Bourbaki

§ 8. Định thức

1. Định thức của một tự đồng cấu

Cho MM là một AA-môđun có một cơ sở hữu hạn gồm nn phần tử và uu là một tự đồng cấu của MM. AA-môđun ⋀n(M)\bigwedge^n(M) là một môđun tự do đơn sinh, nghĩa là đẳng cấu với AA (no. 8, Hệ quả 1 của Định lý 1); ⋀n(u)\bigwedge^n(u) là một tự đồng cấu của môđun này và do đó là một phép vị tự z↦λzz \mapsto \lambda z có tỉ số λ∈A\lambda \in A được xác định duy nhất (II, § 2, no. 3, Mệnh đề 5).

Định nghĩa 1

Định thức của một tự đồng cấu uu của một AA-môđun tự do MM có số chiều hữu hạn nn* (II, § 7, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 3 và Nhận xét 1), được ký hiệu bởi det⁡u\det u, là vô hướng λ\lambda sao cho ⋀n(u)\bigwedge^n(u) là phép vị tự có tỉ số λ\lambda.

Theo công thức (4) của § 7, no. 2, det⁡u\det u là vô hướng duy nhất sao cho

(1)

u(x1)∧u(x2)∧⋯∧u(xn)=(det⁡u)⋅x1∧x2∧⋯∧xn u(x_1) \wedge u(x_2) \wedge \cdots \wedge u(x_n) = (\det u) \cdot x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n
với mọi dãy (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \leq i \leq n} gồm nn phần tử của MM. Nếu det⁡(u)=1\det(u) = 1, uu được gọi là đơn môđula.

Mệnh đề 1

(i) *Nếu uu và vv là hai tự đồng cấu của một AA-môđun tự do có số chiều hữu hạn MM, thì

(2)

det⁡(u∘v)=(det⁡u)(det⁡v). \det(u \circ v) = (\det u)(\det v).

(ii) det⁡(1M)=1\det(1_M) = 1; với mọi tự đẳng cấu uu của MM, det⁡u\det u là khả nghịch trong AA và

(3)

det⁡(u−1)=(det⁡u)−1. \det(u^{-1}) = (\det u)^{-1}.

Nếu nn là chiều của MM, điều này suy ra ngay lập tức từ quan hệ ⋀n(u∘v)=(⋀n(u))∘(⋀n(v))\bigwedge^n(u \circ v) = (\bigwedge^n(u)) \circ (\bigwedge^n(v)) § 7, no. 2, công thức (3)).

Cho MM là một AA-môđun tự do với một cơ sở hữu hạn (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n}; cho một dãy (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \leq i \leq n} gồm nn phần tử của MM, định thức của dãy này đối với cơ sở đã cho (ei)(e_i), được ký hiệu bởi det⁡(x1,x2,…,xn)\det(x_1, x_2, \ldots, x_n) khi không thể có sự nhầm lẫn về cơ sở, là định thức của tự đồng cấu uu của MM sao cho u(ei)=xiu(e_i) = x_i với 1≤i≤n1 \leq i \leq n. Khi đó theo công thức (1)

x1∧x2∧⋯∧xn=det⁡(x1,x2,…,xn) e1∧e2∧⋯∧en x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = \det(x_1, x_2, \ldots, x_n) \ e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n

và quan hệ này đặc trưng hóa ánh xạ (xi)↦det⁡(x1,x2,…,xn)(x_i) \mapsto \det(x_1, x_2, \ldots, x_n) từ MnM^n vào AA. Nó cho thấy rằng ánh xạ này là một dạng phản xứng n-tuyến tính. Vì, theo § 7, no. 4, Mệnh đề 7, AA-môđun các dạng phản xứng nn-tuyến tính đẳng cấu chính tắc với đối ngẫu của ⋀n(M)\bigwedge^n(M) và ⋀n(M)\bigwedge^n(M) đẳng cấu với AA, nên ta thấy rằng mọi dạng phản xứng n-tuyến tính trên MnM^n đều có thể được viết

(x1,…,xn)↦αdet⁡(x1,x2,…,xn)(x_1, \ldots, x_n) \mapsto \alpha \det(x_1, x_2, \ldots, x_n)

với một α∈A\alpha \in A nào đó.

Mệnh đề 2

Cho MM là một AA-môđun tự do với một cơ sở hữu hạn (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} và vv là một tự đồng cấu của MM. Với mọi dãy (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \leq i \leq n} gồm nn phần tử của MM,

det⁡(v(x1),…,v(xn))=(det⁡v)det⁡(x1,…,xn). \det(v(x_1), \ldots, v(x_n)) = (\det v) \det(x_1, \ldots, x_n).

Nếu uu là tự đồng cấu của MM sao cho u(ei)=xiu(e_i) = x_i với mọi ii, thì

v(xi)=(v∘u)(ei) v(x_i) = (v \circ u)(e_i)

và do đó (5) suy ra từ (2).

2. Đặc trưng hóa các tự đẳng cấu của một môđun tự do hữu hạn chiều

Định lý 1

Cho MM là một AA-môđun tự do hữu hạn chiều và uu là một tự đồng cấu của MM. Các điều kiện sau là tương đương:* (a) uu là song ánh; (b) uu khả nghịch phải (II, § 1, no. 9, Hệ quả 1 của Mệnh đề 15); (c) uu khả nghịch trái (II, § 1, no. 9, Hệ quả 2 của Mệnh đề 15); (d) uu là toàn ánh; (e) det⁡u\det u khả nghịch trong AA.

Cho (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} là một cơ sở của MM. Nếu xi=u(ei)x_i = u(e_i) với 1≤i≤n1 \leq i \leq n, thì

x1∧x2∧⋯∧xn=(det⁡u)e1∧e2∧⋯∧en. x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = (\det u) e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n.

Theo § 7, no. 9, Định lý 2, một điều kiện cần và đủ để các xix_i lập thành một cơ sở của MM là det⁡u\det u là một phần tử khả nghịch của AA; điều này chứng minh sự tương đương của (a) và (e). Nhận xét rằng (a) hiển nhiên kéo theo từng điều kiện (b), (c) và (d); còn lại phải chứng minh rằng mỗi điều kiện (b), (c) và (d) kéo theo (e). Bây giờ, nếu tồn tại một tự đồng cấu vv của MM sao cho v∘u=1Mv \circ u = 1_M hoặc u∘v=1Mu \circ v = 1_M, thì (det⁡v)(det⁡u)=1(\det v)(\det u) = 1 và do đó det⁡u\det u khả nghịch trong AA. Nếu uu là toàn ánh, thì ⋀n(u)\bigwedge^n(u) cũng toàn ánh (§ 7, no. 2, Mệnh đề 3), nói cách khác phép vị tự với tỉ số det uu trong AA là toàn ánh, điều này ngay lập tức suy ra rằng det uu là khả nghịch.

Mệnh đề 3

Cho MM là một AA-môđun tự do hữu hạn chiều. Với mọi tự đồng cấu uu của MM, các điều kiện sau là tương đương:* (f) uu là đơn ánh; (g) det uu không là một ước của không trong AA.

Với cùng ký hiệu như trong chứng minh của Định lý 1, để uu là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là các xix_i độc lập tuyến tính. Theo § 7, no. 9, Mệnh đề 12, điều kiện cần và đủ cho điều này là quan hệ λx1∧x2∧⋯∧xn=0\lambda x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = 0 (với λ∈A\lambda \in A) kéo theo λ=0\lambda = 0. Nhưng điều này tương đương với λ(det⁡u)=0\lambda (\det u) = 0 vì e1∧⋯∧ene_1 \wedge \cdots \wedge e_n là một cơ sở của Λn(M)\Lambda^n(M); do đó có mệnh đề.

Nhận xét

Khi AA là một trường, điều kiện (e) của Định lý 2 tương đương với điều kiện (g) của Mệnh đề 3, vì cả hai đều có nghĩa là det⁡u≠0\det u \neq 0. Do đó trong trường hợp này tất cả các điều kiện của Định lý 1 và Mệnh đề 3 là tương đương (xem II, § 7, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 9).

3. Định thức của một ma trận bình phương

Định nghĩa 2

Cho II là một tập hợp hữu hạn, AA là một vành giao hoán và XX là một ma trận bình phương kiểu (I,I)(I, I) trên vành AA (II, § 10, no. 7). Định thức của tự đồng cấu uu của AA-môđun AIA^I, mà ma trận của nó đối với cơ sở chính tắc của AIA^I là XX, được gọi là định thức của XX và được ký hiệu bởi det⁡X\det X.

Nếu X=(ξij)(i,j)∈I×IX = (\xi_{ij})_{(i,j) \in I \times I} và (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} là cơ sở chính tắc của AIA^I, thì tự đồng cấu uu được cho bởi

u(ei)=∑j∈Jξjiej. u(e_i) = \sum_{j \in J} \xi_{ji} e_j.

