Cần chứng minh rằng mọi không gian vectơ đều có một cơ sở; điều này sẽ suy ra từ định lý chính xác hơn sau đây:

Định lý 1 suy ra từ mệnh đề này khi lấy L = ∅.

Để chứng minh Định lý 2, ta chú ý rằng tập hợp Λ các tập con tự do của E được chứa trong S, có thứ tự bởi bao hàm, là một tập quy nạp (Lý thuyết tập hợp, III, § 2, no. 4), theo § 1, no. 11; tập M các tập con tự do chứa L và được chứa trong S cũng vậy. Theo Bổ đề Zorn, M có một phần tử cực đại B và chỉ cần chứng minh rằng không gian con vectơ của E sinh bởi B bằng E. Điều này suy ra ngay lập tức từ định nghĩa của B và bổ đề sau:

Giả sử có một quan hệ $\mu b + \sum_i \lambda_i a_i = 0$ với $\mu \in K$ và $\lambda_i \in K$ với mọi $i \in I$, họ $(\lambda_i)$ có giá hữu hạn; nếu $\mu \neq 0$, thì suy ra $b = -\sum_i (\mu^{-1} \lambda_i) a_i$ và do đó $b \in F$, trái với giả thiết; vậy $\mu = 0$ và quan hệ trở thành $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, điều này kéo theo $\lambda_i = 0$ với mọi $i \in I$ theo giả thiết; do đó có bổ đề.

Trước hết ta chú ý rằng nếu $E$ có một cơ sở vô hạn $B$, thì từ § 1, no. 12, Hệ quả 2 của Mệnh đề 23 suy ra rằng mọi cơ sở khác của $E$ đều đẳng lực với $B$. Do đó ta có thể chỉ xét trường hợp E có một cơ sở hữu hạn gồm $n$ phần tử. Ta chú ý rằng mọi không gian vectơ đơn sinh trên $K$, không thu về 0, đều là một $K$-môđun đơn (I, § 4, no. 4, Định nghĩa 7), vì nó được sinh bởi từng phần tử của nó $\neq 0$, theo quan hệ $\mu a = (\mu \lambda)(\lambda^{-1}a)$ với $\mu \in K$, $\lambda \in K$ và $\lambda \neq 0$. Do đó nếu $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $E$, thì $E = \bigoplus_{i=1}^n Ka_i$ sai khác bởi đẳng cấu và các không gian con $E_k = \bigoplus_{i=1}^\kappa Ka_i$ với $0 \leq k \leq n$ tạo thành một chuỗi Jordan-Hölder của $E$, trong đó $E_k/E_{k-1}$ đẳng cấu với $Ka_k$. Khi đó trong trường hợp này, Định lý 3 suy ra từ Định lý Jordan-Hölder (I, § 4, no. 7, Định lý 6).

Có thể cho một chứng minh độc lập với Định lý Jordan-Hölder, bằng cách chỉ ra bằng quy nạp theo $n$ rằng, nếu $E$ thừa nhận một cơ sở gồm $n$ phần tử, thì mọi cơ sở khác $B'$ đều có nhiều nhất $n$ phần tử. Mệnh đề là hiển nhiên đối với $n = 0$. Nếu $n \geq 1$, thì $B'$ là không rỗng; khi đó lấy $a \in B'$. Theo Định lý 2 (no. 1) tồn tại một tập con $C$ của $B$ sao cho $\{a\} \cup C$ là một cơ sở của $E$ và $a \notin C$, vì $\{a\} \cup B$ hiển nhiên là một hệ sinh của $E$. Vì $B$ là một cơ sở của $E$, trường hợp $C = B$ là không thể xảy ra (no. 1, Hệ quả của Định lý 2), và do đó $C$ có nhiều nhất $n - 1$ phần tử. Gọi $V$ là không gian con sinh bởi $C$ và $V'$ là không gian con sinh bởi $B' - \{a\}$; $V$ và $V'$ đều bù nhau với không gian con $Ka$ của $E$ và do đó đẳng cấu (§ 1, no. 10, Mệnh đề 13). Vì $V$ thừa nhận một cơ sở có nhiều nhất $n - 1$ phần tử, nên theo giả thiết quy nạp, $B' - \{a\}$ có nhiều nhất $n - 1$ phần tử, và do đó $B'$ có nhiều nhất $n$ phần tử.

