Cho e là phần tử đơn vị của M; khi đó $ea = a$ với mọi phần tử $a \in A$ và do đó e thuộc tập cố định của A. Cho $\alpha$ và $\beta$ là các phần tử của E ổn định A. Khi đó $(\alpha \beta)A = \alpha(\beta A) \subset \alpha A \subset A$ và do đó nhóm ổn định của A là một monoid con của M. Tương tự đối với nhóm ổn định ngặt và tập cố định của A, do đó có (a). Nếu $\alpha A = A$, thì $A = \alpha^{-1}(\alpha A) = \alpha^{-1}A$. Nếu với mọi $a \in A$, $\alpha a = a$, thì $a = \alpha^{-1}(\alpha a) = \alpha^{-1}a$, do đó có (b).

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ mệnh đề trên và F là hạt nhân của đồng cấu từ S vào $\mathfrak{S}_A$ liên kết với phép toán của S trên A.

Một nhóm G tác động trung thành trên một tập hợp E khi và chỉ khi tập cố định của E gồm phần tử đơn vị của G. Tập cố định của E là hạt nhân của đồng cấu đã cho từ G vào $\mathfrak{S}_E$; đồng cấu này đơn ánh khi và chỉ khi hạt nhân của nó gồm phần tử đơn vị (§ 4, no. 5, Định lý 3).

Cho M là một monoid, E một M-tập và $a$ một phần tử của E. Tập cố định, nhóm ổn định ngặt và nhóm ổn định của $\{a\}$ bằng nhau; monoid này cũng được gọi là tập cố định hoặc nhóm ổn định của $a$. Tập cố định của một tập con A của E là giao của các tập cố định của các phần tử của A. $a$ được gọi là một phần tử bất biến của E nếu tập cố định của $a$ là monoid M. M được nói là tác động tầm thường trên E nếu mọi phần tử của E đều bất biến.

Nếu $s \in S_x$, thì $\alpha s \alpha^{-1}(\alpha x) = \alpha s x = \alpha x$, do đó $\alpha S_x \alpha^{-1} \subset S_{\alpha x}$. Vì $x = \alpha^{-1}(\alpha x)$, $\alpha^{-1} S_{\alpha x} \alpha \subset S_x$, do đó $S_{\alpha x} \subset \alpha S_x \alpha^{-1}$.

Tương tự, ta thấy rằng, nếu A và B là hai tập con của E và T là tập chuyển (tương ứng, tập chuyển ngặt) của A vào B, thì tập chuyển (tương ứng, tập chuyển ngặt) của $\alpha A$ vào $\alpha B$ bằng $\alpha T \alpha^{-1}$.

Nếu $x, y$ và $z$ là các phần tử của G, thì $(xyx^{-1})(xz x^{-1}) = xyz x^{-1}$ và do đó Int(x) là một tự đồng cấu của G. Với $x$ và $y$ là các phần tử của G,

với mọi $z \in G$, $x(yzy^{-1})x^{-1} = (xy)z(xy)^{-1}$. Mặt khác, $\operatorname{Int}(e)$ là ánh xạ đồng nhất của G. Do đó ánh xạ Int là một đồng cấu monoid từ G vào monoid End(G) của các đồng cấu của nhóm G. Vì các phần tử của G đều khả nghịch, ánh xạ Int nhận giá trị trong tập Aut(G) các phần tử khả nghịch của End(G) (§ 2, no. 3). Khi đó $xyx^{-1} = y$ khi và chỉ khi $x$ và $y$ giao hoán và do đó $\operatorname{Int}(x)$ là ánh xạ đồng nhất của G khi và chỉ khi $x$ là một phần tử trung tâm. Cuối cùng, cho $\alpha$ là một tự đẳng cấu của G và cho $x \in G$; khi đó

Với $y \in G$,

Do đó $\alpha \cdot \operatorname{Int}(G) \cdot \alpha^{-1} \subset \operatorname{Int}(G)$.

Hạn chế trên H của một tự đẳng cấu (tương ứng, tự đẳng cấu trong) của G là một tự đẳng cấu của H và do đó giữ K bất biến.

Cho G là một nhóm, A $\subset$ G và $b \in G$. b được gọi là chuẩn hóa A nếu $bAb^{-1} = A$; b được gọi là trung tâm hóa A nếu, với mọi $a \in A$, $bab^{-1} = a$. Cho A và B là các tập con của G; B được gọi là chuẩn hóa (tương ứng, trung tâm hóa) A nếu mọi phần tử của B chuẩn hóa (tương ứng, trung tâm hóa) A.

Tập hợp các $g \in G$ chuẩn hóa (tương ứng, trung tâm hóa) A được gọi là nhóm chuẩn hóa (tương ứng, nhóm trung tâm hóa) của A (xem § 1, no. 5, Định nghĩa 9); nó đôi khi được ký hiệu bởi $N_G(A)$ hoặc đơn giản là $N(A)$ (tương ứng, $C_G(A)$ hoặc $C(A)$). Nó là một nhóm con của G. Khi A là một nhóm con của G, $N_G(A)$ có thể được đặc trưng như là nhóm con lớn nhất của G chứa A và trong đó A là chuẩn.

