§ 9. Không gian afin và không gian xạ ảnh

1. Định nghĩa không gian afin

Trong phần sau, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn sự chú ý vào trường hợp T là một không gian vectơ trái trên K. Chiều (trên K) của không gian vectơ tịnh tiến T của một không gian afin E được gọi là chiều của E (trên K) và được ký hiệu là dim E hoặc $\dim_K E$. Một không gian afin chiều một (tương ứng hai) được gọi là một đường thẳng afin (tương ứng một mặt phẳng afin). Các phần tử của một không gian afin cũng được gọi là điểm.

Trong các điều kiện của Định nghĩa 1, với $t \in T$ và $a \in E$ chúng tôi sẽ ký hiệu bởi $t + a$ hoặc $a + t$ biến đổi của điểm a dưới t. Khi đó các hệ thức

đúng với $s \in T, t \in T, a \in E$. Ánh xạ $x \mapsto x + t$ là một song ánh của E lên chính nó, mà ta đồng nhất với t. Định nghĩa 1 hơn nữa kéo theo rằng, với mọi $a \in E$, ánh xạ $t \mapsto t + a$ là một song ánh từ T lên E. Nói cách khác, cho hai điểm $a, b$ của E, tồn tại một và chỉ một phép tịnh tiến t sao cho $b = t + a$; chúng tôi sẽ ký hiệu phép tịnh tiến này bởi $b - a$; khi đó các công thức

đúng với $a \in E, b \in E, c \in E$. Nếu bốn điểm $a, b, a', b'$ của E sao cho $b - a = b' - a'$, thì công thức

và tính giao hoán của phép cộng trong T cho thấy rằng $b' - b = a' - a$.

Cho một điểm $a \in E$, ánh xạ $x \mapsto x - a$ là một song ánh từ $E$ lên $T$; khi E được đồng nhất với $T$ qua ánh xạ này, ta nói rằng E được xét như không gian vectơ thu được bằng cách lấy $a$ làm gốc trong E. Ngược lại, mọi không gian vectơ $T$ đều có một cách chính tắc cấu trúc của một không gian afin gắn với $T$, cụ thể là cấu trúc không gian thuần nhất tương ứng với nhóm con $\{0\}$ của $T$ (I, § 5, no. 6).

2. Phép tính trọng tâm

3. Đa tạp tuyến tính afin

Điều đó cũng tương đương với việc nói rằng điều kiện của Định nghĩa 2 được thỏa mãn với mọi họ hữu hạn các điểm của $V$.

Tập rỗng là một đa tạp tuyến tính; mọi giao của các đa tạp tuyến tính là một đa tạp tuyến tính.

Cho $V$ là một tập con khác rỗng của $E$ và $a$ là một điểm của $V$; quan hệ

4. Ánh xạ tuyến tính afin

(3)

5. Định nghĩa của các không gian xạ ảnh

Khi $V = K_s^{n+1}$, ta cũng viết $\mathbf{P}_n(K)$ thay cho $\mathbf{P}(K_s^{n+1})$ và $\Delta_n(K)$ thay cho $\Delta(V)$.

Định nghĩa 4 cũng có thể được phát biểu bằng cách nói rằng $\mathbf{P}(V)$ là tập hợp các đường thẳng (đi qua 0) trong $V$ sau khi bỏ gốc đi; do đó $\mathbf{P}(V)$ được đồng nhất một cách chính tắc với tập hợp các đường thẳng (đi qua 0) trong $V$. Các phần tử của một không gian xạ ảnh được gọi là các điểm của không gian đó.

Khi $V$ có chiều $n$, số nguyên $n - 1$ được gọi là chiều của không gian xạ ảnh $\mathbf{P}(V)$ nếu $n$ hữu hạn, và là lực lượng $n$ nếu không; lực lượng này được ký hiệu bởi $\dim_K \mathbf{P}(V)$ hoặc $\dim \mathbf{P}(V)$. Như vậy một không gian xạ ảnh có chiều $-1$ là rỗng và một không gian xạ ảnh có chiều 0 là một điểm duy nhất. Một không gian xạ ảnh có chiều 1 (resp. 2) được gọi là đường thẳng xạ ảnh (resp. mặt phẳng xạ ảnh).