Khi I={1,n}⊂NI = \{1, n\} \subset \mathbf{N}, nếu ta viết xi=u(ei)x_i = u(e_i) với i∈Ii \in I, thì định thức của XX được xác định trong quan hệ

x1∧x2∧⋯∧xn=(det⁡X)e1∧e2∧⋯∧en x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = (\det X) e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n
nói cách khác, det⁡X\det X bằng định thức det⁡(x1,x2,…,xn)\det(x_1, x_2, \ldots, x_n) đối với cơ sở chính tắc của AnA^n. Do đó:

Mệnh đề 4

Với nn vectơ x1,…,xnx_1, \ldots, x_n của AnA^n, ký hiệu X(x1,…,xn)X(x_1, \ldots, x_n) là ma trận bình phương cấp nn mà cột thứ ii của nó là xix_i với 1≤i≤n1 \leq i \leq n. Khi đó ánh xạ*

(x1,…,xn)↦det⁡(X(x1,…,xn)) (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \det(X(x_1, \ldots, x_n))
*của (An)n(A^n)^n vào AA là phản xứng và nn-tuyến tính.

Đặc biệt, định thức của một ma trận mà hai trong số các cột của nó bằng nhau là không. Nếu một phép hoán vị được thực hiện trên các cột của một ma trận, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với εσ\varepsilon_{\sigma}. Nếu vào một cột của một ma trận ta cộng một bội vô hướng của một cột có chỉ số khác, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ.

Nói tổng quát hơn, cho MM là một AA-môđun tự do có số chiều hữu hạn nn và cho (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} là một cơ sở của MM; với mọi tự đẳng cấu uu của MM, nếu XX là ma trận của uu đối với cơ sở (ei)(e_i), thì

det⁡(u)=det⁡(X) \det(u) = \det(X)

theo ngay lập tức từ các định nghĩa.

Khi I={1,n}I = \{1, n\}, định thức của XX còn được ký hiệu bởi

det⁡(ξij)1≤i≤n,1≤j≤n \det(\xi_{ij})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}

hoặc đơn giản là det⁡(ξij)\det(\xi_{ij}) nếu điều này không gây nhầm lẫn, hoặc cũng bởi

∣ξ11ξ12…ξ1nξ21ξ22…ξ2n…………ξn1ξn2…ξnn∣ \begin{vmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} & \ldots & \xi_{1n} \\ \xi_{21} & \xi_{22} & \ldots & \xi_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \xi_{n1} & \xi_{n2} & \ldots & \xi_{nn} \end{vmatrix}

Khi X=1X = 1, ma trận XX được gọi là đơn môđula.

Ví dụ

(1) Định thức của ma trận rỗng bằng 1; định thức của một ma trận vuông cấp 1 bằng phần tử duy nhất của ma trận này. Đối với một ma trận cấp 2

(ξ11ξ12ξ21ξ22) \begin{pmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} \\ \xi_{21} & \xi_{22} \end{pmatrix}

thì, theo ký hiệu trên,

x1∧x2=(ξ11e1+ξ21e2)∧(ξ12e1+ξ22e2)=ξ11ξ22e1′∧e2+ξ21ξ12e2∧e1 x_1 \wedge x_2 = (\xi_{11} e_1 + \xi_{21} e_2) \wedge (\xi_{12} e_1 + \xi_{22} e_2) = \xi_{11} \xi_{22} e_1' \wedge e_2 + \xi_{21} \xi_{12} e_2 \wedge e_1

do đó

∣ξ11ξ12ξ21ξ22∣=ξ11ξ22−ξ12ξ21. \begin{vmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} \\ \xi_{21} & \xi_{22} \end{vmatrix} = \xi_{11} \xi_{22} - \xi_{12} \xi_{21}.

Ta chuyển sang ngôn ngữ ma trận một số kết quả của các no. 1 và 2:

Mệnh đề 5

Nếu XX và YY là hai ma trận vuông trên một vành giao hoán AA với cùng một tập chỉ số hữu hạn, thì

det⁡(XY)=(det⁡X)(det⁡Y). \det(XY) = (\det X)(\det Y).

Để X khả nghịch, điều kiện cần và đủ là det X là một phần tử khả nghịch của A, và khi đó

(9)

det⁡(X−1)=(det⁡X)−1. \det(X^{-1}) = (\det X)^{-1}.

Điều này suy ra ngay lập tức từ số 1, Mệnh đề 1 và no. 2, Định lý 1.

Hệ quả

Hai ma trận vuông đồng dạng có các định thức bằng nhau.

Nếu P là một ma trận vuông khả nghịch, thì det⁡(PXP−1)=det⁡X\det(PXP^{-1}) = \det X theo (8) và (9).

Mệnh đề 6

Để các cột của một ma trận vuông X có cấp hữu hạn độc lập tuyến tính, điều kiện cần và đủ là det X không là một ước của không trong A.

Điều này suy ra từ no. 2, Mệnh đề 3.

4. Tính định thức

Bổ đề 1

Cho A là một vành giao hoán và M là một A-môđun tự do với một cơ sở (ej)j∈J(e_j)_{j \in J}, trong đó tập chỉ số J được sắp thứ tự toàn phần. Với mọi số nguyên p≤Card(J)p \leq \mathrm{Card}(J), mọi hàm p-tuyến tính phản xứng f:Mp→Nf : M^p \to N (trong đó N là một A-môđun) và mọi họ gồm p phần tử xi=∑j∈Jξjiejx_i = \sum_{j \in J} \xi_{ji} e_j của M (1≤i≤p)(1 \leq i \leq p),

f(x1,x2,…,xp)=∑j1<j2<⋯<jp(∑σ∈Spεσ⋅ξjσ(1),1ξjσ(2),2⋯ξjσ(p),p)f(ej1,…,ejp) f(x_1, x_2, \ldots, x_p) = \sum_{j_1 < j_2 < \cdots < j_p} \left( \sum_{\sigma \in S_p} \varepsilon_\sigma \cdot \xi_{j_{\sigma(1)}, 1} \xi_{j_{\sigma(2)}, 2} \cdots \xi_{j_{\sigma(p)}, p} \right) f(e_{j_1}, \ldots, e_{j_p})

trong đó* (jk)1≤k≤p(j_k)_{1 \leq k \leq p} *chạy qua tập hợp các dãy tăng ngặt gồm p phần tử của J.

Bây giờ

f(x1,…,xp)=∑(jk)ξj1,1ξj2,2⋯ξjp,pf(ej1,ej2,…,ejp) f(x_1, \ldots, x_p) = \sum_{(j_k)} \xi_{j_1, 1} \xi_{j_2, 2} \cdots \xi_{j_p, p} f(e_{j_1}, e_{j_2}, \ldots, e_{j_p})

trong đó (jk)1≤k≤p(j_k)_{1 \leq k \leq p} chạy qua tất cả các dãy gồm p phần tử của J; khi đó chỉ cần áp dụng Hệ quả 1 cho Mệnh đề 7 của § 7, no. 4 vào f.

Đặc biệt, nếu J hữu hạn và có n phần tử và xi=∑j∈Jξjiejx_i = \sum_{j \in J} \xi_{ji} e_j (1≤i≤n)(1 \leq i \leq n) là n phần tử của M, thì

(11)

x1∧x2∧⋯∧xn=(∑σ∈Snεσξjσ(1),1ξjσ(2),2⋯ξjσ(n),n)ej1∧ej2∧⋯∧ejn x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = \left( \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_\sigma \xi_{j_{\sigma(1)}, 1} \xi_{j_{\sigma(2)}, 2} \cdots \xi_{j_{\sigma(n)}, n} \right) e_{j_1} \wedge e_{j_2} \wedge \cdots \wedge e_{j_n}

trong đó (jk)1≤k≤n(j_k)_{1 \leq k \leq n} là dãy duy nhất gồm n phần tử của J được sắp theo thứ tự tăng, do đó

(12)

det⁡(x1,x2,…,xn)=∑σ∈Sεσ⋅ξjσ(1),1ξjσ(2),2⋯ξjσ(n),n. \det(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{\sigma \in S} \varepsilon_\sigma \cdot \xi_{j_{\sigma(1)}, 1} \xi_{j_{\sigma(2)}, 2} \cdots \xi_{j_{\sigma(n)}, n}.

Với ký hiệu của Bổ đề 1, so sánh các công thức (10) và (12) cho

x1∧x2∧⋯∧xp=∑H∈Fp(J)det⁡(xH,1,xH,2,…,xH,p)eH x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p = \sum_{H \in \mathscr{F}_p(J)} \det(x_{H,1}, x_{H,2}, \ldots, x_{H,p}) e_H

trong đó Fp(J)\mathscr{F}_p(J) là tập hợp các tập con của JJ có pp phần tử và, với mọi tập con H∈Fp(J)H \in \mathscr{F}_p(J), ta viết xH,i=∑j∈Hξjiejx_{H,i} = \sum_{j \in H} \xi_{ji} e_j và eH=ej1∧ej2∧⋯∧ejpe_H = e_{j_1} \wedge e_{j_2} \wedge \cdots \wedge e_{j_p}, (jk)1≤k≤p(j_k)_{1 \leq k \leq p} là dãy các phần tử của HH được sắp theo thứ tự tăng, với quy ước rằng det⁡(xH,1,…,xH,p)\det(x_{H,1}, \ldots, x_{H,p}) được lấy đối với cơ sở (ejk)1≤k≤p(e_{jk})_{1 \leq k \leq p}.

Mệnh đề 7

Cho II là một tập hữu hạn và X=(ξji)(j,i)∈I×IX = (\xi_{ji})_{(j, i) \in I \times I} là một ma trận vuông kiểu (I, I) trên một vành giao hoán AA. Khi đó

det⁡X=∑σ∈SIεσ(∏i∈Iξσ(i),i) \det X = \sum_{\sigma \in S_I} \varepsilon_\sigma \left( \prod_{i \in I} \xi_{\sigma(i), i} \right)

trong đó σ\sigma chạy qua nhóm SIS_I các phép hoán vị của II và εσ\varepsilon_\sigma là dấu của σ\sigma (I, § 5, no. 7).

