(a) Ánh xạ K-tuyến tính $\lambda$ từ $V'_{(K)} = V' \otimes_{K'} K$ vào V sao cho $\lambda(x' \otimes \xi) = x'\xi$ với mọi $x' \in V', \xi \in K$, là song ánh.

(b) Mọi ánh xạ K'-tuyến tính $f'$ từ V' vào một không gian vectơ trên K W đều có thể được mở rộng duy nhất thành một ánh xạ K-tuyến tính f từ V vào W.

(c) Mọi cơ sở của V' trên K' là một cơ sở của V trên K.

(d) Tồn tại một cơ sở của V' trên K' cũng là một cơ sở của V trên K.

(e) Không gian vectơ trên K V được sinh bởi V' và mọi tập con của V' tự do trên K' đều tự do trên K.

Ta biết (§ 5, no. 1) rằng $V'_{(K)}$ có một cấu trúc không gian vectơ phải trên K mà dưới cấu trúc này $(x' \otimes \xi)\eta = x' \otimes (\xi\eta)$ ($\xi, \eta$ trong K, $x' \in V'$) và rằng với mọi ánh xạ K'-tuyến tính $f'$ từ V' vào một không gian vectơ trên K W, tồn tại một và chỉ một ánh xạ K-tuyến tính $\bar{f}'$ từ $V'_{(K)}$ vào W sao cho $\bar{f}'(x' \otimes 1) = f'(x')$ với $x' \in V'$. Nếu j là đơn ánh chính tắc từ V' vào V, thì $\lambda$ chính là ánh xạ K-tuyến tính tương ứng $\bar{j}$. Nếu $\lambda$ là song ánh, thì với mọi ánh xạ K'-tuyến tính $f': V' \to W, \bar{f}' \circ \lambda^{-1}$ là ánh xạ K-tuyến tính duy nhất từ V vào W mở rộng $f'$; nói cách khác, (a) suy ra (b). Ngược lại, nếu (b) đúng, thì đặc biệt tồn tại một ánh xạ K-tuyến tính $\mu$ từ V vào $V'_{(K)}$ sao cho $\mu(x') = x' \otimes 1$ với mọi $x' \in V'$; ngay lập tức ta có $\mu \circ \lambda = 1_{V'_{(K)}}$; mặt khác, $\lambda(\mu(x')) = x'$ với mọi $x' \in V'$ và, vì theo giả thiết $j: V' \to V$ có thể được mở rộng duy nhất thành một tự đồng cấu của V, nên tất yếu $\lambda \circ \mu = 1_V$, điều này hoàn tất chứng minh rằng (a) và (b) là tương đương.

Với mọi cơ sở B' của V' trên K', tập B gồm các phần tử $v' \otimes 1$ của $V'_{(K)}$, trong đó $v'$ chạy qua B', là một cơ sở của $V'_{(K)}$ trên K (§ 5, no. 1, Mệnh đề 4) và $\lambda(B) = B'$. Để $\lambda$ là song ánh, điều cần thiết là ảnh dưới $\lambda$ của mọi cơ sở của $V'_{(K)}$ là một cơ sở của V trên K và điều đủ là điều đó đúng với một cơ sở duy nhất của $V'_{(K)}$ (§ 1, no. 11, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17). Điều này chứng minh tính tương đương của (a), (c) và (d).

Vì mọi tập con của V' tự do trên K' đều được chứa trong một cơ sở của V' trên K' (§ 7, no. 1, Định lý 2), nên (c) suy ra (e). Cuối cùng, giả sử (e) đúng; nếu B' là một cơ sở của V' trên K', thì nó là một tập con tự do của V trên K; mặt khác B' sinh V' trên K' và do đó sinh V trên K theo giả thiết; vì thế B' là một cơ sở của V trên K, điều này chứng minh rằng (e) suy ra (c).