Từ đây về sau ta sẽ chỉ xét các không gian xạ ảnh trái.

6. Tọa độ thuần nhất

Cho $V$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n + 1$ trên $K$, $\mathbf{P}(V)$ là không gian xạ ảnh chiều $n$ dẫn xuất từ $V$ và $(e_i)_{0 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $V$. Ký hiệu $\pi$ là ánh xạ chính tắc từ $V - \{0\}$ lên tập thương $\mathbf{P}(V)$. Với mọi điểm $x = \sum_{i=0}^{n} \xi_i e_i$ của $V - \{0\}$, $(\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_n)$ được gọi là một hệ tọa độ thuần nhất của điểm $\pi(x)$ đối với cơ sở $(e_i)$ của $V$. Do đó, mọi hệ $(\xi_i)$ gồm $n + 1$ phần tử không đồng thời bằng không của $K$ đều là một hệ tọa độ thuần nhất của một điểm của $P(V)$ đối với $(e_i)$; để hai hệ như vậy $(\xi_i)$, $(\xi'_i)$ là những hệ tọa độ thuần nhất của cùng một điểm của $P(V)$ đối với cùng cơ sở $(e_i)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một phần tử $\lambda \neq 0$ của $K$ sao cho $\xi'_i = \lambda \xi_i$ với $0 \leq i \leq n$.

Định nghĩa này được tổng quát hóa ngay lập tức cho trường hợp $V$ là vô hạn chiều.

Cho một cơ sở khác $(\tilde{e}_i)$ của $V$ sao cho $e_i = \sum_{j=0}^{n} \alpha_{ij} \tilde{e}_j$ ($0 \leq i \leq n$) và một hệ $(\xi_i)$ các tọa độ thuần nhất của $\pi(x)$ đối với cơ sở $(e_i)$, để một hệ $(\bar{\xi}_i)$ gồm $n + 1$ phần tử của $K$ là một hệ tọa độ thuần nhất của $\pi(x)$ đối với cơ sở $(\tilde{e}_i)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại $\lambda \neq 0$ trong $K$ sao cho

Đặc biệt, nếu $e_i = \gamma_i \tilde{e}_i$ với $\gamma_i \neq 0$ ($0 \leq i \leq n$), thì $\bar{\xi}_i = \mu \xi_i \gamma_i$ trong đó $\mu \neq 0$.

7. Đa tạp tuyến tính xạ ảnh

Cho $W$ là một không gian con vectơ của một không gian vectơ $V$; ảnh chính tắc của $W - \{0\}$ trong không gian xạ ảnh $P(V)$ dẫn xuất từ $V$ được gọi là một đa tạp tuyến tính xạ ảnh (hoặc đơn giản là một đa tạp tuyến tính khi không sợ nhầm lẫn); vì quan hệ tương đương $\Delta(W)$ trên $W - \{0\}$ được cảm sinh bởi quan hệ $\Delta(V)$, đa tạp tuyến tính xạ ảnh là ảnh của $W - \{0\}$ trong $P(V)$ có thể được đồng nhất với không gian xạ ảnh $P(W)$ dẫn xuất từ $W$ và do đó ta có thể nói đến chiều của một đa tạp như vậy. Trong một không gian xạ ảnh $P(V)$, ảnh chính tắc của một siêu phẳng (bỏ gốc đi) của $V$ là một đa tạp tuyến tính được gọi là một siêu phẳng xạ ảnh (hoặc đơn giản là một siêu phẳng); nếu $P(V)$ có số chiều hữu hạn $n$ thì các siêu phẳng trong $P(V)$ là các đa tạp tuyến tính có chiều $n - 1$.