Có thể chỉ xét trường hợp I={1,n}⊂NI = \{1, n\} \subset \mathbf{N} và khi đó chỉ cần áp dụng công thức (12), trong đó (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} là cơ sở chính tắc của AnA^n và các xix_i là các cột của XX (xem no. 3, công thức (6)).

Đặc biệt, đối với định thức của một ma trận cấp 3

X=(ξ11ξ12ξ13ξ21ξ22ξ23ξ31ξ32ξ33) X = \begin{pmatrix} \xi_{11} & \xi_{12} & \xi_{13} \\ \xi_{21} & \xi_{22} & \xi_{23} \\ \xi_{31} & \xi_{32} & \xi_{33} \end{pmatrix}

ta có

det⁡(X)=ξ11ξ22ξ33+ξ12ξ23ξ31+ξ21ξ32ξ13−ξ13ξ22ξ31−ξ12ξ21ξ33−ξ11ξ23ξ32. \det(X) = \xi_{11} \xi_{22} \xi_{33} + \xi_{12} \xi_{23} \xi_{31} + \xi_{21} \xi_{32} \xi_{13} - \xi_{13} \xi_{22} \xi_{31} - \xi_{12} \xi_{21} \xi_{33} - \xi_{11} \xi_{23} \xi_{32}.

Mệnh đề 8

Đối với mọi ma trận bình phương XX trên một vành giao hoán, định thức của ma trận chuyển vị tX{}^t X bằng định thức của XX.

Giả sử rằng XX có kiểu (I, I). Đối với mọi cặp có thứ tự các phép hoán vị σ,τ\sigma, \tau của SIS_I, (vì phép nhân là giao hoán)

∏i∈Iξσ(i),i=∏j∈Iξσ(τ(j)),τ(j). \prod_{i \in I} \xi_{\sigma(i), i} = \prod_{j \in I} \xi_{\sigma(\tau(j)), \tau(j)}.

Đặc biệt lấy τ=σ−1\tau = \sigma^{-1}; sử dụng sự kiện rằng εσ−1=εσ\varepsilon_{\sigma^{-1}} = \varepsilon_\sigma, ta thấy rằng

det⁡X=∑σ∈SIεσ(∏i∈I,iξi,σ(i)), \det X = \sum_{\sigma \in S_I} \varepsilon_\sigma \left( \prod_{i \in I, i} \xi_{i, \sigma(i)} \right),

điều này chứng minh mệnh đề.

Hệ quả 1

Cho n vectơ x1,…,xnx_1, \ldots, x_n của An\mathbf{A}^n, ký hiệu Y(x1,…,xn)Y(x_1, \ldots, x_n) là ma trận bình phương cấp n mà hàng thứ i là xix_i, với 1≤i≤n1 \leq i \leq n. Khi đó ánh xạ

(x1,…,xn)↦det⁡(Y(x1,…,xn)) (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \det(Y(x_1, \ldots, x_n))
từ (An)n(\mathbf{A}^n)^n vào A\mathbf{A} là phản xứng và n-tuyến tính.

Hệ quả 2

Đối với một ma trận bình phương XX cấp hữu hạn trên một vành giao hoán A\mathbf{A}, các điều kiện sau là tương đương: (i) các hàng của XX độc lập tuyến tính; (ii) các cột của XX độc lập tuyến tính; (iii) det⁡X\det X không là một ước của không trong A\mathbf{A}.

Điều này suy ra ngay lập tức từ no. 3, Mệnh đề 6 và Mệnh đề 8 ở trên.

Hệ quả 3

Cho uu là một tự đồng cấu của một A\mathbf{A}-môđun tự do hữu hạn chiều MM và tu^t u là tự đồng cấu chuyển vị của môđun đối ngẫu M∗M^* (II, § 2, no. 5, Định nghĩa 5); khi đó

det⁡(tu)=det⁡(u). \det(^t u) = \det(u).
Nếu XX là ma trận của uu đối với một cơ sở của MM, tX^t X là ma trận của tu^t u đối với cơ sở đối ngẫu (II, § 10, no. 4, Mệnh đề 3); vì det⁡(u)=det⁡(X)\det(u) = \det(X) và det⁡(tu)=det⁡(tX)\det(^t u) = \det(^t X), kết luận suy ra từ Mệnh đề 8.

5. Định thức con của một ma trận

Cho XX là một ma trận chữ nhật (ξij)(i,j)∈I×J(\xi_{ij})_{(i,j) \in I \times J} kiểu (I, J) mà các tập hợp chỉ số I và J được sắp thứ tự toàn phần. Nếu H⊂IH \subset I và K⊂JK \subset J là các tập con hữu hạn có cùng số pp phần tử, tồn tại duy nhất một song ánh tăng ϕ:H→K\phi : H \to K (Lý thuyết tập hợp, III, § 5, no. 3, Mệnh đề 6); ta sẽ ký hiệu XH,KX_{H,K} là ma trận bình phương kiểu (H, H) bằng (ξi,ϕ(j))(i,j)∈H×H(\xi_{i,\phi(j)})_{(i,j) \in H \times H}. Nếu các phần tử của XX thuộc một vành giao hoán A\mathbf{A}, định thức det⁡(XH,K)\det(X_{H,K}) được gọi là minor của ma trận XX có các chỉ số H, K; các định thức này (với mọi cặp có thứ tự (H, K) của các tập con tương ứng của I và J có pp phần tử) cũng được gọi là các minor của XX cấp pp. Với ký hiệu này:

Mệnh đề 9

Cho MM là một A\mathbf{A}-môđun với một cơ sở (ei)i∈J(e_i)_{i \in J} (hữu hạn hoặc không) mà tập hợp chỉ số JJ được sắp thứ tự toàn phần. Với mỗi số nguyên p>0p > 0, cho (eH)H∈Sp(J)(e_H)_{H \in \mathfrak{S}_p(J)} là cơ sở tương ứng của ∧p(M)\wedge^p(M) (§ 7, no. 8). Cho (xi)1≤i≤p(x_i)_{1 \leq i \leq p} là một dãy gồm pp phần tử của MM; cho

xi=∑j∈Jξjiejvới i∈I={1,p} x_i = \sum_{j \in J} \xi_{ji} e_j \quad \text{với } i \in I = \{1, p\}

và cho XX là ma trận (ξji)(\xi_{ji}) kiểu (J,I)(J, I). Khi đó

x1∧x2∧⋯∧xp=∑H∈Fp(J)(det⁡XH,I)eH. x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p = \sum_{H \in \mathfrak{F}_p(J)} (\det X_{H,I}) e_H.

trong đó HH chạy qua tập hợp Fp(J)\mathfrak{F}_p(J) gồm các tập con của JJ có pp phần tử.

Điều này suy ra ngay lập tức từ công thức (12) của no. 4 và công thức (6) của no. 3.

Mệnh đề 10

Cho MM và NN là hai AA-môđun tự do có các số chiều tương ứng là mm và nn, u:M→Nu : M \to N là một ánh xạ tuyến tính và XX là ma trận của uu đối với một cơ sở (ei)1≤i≤m(e_i)_{1 \leq i \leq m} của MM và một cơ sở (fj)1≤j≤n(f_j)_{1 \leq j \leq n} của NN. Khi đó, với mọi số nguyên p≤inf⁡(m,n)p \leq \inf(m, n), ma trận của ∧p(u)\wedge^p(u) đối với cơ sở (eK)K∈Fp(I)(e_K)_{K \in \mathfrak{F}_p(I)} của ∧p(M)\wedge^p(M) và cơ sở (fH)H∈Fp(J)(f_H)_{H \in \mathfrak{F}_p(J)} của ∧p(N)\wedge^p(N) (trong đó ta đã viết I={1,m}I = \{1, m\} và J={1,n}J = \{1, n\}) là ma trận (det⁡(XH,K))(\det(X_{H,K})) kiểu (Fp(J),Fp(I))(\mathfrak{F}_p(J), \mathfrak{F}_p(I)) (và do đó có (np)\binom{n}{p} hàng và (mp)\binom{m}{p} cột).

Với một tập con K⊂JK \subset J có pp phần tử, gọi (jk)1≤k≤p(j_k)_{1 \leq k \leq p} là dãy các phần tử của KK được sắp theo thứ tự tăng; theo định nghĩa của ∧p(u)\wedge^p(u), theo § 7, no. 2, công thức (4)

∧p(u)(eK)=u(ej1)∧u(ej2)∧⋯∧u(ejp). \wedge^p(u)(e_K) = u(e_{j_1}) \wedge u(e_{j_2}) \wedge \cdots \wedge u(e_{j_p}).

Do đó, phần tử của ma trận của ∧p(u)\wedge^p(u) nằm trên hàng có chỉ số HH và cột có chỉ số KK là thành phần có chỉ số HH của phần tử u(ej1)∧⋯∧u(ejp)u(e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge u(e_{j_p}); vì vậy nó bằng det⁡(XH,K)\det(X_{H,K}) theo Mệnh đề 9.

Ma trận (det⁡(XH,K))(\det(X_{H,K})) được gọi là lũy thừa ngoài thứ pp của ma trận XX và được ký hiệu là ∧p(X)\wedge^p(X). Khi p=m=np = m = n, ∧n(X)\wedge^n(X) là ma trận có phần tử duy nhất det⁡(X)\det(X).