Nếu V là không gian con vectơ của E được sinh bởi M, thì M chứa một cơ sở B' của V (no. 1, Định lý 2) và vì B' là một tập con tự do của E, nó được chứa trong một cơ sở B của E (no. 1, Định lý 2); khi đó Card(B') $\leq$ Card(B), do đó có hệ quả.

Các Định lý 2 và 3 ngay lập tức suy ra mệnh đề sau:

(ii) Để hai không gian vectơ Ks^m và K_s^n đẳng cấu với nhau (m và n là các số nguyên $\geq 0$), điều kiện cần và đủ là m = n.*

(iii) Trong một không gian vectơ E có số chiều hữu hạn n, mọi hệ sinh đều có ít nhất n phần tử; một hệ sinh của E có n phần tử là một cơ sở của E.

(iv) Trong một không gian vectơ E có số chiều hữu hạn n, mọi tập con tự do đều có nhiều nhất n phần tử; một tập con tự do có n phần tử là một cơ sở của E.

Nếu các E_t được đồng nhất một cách chính tắc với các không gian con của $E = \bigoplus_{t \in I} E_t$ và B_t là một cơ sở của E_t ($t \in I$), thì $B = \bigcup_{t \in I} B_t$ là một cơ sở của E ($§ 1$, no. 11, Mệnh đề 19); do đó có quan hệ (1) vì các B_t đôi một rời nhau.

Xét không gian vectơ $\rho^*(E) = D \otimes_A E$ trên D thu được bằng cách mở rộng vành các vô hướng thành D ($§ 5$, no. 1) và gọi $\phi : x \mapsto 1 \otimes x$ là ánh xạ chính tắc từ E vào $\rho^*(E)$; nếu $(a_\lambda)$ là một cơ sở của E thì $(\phi(a_\lambda))$ là một cơ sở của $\rho^*(E)$ ($§ 5$, no. 1, Mệnh đề 4); khi đó mệnh đề suy ra từ Định lý 3.

Trong A tồn tại ít nhất một iđêan cực đại m (I, $§ 8$, no. 6, Định lý 1) và, vì A/m là một trường, các điều kiện của Mệnh đề 3 được thỏa mãn.

Vì không gian vectơ thương $E/F$ là một môđun tự do, ta biết (§ 1, no. 11, Mệnh đề 21) rằng $F$ là một nhân tử trực tiếp của $E$; quan hệ (3) khi đó là một trường hợp riêng của công thức (1) (no. 2).

Đó là một cách khác để phát biểu Mệnh đề 4 (§ 1, no. 9).

thì quan hệ

đúng, hoặc, nếu tất cả các không gian đều hữu hạn chiều,

Đặt $I_k = \operatorname{Im}\ u_k = \operatorname{Ker}\ u_{k+1}$ với $0 \leq k \leq n-1$; do đó $I_{k+1}$ đẳng cấu với $E_{k+1}/I_k$, suy ra (công thức (3)) $\dim I_k + \dim I_{k+1} = \dim E_{k+1}$ với $0 \leq k \leq n-2$ và hơn nữa $\dim I_0 = \dim E_0$ và $I_{n-1} = E_n$, do đó $\dim I_{n-1} = \dim E_n$. Thay thế $\dim E_i$ bằng biểu thức của nó như một hàm của các $\dim I_k$ ở hai vế của (5), ta thu được ở mỗi vế $\sum_{k=0}^{n-1} \dim I_k$, do đó có hệ quả.

(7)

Chỉ cần áp dụng Hệ quả 2 cho dãy khớp

(§ 1, no. 8, Mệnh đề 10) đồng thời lưu ý rằng

(no. 2, Mệnh đề 2).

Mệnh đề thứ nhất là hiển nhiên từ (3); hơn nữa, nếu $\dim E$ là hữu hạn, quan hệ $\dim F = \dim E$ kéo theo $\dim(E/F) = 0$ theo (3), và một không gian vectơ có chiều 0 thì thu về 0.

(8)

Nếu thêm nữa $\dim E$ là hữu hạn, thì hai vế của (8) bằng nhau khi và chỉ khi E là tổng trực tiếp của họ $(F_i)$.

