§ 9. Chuẩn và vết

Trong suốt tiết này, $K$ sẽ ký hiệu một vành giao hoán và $A$ một $K$ -đại số kết hợp có đơn vị. Mọi $A$ -môđun đều được giả thiết là được trang bị cấu trúc $K$ -môđun thu được bằng cách hạn chế các vô hướng xuống $K$ .

1. Chuẩn và vết đối với một môđun

Định nghĩa 1

Cho $M$ là một $A$ -môđun có một cơ sở hữu hạn như một $K$ -môđun. Với mọi $a \in A$ , gọi $a_M$ là tự đồng cấu $x \mapsto ax$ của $K$ -môđun $M$ . Vết, định thức và đa thức đặc trưng của $a_M$ lần lượt được gọi là vết, chuẩn và đa thức đặc trưng của $z$ đối với $M$ .

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến II § 4. Các quan hệ giữa các tích tenxơ và các môđun đồng cấu, II § 8. Hạn chế trường vô hướng trong không gian vectơ, III § 8. Định thức

Vì thế vết và chuẩn của $a$ là các phần tử của $K$ , lần lượt được ký hiệu bởi $\operatorname{Tr}_{M/K}(a)$ và $N_{M/K}(a)$ ; đa thức đặc trưng của $a$ là một phần tử của $K[X]$ , được ký hiệu bởi $\mathrm{Pc}_{M/K}(a; X)$ . Ta bỏ $K$ trong các ký hiệu trên khi không có nguy cơ nhầm lẫn.

Từ các tính chất của vết và định thức của một tự đồng cấu (II, § 4, no. 3 và § 8, no. 1) ta thu được các hệ thức

\operatorname{Tr}_M(a + a') = \operatorname{Tr}_M(a) + \operatorname{Tr}_M(a')

(2) $\mathrm{Tr}_M(aa') = \mathrm{Tr}_M(a'a)$ (3) $N_M(aa') = N_M(a)N_M(a')$

với mọi $a, a'$ trong $A$ .

Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $K$ -môđun $M$ và $(m_{ij}(a))$ là ma trận của tự đồng cấu $a_M$ đối với cơ sở này. Các hàm $m_{ij}$ là các dạng tuyến tính trên $K$ -môđun $A$ và

(4) $\mathrm{Tr}_M(a) = \sum_{i=1}^n m_{ii}(a)$ (5) $N_M(a) = \det(m_{ij}(a))$ (6) $\mathrm{Pc}(a; X) = \det(\delta_{ij}X - m_{ij}(a)).$

Từ phương pháp tính một định thức (§ 8, no. 11, công thức (50)) suy ra rằng

(7) $\mathrm{Pc}_M(a; X) = X^n + c_1 X^{n-1} + \cdots + c_n$

trong đó

(8) $c_1 = -\mathrm{Tr}_M(a), \quad c_n = (-1)^n N_M(a).$

Với $\lambda \in K$ ,

(9) $\mathrm{Tr}_M(\lambda) = n.\lambda, \quad N_M(\lambda) = \lambda^n, \quad \mathrm{Pc}_M(\lambda; X) = (X - \lambda)^n.$

Cho $K'$ là một $K$ -đại số giao hoán. Đặt $M' = K' \otimes_K M$ và $A' = K' \otimes_K A$ , khi đó $M'$ có một cấu trúc $A'$ -môđun (§ 4, Ví dụ 2). Như một $K'$ -môđun, $M'$ có cơ sở gồm các $1 \otimes e_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) và ma trận của $a_M$ đối với $(e_i)$ bằng ma trận của $(1 \otimes a)_M'$ đối với $(e'_i)$ . Khi đó

(12) $\mathrm{Tr}_{M'}(1 \otimes a) = \mathrm{Tr}_M(a).1, \quad N_{M'}(1 \otimes a) = N_M(a).1$ $\mathrm{Pc}_{M'}(1 \otimes a; X) = \mathrm{Pc}_M(a; X).1$

với mọi $a \in A$ , trong đó 1 ký hiệu phần tử đơn vị của $K'$ . Đặc biệt nếu lấy $K' = K[X]$ , thì