Rõ ràng song ánh $\lambda^{-1}: V \to V' \otimes_{\mathbf{K'}} \mathbf{K}$, nghịch đảo của song ánh $\lambda$ được định nghĩa trong no. 1, Mệnh đề 1, ánh xạ mọi không gian con vectơ trên K' W' của V' lên ảnh của nó dưới đơn ánh chính tắc $x' \mapsto x' \otimes 1$ và W'.K lên W' $\otimes_{\mathbf{K'}} \mathbf{K}$; do đó các khẳng định của Mệnh đề 2 là những hệ quả của Định nghĩa 2 và § 7, no. 9, Mệnh đề 19.

Mệnh đề liên quan đến các tổng là hiển nhiên. Mặt khác, nếu $(W'_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian vectơ con trên $\mathbf{K}'$ của $V'$, thì $\left( \bigcap_{i \in I} W'_i \right) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} = \bigcap_{i \in I} (W_i \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K})$ (§ 7, no. 7, Hệ quả của Mệnh đề 14), điều đó chứng minh hệ quả.

Một cơ sở $B$ của $V$ trên $\mathbf{K}$ được gọi là hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ nếu nó gồm các vectơ hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$.

Nếu $W'$ là không gian vectơ con trên $\mathbf{K}'$ của $V'$ sinh bởi $B$, thì $W'.\mathbf{K} = V = V'.\mathbf{K}$, do đó $V' = W'$ theo Mệnh đề 2.

(i) *Ánh xạ $f' \mapsto f' \otimes 1_{\mathbf{K}} = f'_{(\mathbf{K})}$ là một song ánh từ $\mathrm{Hom}_{\mathbf{K}'}(V'_1, V'_2)$ lên tập hợp các ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{K}$ từ $V_1$ vào $V_2$ hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$; song ánh ngược gắn với mỗi ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{K}$ $f : V_1 \to V_2$ hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{K}'$ $f' : V'_1 \to V'_2$ có cùng đồ thị với hạn chế của $f$ trên $V'_1$.

(ii) *Với mọi ánh xạ tuyến tính $\mathbf{K}$-tuyến tính $f : V_1 \to V_2$ hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$,

(i) Rõ ràng với các đồng nhất ở trên, nếu $f' : V'_1 \to V'_2$ là một ánh xạ $\mathbf{K}'$-tuyến tính, thì $f'_{(\mathbf{K})} = f' \otimes 1_{\mathbf{K}}$ là hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ và $f'$ là ánh xạ có cùng đồ thị như hạn chế của $f'_{(\mathbf{K})}$ trên $V'_1$. Ngược lại, nếu $f : V_1 \to V_2$ là một ánh xạ $\mathbf{K}$-tuyến tính hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ và $f' : V'_1 \to V'_2$ có cùng đồ thị như hạn chế của $f$ trên $V'_1$, thì $f$ và $f'_{(\mathbf{K})}$ trùng nhau trên $V'_1$, là một hệ sinh của $V_1$ trên $\mathbf{K}$, do đó $f = f'_{(\mathbf{K})}$.

(ii) Nếu $f = f' \otimes 1_{\mathbf{K}}$, thì $f(V_1) = f(V'_1 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) = f'(V'_1) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}$ và, vì $f'(V'_1) \subset V'_2, f(V'_1) = f'(V'_1) \cap V'_2$ (§ 7, no. 9, Mệnh đề 19); công thức $f^{-1}(V'_2) = V'_1 + \mathrm{Ker}(f)$ suy ra ngay lập tức.

Đây là một trường hợp riêng của § 7, no. 9, Hệ quả của Mệnh đề 18.

Theo ký hiệu của Mệnh đề 3, với mọi không gian con vectơ-$\mathbf{K}'$ $W'_1$ của $V'_1$, ta có $f'_{(\mathbf{K})}(W'_1 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) = f'(W'_1) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}$; do đó suy ra mệnh đề liên quan đến $W_1$ (no. 2, Mệnh đề 2). Mặt khác, cho $W'_2$ là một không gian con vectơ-$\mathbf{K}'$ của $V'_2$ và cho $g'$ là ánh xạ $\mathbf{K}'$-tuyến tính chính tắc $V'_2 \to V'_2/W'_2$; khi đó $f'(W'_2) = \operatorname{Ker}(g' \circ f')$; vì thế, theo Hệ quả 1,

do đó suy ra mệnh đề liên quan đến $W_2$.