Bất đẳng thức (8) suy ra từ (3) và sự kiện rằng E đẳng cấu với một thương của $\bigoplus_i F_i$ (§ 1, no. 7, công thức (28)). Mệnh đề thứ hai là một trường hợp riêng của § 1, no. 10, Hệ quả 5 của Mệnh đề 16, vì sự bằng nhau của hai vế của (8) kéo theo $\dim F_i = 0$ trừ ra đối với một số hữu hạn chỉ số.

Bất đẳng thức $\operatorname{codim}_E F \leq \dim E$ là hiển nhiên từ (9), và nếu $\dim E$ là hữu hạn thì quan hệ $\operatorname{codim}_E F = \dim E$ kéo theo $\dim F = 0$ và do đó $F = \{0\}$. Phần còn lại của mệnh đề suy ra từ điều này, vì

Chú ý rằng nếu E hữu hạn chiều, thì (10) là một hệ quả của (7) và (9).

Các không gian con vectơ chiều 1 (tương ứng chiều 2) của một không gian vectơ E thường được gọi là các đường thẳng đi qua 0 (tương ứng các mặt phẳng đi qua 0) (hoặc đơn giản là các đường thẳng (tương ứng các mặt phẳng) nếu không có sự lẫn lộn nào xảy ra (xem § 9, no. 3)), theo phép loại suy với ngôn ngữ của Hình học Cổ điển; một không gian con của E được gọi là một siêu phẳng đi qua 0 (hoặc đơn giản là một siêu phẳng) nếu nó có đối chiều 1. Các siêu phẳng cũng có thể được định nghĩa như các phần tử cực đại của tập $\mathscr{S}$ các không gian con vectơ của E phân biệt với E, có thứ tự theo bao hàm. Có một sự tương ứng một-một giữa các không gian con của E chứa một không gian con H và các không gian con của $E/H$ (I, § 4, no. 7, Định lý 4); nếu E có chiều $\geq 1$, thì $\mathscr{S}$ là khác rỗng, và nói rằng H là cực đại trong $\mathscr{S}$ có nghĩa là $E/H$ không chứa không gian con nào phân biệt với $\{0\}$ và $E/H$, điều này kéo theo rằng $E/H$ được sinh bởi bất kỳ phần tử nào của nó $\neq 0$, nói cách khác nó có chiều 1.

Trong một không gian vectơ hữu hạn chiều $n \geq 1$, các siêu phẳng là các không gian con có chiều $n - 1$ theo công thức (3).

Chỉ cần chỉ ra rằng với mọi $x \notin F$ tồn tại một siêu phẳng H chứa F và không chứa x. Theo giả thiết $F \cap Kx = \{0\}$ và do đó tổng M của F và $Kx$ là trực tiếp. Cho N là phần bù của M trong E; khi đó E là tổng trực tiếp của $H = F + N$ và $Kx$, và vì vậy H là một siêu phẳng có tính chất mong muốn.

Điều này suy ra ngay lập tức từ các quan hệ (12) và (13).

Nếu E là một không gian vectơ vô hạn chiều, thì có những tự đồng cấu đơn ánh (tương ứng, toàn ánh) của E mà không song ánh (Bài tập 9).

Cho K, K' là hai trường, $\sigma : K \to K'$ là một đẳng cấu của K lên K', E là một không gian vectơ trên K, E' là một không gian vectơ trên K' và $u : K \to K'$ là một ánh xạ nửa tuyến tính đối với $\sigma$ (§ 1, no. 13); chiều của không gian con $u(E)$ của E' cũng được gọi là hạng của $u$. Nó cũng là hạng của $u$ khi coi $u$ như một ánh xạ tuyến tính từ E vào $\sigma_*(E')$, vì mọi cơ sở của $u(E)$ cũng là một cơ sở của $\sigma_*(u(E))$.

Nếu K là trường vô hướng của E, thì E đẳng cấu với một không gian $K_s^{(I)}$ và do đó $E^*$ đẳng cấu với $K_d^I$ (§ 2, no. 6, Mệnh đề 10). Vì $K_s^{(I)}$ là một không gian con của $K_d^I$, $\dim E = \mathrm{Card}(I) \leq \dim E^*$ (no. 3, Hệ quả 4 của Mệnh đề 4); hơn nữa, nếu I hữu hạn, thì $K_d^I = K_d^{(I)}$ (x. Bài tập 3(d)).