(13) $\mathrm{Pc}_{M/K}(a; X) = N_{M[X]/K[X]}(X - a).$

2. Các tính chất của chuẩn và vết đối với một môđun

Nếu $M$ và $M'$ là hai $A$ -môđun đẳng cấu có các cơ sở hữu hạn trên $K$ , thì, với mọi $a \in A$ ,

(14) $\mathrm{Tr}_{M'}(a) = \mathrm{Tr}_M(a), \quad N_{M'}(a) = N_M(a), \quad \mathrm{Pc}_{M'}(a; X) = \mathrm{Pc}_M(a; X)$

vì nếu $f$ là một đẳng cấu từ $M$ lên $M'$ , thì ma trận của $a_M$ đối với một cơ sở $B$ của $M$ trên $K$ cũng chính là ma trận của $a_{M'}$ đối với cơ sở $f(B)$ của $M'$ .

Mệnh đề 1

Cho $M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots \supset M_r = \{0\}$ là một dãy giảm các môđun con của một $A$ -môđun $M$ sao cho mỗi $K$ -môđun $P_i = M_{i-1}/M_i$ ( $1 \leq i \leq r$ ) đều có một cơ sở hữu hạn. Khi đó $K$ -môđun $M$ có một cơ sở hữu hạn và

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến Mệnh đề 21, II § 1, III § 8. Định thức

Được trích dẫn bởi Định nghĩa 2, Mệnh đề 5, Nhận xét, VIII § 20, Định nghĩa 1, VIII § 21

\operatorname{Tr}_M(a) = \sum_{i=1}^r \operatorname{Tr}_{P_i}(a), \qquad N_M(a) = \prod_{i=1}^r N_{P_i}(a)

(15)

P_{C_M}(a; X) = \prod_{i=1}^r P_{C_{P_i}}(a; X).

Cho $B'_i$ là một cơ sở của $P_i$ trên $K$ ; khi đó một hệ các đại diện $B_i$ của $B'_i$ (mod. $M_i$ ) là một cơ sở của một môđun con bổ sung của $K$ -môđun $M_i$ trong $K$ -môđun $M_{i-1}$ (II, § 1, no. 11, Mệnh đề 21). Hợp $B$ của các $B_i$ ( $1 \leq i \leq r$ ) là một cơ sở của $M$ trên $K$ . Gọi $X_{tt}$ là ma trận của tự đồng cấu $a_{P_i}$ đối với cơ sở $B'_i$ . Ngay lập tức thấy rằng ma trận của $a_M$ đối với $B$ có dạng

\begin{pmatrix} X_{rr} & X_{r,r-1} & \cdots & X_{r,1} \\ 0 & X_{r-1,r-1} & \cdots & X_{r-1,1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & X_{11} \end{pmatrix}

và mệnh đề suy ra từ các công thức (4), (5) và (6) của no. 1 và công thức (31) của § 8, no. 6.

Mệnh đề 2

Cho $A, A'$ là hai $K$ -đại số, $M$ là một $A$ -môđun và $M'$ là một $A'$ -môđun. Giả sử rằng $M$ và $M'$ là các $K$ -môđun tự do có các chiều tương ứng là $n$ và $n'$ và xét $M \otimes_K M'$ như một $(A \otimes_K A')$ -môđun ( $§ 4$ , no. 3, Ví dụ 2). Khi đó, với $a \in A$ và $a' \in A'$ ,

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến II § 4. Các quan hệ giữa các tích tenxơ và các môđun đồng cấu, III § 8. Định thức

Được trích dẫn bởi Định nghĩa 2, Ví dụ 4, VIII § 21, Ví dụ 5, VIII § 21

\operatorname{Tr}_{M \otimes M'}(a \otimes a') = \operatorname{Tr}_M(a) \operatorname{Tr}_{M'}(a')

(16)

N_{M \otimes M'}(a \otimes a') = (N_M(a))^{n'} (N_{M'}(a'))^n.

(17)

Công thức (16) suy ra từ II, § 4, no. 4, công thức (26), và công thức (17) suy ra từ § 8, no. 6, công thức (33).