Mệnh đề 11

Cho MM là một AA-môđun tự do có số chiều hữu hạn nn; với mọi tự đồng cấu uu của MM và mọi cặp có thứ tự ξ,η\xi, \eta của các phần tử của AA,

det⁡(ξ1M+ηu)=∑k≥0Tr⁡(∧k(u))ξn−kηk. \det(\xi 1_M + \eta u) = \sum_{k \geq 0} \operatorname{Tr}(\wedge^k(u)) \xi^{n-k} \eta^k.

Cho (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} là một cơ sở của MM và đặt I={1,n}I = \{1, n\}; để tính vế trái của (18), ta phải lập tích

(ξe1+ηu(e1))∧(ξe2+ηu(e2))∧⋯∧(ξen+ηu(en)) (\xi e_1 + \eta u(e_1)) \wedge (\xi e_2 + \eta u(e_2)) \wedge \cdots \wedge (\xi e_n + \eta u(e_n))

bằng tổng các số hạng ξn−pηpzK\xi^{n-p} \eta^p z_K, trong đó

zK=x1∧x2∧⋯∧xn z_K = x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n

với xi=u(ei)x_i = u(e_i) nếu i∈Ki \in K, xi=eix_i = e_i nếu i∈H=I−Ki \in H = I - K, trong đó số nguyên pp chạy trong khoảng [0,n][0, n] và, với mỗi pp, KK chạy qua tập hợp các tập con của I có pp phần tử. Nếu i1<i2<⋯<in−pi_1 < i_2 < \cdots < i_{n-p} (tương ứng j1<j2<⋯<jpj_1 < j_2 < \cdots < j_p) là các phần tử của H (tương ứng K) được sắp theo thứ tự tăng, ta có thể viết (§7§ 7, no. 8, Hệ quả 1 của Định lý 1 và công thức (19))

zK=ρH,Kei1∧ei2∧⋯∧ein−p∧u(ej1)∧⋯∧u(ejp). z_K = \rho_{H, K} e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_{n-p}} \wedge u(e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge u(e_{j_p}).

Nhưng nếu XX là ma trận của uu đối với cơ sở (ei)(e_i), thì theo Mệnh đề 10

u(ej1)∧⋯∧u(ejp)=∑L∈Fp(I)(det⁡XL,K)eL u(e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge u(e_{j_p}) = \sum_{L \in \mathfrak{F}_p(I)} (\det X_{L, K}) e_L

và do đó

zK=ρH,K∑L∈Fp(I)(det⁡XL,K)eH∧eL. z_K = \rho_{H, K} \sum_{L \in \mathfrak{F}_p(I)} (\det X_{L, K}) e_H \wedge e_L.

Bây giờ H∩L≠∅H \cap L \neq \varnothing trừ khi L=KL = K; do đó, theo §7§ 7, no. 8, công thức (20), ta có zK=(det⁡XK,K)e1∧e2∧⋯∧enz_K = (\det X_{K, K}) e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n và công thức (18) suy ra từ Mệnh đề 10 và định nghĩa vết của một ma trận (II, §10§ 10, no. 11, các công thức (49) và (50)).

Hệ quả

Với cùng các giả thiết như trong Mệnh đề 11, đối với tự đồng cấu ⋀(u)\bigwedge(u) của A-môđun ⋀(M)\bigwedge(M)

(19)(19)
Tr⁡(⋀(u))=det⁡(1M+u). \operatorname{Tr}(\bigwedge(u)) = \det(1_M + u).

Chỉ cần thay ξ\xi và η\eta bằng 1 trong (18) và nhận thấy rằng ma trận của ⋀(u)\bigwedge(u) đối với cơ sở gồm các eHe_H (H∈F(I)H \in \mathfrak{F}(I)) là ma trận đường chéo gồm các ma trận của các ⋀k(u)\bigwedge^k(u) với ≥k\geq k 0 (II, §10§ 10, no. 7, Ví dụ IV).

6. Khai triển của một định thức

Cho I là một tập chỉ số hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần. Với mỗi tập con H của I, ký hiệu H' là phần bù I - H. Cho X=(ξij)X = (\xi_{ij}) là một ma trận vuông kiểu (I, I), có thể xem là ma trận của một tự đồng cấu uu của M=AIM = A^I đối với cơ sở chính tắc (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} của M. Đặt n=Card⁡(I)n = \operatorname{Card}(I) và cho H là một tập con của I có q≤nq \leq n phần tử và K là một tập con của I có n−qn - q phần tử; khi đó ta có thể viết (no. 5, Mệnh đề 10)

(⋀q(u))(eH)=∑Rdet⁡(XR,H)eR (\bigwedge^q(u))(e_H) = \sum_R \det(X_{R, H}) e_R
(⋀n−q(u))(eK)=∑Sdet⁡(XS,K)eS (\bigwedge^{n-q}(u))(e_K) = \sum_S \det(X_{S, K}) e_S

trong đó R (tương ứng S) chạy qua tập hợp các tập con của I có qq (tương ứng n−qn - q) phần tử. Từ §7§ 7, no. 8, các công thức (19) và (20) suy ra rằng

eR∧eS=0 e_R \wedge e_S = 0

trừ khi S=R′S = R', do đó có công thức

(20)(∧q(u)(eH))∧(∧n−q(u)(eK))=∑RρR,R′det⁡(XR,H)det⁡(XR′,K)eI (20) \quad (\wedge^q(u)(e_H)) \wedge (\wedge^{n-q}(u)(e_K)) = \sum_R \rho_{R, R'} \det(X_{R, H}) \det(X_{R', K}) e_I

trong đó RR chạy qua tập hợp Fq(I)\mathscr{F}_q(I) gồm các tập con của II có qq phần tử.

Nếu lấy K=H′K = H', từ định nghĩa của ∧n(u)\wedge^n(u) (§ 7, no. 2, công thức (4)) và §7§ 7, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 5 suy ra vế phải của (20) là ρH,H′∧n(u)(eI)\rho_{H, H'} \wedge^n(u)(e_I). Do đó (no. 1, công thức (1) và §7§ 7, no. 2, công thức (4))

(21)det⁡(X)=ρH,H′∑R∈Fq;R′≠RρR,R′det⁡(XR,H)det⁡(XR′,H′). (21) \quad \det(X) = \rho_{H, H'} \sum_{R \in \mathscr{F}_q; R' \neq R} \rho_{R, R'} \det(X_{R, H}) \det(X_{R', H'}).

Mặt khác, nếu K≠H′K \neq H', thì H∩K≠∅H \cap K \neq \varnothing; vì vế trái của (20) là ±∧n(u)(eH∧eK)\pm \wedge^n(u)(e_H \wedge e_K), nên nó bằng không, do đó

(22)∑RρR,R′det⁡(XR,H)det⁡(XR′,K)=0với K≠H′. (22) \quad \sum_R \rho_{R, R'} \det(X_{R, H}) \det(X_{R', K}) = 0 \quad \text{với } K \neq H'.

Vế phải của (21) được gọi là khai triển Laplace của định thức của ma trận X theo q cột có các chỉ số thuộc H và n - q cột có các chỉ số thuộc tập phần bù H' của H. Các minor det⁡(XR,H)\det(X_{R, H}) và det⁡(XR′,H′)\det(X_{R', H'}) đôi khi được gọi là bù nhau.

Một trường hợp đơn giản quan trọng của khai triển Laplace là trường hợp I={1,n}I = \{1, n\} và q=1q = 1, do đó H={i}H = \{i\}; với mỗi tập con R={j}R = \{j\} của II có một phần tử thì det⁡XR,H=ξji\det X_{R, H} = \xi_{ji}. Minor của det⁡XR′,H′\det X_{R', H'} là định thức của ma trận vuông được dẫn xuất một cách chính tắc (no. 5) từ ma trận nhận được bằng cách loại bỏ khỏi XX hàng có chỉ số jj và cột có chỉ số ii. Ta ký hiệu ma trận vuông này là XjiX^{ji}. Hiển nhiên ρH,H′=(−1)i−1\rho_{H, H'} = (-1)^{i-1} và ρR,R′=(−1)j−1\rho_{R, R'} = (-1)^{j-1}; do đó (21) trong trường hợp này trở thành

(23)det⁡X=∑j=1n(−1)i+jξjidet⁡(Xji) (23) \quad \det X = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \xi_{ji} \det(X^{ji})

và tương tự từ (22) ta được

(24)∑j=1n(−1)jiξjidet⁡(Xjk)=0với k≠i. (24) \quad \sum_{j=1}^n (-1)^{ji} \xi_{ji} \det(X^{jk}) = 0 \quad \text{với } k \neq i.

Công thức (23) được gọi là khai triển định thức của X theo cột có chỉ số i. Vô hướng (−1)i+jdet⁡(Xji)(-1)^{i+j} \det(X^{ji}) được gọi là phần bù đại số của các chỉ số jj và ii (hoặc, theo một cách lạm dụng ngôn ngữ, phần bù đại số của ξji\xi^{ji}) trong X.

Ma trận các phần bù đại số của X là ma trận

(25)Y=((−1)i+jdet⁡(Xji)) (25) \quad Y = ((-1)^{i+j} \det(X^{ji}))

mà phần tử của nó ở hàng thứ jj và cột thứ ii là phần bù đại số có các chỉ số jj và ii. Các công thức (23) và (24) tương đương với công thức

(26)(26)
tY.X=(det⁡X)In. {}^tY . X = (\det X) I_n.