Điều này suy ra từ việc mọi không gian con vectơ đều là một nhân tử trực tiếp (no. 3, Mệnh đề 4) và từ § 2, no. 1, các Mệnh đề 1 và 2.

Suy ra đặc biệt rằng với mọi không gian con vectơ M của E, đồng cấu chính tắc $E^*/M' \to M^*$, trong đó $M'$ là không gian con của $E^*$ trực giao với M (§ 2, no. 4), là song ánh.

Mệnh đề thứ nhất và sự kiện rằng nếu E hữu hạn chiều thì $c_E$ là song ánh là những trường hợp riêng của § 2, no. 7, Mệnh đề 14. Giả sử E vô hạn chiều, nên ta có thể giả thiết rằng $E = K_s^{(L)}$, trong đó L là một tập hợp vô hạn và do đó $E^* = K_d^L$. Gọi $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ là cơ sở chính tắc của E và gọi $(e_\lambda^*)_{\lambda \in L}$ là họ tương ứng các dạng tọa độ trong $E^*$ (§ 2, no. 6); không gian con vectơ của $E^*$ sinh bởi các $e_\lambda^*$ chính là tổng trực tiếp $F' = K_d^{(L)}$ và giả thiết L là vô hạn kéo theo $F' \neq E^*$. Khi đó tồn tại một siêu phẳng $H'$ của $E^*$ chứa $F'$ (no. 3, Mệnh đề 8) và, vì $E^*/H'$ khác không, đối ngẫu của nó cũng khác không (Hệ quả của Định lý 4), đối ngẫu này được đồng nhất với trực giao $H''$ của $H'$ trong $E^{**}$ (§ 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 9). Nhưng $H'' \cap c_E(E)$ được chứa trong ảnh qua $c_E$ của trực giao của $F'$ trong E, theo định nghĩa là 0; do đó $c_E(E) = E^{**}$ là điều không thể.

Thông thường E sẽ được đồng nhất với không gian con của $E^{**}$ là ảnh của $c_E$.

Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K và $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính. Ta sẽ định nghĩa các đẳng cấu chính tắc:

(1) Từ đối ngẫu của Im(u) = u(E) lên Im($^t u$) = $^t u(F^*)$.

(2) Từ đối ngẫu của Ker(u) = $^{-1}u(0)$ lên Coker($^t u$) = $E^*/^t u(F^*)$.

(3) Từ đối ngẫu của Coker(u) = F/u(E) lên Ker($^t u$) = $^t u^{-1}(0)$.

Ta viết I = Im(u), N = Ker(u), C = Coker(u); từ các dãy khớp

(14) $0 \to N \to E \xrightarrow{p} I \to 0,\quad 0 \to I \xrightarrow{j} F \to C \to 0$

ta suy ra, bằng phép chuyển vị (Hệ quả của Định lý 5), các dãy khớp

(15)

Hơn nữa, vì $u = j \circ p,\ ^t u = ^t p \circ ^t j$; do đó các dãy khớp (15) xác định các đẳng cấu chính tắc từ $C^*$ lên Ker($^t u$), từ $I^*$ lên Im($^t u$) và từ $N^*$ lên Coker($^t u$), vì $^t p$ là đơn ánh và $^t j$ là toàn ánh. Chính xác hơn, cho $y \in \mathrm{Im}(u)$, $z \in \mathrm{Ker}(u)$, $t \in \mathrm{Coker}(u)$, $y' \subset \mathrm{Im}(^t u)$, $z' \in \mathrm{Coker}(^t u)$, $t' \in \mathrm{Ker}(^t u)$; khi $y'$, $z'$, $t'$ được đồng nhất một cách chính tắc với các dạng tuyến tính trên $\mathrm{Im}(u)$, $\mathrm{Ker}(u)$ và $\mathrm{Coker}(u)$ tương ứng, thì

(16) $\langle y, y' \rangle = \langle x, y' \rangle$ với mọi $x \in E$ sao cho $u(x) = y$;

(17) $\langle z, z' \rangle = \langle z, x^* \rangle$ với mọi $x^* \in E^*$ mà lớp của nó mod. $^t u(F)$ bằng $z'$;

(18) $\langle t, t' \rangle = \langle s, t' \rangle$ với mọi $s \in F$ mà lớp của nó mod. $u(E)$ bằng $t$.