3. Chuẩn và vết trong một đại số

Định nghĩa 2

Cho $A$ là một $K$ -đại số là một $K$ -môđun tự do hữu hạn chiều. Với mọi phần tử $a \in A$ , vết (tương ứng là chuẩn,\footnote{† Khái niệm này không nên bị nhầm lẫn với khái niệm chuẩn trong một đại số trên một trường có trị (\emph{Tôpô đại cương}), IX, § 3, no. 7.} tương ứng là đa thức đặc trưng) của $a$ đối với $A$ và $K$ là vết (tương ứng là định thức, tương ứng là đa thức đặc trưng) của tự đồng cấu $x \mapsto ax$ của $K$ -môđun $A$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 1, Mệnh đề 2

Được trích dẫn bởi Định nghĩa 2, IV § 6, Nhận xét 5, IV § 6

Vết, chuẩn và đa thức đặc trưng của $a \in A$ đối với $A$ và $K$ được ký hiệu lần lượt bởi $\mathrm{Tr}_{A/K}(a)$ , $N_{A/K}(a)$ và $\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X)$ ; ta lược bỏ $K$ và thậm chí cả $A$ khỏi ký hiệu này khi không có nguy cơ nhầm lẫn. Chú ý rằng vết (tương ứng là chuẩn, đa thức đặc trưng) của $a \in A$ chính là vết (tương ứng là chuẩn, đa thức đặc trưng) của $a$ đối với $A$ -môđun $A_s$ .

Giả sử rằng $A$ là tích $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_m$ của một số hữu hạn các đại số hữu hạn chiều trên $K$ là những $K$ -môđun tự do. Dùng nhận xét trên và Mệnh đề 1 của no. 2, ta có, với mọi phần tử

a = (a_1, \ldots, a_m) \in A,

\mathrm{Tr}_{A/K}(a) = \sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}_{A_i/K}(a_i), \qquad N_{A/K}(a) = \prod_{i=1}^m N_{A_i/K}(a_i)

(18)

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X) = \prod_{i=1}^m \mathrm{Pc}_{A_i/K}(a_i; X).

Tương tự, Mệnh đề 2 của no. 2 cho thấy rằng nếu $A$ và $A'$ là hai đại số, là những $K$ -môđun tự do, có các chiều hữu hạn tương ứng $n, n'$ trên $K$ , thì, với $a \in A, a' \in A'$ .

\mathrm{Tr}_{A \otimes A'}(a \otimes a') = \mathrm{Tr}_A(a) \, \mathrm{Tr}_{A'}(a')

(19)

N_{A \otimes A'}(a \otimes a') = (N_A(a))^{n'} (N_{A'}(a'))^n.

(20)

Sau cùng, cho $A$ là một đại số hữu hạn chiều trên $K$ mà là một K-môđun tự do, $h$ một đồng cấu từ $K$ vào một vành giao hoán $K'$ và $A' = A_{(K')}$ là đại số trên $K'$ dẫn xuất từ $A$ bằng cách mở rộng vô hướng nhờ $h$ . Từ công thức (12) của no. 1 suy ra rằng, với mọi $a \in A$ ,

\mathrm{Tr}_{A'/K'}(1 \otimes a) = h(\mathrm{Tr}_{A/K}(a)), \qquad N_{A'/K'}(1 \otimes a) = h(N_{A/K}(a))

(21)

\mathrm{Pc}_{A'/K'}(1 \otimes a; X) = \bar{h}(\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X))

trong đó $\bar{h}$ là đồng cấu $K[X] \to K'[X]$ dẫn xuất từ $h$ . Đặc biệt, với $K' = K[X]$ , ta được, khi viết $A[X] = A \otimes_K K[X]$ ,

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X) = N_{A[X]/K[X]}(X - a).

(22)

Tổng quát hơn, nếu $K'$ là một đại số giao hoán trên $K$ và $A' = A \otimes_K K'$ , thì, với mọi $x \in A'$ ,

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; x) = N_{A'/K'}(x - a).