Quỹ đạo trong $G/H$ của phần tử $e = H$ là $G/H$, do đó mệnh đề đầu tiên. Bây giờ chứng minh mệnh đề thứ hai. Nếu $n \in N$ xác định ánh xạ đồng nhất trên $G/H$ bằng phép dịch phải, thì $e.n = e$, nghĩa là $H.n = H$, do đó $n \in H$. Vì vậy

N/H tác động trung thành trên G/H ở bên phải và $\phi$ là đơn ánh. Phép toán bên trái của G và phép toán bên phải của N/H trên G/H giao hoán với nhau và do đó các toán tử của N/H xác định các G-cấu xạ của G/H vào chính nó, nhất thiết là các G-đẳng cấu vì chúng song ánh. Do đó $\phi$ nhận giá trị trong nhóm $\Phi$ các G-đẳng cấu của G/H. Ta chứng minh rằng ảnh của $\phi$ là $\Phi$. Cho $f \in \Phi$. Bằng phép chuyển cấu trúc, nhóm ổn định của $f(\dot{e})$ trong G bằng nhóm ổn định của $\dot{e}$ và do đó bằng H. Cho $n \in G$ sao cho $f(\dot{e}) = n\dot{e}$. Nhóm ổn định của $n\dot{e}$ trong G là $nHn^{-1}$ (no. 2, Mệnh đề 2), do đó $nHn^{-1} = H$ và $n \in N$. Với mọi phần tử $xH$ của G/H, $f(xH) = f(x.\dot{e}) = x.f(\dot{e}) = xnH = xHn$ và $f$ trùng với ánh xạ được xác định bởi $n$.

Nếu f là một nghiệm, thì $f(x.K) = x.a$ với mọi x trong G, do đó có tính duy nhất; ta chứng minh sự tồn tại. Ánh xạ quỹ đạo được xác định bởi a tương thích với quan hệ tương đương $y \in xK$ trên G. Thật vậy, nếu $y = xk, k \in K$, thì

Do đó suy ra một ánh xạ f từ G/K vào H thỏa mãn $f(x.K) = x.a$ với mọi x trong G. Ánh xạ này là một G-cấu xạ và $f(K) = a$. Ánh xạ này là toàn ánh vì ảnh của nó là một tập con khác rỗng ổn định của E. Giả sử K = H và ta chứng minh rằng f là đơn ánh. Nếu $f(x.H) = f(y.H)$, thì $x.a = y.a$, do đó $x^{-1}y.a = a$ và $x^{-1}y \in H$, do đó $x.H = y.H$.

Vì một G-tập hợp thuần nhất là khác rỗng, mệnh đề (a) suy ra từ Mệnh đề 6. Ta chứng minh (b). Cho $f : G/H \to G/H'$ là một G-tập hợp đẳng cấu. Nhóm con H là nhóm ổn định của H và do đó, bằng phép chuyển cấu trúc, là nhóm ổn định của một phần tử của $G/H'$. Vì vậy các nhóm con $H$ và $H'$ liên hợp với nhau (no. 2, Mệnh đề 2). Nếu $H' = \alpha H \alpha^{-1}$, thì $H'$ là nhóm ổn định của phần tử $\alpha . H$ của $G/H$ (no. 2, Mệnh đề 2) và do đó $G/H'$ đẳng cấu với $G/H$ (Mệnh đề 6).

Cho $\zeta$ và $\zeta'$ là hai chu trình có các giá mang rời nhau. Nếu

thì $\zeta \zeta'(x) = \zeta' \zeta(x) = x$. Nếu $x$ thuộc giá mang của $\zeta$, thì $\zeta'(x) = x$, và $\zeta(x)$ thuộc giá mang của $\zeta$, do đó $\zeta \zeta'(x) = \zeta' \zeta(x) = \zeta(x)$. Tương tự, khi $x$ thuộc giá mang của $\zeta'$, thì $\zeta' \zeta(x) = \zeta \zeta'(x) = \zeta'(x)$. Suy ra $\zeta \zeta' = \zeta' \zeta$. Do đó các $\zeta_i$ từng đôi một khả hoán và, với $i \in I$ và $x \in S_i$, $\sigma(x) = \zeta_i(x) \in S_i$. Các ánh xạ $\sigma$ và $\zeta_i$ trùng nhau trên $S_i$, do đó $S_i$ ổn định dưới $\sigma$ và nhóm con của $\mathfrak{S}_{S_i}$ sinh bởi hạn chế của $\sigma$ lên $S_i$ tác động bắc cầu trên $S_i$; do đó $S_i$ là một quỹ đạo $\bar{\sigma}$. Vì các $S_i$ đều không rỗng và từng đôi một rời nhau, ánh xạ $i \mapsto S_i$ là đơn ánh. Vì $\bigcup_i S_i$ là tập hợp các $x$ sao cho $\sigma(x) \neq x$, nên mọi quỹ đạo $\bar{\sigma}$ không gồm một phần tử duy nhất đều là một trong các $S_i$.