Do đó:

Mệnh đề 12

Với mọi ma trận vuông khả nghịch XX kiểu (n,n)(n, n), nghịch đảo của XX được cho bởi công thức

(27)(27)
X−1=(det⁡X)−1tY X^{-1} = (\det X)^{-1} {}^t Y

trong đó YY là ma trận phần bù đại số của XX.

Bằng cách xét chuyển vị của XX và sử dụng Mệnh đề 8 của no. 5, có thể thu được các khai triển Laplace đối với hai tập hợp hàng bù nhau và, đặc biệt, khai triển của det⁡X\det X theo một hàng, do đó có các công thức tương đương với

(28)(28)
X.tY=(det⁡X)In, X . {}^t Y = (\det X) I_n,

trong ký hiệu trên.

Dễ dàng kiểm tra rằng nếu XX là ma trận của một tự đồng cấu uu của một A\mathbf{A}-môđun tự do MM chiều nn đối với một cơ sở (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n}, thì tY{}^t Y là ma trận của tự đồng cấu u~\tilde{u} của MM được xác định bởi điều kiện sau: với mọi tập hợp gồm nn phần tử x,y2,…,ynx, y_2, \ldots, y_n của MM,

u~(x)∧y2∧⋯∧yn=x∧u(y2)∧⋯∧u(yn). \tilde{u}(x) \wedge y_2 \wedge \cdots \wedge y_n = x \wedge u(y_2) \wedge \cdots \wedge u(y_n).

u~\tilde{u} được gọi là chuyển vị đối ngẫu của uu (cf. § 11, no. 11, Hệ quả của Mệnh đề 13).

Ví dụ

(1) Định thức Vandermonde. Cho một dãy (ζi)1≤i≤n(\zeta_i)_{1 \leq i \leq n} gồm nn phần tử của A\mathbf{A}, định thức Vandermonde của dãy này là định thức

V(ζ1,ζ2,…,ζn)=∣11…1ζ1ζ2…ζnζ12ζ22…ζn2⋮⋮⋱⋮ζ1n−1ζ2n−1…ζnn−1∣ V(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \zeta_1 & \zeta_2 & \ldots & \zeta_n \\ \zeta_1^2 & \zeta_2^2 & \ldots & \zeta_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \zeta_1^{n-1} & \zeta_2^{n-1} & \ldots & \zeta_n^{n-1} \end{vmatrix}

Ta sẽ chứng minh rằng

(29)(29)
V(ζ1,ζ2,…,ζn)=∏i<j(ζj−ζi). V(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_n) = \prod_{i < j} (\zeta_j - \zeta_i).

Vì mệnh đề là ngay lập tức đối với n=1n = 1, ta lập luận bằng quy nạp theo nn.

Với mỗi chỉ số k≥2k \geq 2, ta trừ khỏi hàng có chỉ số kk hàng có chỉ số k−1k - 1 nhân với ζ1\zeta_1; giá trị của định thức không thay đổi và do đó

V(ζ1,ζ2,…,ζn)=∣11⋯10ζ2−ζ1⋯ζn−ζ10ζ2(ζ2−ζ1)⋯ζn(ζn−ζ1)⋯⋯⋯⋯0ζ2n−2(ζ2−ζ1)⋯ζnn−2(ζn−ζ1)∣ V(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \zeta_2 - \zeta_1 & \cdots & \zeta_n - \zeta_1 \\ 0 & \zeta_2(\zeta_2 - \zeta_1) & \cdots & \zeta_n(\zeta_n - \zeta_1) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \zeta_2^{n-2}(\zeta_2 - \zeta_1) & \cdots & \zeta_n^{n-2}(\zeta_n - \zeta_1) \end{vmatrix}

do đó, khai triển theo cột đầu tiên rồi lấy nhân tử ζk−ζ1\zeta_k - \zeta_1 ra khỏi cột có chỉ số k−1k - 1 từ phần bù nhỏ thu được như vậy (2≤k≤n2 \leq k \leq n)

V(ζ1,…,ζn)=(ζ2−ζ1)(ζ3−ζ1)⋯(ζn−ζ1)V(ζ2,…,ζn) V(\zeta_1, \ldots, \zeta_n) = (\zeta_2 - \zeta_1)(\zeta_3 - \zeta_1) \cdots (\zeta_n - \zeta_1) V(\zeta_2, \ldots, \zeta_n)

điều này thiết lập (29) bằng quy nạp.

(2) Xét một ma trận vuông cấp nn được trình bày dưới dạng một "ma trận tam giác trên của các ma trận" (II, § 10, no. 7, Ví dụ IV)

X=(YT0Z) X = \begin{pmatrix} Y & T \\ 0 & Z \end{pmatrix}

Ta chứng minh rằng

det⁡X=(det⁡Y)(det⁡Z). \det X = (\det Y)(\det Z).

Cho nn là cấp của ma trận XX, hh là cấp của YY, (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} là cơ sở chính tắc của An\mathbf{A}^n và xix_i (1≤i≤n1 \leq i \leq n) là các cột của XX; giả thiết suy ra rằng các cột x1,…,xhx_1, \ldots, x_h thuộc môđun con của An\mathbf{A}^n có cơ sở e1,…,ehe_1, \ldots, e_h và khi đó theo định nghĩa (no. 3, công thức (6))

x1∧x2∧⋯∧xn=(det⁡Y)e1∧e2∧⋯∧eh. x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = (\det Y)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_h.

Mặt khác, với mọi chỉ số i>hi > h, ta có thể viết xi=yi+zix_i = y_i + z_i, trong đó yiy_i là một tổ hợp tuyến tính của e1,e2,…,ehe_1, e_2, \ldots, e_h và ziz_i là một tổ hợp tuyến tính của eh+1,…,ene_{h+1}, \ldots, e_n. Theo (30), x1∧x2∧⋯∧xn∧yi=0x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \wedge y_i = 0 với mọi i>hi > h, do đó

x1∧x2∧⋯∧xn=(det⁡Y)e1∧e2∧⋯∧eh∧zh+1∧⋯∧zn. x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = (\det Y)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_h \wedge z_{h+1} \wedge \cdots \wedge z_n.

Nhưng theo định nghĩa

zh+1∧zh+2∧⋯∧zn=(det⁡Z)eh+1∧eh+2∧⋯∧en z_{h+1} \wedge z_{h+2} \wedge \cdots \wedge z_n = (\det Z)e_{h+1} \wedge e_{h+2} \wedge \cdots \wedge e_n

do đó có công thức (30).

Theo quy nạp trên pp, suy ra rằng nếu XX có dạng của một ma trận tam giác trên của các ma trận:

X=(X11X12⋯X1p0X22⋯X2p⋯⋯⋯⋯00⋯Xpp) X = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1p} \\ 0 & X_{22} & \cdots & X_{2p} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & X_{pp} \end{pmatrix}

(31)

det⁡X=(det⁡X11)(det⁡X22)…(det⁡Xpp). \det X = (\det X_{11})(\det X_{22}) \ldots (\det X_{pp}).

Điều này có thể được áp dụng đặc biệt cho một ma trận tam giác (trong đó tất cả các XiiX_{ii} đều có cấp 1) và đặc biệt hơn nữa cho một ma trận đường chéo:

(32)

det⁡(diag⁡(α1,α2,…,αn))=α1α2…αn. \det(\operatorname{diag}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)) = \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n.

(3) Cho M,M′M, M' là hai AA-môđun tự do có các số chiều tương ứng n,n′n, n', uu là một tự đồng cấu của MM và u′u' là một tự đồng cấu của M′M'. Khi đó

(33)

det⁡(u⊗u′)=(det⁡u)n′(det⁡u′)n. \det(u \otimes u') = (\det u)^{n'} (\det u')^n.

Vì ta có thể viết u⊗u′=(u⊗1M′)∘(1M⊗u′)u \otimes u' = (u \otimes 1_{M'}) \circ (1_M \otimes u') và khi đó được đưa về trường hợp một trong hai tự đồng cấu u,u′u, u' là đồng nhất. Ví dụ nếu u′=1M′u' = 1_{M'} và XX là ma trận của uu đối với một cơ sở (ei)(e_i) của MM, thì ma trận của u⊗1M′u \otimes 1_{M'} đối với tích tenxơ của (ei)(e_i) và một cơ sở của M′M' có thể được viết thành một ma trận (với n′n' hàng và n′n' cột) của các ma trận có nn hàng và nn cột

(X0…00X…0…………00…X) \begin{pmatrix} X & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & X \end{pmatrix}

do đó, theo Ví dụ 2,

det⁡(u⊗1M′)=(det⁡X)n′=(det⁡u)n′ \det(u \otimes 1_{M'}) = (\det X)^{n'} = (\det u)^{n'}

điều này ngay lập tức cho công thức (33).

7. Áp dụng vào các phương trình tuyến tính

Xét một hệ gồm nn phương trình tuyến tính vô hướng với nn ẩn trên một vành (giao hoán) AA (II, § 2, no. 8):

(34)

∑j=1nλijxj=ηi(1≤i≤n). \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} x_j = \eta_i \quad (1 \leq i \leq n).