Ví dụ

(1) Cho $A$ là một đại số bậc hai trên $K$ kiểu $(\alpha, \beta)$ và $(e_1, e_2)$ một cơ sở kiểu $(\alpha, \beta)$ (§ 2, no. 3). Với $x = \xi e_1 + \eta e_2$ , $\mathrm{Tr}_{A/K}(x) = 2\xi + \beta \eta$ và $N_{A/K}(x) = \xi^2 + \beta \xi \eta - \alpha \eta^2$ ; do đó các hàm này đồng nhất với vết Cayley và chuẩn Cayley của $x$ (§ 2, no. 24).

(2) Cho $A$ là một đại số quaternion trên $K$ . Một phép tính trực tiếp cho phép ta kiểm tra rằng $\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x) = 2T(x)$ và $N_{A/\mathbf{K}}(x) = (N(x))^2$ , trong đó T và N là vết Cayley và chuẩn Cayley (§ 2, no. 4).

(3) Cho $A = \mathbf{M}_n(\mathbf{K})$ và sắp cơ sở chính tắc $(E_{ij})$ của A (II, § 10, no. 3) theo thứ tự từ điển. Khi đó thấy ngay lập tức rằng với mọi ma trận $X = \sum_{i,j} \xi_{ij} E_{ij}$ ma trận (cấp $n^2$ ) của tự đồng cấu $Y \mapsto XY$ có dạng

\begin{pmatrix} X & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & X \end{pmatrix}

do đó $\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(X) = n \cdot \mathrm{Tr}(X)$ và $N_{A/\mathbf{K}}(X) = (\det(X))^n$ .

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến III § 2. Ví dụ về các đại số, II § 10. Ma trận

4. Tính chất của các chuẩn và các vết trong một đại số

Mệnh đề 3

Cho A là một đại số trên K thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Để một phần tử $a \in A$ khả nghịch thì điều kiện cần và đủ là $N_{A/\mathbf{K}}(a)$ của nó khả nghịch trong $\mathbf{K}$ .

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Định lý 1, III § 8

Được trích dẫn bởi Hệ quả 1, IV § 6, Mệnh đề 3, VIII § 17

Nếu $a$ thừa nhận một nghịch đảo $a'$ trong $A$ , thì

N_{A/\mathbf{K}}(a) N_{A/\mathbf{K}}(a') = N_{A/\mathbf{K}}(aa') = N_{A/\mathbf{K}}(1) = 1

theo công thức (3) của no. 1. Ngược lại, nếu $N_{A/\mathbf{K}}(a)$ khả nghịch, thì tự đồng cấu $h : x \mapsto ax$ là song ánh (§ 8, no. 2, Định lý 1). Khi đó tồn tại $a' \in A$ sao cho $aa' = 1$ ; khi đó $h(a'a - 1) = aa'a - a = (aa' - 1)a = 0$ , do đó $aa' = 1$ vì $h$ là đơn ánh. Vậy $a'$ là nghịch đảo của $a$ .

Mệnh đề 4

Cho A là một đại số trên K có một cơ sở hữu hạn. Với mọi $a \in A$ , $\mathrm{Pc}_{A/\mathbf{K}}(a; a) = 0$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 20 ("định lý Cayley–Hamilton"), III § 8

Điều này suy ra ngay lập tức từ định lý Cayley-Hamilton (§ 8, no. 11, Mệnh đề 20).

Mệnh đề 5

Cho A là một đại số trên K và m một iđêan hai phía của A. Giả sử rằng $A_0 = A/m$ là một K-môđun tự do có số chiều hữu hạn n, rằng tồn tại một số nguyên $r > 0$ sao cho $m^r = \{0\}$ và rằng $m^{i-1}/m^i$ là một $A_0$ -môđun tự do có số chiều hữu hạn $s_i$ với $1 \leq i \leq r$ . Đặt $s = s_1 + \cdots + s_r$ và với mọi $a \in A$ ký hiệu $a_0$ là lớp của $a$ mod. m. Khi đó A là một K-môđun tự do có chiều $ns$ và, với mọi $a \in A$ ,

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 25, II § 1, Mệnh đề 1

\mathrm{Tr}_A(a) = s \cdot \mathrm{Tr}_{A_0}(a_0), \qquad N_A(a) = (N_{A_0}(a_0))^s

\mathrm{Pc}_A(a; X) = (\mathrm{Pc}_{A_0}(a_0; X))^s.