Cho $V_1, V_2$ là hai không gian vectơ phải trên $\mathbf{K}$, lần lượt được trang bị các cấu trúc $\mathbf{K}'$ là $V'_1, V'_2$. Ngay lập tức thấy rằng $V'_1 \times V'_2$ là một cấu trúc $\mathbf{K}'$ trên $V_1 \times V_2$, được gọi là tích của các cấu trúc $\mathbf{K}'$ $V'_1$ và $V'_2$.

Cho $g$ là ánh xạ $x_1 \mapsto (x_1, f(x_1))$ từ $V_1$ vào $V_1 \times V_2$; đó là một ánh xạ $\mathbf{K}$-tuyến tính sao cho $\Gamma = g(V_1)$; nếu $f$ là hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ thì $\Gamma$ cũng vậy theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 3. Ngược lại, giả sử rằng $\Gamma$ là hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ và trang bị cho nó cấu trúc $\mathbf{K}'$ cảm sinh bởi cấu trúc trên $V_1 \times V_2$; từ các định nghĩa suy ra ngay lập tức rằng các hạn chế $p_1, p_2$ lên $\Gamma$ của các phép chiếu $\mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2$, là các ánh xạ $\mathbf{K}$-tuyến tính, hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ từ $\Gamma$ vào $V_1$ và $V_2$ tương ứng. Vì $p_1$ là song ánh, ánh xạ nghịch đảo của nó $q_1$ là hữu tỉ trên $\mathbf{K}'$ (Hệ quả 1 của Mệnh đề 3) và do đó $f = p_2 \circ q_1$ cũng vậy.

Cho H là một tập con của V* mà các phần tử của nó là các dạng tuyến tính hữu tỉ trên K'. Với mọi $x^* \in H$, hạt nhân của $x^*$ là một không gian con vectơ trên K của V, hữu tỉ trên K' (no. 3, Hệ quả 2 to Mệnh đề 3); do đó giao của các hạt nhân này cũng là một không gian con vectơ trên K của V, hữu tỉ trên K' (no. 2, Hệ quả 1 to Mệnh đề 2).

Ngược lại, cho W là một không gian con vectơ trên K của V hữu tỉ trên K', để W được đồng nhất với $W' \otimes_{K'} K$, trong đó $W' = W \cap V'$ (no. 2, Mệnh đề 2). Để một dạng tuyến tính ${x'}^* \in {V'}^*$ bằng không trên W', điều kiện cần và đủ là dạng tuyến tính $x^* \in V^*$ tương ứng với nó dưới (1) bằng không trên W, vì theo no. 3, Hệ quả I to Mệnh đề 3,

Cho H' là trực giao của W' trong V'*; ta biết (§ 7, no. 5, Định lý 7) rằng W' là trực giao của H' trong V'; nếu H là ảnh của H' trong V* dưới ánh xạ (1), thì từ điều trên suy ra rằng W là trực giao của H trong V, có tính đến no. 7, Hệ quả to Mệnh đề 14.

(2)

mà các hệ số $\alpha_{\mu i}$ thuộc K', mọi nghiệm $(\xi_i)$ của hệ này gồm các phần tử của K đều là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong K của các nghiệm $(\xi'_i)$ của (2) gồm các phần tử của K'.

(ii) Cho một hệ các phương trình tuyến tính

mà các hệ số $\alpha_{\mu i}$ và các vế phải $\beta_\mu$ thuộc $K'$, nếu tồn tại một nghiệm của hệ gồm các phần tử của $K$, thì cũng tồn tại một nghiệm gồm các phần tử của $K'$.