Đặc biệt ta suy ra từ các kết quả này:

(i) Để u là đơn ánh (resp. toàn ánh), điều kiện cần và đủ là $^t u$ toàn ánh (resp. đơn ánh).

(ii) $\operatorname{rg}(u) \leq \operatorname{rg}(^t u)$ và $\operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(^t u)$ nếu $\operatorname{rg}(u)$ hữu hạn.

Mệnh đề thứ hai suy ra từ trên và Định lý 4.

(i) $\dim F' \geq \operatorname{codim}_E F;$ để $\dim F'$ hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $\operatorname{codim}_E F$ hữu hạn, và khi đó $\dim F' = \operatorname{codim}_E F$.

(ii) Trực giao của F' trong E bằng F.

(iii) Mọi không gian con hữu hạn chiều G' của E đều là trực giao của một không gian con nào đó của E, không gian con này tất yếu bằng trực giao của G' trong E và có đối chiều hữu hạn.*

(i) Ta biết rằng F' đẳng cấu với đối ngẫu $(E/F)*$ (§ 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 9) và do đó mệnh đề suy ra từ Định lý 4, vì $\dim(E/F) = \operatorname{codim}_E F$ theo định nghĩa.

(ii) Gọi $F_1$ là trực giao của F' trong E; rõ ràng $F \subset F_1$ và trực giao $F'_1$ của $F_1$ bằng F' (§ 2, no. 4); do đó ánh xạ tuyến tính chính tắc $(E/F_1)^* \to (E/F)^*$, là chuyển vị của $E/F \to E/F_1$, là song ánh (§ 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 10); khi đó theo Mệnh đề 10 suy ra ánh xạ chính tắc $E/F \to E/F_1$ là song ánh, điều này kéo theo $F_1 = F$.

(iii) Cho G' là một không gian con của E* có chiều hữu hạn $p$ và gọi F là trực giao của nó trong E; khi đó $\operatorname{codim}_E F \leq \dim G'$. Thật vậy, nếu $(a_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ là một cơ sở của G', thì F là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính $x \mapsto (\langle x, a_i^* \rangle)$ từ E vào $K_s^p$ có hạng nhiều nhất bằng $p$ (no. 4, Mệnh đề 9), do đó suy ra kết luận (no. 4). Bây giờ gọi F' là trực giao của F trong E*; từ (i) suy ra $\dim F' \leq \dim G'$; nhưng mặt khác hiển nhiên $G' \subset F'$, do đó $F' = G'$ (§ 2, no. 3, Hệ quả 4 của Mệnh đề 4).

Khi đó $\operatorname{codim}_E F$ bằng hạng của tập hợp các $x_i^*$ và mọi dạng tuyến tính trên E triệt tiêu trên F đều là một tổ hợp tuyến tính của các $x_i^*$. Do đó $\operatorname{codim}_E F \leq p$ và để $\operatorname{codim}_E F = p$, điều kiện cần và đủ là các $x_i^*$ độc lập tuyến tính.

Tập hợp $G'$ các tổ hợp tuyến tính của các $x_i^*$ là một không gian con của $E^*$ và F là trực giao của $G'$ trong E, do đó $\operatorname{codim}_E F = \dim G'$ theo Định lý 7; hơn nữa $\dim G' \leq p$ và hệ thức $\dim G' = p$ có nghĩa là $(x_i^*)$ là một hệ tự do (no. 2, Mệnh đề 1); do đó có hệ quả.

(ii) Cho $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ là một dãy hữu hạn các phần tử của E. Để $(x_i)$ là một hệ tự do, điều kiện cần và đủ là tồn tại một dãy $(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ các dạng tuyến tính trên E sao cho $\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$.