Cho LL là ma trận vuông (λij)(\lambda_{ij}) cấp nn; bằng cách đồng nhất như thường lệ ma trận có một cột gồm các ξi\xi_i (tương ứng, các ηi\eta_i) với một phần tử x=(ξi)x = (\xi_i) của An\mathbf{A}^n (tương ứng, phần tử y=(ηi)y = (\eta_i) của An\mathbf{A}^n), hệ (34) cũng có thể được viết (II, § 10, No. 3, Mệnh đề 2)

(35)

L.x=y. L.x = y.

Cho uu là tự đồng cấu x↦L.xx \mapsto L.x của An\mathbf{A}^n, với LL là ma trận đối với cơ sở chính tắc; nói rằng phương trình (35) có (ít nhất) một nghiệm với mọi y∈Any \in \mathbf{A}^n có nghĩa là uu toàn ánh; Định lý 1 của No. 2 khi đó suy ra mệnh đề sau:

Mệnh đề 13

Đối với một hệ gồm nn phương trình tuyến tính với nn ẩn trên một vành giao hoán, để hệ có ít nhất một nghiệm bất kể các vế phải, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận của hệ khả nghịch; trong trường hợp này hệ có một nghiệm duy nhất.

Nếu det⁡L\det L không là một ước của không trong A\mathbf{A}, phương trình (34) tương đương với phương trình

(det⁡L)L.x=(det⁡L)y. (\det L)L.x = (\det L)y.
Nếu MM là ma trận phần bù đại số của LL, từ (34) và công thức (26) của No. 6 ta suy ra quan hệ (36)
(det⁡L)x=tM.y (\det L)x = {}^tM.y
cũng có thể được viết (37)
(det⁡L)ξi=∑j=1n(−1)i+j(det⁡Lij)ηj=det⁡Li(1≤i≤n) (\det L)\xi_i = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det L^{ij})\eta_j = \det L_i \quad (1 \leq i \leq n)
trong đó LiL_i ký hiệu ma trận nhận được bằng cách thay thế cột của LL có chỉ số ii bởi yy. Các công thức (37) được gọi là các công thức Cramer của hệ (34); mọi nghiệm của (34) cũng là nghiệm của (37). Ngược lại, từ (36), có tính đến công thức (28) của No. 6, ta suy ra (38)
(det⁡L)(L.x−y)=0 (\det L)(L.x - y) = 0
và do đó, nếu det⁡L\det L không là một ước của không trong A\mathbf{A}, các hệ (34) và (37) là tương đương; nếu det⁡L\det L khả nghịch, nghiệm duy nhất của (34) được cho bởi (39)
ξi=(det⁡L)−1(det⁡Li)(1≤i≤n). \xi_i = (\det L)^{-1}(\det L_i) \quad (1 \leq i \leq n).
Một hệ (34) sao cho det⁡L\det L khả nghịch cũng được gọi là một hệ Cramer.

Đặc biệt, lấy y=0y = 0; khi đó, từ Mệnh đề 3 của No. 2 suy ra:

Mệnh đề 14

Đối với một hệ tuyến tính thuần nhất gồm nn phương trình với nn ẩn trên một vành giao hoán để có một nghiệm khác không, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận của nó là một ước của không.

8. Trường hợp một trường giao hoán

Tất cả những điều trên đều áp dụng khi vành A\mathbf{A} là một trường giao hoán; nhưng có những đơn giản hóa và những kết quả bổ sung.

Do đó Mệnh đề 12 của § 7, No. 9 trong trường hợp này có thể được phát biểu như sau:

Mệnh đề 15

Cho E\mathbf{E} là một không gian vectơ trên một trường giao hoán; đối với pp vectơ xi∈Ex_i \in \mathbf{E} (1≤i≤p1 \leq i \leq p) độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x1∧x2∧⋯∧xp≠0x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p \neq 0.

Hệ quả

Cho XX là một ma trận kiểu (m,n)(m, n) trên một trường giao hoán. Hạng của XX bằng số nguyên lớn nhất pp sao cho tồn tại ít nhất một minor của XX cấp pp khác 00.

Hạng của XX là số cột độc lập tuyến tính lớn nhất của XX (II, § 10, No. 12, Định nghĩa 7). Hệ quả khi đó suy ra từ Mệnh đề 15 và công thức (17) của No. 5.

Xét bây giờ trường hợp một hệ gồm mm phương trình tuyến tính với nn ẩn trên một trường giao hoán K\mathbf{K}:

∑j=1nλijξj=ηi(1≤i≤m). \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} \xi_j = \eta_i \quad (1 \leq i \leq m).

(41)

Mệnh đề 16

Cho L=(λij)L = (\lambda_{ij}) là ma trận (kiểu (m,n)(m, n)) của hệ (41). Cho MM là ma trận kiểu (m,n+1)(m, n+1) thu được bằng cách thêm vào LL cột thứ (n+1)(n+1) (ηi)(\eta_i) (II, § 10, no. 1). Cho pp là hạng của LL (tính bằng cách áp dụng Hệ quả cho Mệnh đề 15). Giả sử rằng định thức con Δ\Delta của LL, định thức của ma trận thu được bằng cách bỏ các hàng và cột có chỉ số ≥p+1\geq p + 1 trong LL, là ≠0\neq 0 (điều này luôn có thể thực hiện được bằng một phép hoán vị thích hợp trên các hàng của LL và một phép hoán vị thích hợp trên các cột của LL). Khi đó, để hệ (41) có ít nhất một nghiệm, điều kiện cần và đủ là tất cả các định thức con cấp p+1p + 1 của MM, các định thức của các ma trận con cấp p+1p + 1 của MM mà các cột của chúng có các chỉ số 1,2,…,p1, 2, \ldots, p và n+1n+1, đều bằng không. Nếu điều này đúng, các nghiệm của hệ (41) là các nghiệm của hệ gồm pp phương trình đầu tiên; nếu chúng được viết

∑j=1pλijξj=ηi−∑k=p+1nλikξk(1≤i≤p) \sum_{j=1}^p \lambda_{ij} \xi_j = \eta_i - \sum_{k=p+1}^n \lambda_{ik} \xi_k \quad (1 \leq i \leq p)

thì tất cả các nghiệm của hệ này thu được bằng cách lấy các giá trị tùy ý cho các ξk\xi_k có chỉ số k>pk > p và áp dụng các công thức Cramer (no. 7, các công thức (37)) để tính các ξj\xi_j có chỉ số j≤pj \leq p.

Ta biết (II, § 10, no. 12, Mệnh đề 12) rằng để hệ (41) có ít nhất một nghiệm, điều kiện cần và đủ là các ma trận LL và MM có cùng hạng. Với các hàng và cột của LL được hoán vị để thỏa mãn điều kiện của mệnh đề, gọi aia_i (1≤i≤p1 \leq i \leq p) là các cột đầu tiên pp của LL và y=(ηi)y = (\eta_i) là cột thứ (n+1)(n+1) của MM; vì theo giả thiết tất cả các cột của LL là các tổ hợp tuyến tính của các aia_i, nói rằng MM có cùng hạng pp với LL có nghĩa là yy là một tổ hợp tuyến tính của các aia_i, hay cũng vậy (Mệnh đề 15) là a1∧⋯∧ap∧y=0a_1 \wedge \cdots \wedge a_p \wedge y = 0. Điều kiện khả năng trong mệnh đề là sự biểu diễn của quan hệ sau cùng này, có tính đến công thức (17) của no. 5. Hơn nữa, vì pp hàng đầu tiên của MM độc lập tuyến tính, các hàng có chỉ số >p> p là các tổ hợp tuyến tính của chúng và do đó mọi nghiệm của (42) cũng là một nghiệm của (41). Khẳng định cuối cùng khi đó là hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 13 của no. 7.

9. Nhóm đơn môđula SL(n,A)\mathbf{SL}(n, A)

Gọi Mn(A)\mathbf{M}_n(A) là vành các ma trận vuông cấp nn trên AA. Xét ánh xạ det⁡:Mn(A)→A\det : \mathbf{M}_n(A) \to A. Nhóm GL(n,A)\mathbf{GL}(n, A) gồm các phần tử khả nghịch của Mn(A)\mathbf{M}_n(A) (đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu của AA-môđun AnA^n (II, § 10, no. 7)) chính là ảnh ngược qua ánh xạ này của nhóm nhân A∗A^* gồm các phần tử khả nghịch của AA (no. 3, Mệnh đề 5). Mặt khác, chú ý rằng ánh xạ det⁡:GL(n,A)→A∗\det : \mathbf{GL}(n, A) \to A^* là một đồng cấu nhóm (no. 3, Mệnh đề 5).

Hơn nữa, ánh xạ det⁡:Mn(A)→A\det : \mathbf{M}_n(A) \to A là toàn ánh (và do đó đồng cấu det⁡:GL(n,A)→A∗\det : \mathbf{GL}(n, A) \to A^* cũng toàn ánh); vì với mọi λ∈A\lambda \in A,

det⁡(diag⁡(λ,1,…,1))=λ \det(\operatorname{diag}(\lambda, 1, \ldots, 1)) = \lambda

theo công thức (32) của no. 6.

Hạt nhân của đồng cấu toàn ánh det⁡:GL(n,A)→A∗\det : \mathbf{GL}(n, A) \to A^* là một nhóm con chuẩn tắc của GL(n,A)\mathbf{GL}(n, A), gồm các ma trận đơn môđula; nó được ký hiệu bởi SLn(A)\mathbf{SL}_n(A) hoặc SL(n,A)\mathbf{SL}(n, A) và thường được gọi là nhóm đơn môđula hay nhóm tuyến tính đặc biệt của các ma trận vuông cấp nn trên AA.

