánh xạ

\mathbf{Z}

-tuyến tính

\pi' : E \otimes_A F \to P

sao cho

\pi'(x \otimes y) = t(x, y)

(§ 3, no. 1, Mệnh đề 1). Hơn nữa, theo định nghĩa

\pi'(\pi(h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha))) = \pi'(f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)) = h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)

\pi(\pi'(f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha))) = \pi(h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)) = f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)

và vì các phần tử dạng

f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)

(hay

h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)

) sinh môđun

\mathbf{Z}

E \otimes_A F

(hay

P

\pi' \circ \pi

và

\pi \circ \pi'

là các ánh xạ đồng nhất.

Nói một cách đại lược, Mệnh đề 7 có thể được phát biểu bằng cách nói rằng tích tenxơ giao hoán với giới hạn trực tiếp và thường hai vế của (7) được đồng nhất nhờ đẳng cấu $\pi$ .

Hệ quả 1

Cho* $(E'_\alpha, f'_{\beta \alpha})$ (resp. $(F'_\alpha, g'_{\alpha \beta})$ ) là một hệ trực tiếp khác của các môđun phải (resp. trái) $A_\alpha$ ; với mọi $\alpha \in I$ , cho $u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$ (resp. $v_\alpha : F_\alpha \to F'_\alpha$ ) là một $A_\alpha$ -ánh xạ tuyến tính sao cho $(u_\alpha)$ (resp. $(v_\alpha)$ ) là một hệ trực tiếp. Khi đó $(u_\alpha \oplus v_\alpha)$ là một hệ trực tiếp các $\mathbf{Z}$ -ánh xạ tuyến tính và biểu đồ

\begin{array}{ccc} \lim(E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha) & \longrightarrow & (\lim E_\alpha) \otimes_A (\lim F_\alpha) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \lim(u_\alpha \otimes v_\alpha) & & (\lim u_\alpha) \otimes (\lim v_\alpha) \\ \lim(E'_\alpha \otimes_{A_\alpha} F'_\alpha) & \longrightarrow & (\lim E'_\alpha) \otimes_A (\lim F'_\alpha) \end{array}

là giao hoán.

Việc kiểm tra là ngay lập tức.

Cho $(A'_\alpha, \rho'_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp khác của các vành và giả sử rằng mỗi $E_\alpha$ là một song môđun $(A'_\alpha, A_\alpha)$ , các $f_{\beta\alpha}$ là $(A'_\alpha, A_\alpha)$ -tuyến tính với $\alpha \leq \beta$ . Khi đó nếu ta viết $A' = \lim A'_\alpha$ , thì đẳng cấu (7) là tuyến tính đối với các cấu trúc môđun trái $A'$ trên hai vế nhờ Hệ quả 1. Điều này có thể được khái quát hóa ngay lập tức cho các đa môđun tùy ý.

Đặc biệt, nếu các $A_\alpha$ giao hoán, thì $A = \lim A_\alpha$ giao hoán và đẳng cấu (7) là một đẳng cấu môđun $A$ .

Hệ quả 2

Cho* $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp các môđun phải $A_\alpha$ *và cho* $E'_\alpha = E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$ là môđun $A$ thu được bằng cách mở rộng vành vô hướng lên $A = \lim A_\alpha$ nhờ đồng cấu chính tắc $\rho_\alpha : A_\alpha \to A$ . Khi đó $(E'_\alpha, f_{\beta\alpha} \otimes 1_A)$ là một hệ trực tiếp các môđun phải $A$ , mà giới hạn trực tiếp của nó đẳng cấu chính tắc với $\lim E_\alpha$ .

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 7 với $F_\alpha$ là vành $A$ được xét như một song môđun $(A_\alpha, A)$ nhờ $\rho_\alpha$ .

Hệ quả 3

Cho* $A$ là một vành, $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ là một hệ trực tiếp các $A$ -môđun phải và $F$ là một $A$ -môđun trái. Khi đó các $\mathbf{Z}$ *-môđun* $\lim (E_\alpha \otimes_A F)$ và $(\lim E_\alpha) \otimes_A F$ đẳng cấu một cách chính tắc.

Chỉ cần lấy $A_\alpha = A$ và $F_\alpha = F$ với mọi $\alpha \in I$ trong Mệnh đề 7.

Đặc biệt, nếu $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành, $\lim \rho^*(E_\alpha)$ và $\rho^*(\lim E_\alpha)$ đẳng cấu một cách chính tắc.

Hệ quả 4

Cho* $M$ là một $A$ -môđun phải, $N$ là một $A$ -môđun trái, $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ các phần tử của $M$ , $(y_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ các phần tử của $N$ , sao cho $\sum_i (x_i \otimes y_i) = 0$ trong $M \otimes_A N$ . Khi đó tồn tại một môđun con sinh hữu hạn $M_1$ (resp. $N_1$ ) của $M$ (resp. $N$ ) chứa các $x_i$ (resp. các $y_i$ ) và sao cho $\sum_i (x_i \otimes y_i) = 0$ trong $M_1 \otimes_A N_1$ .

$M$ (resp. $N$ ) được đồng nhất một cách chính tắc với giới hạn trực tiếp của họ có hướng phải các môđun con sinh hữu hạn của nó chứa các $x_i$ (resp. các $y_i$ ) và chỉ cần áp dụng *Lý thuyết tập hợp, III, § 7, no. 5, Bổ đề 1.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 6.