(i) Với mọi tập hợp S, cho không gian vectơ phải K-trên K $K_d^{(S)}$ một cấu trúc $K'$ là $K_{d'}^{(S)}$. Cho $f$ là ánh xạ K-tuyến tính từ $K_d^{(I)}$ vào $K_d^{(M)}$ ánh xạ mọi vectơ $(\xi_i)_{i \in I}$ thành vectơ $(\zeta_\mu)_{\mu \in M}$ được xác định bởi $\zeta_\mu = \sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i$ với mọi $\mu \in M$. Rõ ràng $f$ là hữu tỉ trên $K'$; hạt nhân của nó là V, tức là tập các nghiệm trong K của hệ (2), là một không gian con của $K_d^{(I)}$ hữu tỉ trên $K'$ (no. 3, Hệ quả 2 to Mệnh đề 3) và do đó được sinh bởi các nghiệm của (2) trong $K'$.

(ii) Ta xem K như một không gian vectơ trái trên $K'$; tồn tại một phép chiếu $K'$-tuyến tính $p$ của K lên không gian con vectơ $K'_s$ của nó (§ 7, no. 3, Mệnh đề 4); nếu $(\xi_i)$ là một nghiệm của (3) trong K, thì $\sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} p(\xi_i) = p \left( \sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i \right) = p(\beta_\mu) = \beta_\mu$, điều này chứng minh rằng $(p(\xi_i))$ là một nghiệm của (3) trong $K'$.

Một vành K được gọi là (trái) phẳng trung thành trên một vành con $K'$ nếu Mệnh đề 6 đúng với K và $K'$; ta sẽ nghiên cứu chi tiết khái niệm này về sau (Đại số giao hoán, I, § 3).

(ii) Cho $V_1, V_2$ là hai không gian vectơ phải trên K, với các cấu trúc K' tương ứng là $V_1', V_2'$. Với mọi ánh xạ K-tuyến tính f từ $V_1$ vào $V_2$, tập hợp các trường con L của K chứa $K'$ và sao cho f hữu tỉ trên L có một phần tử nhỏ nhất $K'(f)$.

Trước hết ta chứng minh mệnh đề (i) đối với một vectơ $x \in V$. Cho B là một cơ sở của V hữu tỉ trên $K'$; B là một cơ sở của $V'$ trên $K'$ và một cơ sở của $V_L$ trên L với mọi trường L sao cho $K' \subset L \subset K$; để $x = \sum_{b \in B} b \xi_b$ hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là các $\xi_b$ thuộc L (no. 2), và do đó trường L nhỏ nhất có tính chất này là trường sinh bởi K' và các $\xi_b$ với $b \in B$.

Tiếp theo ta chứng minh (ii). Cho $B_1, B_2$ lần lượt là các cơ sở của $V_1, V_2$, hữu tỉ trên $K'$ và viết, với mọi $b_1 \in B_1, f(b_1) = \sum_{b_2 \in B_2} b_2 \alpha_{b_2 b_1}$ (*họ $(\alpha_{b_2 b_1})$ chính là ma trận của $f$ đối với các cơ sở $B_1$ và $B_2$; xem § 10, no. 4*). Vì $B_1$ (tương ứng, $B_2$) là một cơ sở của $(V_1)_L$ (tương ứng, $(V_2)_L$) trên L với mọi trường sao cho $K' \subset L \subset K$, để $f$ hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là các $\alpha_{b_2 b_1}$ thuộc L; do đó trường nhỏ nhất có tính chất này là trường sinh bởi K' và các $\alpha_{b_2 b_1}$ với $b_1 \in B_1, b_2 \in B_2$.

Sau cùng, để thiết lập mệnh đề (i) đối với một không gian con W của V, trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây:

Cho B là một cơ sở của V hữu tỉ trên K'. Áp dụng Định lý 2 của § 7, no. 1, cho một cơ sở của W trên K, được xét như một tập con tự do của V, và cho hệ sinh là hợp của tập con tự do này với B, ta thấy rằng tồn tại một tập con C của B sao cho V là tổng trực tiếp của W và không gian con $W_2$ của V sinh bởi C. Mặt khác, gọi $W_1$ là không gian con của V sinh bởi $B - C$. Vì $B \subset V'$, rõ ràng $W_1$ và $W_2$ là hữu tỉ trên K'. Hơn nữa, với mọi $x \in W_1$, tồn tại một và chỉ một vectơ $g(x)$ của $W_2$ sao cho $x + g(x) \in W$, vì V là tổng trực tiếp của W và $W_2$; khi đó W là đồ thị của g và g là K-tuyến tính vì W là một không gian vectơ con-K của V.