Mọi mệnh đề về các không gian con vectơ của một không gian vectơ đều chuyển thành một mệnh đề về các đa tạp tuyến tính xạ ảnh. Ví dụ, nếu một không gian xạ ảnh $P(V)$ có số chiều hữu hạn $n$ và $(e_i)_{0 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $V$, thì mọi đa tạp tuyến tính $L \subset P(V)$ có chiều $r$ có thể được xác định bởi một hệ gồm $n - r$ phương trình tuyến tính thuần nhất

giữa các tọa độ thuần nhất $\xi_i$ ($0 \leq i \leq n$) của một điểm của $\mathbf{P}(V)$ đối với cơ sở $(e_i)$, với các vế trái của (4) là các dạng độc lập tuyến tính trên V. Đặc biệt, một siêu phẳng xạ ảnh được xác định bởi một phương trình tuyến tính thuần nhất duy nhất với các hệ số không đồng thời bằng không. Ngược lại, các điểm của $\mathbf{P}(V)$ thỏa mãn một hệ tùy ý các phương trình tuyến tính thuần nhất đối với các $\xi_i$ lập thành một đa tạp tuyến tính L; nếu hệ đang xét gồm $k \leq n + 1$ phương trình, thì L có chiều $\geq n - k$.

Mọi giao của các đa tạp tuyến tính của $\mathbf{P}(V)$ đều là một đa tạp tuyến tính; với mọi tập con A của $\mathbf{P}(V)$, tồn tại một đa tạp tuyến tính nhỏ nhất L chứa A; nó được gọi là đa tạp tuyến tính sinh bởi A và A được gọi là một hệ sinh của L.

Nếu W là không gian con vectơ của V sinh bởi $\pi^{-1}(A)$, thì $L = \mathbf{P}(W)$.

Nếu L và M là hai đa tạp tuyến tính bất kỳ trong $\mathbf{P}(V)$ và N là đa tạp sinh bởi $L \cup M$, thì (§ 7, no. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 4)

Đặc biệt, nếu $\mathbf{P}(V)$ hữu hạn chiều và $\text{dim } L + \text{dim } M \geq \text{dim } \mathbf{P}(V)$, thì từ (5) suy ra rằng $L \cap M$ khác rỗng.

Cho $(x_i), (y_i)$ là hai họ điểm trong không gian vectơ V có cùng tập hợp chỉ số, sao cho $y_i = \lambda_i x_i$, với $\lambda_i \neq 0$ với mọi $i$. Nếu họ $(x_i)$ là tự do thì họ $(y_i)$ cũng vậy, và ngược lại; khi đó ta nói rằng họ các điểm $\pi(x_i)$ của $\mathbf{P}(V)$ là tự do xạ ảnh (hoặc đơn giản là tự do). Điều này tương đương với việc nói rằng với mọi chỉ số $\kappa$, điểm $\pi(x_\kappa)$ không thuộc đa tạp tuyến tính sinh bởi các $\pi(x_i)$ với $i \neq \kappa$. Một họ điểm của $\mathbf{P}(V)$ không tự do xạ ảnh được gọi là liên quan xạ ảnh (hoặc đơn giản là liên quan).

Để một họ $(x_i)$ các điểm của $V - \{0\}$ có tính chất là họ $(\pi(x_i))$ là tự do xạ ảnh và sinh ra $\mathbf{P}(V)$, điều kiện cần và đủ là $(x_i)$ là một cơ sở của V. Do đó nếu $\mathbf{P}(V)$ có chiều $n$ thì số phần tử của một họ như vậy là $n + 1$. Chú ý rằng việc cho một họ như vậy $(\pi(x_i))$ trong $\mathbf{P}(V)$ không xác định các tọa độ thuần nhất của một điểm đã cho của $\mathbf{P}(V)$ đối với một cơ sở $(y_i)$ của V sao cho $\pi(y_i) = \pi(x_i)$ với mọi $i$ (ngay cả chỉ đến một nhân tử trái) (xem no. 6).