Trong no. này, ta sẽ xét trường hợp AA là một trường. Nhắc lại rằng với 1≤i≤n,1≤j≤n1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n, EijE_{ij} là ma trận vuông cấp nn mà tất cả các phần tử đều bằng không ngoại trừ phần tử ở hàng có chỉ số ii và cột có chỉ số jj, phần tử này bằng 1; với InI_n là ma trận đơn vị cấp nn, ta viết Bij(λ)=In+λEijB_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij} với mọi cặp chỉ số phân biệt i,ji, j có thứ tự và mọi λ∈A\lambda \in A (II, § 10, no. 13).

Mệnh đề 17

Một trường giao hoán KK có nhóm đơn môđula SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K) được sinh bởi các ma trận Bij(λ)B_{ij}(\lambda) với i≠ji \neq j và λ∈K\lambda \in K.

Theo II, § 10, no. 13, Mệnh đề 14, ta biết rằng mọi ma trận trong GL(n,K)\mathbf{GL}(n, K) đều là tích của các ma trận dạng Bij(λ)B_{ij}(\lambda) và một ma trận dạng diag⁡(1,1,…,1,α)\operatorname{diag}(1, 1, \ldots, 1, \alpha) với α∈K∗\alpha \in K^*. Bây giờ, ngay lập tức có det⁡(Bij(λ))=1\det(B_{ij}(\lambda)) = 1 và det⁡(diag⁡(1,…,1,α))=α\det(\operatorname{diag}(1, \ldots, 1, \alpha)) = \alpha (no. 6, Ví dụ 2); do đó có mệnh đề.

Hệ quả

Nhóm* SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K) là nhóm các giao hoán tử của GL(n,K)\mathbf{GL}(n, K), ngoại trừ trường hợp n=2n = 2 và KK là một trường có 2 phần tử.

Vì SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K) là hạt nhân của đồng cấu det từ GL(n,K)\mathbf{GL}(n, K) vào nhóm giao hoán K∗K^*, SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K) chứa nhóm giao hoán tử Γ\Gamma của GL(n,K)\mathbf{GL}(n, K) (I, § 6, no. 2). Để chứng minh rằng SL(n,K)=Γ\mathbf{SL}(n, K) = \Gamma, theo Mệnh đề 17, chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi λ∈K∗\lambda \in K^*, Bij(λ)B_{ij}(\lambda) thuộc về Γ\Gamma. Bây giờ, Bij(λ)B_{ij}(\lambda) là một phần tử liên hợp của Bij(1)B_{ij}(1) trong GL(n,K)\mathbf{GL}(n, K) vì Bij(λ)=Q.Bij(1).Q−1B_{ij}(\lambda) = Q . B_{ij}(1) . Q^{-1}, trong đó QQ là ma trận đối với cơ sở chính tắc (ei)(e_i) của tự đẳng cấu vv của KnK^n sao cho v(ei)=λei,v(ek)=ekv(e_i) = \lambda e_i, v(e_k) = e_k với k≠ik \neq i. Mặt khác, cho uiju_{ij} (với i≠ji \neq j) là tự đẳng cấu của KnK^n sao cho uij(ei)=−ej, uij(ej)=ei, uij(ek)=eku_{ij}(e_i) = -e_j, \ u_{ij}(e_j) = e_i, \ u_{ij}(e_k) = e_k với k∉{i,j}k \notin \{i, j\}, thuộc về SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K); khi đó Bji(λ)=UijBij(−λ)Uij−1B_{ji}(\lambda) = U_{ij} B_{ij}(-\lambda) U_{ij}^{-1}, trong đó UijU_{ij} là ma trận của uiju_{ij} đối với cơ sở chính tắc. Tương tự, nếu 1<i<j1 < i < j, thì B1j(λ)=U1iBij(λ)U1i−1B_{1j}(\lambda) = U_{1i} B_{ij}(\lambda) U_{1i}^{-1} và cuối cùng, với 2<j2 < j, B12(λ)=U2jB1j(λ)U2j−1B_{12}(\lambda) = U_{2j} B_{1j}(\lambda) U_{2j}^{-1}. Điều này chứng minh rằng mọi Bij(λ)B_{ij}(\lambda) có cùng ảnh ss trong GL(n,K)/Γ\mathbf{GL}(n, K)/\Gamma và còn lại là chứng minh rằng ss là phần tử đơn vị.

Trước hết giả sử rằng KK chứa một phần tử λ\lambda phân biệt với 0 và 1; khi đó 1=λ+(1−λ)1 = \lambda + (1 - \lambda), hai số hạng ở vế phải đều ≠0\neq 0; quan hệ B12(1)=B12(λ)B12(1−λ)B_{12}(1) = B_{12}(\lambda) B_{12}(1 - \lambda) cho thấy rằng s2=ss^2 = s và do đó ss là phần tử đơn vị.

Bây giờ giả sử rằng n≥3n \geq 3. Tích B21(1)B31(1)B_{21}(1) B_{31}(1) là ma trận của một tự đẳng cấu uu của KnK^n sao cho u(e1)=e1+e2+e3,u(ei)=eiu(e_1) = e_1 + e_2 + e_3, u(e_i) = e_i với i≠1i \neq 1. Nếu SS là ma trận của tự đẳng cấu u′u' của KnK^n sao cho u′(e2)=e2+e3,u′(ei)=eiu'(e_2) = e_2 + e_3, u'(e_i) = e_i với i≠2i \neq 2, thì S.B21(1)B31(1).S−1=B21(1)S . B_{21}(1) B_{31}(1) . S^{-1} = B_{21}(1); ta cũng suy ra rằng s2=ss^2 = s, điều này hoàn tất chứng minh.

Nhận xét

(1) GL(2,F2)=SL(2,F2)\mathbf{GL}(2, \mathbf{F}_2) = \mathbf{SL}(2, \mathbf{F}_2); đây là một nhóm giải được có cấp 6, nhóm giao hoán tử của nó có chỉ số 2 (II, § 10, Bài tập 14).

(2) Với cùng ký hiệu như trên, có thể chứng minh như trong I, § 5, no. 7, Mệnh đề 9 rằng, với i<j,j−i>1i < j, j - i > 1, uij=uj−1,jui,j−1uj−1,j−1u_{ij} = u_{j-1, j} u_i, _{j-1} u_{j-1, j}^{-1}; do đó nhóm SL(n,K)\mathbf{SL}(n, K) được sinh bởi các ma trận B12(λ)B_{12}(\lambda) và Ui,i+1U_{i, i+1} với 1≤i≤n−11 \leq i \leq n - 1.

10. Môđun A[X]\mathbf{A}[X] liên kết với một tự đồng cấu của môđun A\mathbf{A}

Cho MM là một A\mathbf{A}-môđun và uu là một tự đồng cấu của MM. Xét vành đa thức A[X]\mathbf{A}[X] với một bất định XX trên A\mathbf{A}. Với mọi đa thức p∈A[X]p \in \mathbf{A}[X] và mọi x∈Mx \in M, ta viết

p.x=p(u)(x). p . x = p(u)(x).

Vì (pq)(u)=p(y)∘q(u)(pq)(u) = p(y) \circ q(u) đối với hai đa thức p,qp, q của A[X]\mathbf{A}[X], và do đó cấu trúc môđun A[X]\mathbf{A}[X] được xác định trên MM; tập hợp MM, với cấu trúc này, sẽ được ký hiệu là MuM_u; cấu trúc A\mathbf{A}-môđun cho trên MM thu được bằng cách hạn chế vành các toán tử của MuM_u vào A\mathbf{A}. Chú ý rằng các môđun con của MuM_u chính là các môđun con của MM ổn định bởi uu.

Vì ánh xạ (p,x)↦p.x(p, x) \mapsto p.x từ A[X]×MA[X] \times M vào MM là song tuyến tính theo AA, nó xác định một cách chính tắc một ánh xạ tuyến tính theo AA ϕ:A[X]⊗AM→M\phi : A[X] \otimes_A M \to M sao cho

ϕ(p⊗x)=p.x=p(u)(x). \phi(p \otimes x) = p.x = p(u)(x).
Mặt khác, A[X]⊗AMA[X] \otimes_A M có một cấu trúc môđun A[X]A[X] một cách chính tắc (II, § 5, no. 1); ta sẽ ký hiệu môđun A[X]A[X] này bởi M[X]M[X]; ánh xạ ϕ:M[X]→Mu\phi : M[X] \to M_u là tuyến tính theo A[X]A[X] vì, với p,qp, q trong A[X]A[X] và x∈Mx \in M,
ϕ(q(p⊗x))=ϕ((qp)⊗x)=(qp).x=q(u)(p(u)(x))=q.ϕ(p⊗x). \phi(q(p \otimes x)) = \phi((qp) \otimes x) = (qp).x = q(u)(p(u)(x)) = q.\phi(p \otimes x).
Hơn nữa, uu là một tự đồng cấu A[X]A[X] của MuM_u, vì
u(p.x)=u(p(u)(x))=(up(x))(x)=p.u(x). u(p.x) = u(p(u)(x)) = (up(x))(x) = p.u(x).
Cuối cùng, một tự đồng cấu A[X]A[X] uˉ\bar{u} của M[X]M[X] được xác định bằng cách viết (II, § 5, no. 1)
uˉ(p⊗x)=p⊗u(x). \bar{u}(p \otimes x) = p \otimes u(x).
Hơn nữa, từ các công thức (44) và (45) suy ra rằng các ánh xạ tuyến tính theo A[X]A[X] u,uˉu, \bar{u} và ϕ\phi liên quan với nhau bởi quan hệ
ϕ∘uˉ=u∘ϕ. \phi \circ \bar{u} = u \circ \phi.
Gọi ψ\psi là tự đồng cấu A[X]A[X] X−uˉX - \bar{u} của M[X]M[X], sao cho ψ(p⊗x)=(Xp)⊗x−p⊗u(x)\psi(p \otimes x) = (Xp) \otimes x - p \otimes u(x). Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 18

Dãy các đồng cấu A[X]A[X]*

M[X]→ψM[X]→ϕMu⟶0 M[X] \xrightarrow{\psi} M[X] \xrightarrow{\phi} M_u \longrightarrow 0
là khớp.