(a) các giá mang của các phần tử của C từng đôi một rời nhau;

(b) $\sigma = \prod_{\zeta \in C} \zeta$ (các phần tử của C từng đôi một khả hoán theo Bổ đề 1).

Cho $\bar{\sigma}$ là nhóm con sinh bởi $\sigma$ và S là tập hợp các quỹ đạo $\bar{\sigma}$ không gồm một phần tử duy nhất. Với $s \in S$, đặt $\zeta_s(x) = \sigma(x)$ nếu $x \in s$ và $\zeta_s(x) = x$ nếu $x \notin s$. Với mọi $s \in S$, $\zeta_s$ là một chu trình có giá mang là $s$ và $\sigma = \prod_{s \in S} \zeta_s$, như thấy được bằng cách áp dụng hai vế cho một phần tử bất kỳ của E. Tính duy nhất của C suy ra từ Bổ đề 1.

Với mọi phép hoán vị $\sigma$, gọi $F_\sigma$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\sigma(x) = x$. Ta chứng minh bằng quy nạp giảm dần theo $p$ rằng mọi phép hoán vị $\sigma$ sao cho $\mathrm{Card}(F_\sigma) = p$ đều là một tích của các phép chuyển trí. Nếu $p \geq \mathrm{Card}(E)$, phép hoán vị $\sigma$ là ánh xạ đồng nhất của E; nó là tích của họ rỗng các phép chuyển trí. Nếu $p < \mathrm{Card}(E)$, giả sử tính chất đã được chứng minh cho mọi phép hoán vị $\sigma'$ sao cho $\mathrm{Card}(F_{\sigma'}) > p$. Khi đó $E - F_\sigma \neq \varnothing$; lấy $x \in E - F_\sigma$ và $y \in \sigma(x)$. Khi đó $y \neq x$ và $y \in E - F_\sigma$. Đặt $\sigma' = \tau_{x,y} \cdot \sigma$. Tập hợp $F_{\sigma'}$ chứa $F_\sigma$ và $x$ và do đó $\mathrm{Card}(F_{\sigma'}) > \mathrm{Card}(F_\sigma) = p$. Theo giả thiết quy nạp $\sigma'$ là một tích của các phép chuyển trí và do đó $\sigma = \tau_{x,y} \cdot \sigma'$ là một tích của các phép chuyển trí.

Theo Mệnh đề 8, chỉ cần chứng minh rằng mọi phép chuyển trí $\tau_{p,q}$, $1 \leq p < q \leq n$, thuộc nhóm con H được sinh bởi các $\tau_{i, i+1}$, $1 \leq i \leq n-1$. Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo $q-p$. Với $q-p = 1$, điều này hiển nhiên. Nếu $q-p > 1$, thì (công thức (4)) $\tau_{p,q} = \tau_{q-1,q} \tau_{p,q-1} \tau_{q-1,q}$. Theo giả thiết quy nạp $\tau_{p,q-1} \in H$ và do đó $\tau_{p,q} \in H$.

Nếu $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, mọi cặp có thứ tự $(i, j)$ của các phần tử của $\{1, n\}$ sao cho $i < j$ và $\sigma(i) > \sigma(j)$ được gọi là một nghịch thế của $\sigma$. Gọi $\nu(\sigma)$ là số nghịch thế của $\sigma$.

Cho P là nhóm cộng của các ánh xạ từ $\mathbf{Z}^n$ vào $\mathbf{Z}$. Với $f \in P$ và $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, gọi $\sigma f$ là phần tử của P được xác định bởi

(5)

Tác động của $\mathfrak{S}_n$ trên P được xác định như vậy là một phép toán; với mọi $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$ và $f \in P$, $\sigma f = f$ và

Công thức (5) cho thấy rằng $\sigma(-f) = -\sigma f$ với $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ và $f \in P$.

Cho $p$ là phần tử của P được xác định bởi

$p(1, 2, \ldots, n) = \prod_{i < j} (j - i) \neq 0$ và do đó $p \neq 0$. Mặt khác, nếu $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, thì

Cho C là tập hợp các cặp có thứ tự $(i, j)$ sao cho $1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n,\ i < j$. Một phép hoán vị $\theta$ được xác định trên C bằng cách đặt $\theta(i, j) = (\sigma(i), \sigma(j))$ nếu $(i, j)$ không phải là một nghịch thế, $\theta(i, j) = (\sigma(j), \sigma(i))$ nếu $(i, j)$ là một nghịch thế. Điều này suy ra $\sigma p = (-1)^{\nu(\sigma)} p$.