Sau khi đã chứng minh bổ đề này, ta biết rằng W là hữu tỉ trên một trường con L của K chứa K' khi và chỉ khi g là hữu tỉ trên L (no. 3, Mệnh đề 4). Bởi vậy trường nhỏ nhất $K'(g)$ sao cho g là hữu tỉ trên $K'(g)$ cũng là trường nhỏ nhất trên đó W là hữu tỉ.

(i) Cho V là một không gian vectơ phải K với một cấu trúc-K'. Để một vectơ $x \in V$ là hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là $\phi_V(x.\eta) = x.\phi(\eta)$ với mọi $\phi \in \mathscr{M}$ và mọi $\eta \in K$. Để một không gian vectơ con-K W của V là hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là $\phi_V(W) \subset W$ với mọi $\phi \in \mathscr{M}$.

(ii) Cho $V_1, V_2$ là hai không gian vectơ phải K, mỗi không gian đều có một cấu trúc-K'. Để một ánh xạ K-tuyến tính f từ $V_1$ vào $V_2$ là hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là $f(\phi_{V_1}(x_1)) = \phi_{V_2}(f(x_1))$ với mọi $x_1 \in V_1$ và mọi $\phi \in \mathscr{M}$.

Trước hết ta chứng minh mệnh đề (i) đối với x. Lấy B là một cơ sở của V hữu tỉ trên K' và viết $x = \sum_{b \in B} b.\xi_b$; khi đó, với $\phi \in \mathscr{M}$ và $\eta \in K$,

và do đó, các quan hệ

"với mọi $\phi \in \mathscr{M}$ và mọi $\eta \in K$, $\phi_V(x.\eta) = x.\phi(\eta)$"

và

"với mọi $\phi \in \mathscr{M}$, mọi $b \in B$ và mọi $\eta \in K$, $\phi(\xi_b\eta) = \xi_b.\phi(\eta)$"

là tương đương. Quan hệ thứ hai trong các quan hệ này có nghĩa là với mọi $b \in B$, $\xi_b \in \chi(\mathscr{M})$, điều đó chứng minh mệnh đề thứ nhất của (i).

Tiếp theo ta chứng minh (ii). Để f là hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là, với mọi $x'_1 \in V_1$ hữu tỉ trên K', $f(x'_1)$ là một vectơ của $V_2$ hữu tỉ trên L; điều này sẽ kéo theo rằng $f(x_1)$ là hữu tỉ trên L với mọi vectơ $x_1$ của $V_1$ hữu tỉ trên L, vì một vectơ như thế là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong L của các vectơ hữu tỉ trên K'. Theo phần đầu của lập luận, điều kiện trên tương đương với quan hệ

quan hệ này cũng có thể viết thành

Vì mọi phần tử của $V_1$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong K của các phần tử của $V_1$ hữu tỉ trên K', nên điều kiện (5) tương đương với

với mọi $x_1 \in V_1$ và mọi $\phi \in \mathscr{M}$.

Sau cùng, để chứng minh mệnh đề thứ hai trong (i), ta dùng no. 6, Bổ đề 1: W là đồ thị của một ánh xạ K-tuyến tính $g : W_1 \to W_2$ và W là hữu tỉ trên khi và chỉ khi ánh xạ g là hữu tỉ trên L (no. 3, Mệnh đề 4). Theo (ii), để g là hữu tỉ trên L, điều kiện cần và đủ là $g(\phi_{W_1}(x_1)) = \phi_{W_2}(g(x_1))$ với mọi $x_1 \in W_1$ và mọi $\phi \in \mathscr{M}$; vì $\phi_v = \phi_{W_1} \times \phi_{W_2}$, điều kiện trên có nghĩa là đồ thị W của g ổn định dưới $\phi_v$ với mọi $\phi \in \mathscr{M}$.