Rõ ràng (ii) suy ra từ (i) khi xét E được đồng nhất với một không gian con của $E^{**}$ nhờ $c_E$ (Định lý 6). Gọi $G'$ là không gian con của $E^*$ sinh bởi các $x_i^*$ và F là trực giao của nó trong E; E/F và $G'$ mỗi cái đều có thể được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu của cái kia; nếu họ $(x_i^*)$ là tự do, thì tồn tại trong E/F một cơ sở $(\dot{x}_i)$ đối ngẫu của $(x_i^*)$ và mọi hệ đại diện $(x_i)$ của các lớp $\dot{x}_i$ đều có các tính chất cần có. Ngược lại, sự tồn tại của hệ $(x_i)$ sao cho $\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$ kéo theo rằng với mọi $i$, không gian con của $E^*$ trực giao với K.$x_i$ chứa các $x_j^*$ có chỉ số $j \neq i$ nhưng không chứa $x_i^*$, do đó hệ $(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ là tự do.

Không gian $K_d^S$ được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu của $E = K_d^{(S)}$ và $f(s) = \langle e_s, f \rangle$ với $s \in S$ và $f \in K_s^S$, trong đó $(e_s)_{s \in S}$ là cơ sở chính tắc của E. Khi đó Hệ quả 2 cho thấy điều kiện ấy là đủ. Ngược lại, giả sử rằng $\dim V \geq p$, nên tồn tại một không gian con $G'$ của V có chiều $p$; gọi F là trực giao của $G'$ trong E, khi đó $\dim(E/F) = p$. Từ no. 1, Định lý 2 suy ra rằng tồn tại $p$ phần tử $s_i \in S$ sao cho các $e_{s_i}$ $(1 \leq i \leq p)$ lập thành một cơ sở của một phần bù F của E (áp dụng Định lý 2 (no. 1) cho một tập con tự do gồm một cơ sở của E và hệ sinh là hợp của tập con tự do này với cơ sở chính tắc của E); khi đó ta lấy các $f_i$ là các phần tử của một cơ sở của G' đối ngẫu với cơ sở của E/F gồm các lớp của $e_{s_i}$ mod. F.

Vì M (tương ứng N) là trực giao của M' (tương ứng N') trong E (Định lý 7), M ∩ N là trực giao của M' + N' trong E và do đó M' + N' là trực giao của M ∩ N trong E* (Định lý 7 (iii)).

Định lý 7 cho một đặc trưng hóa khác của các siêu phẳng trong E:

Mệnh đề này chỉ đơn thuần diễn đạt Định lý 7 cho các không gian con của E có đối chiều 1 và các không gian con của E* có chiều 1.

Nếu H là một siêu phẳng và $x_0^*$ là một dạng tuyến tính sao cho H = $x^{*-1}(0)$, quan hệ

đặc trưng các phần tử $x \in H$, được gọi là một phương trình của H.

Nói chung hơn, nếu $(x_i^*)$ là một họ các dạng tuyến tính trên E và F ký hiệu không gian con vectơ là giao của các siêu phẳng $x_i^{*-1}(0)$, thì quan hệ "với mọi $i, \langle x, x_i^* \rangle = 0$" đặc trưng các phần tử của F; các quan hệ

lập thành một hệ phương trình của không gian con F. Định lý 7 (ii) biểu thị sự kiện rằng mọi không gian con vectơ của E đều có thể được xác định bởi một hệ phương trình.

Định lý 7 (i) và (ii) còn chứng tỏ rằng một không gian con F có đối chiều hữu hạn $p$ có thể được xác định bởi một hệ gồm $p$ phương trình

(19)

trong đó các dạng $x_i^*$ là độc lập tuyến tính. Ngược lại, Hệ quả 1 của Định lý 7 cho thấy rằng một không gian con F được xác định bởi một hệ gồm $p$ phương trình (19) thì có đối chiều $\leq p$ và có đối chiều $p$ khi và chỉ khi các $x_i^*$ độc lập tuyến tính; điều đó cũng tương đương với việc nói rằng F không thể được xác định bởi một hệ gồm nhiều nhất $p - 1$ trong các phương trình (19).

Phần trực giao của $u(E)$ trong $F^*$ là ${}^t u^{-1}(0)$ (§ 2, no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 8) và do đó phần trực giao của ${}^t u^{-1}(0)$ trong F là $u(E)$ (no. 5, Định lý 7 (ii)).