8. Bù xạ ảnh của một không gian afin

Cho V là một không gian vectơ (trái) trên một trường K và xét không gian vectơ $K_s \times V$ trên K; không gian xạ ảnh $\mathbf{P}(K_s \times V)$ được gọi là không gian xạ ảnh liên kết một cách chính tắc với không gian vectơ V. Nếu V có chiều $n$ thì $\mathbf{P}(K_s \times V)$ cũng có cùng chiều $n$. Xét trong $K_s \times V$ siêu phẳng afin $V_1 = \{1\} \times V$, mà phương của nó (no. 3) là không gian con $V_0 = \{0\} \times V$; nếu một đường thẳng (đi qua 0) của $K_s \times V$ không được chứa trong $V_0$, thì nó chứa một điểm $(\alpha, x)$ với $\alpha \neq 0$ và $x \in V$, nên nó cũng chứa điểm $\alpha^{-1}(\alpha, x) = (1, \alpha^{-1}x)$ của $V_1$; đảo lại là ngay lập tức, và ta thấy rằng có một sự tương ứng một-một giữa các điểm của $V_1$ và các đường thẳng (đi qua 0) của $K_s \times V$ không được chứa trong $V_0$, mỗi đường thẳng thuộc loại sau cắt $V_1$ tại một và chỉ một điểm. Suy ra ánh xạ $x \mapsto \phi(x) = \pi(1, x)$ là một đơn ánh (được gọi là chính tắc) từ $V$ vào không gian xạ ảnh $P(K_s \times V)$; người ta thường đồng nhất $V$ với ảnh của nó qua đơn ánh này. Phần bù của $\phi(V)$ trong $P(K_s \times V)$ là siêu phẳng xạ ảnh $P(V_0)$, được gọi là siêu phẳng ở vô cùng của $P(K_s \times V)$ (hoặc của $V$, theo một sự lạm dụng ngôn ngữ); các điểm của nó cũng được gọi là "các điểm ở vô cùng" của $P(K_s \times V)$ (hoặc của $V$). Nếu $(a_i)$ là một cơ sở của $V$ và trong $K_s \times V$ ta lấy cơ sở gồm các phần tử $e_i = (0, a_i)$ và phần tử $e_\omega = (1, 0)$, thì các điểm ở vô cùng trong $P(K_s \times V)$ là những điểm mà tọa độ thuần nhất có chỉ số $\omega$ bằng 0.

Cho $M$ là một đa tạp tuyến tính afin trong $V$ (no. 3) và $D$ là phương của nó; ảnh chính tắc $\phi(M)$ của $M$ trong $P(K_s \times V)$ được chứa trong ảnh chính tắc $\overline{M} = \pi(M_2)$ của không gian con vectơ $M_2$ của $K_s \times V$ sinh bởi đa tạp afin $M_1 = \{1\} \times M$ của $K_s \times V$. Chính xác hơn, nếu $(a_i)$ là một hệ afin tự do của $M$ sinh ra $M$, thì các phần tử $(1, a_i)$ lập thành một cơ sở của $M_2$ và do đó $\overline{M}$ chính là đa tạp tuyến tính xạ ảnh sinh bởi $\phi(M)$; nếu $M$ hữu hạn chiều, thì $\overline{M}$ có cùng chiều với $M$. Phần bù của $\phi(M)$ trong $\overline{M}$ là giao của $\overline{M}$ với siêu phẳng ở vô hạn và bằng ảnh chính tắc $\pi(M_0)$, trong đó $M_0 = \{0\} \times D$.

Ngược lại, cho $N$ là một đa tạp tuyến tính xạ ảnh không được chứa trong siêu phẳng ở vô hạn và đặt $R = \pi^{-1}(N)$; $R \cap V_1$ là một đa tạp tuyến tính afin của $K \times V$ có dạng $\{1\} \times M$, trong đó $M$ là một đa tạp tuyến tính afin của $V$, và ngay lập tức thấy rằng $N$ là đa tạp tuyến tính afin $\overline{M}$ sinh bởi $\phi(M)$.

Vì vậy có một sự tương ứng một-một giữa các đa tạp tuyến tính afin của $V$ và các đa tạp tuyến tính xạ ảnh của $P(K_s \times V)$ không được chứa trong siêu phẳng ở vô hạn; để hai đa tạp tuyến tính afin của $V$ song song với nhau, điều kiện cần và đủ là các đa tạp tuyến tính xạ ảnh mà chúng sinh ra có cùng giao với siêu phẳng ở vô hạn (điều này đôi khi được diễn đạt bằng cách nói rằng hai đa tạp tuyến tính afin đang xét có cùng các điểm ở vô hạn).