Vì ϕ(1⊗x)=x\phi(1 \otimes x) = x với mọi x∈Mx \in M, rõ ràng ϕ\phi là toàn ánh; mặt khác,

ϕ(X(p⊗x))=X.ϕ(p⊗x)=u(ϕ(p⊗x)), \phi(X(p \otimes x)) = X.\phi(p \otimes x) = u(\phi(p \otimes x)),
nói cách khác, ϕ∘X=u∘ϕ=ϕ∘uˉ\phi \circ X = u \circ \phi = \phi \circ \bar{u} theo (46); điều này chứng minh rằng ϕ∘ψ=0\phi \circ \psi = 0. Còn phải kiểm tra rằng Ker⁡ϕ⊂Im⁡ψ\operatorname{Ker} \phi \subset \operatorname{Im} \psi. Để ý rằng, vì các đơn thức XkX^k (k≥0k \geq 0) tạo thành một cơ sở của AA-môđun A[X]A[X], mọi phần tử z∈M[X]z \in M[X] đều có thể được viết duy nhất dưới dạng z=∑kXk⊗xkz = \sum_k X^k \otimes x_k, trong đó (xk)(x_k) là một họ các phần tử của MM, có giá hữu hạn. Nếu z∈Ker⁡ϕz \in \operatorname{Ker} \phi, thì ϕ(z)=∑kuk(xk)=0\phi(z) = \sum_k u^k(x_k) = 0 và ta có thể viết
z=∑k(Xk⊗xk−1⊗uk(xk))=∑k(Xk−uˉk)(1⊗xk). z = \sum_k (X^k \otimes x_k - 1 \otimes u^k(x_k)) = \sum_k (X^k - \bar{u}^k)(1 \otimes x_k).
Nhưng vì các tự đồng cấu A[X]A[X] XX và uˉ\bar{u} của M[X]M[X] có thể hoán vị cho nhau, nên

Xk−uˉk=(X−uˉ)∘(∑j=0k−1Xjuˉk−j−1) X^k - \bar{u}^k = (X - \bar{u}) \circ \left( \sum_{j=0}^{k-1} X^j \bar{u}^{k-j-1} \right)

chứng minh rằng tồn tại một y∈M[X]y \in M[X] sao cho z=ψ(y)z = \psi(y).

Bây giờ cho M′M' là một A-môđun khác và u′u' là một tự đồng cấu của M′M'; cho Mu′′M'_{u'}, ϕ′\phi', uˉ′\bar{u}', ψ′\psi' là môđun và ánh xạ thu được từ M′M' và u′u' như MuM_u, ϕ\phi, uˉ\bar{u}, ψ\psi thu được từ MM và uu. Khi đó:

Mệnh đề 19

Một ánh xạ g từ M vào M' là một đồng cấu A[X] của M_u vào M'_u khi và chỉ khi g là một đồng cấu A của M vào M' sao cho g∘u=u′∘gg \circ u = u' \circ g. Khi điều này xảy ra, nếu gˉ\bar{g} là đồng cấu A[X] của M[X] vào M'[X] bằng với 1A[x]⊗g1_{A[x]} \otimes g (II, § 5, no. 1), biểu đồ

M[X]→ψM[X]→ϕMu⟶0↓gˉ↓gˉ↓gM′[X]→ψ′M′[X]→ϕ′Mu′′⟶0 \begin{array}{cccccc} M[X] & \xrightarrow{\psi} & M[X] & \xrightarrow{\phi} & M_u & \longrightarrow 0 \\ \downarrow \bar{g} & & \downarrow \bar{g} & & \downarrow g & \\ M'[X] & \xrightarrow{\psi'} & M'[X] & \xrightarrow{\phi'} & M'_{u'} & \longrightarrow 0 \end{array}

là giao hoán.

Điều kiện g∘u=u′∘gg \circ u = u' \circ g hiển nhiên là cần thiết theo (43) để g là một đồng cấu A[X]; nó là đủ, vì nó suy ra bằng quy nạp rằng g∘un=u′n∘gg \circ u^n = {u'}^n \circ g với mọi số nguyên n>0n > 0. Mặt khác, với mọi x∈Mx \in M và mọi p∈A[X]p \in A[X],

ϕ′(gˉ(p⊗x))=ϕ′(p⊗g(x))=p(u′)(g(x))=g(p(u)(x))=g(ϕ(p⊗x)) \phi'(\bar{g}(p \otimes x)) = \phi'(p \otimes g(x)) = p(u')(g(x)) = g(p(u)(x)) = g(\phi(p \otimes x))
và
uˉ′(g(p⊗x))=uˉ′(p⊗g(x))=p⊗u′(g(x))=p⊗g(u(x))=gˉ(uˉ(p⊗x)) \bar{u}'(g(p \otimes x)) = \bar{u}'(p \otimes g(x)) = p \otimes u'(g(x)) = p \otimes g(u(x)) = \bar{g}(\bar{u}(p \otimes x))
điều này chứng minh tính giao hoán của biểu đồ (48).

11. Đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu

Cho MM là một A-môđun tự do có chiều nn và uu là một tự đồng cấu của MM. Xét vành đa thức theo hai bất định A[X,Y]A[X, Y] và A-môđun A[X,Y]A[X, Y]-môđun M[X,Y]=A[X,Y]⊗AMM[X, Y] = A[X, Y] \otimes_A M; cho uˉ\bar{u} là tự đồng cấu của A[X,Y]A[X, Y]-môđun M[X,Y]M[X, Y] một cách chính tắc dẫn xuất từ uu (II, § 5, no. 1). Suy ra từ no. 5, Mệnh đề 11 rằng

det⁡(X−Yuˉ)=∑j=0n(−1)jTr(∧j(u))Xn−jYj \det(X - Y \bar{u}) = \sum_{j=0}^n (-1)^j \mathrm{Tr}(\wedge^j(u)) X^{n-j} Y^j

vì nếu UU là ma trận của uu đối với một cơ sở (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} của MM, UU là ma trận của uˉ\bar{u} đối với cơ sở (1⊗ei)1≤i≤n(1 \otimes e_i)_{1 \leq i \leq n} của M[X,Y]M[X, Y], do đó

Tr(∧j(uˉ))=Tr(∧j(u)). \mathrm{Tr}(\wedge^j(\bar{u})) = \mathrm{Tr}(\wedge^j(u)).

Định nghĩa 3

Cho MM là một A-môđun tự do hữu hạn chiều và uu là một tự đồng cấu của MM. Định thức của tự đồng cấu X−uˉX - \bar{u} của A[X]-môđun tự do M[X]M[X] được gọi là đa thức đặc trưng của uu và được ký hiệu là χu(X)\chi_u(X).

Nếu MM có hạng nn, từ (49) suy ra

χu(X)=∑j=0n(−1)jTr⁡(∧j(u))Xn−j \chi_u(X) = \sum_{j=0}^n (-1)^j \operatorname{Tr}(\wedge^j(u)) X^{n-j}

vì det⁡(X−Yuˉ)=det⁡(X.In+YU)\det(X - Y \bar{u}) = \det(X . I_n + Y U) và det⁡(X−uˉ)=det⁡(X.In−U)\det(X - \bar{u}) = \det(X . I_n - U). Do đó thấy rằng χu(X)\chi_u(X) là một đa thức đơn khởi có bậc nn, trong đó hệ số của Xn−1X^{n-1} là −Tr⁡(u)-\operatorname{Tr}(u) và số hạng hằng là (−1)ndet⁡(u)(-1)^n \det(u).

Mệnh đề 20 ("định lý Cayley–Hamilton")

Với mọi tự đồng cấu uu của một A-môđun tự do hữu hạn chiều, χu(u)=0\chi_u(u) = 0.

Theo ký hiệu của Mệnh đề 18 (§3§ 3, no. 10), với mọi x∈Mx \in M, χu(u)(x)\chi_u(u)(x) là ảnh qua ϕ\phi của χu(X)⊗x\chi_u(X) \otimes x. Nhưng nếu vv là tự đồng cấu của M[X]M[X], đối chuyển vị của X−uˉX - \bar{u} (no. 6), thì

χu(X)⊗x=χu(X)(1⊗x)=(X−uˉ)(v(1⊗x)) \chi_u(X) \otimes x = \chi_u(X)(1 \otimes x) = (X - \bar{u})(v(1 \otimes x))

và kết luận suy ra từ Mệnh đề 18 của no. 10.

Bài tập

Xem các bài tập của § 8.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, gpt-5-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.