Ta sẽ thu được một tiêu chuẩn thuận tiện hơn cho các hệ phương trình tuyến tính vô hướng

trong đó ẩn $x$ nhận giá trị trong một không gian vectơ E trên một trường K, các $x_i^*$ là các dạng tuyến tính trên E và các vế phải $\eta_i$ là các phần tử của K.

Nếu ta xét một cơ sở $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ của E, thì hệ (21) tương đương với hệ phương trình

với $x = \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda$, các nghiệm của (22) tất yếu là những họ $(\xi_\lambda)$ các phần tử của K có giá hữu hạn.

Nếu F' là không gian con của $E^*$ được sinh bởi các $x_i^*$, thì hạt nhân của u là phần trực giao F của F' trong E; nếu F' có chiều r thì F có đối chiều r và ngược lại (no. 5, Định lý 7), và $\mathrm{rg}(u) = \mathrm{codim}_E F$ (no. 4, công thức (11)).

là một hệ phương trình tuyến tính vô hướng trên một không gian vectơ E trên một trường K. Để hệ này có ít nhất một nghiệm, điều kiện cần là, với mọi họ $(\rho_i)$ các vô hướng có giá hữu hạn sao cho $\sum_i x_i^* \rho_i = 0,\ \sum_i \eta_i \rho_i = 0.$ Nếu hạng của hệ (21) là hữu hạn, thì điều kiện này cũng là đủ.

Điều kiện ấy hiển nhiên là cần thiết. Nó nói rằng, nếu $F'$ là không gian con của $E^*$ sinh bởi họ $(x_i^*)$, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính $f : F' \to K_d$ sao cho $f(x_i^*) = \eta_i$ với mọi $i \in I$. Nếu $F'$ có số chiều hữu hạn $r$, thì $F'$ là trực giao của một không gian con $F$ của $E$ có đối chiều $r$ (no. 5, Định lý 7) và $F'$ được đồng nhất với đối ngẫu của $E/F$ (§ 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 9); do đó $f$ là một phần tử của đối ngẫu kép $(E/F)**$. Vì $E/F$ là hữu hạn chiều nên tồn tại một và chỉ một phần tử $y \in E/F$ sao cho $f(x^*) = \langle y, x^* \rangle$ với mọi $x^* \in F'$ (no. 5, Định lý 6). Khi đó các nghiệm của (21) là các $x \in E$ mà ảnh chính tắc của chúng trong $E/F$ là $y$.

Điều này luôn xảy ra nếu số phương trình là hữu hạn và < n.

(23)

Vì dãy (23) tách được, đây là một trường hợp riêng của § 3, no. 7, Hệ quả 5 của Mệnh đề 7 và § 3, no. 6, Mệnh đề 5.

Do Mệnh đề 14, khi $E'$ là một không gian con vectơ của $E$, $j : E' \to E$ là đơn ánh chính tắc, thì $E' \otimes_K F$ thường được đồng nhất với một $\mathbf{Z}$-môđun con của $E \otimes_K F$ nhờ đơn ánh $j \otimes 1_F$. Với quy ước này:

Hiển nhiên chỉ cần chứng minh trường hợp riêng

Rõ ràng vế trái của (25) được chứa trong vế phải. Để chứng minh đảo lại, ta xét một cơ sở $(f_\lambda)_{\lambda \in L}$ của F. Khi đó mọi phần tử của $E \otimes_K F$ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $\sum_{\lambda \in L} x_\lambda \otimes f_\lambda$, trong đó $x_\lambda \in E$ (§ 3, no. 7, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7); nếu $E'$ là một không gian con vectơ của E, quan hệ $\sum_{\lambda \in L} x_\lambda \otimes f_\lambda \in E' \otimes_K F$ tương đương, theo Mệnh đề 14, với $x_\lambda \in E'$ với mọi $\lambda \in L$. Vì vậy, nói rằng $\sum_{\lambda \in L} x_\lambda \otimes f_\lambda$ thuộc mỗi $M_\alpha \otimes_K F$ có nghĩa là với mọi $\lambda \in L$ và mọi $\alpha \in A$, ta có $x_\lambda \in M_\alpha$, tức là $x_\lambda \in \bigcap_{\alpha \in A} M_\alpha$ với mọi $\lambda \in L$, điều đó chứng tỏ vế phải của (25) được chứa trong vế trái.