9. Mở rộng các hàm hữu tỉ

Nếu áp dụng các kết quả của no. 8 cho không gian vectơ $V = K_s$ có chiều bằng 1, thì thấy rằng tồn tại một đơn ánh chính tắc $\phi$ từ $K_s$ vào đường thẳng xạ ảnh $P_1(K) = P(K_s \times K_s)$; với mọi $\xi \in K$, $\phi(\xi)$ là điểm có tọa độ thuần nhất $(1, \xi)$ đối với cơ sở chính tắc (§ 1, no. 11) của $K_s \times K_s$. Phần bù của $\phi(K)$ trong $P_1(K)$ chỉ gồm một điểm duy nhất có tọa độ thuần nhất $(0, 1)$ đối với cơ sở trên; điểm đó được gọi là "điểm ở vô hạn". $P_1(K)$ cũng được gọi là trường xạ ảnh liên kết với $K$ và được ký hiệu bởi $\tilde{K}$, điểm ở vô hạn trong $\tilde{K}$ được ký hiệu bởi $\infty$.

*Xét đặc biệt trường hợp $K$ là một trường giao hoán và gọi f \in K(X) là một hàm hữu tỉ theo một ẩn trên $K$ (IV, § 4); nếu $f \neq 0$, có một biểu thức duy nhất $f = \alpha p/q$, trong đó $\alpha \in K^*$ và $p$ và $q$ là hai đa thức đơn nhất nguyên tố cùng nhau (VII, § 1); gọi $m$ và $n$ là các bậc tương ứng của chúng và đặt $r = \sup(m, n)$. Ta viết

Ví dụ, nếu $f = 1/X$, thì $\tilde{f}(0) = \infty$ và $\tilde{f}(\infty) = 0$; nếu

10. Các ánh xạ tuyến tính xạ ảnh

Cho $V, V'$ là hai không gian vectơ trái trên một trường $K$, $f$ là một ánh xạ tuyến tính của $V$ vào $V'$ và $N = \overline{f}(0)$ là hạt nhân của nó. Chú ý rằng ảnh dưới $f$ của một đường thẳng (đi qua 0) trong $V$ không được chứa trong $N$ là một đường thẳng (đi qua 0) trong $V'$; do đó, khi chuyển qua các thương, $f$ xác định một ánh xạ $g$ từ $P(V) - P(N)$ vào $P(V')$. Một ánh xạ như vậy được gọi là một ánh xạ tuyến tính xạ ảnh (hoặc, đơn giản, là một ánh xạ xạ ảnh); mặc dù nó được xác định trên $P(V) - P(N)$ chứ không phải trên $P(V)$ (khi $N \neq \{0\}$), theo một lối nói lạm dụng, ta sẽ nói rằng $g$ là một ánh xạ xạ ảnh của $P(V)$ vào $P(V')$. Đa tạp tuyến tính xạ ảnh $P(N)$, tại đó $g$ không được xác định, được gọi là tâm của $g$.

Chú ý rằng, khi $g$ được xác định trên toàn bộ $P(V)$ (nghĩa là khi $N = \{0\}$), $g$ là một đơn ánh từ $P(V)$ vào $P(V')$.

Khi cho các cơ sở $(a_\lambda)_{\lambda \in L}, (b_\mu)_{\mu \in M}$ lần lượt trong $V$ và $V'$, một ánh xạ xạ ảnh của $P(V)$ vào $P(V')$ biến một điểm của $P(V)$ có các tọa độ thuần nhất $\xi_\lambda$ ($\lambda \in L$) thành một điểm của $\mathbf{P}(V')$ có một hệ tọa độ thuần nhất $\eta_\mu$ ($\mu \in M$) có dạng

Tâm của $g$ là đa tạp tuyến tính được xác định bởi các phương trình

Nếu $C$ là tâm của $g$ và $M$ là một đa tạp tuyến tính của $\mathbf{P}(V)$, ảnh dưới $g$ của $M - (M \cap C)$ là một đa tạp tuyến tính của $\mathbf{P}(V')$ được ký hiệu (theo một lối nói lạm dụng) bởi $g(M)$. Khi đó

(§ 7, no. 4, công thức (12)). Nếu $M'$ là một đa tạp tuyến tính của $\mathbf{P}(V')$, $g^{-1}(M') \cup C$ là một đa tạp tuyến tính của $\mathbf{P}(V)$ và