Theo II, § 1, no. 13, Mệnh đề 25, $m^{i-1}/m^i$ là một K-môđun tự do có chiều $ns_i$ . Vậy có thể áp dụng Mệnh đề 1 của no. 2 với $P_i = m^{i-1}/m^i$ ;

điều này trước hết cho thấy rằng $A$ là một $K$ -môđun tự do có chiều $n(s_1 + \cdots + s_r) = ns$ . Hơn nữa, giả thiết kéo theo rằng $A$ -môđun $P_i$ đẳng cấu với một tổng trực tiếp của $s_i$ môđun con đẳng cấu với $A$ -môđun $A_0$ ; do đó theo Mệnh đề 1 của no. 2, $N_{P_i}(a) = N_{A_0}(a)^{s_i}$ ; cuối cùng suy ra

N_A(a) = N_{A_0}(a)^s.

Trong công thức này,

N_{A_0}(a)

được định nghĩa bằng cách coi

A_0

như một

A

-môđun trái và nó bằng định thức của ánh xạ

K

-tuyến tính

x \mapsto ax

từ

A_0

vào chính nó; nhưng, vì

ax = a_0x

với

x \in A_0

, nên

N_{A_0}(a) = N_{A_0}(a_0)

, điều này hoàn tất chứng minh công thức (23) đối với chuẩn. Hai công thức kia được chứng minh tương tự.

Mệnh đề 6

Cho $A$ là một $K$ -đại số giao hoán có một cơ sở hữu hạn trên $K$ và $V$ là một $A$ -môđun có một cơ sở hữu hạn trên $A$ . Khi đó $V$ có một cơ sở hữu hạn trên $K$ và với mọi $A$ -tự đồng cấu $u$ của $V$ , nếu $u_K$ là ánh xạ $u$ được xét như một $K$ -tự đồng cấu của $V$ ,*

\begin{align*} \operatorname{Tr}(u_K) &= \operatorname{Tr}_{A/K}(\operatorname{Tr}(u)), \qquad \det(u_K) = N_{A/K}(\det(u)) \\ \operatorname{Pc}(u_K; X) &= N_{A[X]/K[X]}(\operatorname{Pc}(u; X)). \end{align*}

(24)

Cho $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ là một cơ sở của $A$ trên $K$ và $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một cơ sở của $V$ trên $A$ ; khi đó $(a_i e_j)$ là một cơ sở của $V$ trên $K$ (II, § 1, no. 13, Mệnh đề 25). Mặt khác công thức thứ ba trong các công thức (24) có thể được suy ra từ công thức thứ hai áp dụng cho tự đồng cấu $X - \bar{u}$ của $A[X]$ -môđun $A[X] \otimes_A V$ (§ 8, no. 10). Vì vậy chỉ cần chứng minh hai công thức đầu trong (24). Trước hết ta sẽ thiết lập bổ đề sau:

Bổ đề 1. Cho $X_{ij}$ ( $1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n$ ) là $n^2$ bất định, $X$ là ma trận bình phương $(X_{ij})$ cấp $n$ và $D(X_{11}, \ldots, X_{nn}) \in \mathbf{Z}[X_{11}, \ldots, X_{nn}]$ là định thức $\det(X)$ . Mặt khác cho $A$ là một vành giao hoán, $M_{ij}$ ( $1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n$ ) là $n^2$ ma trận cấp $m$ trên $A$ , từng đôi một giao hoán được, và $M$ là ma trận bình phương cấp $mn$ trên $A$ có thể được biểu diễn thành một ma trận bình phương các ma trận (II, § 10, no. 7)

M = \begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\ M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \end{pmatrix}

Khi đó định thức của

M

bằng định thức của ma trận bình phương

D(M_{11}, \ldots, M_{nn})

cấp

m

Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 25, II § 1, III § 8. Định thức, II § 10. Ma trận

Được trích dẫn bởi Hệ quả, Mệnh đề 1, VIII § 19

Ta tiến hành bằng quy nạp theo $n$ , các trường hợp $n = 0$ và $n = 1$ là tầm thường.

Cho $Z$ là một bất định mới và $N_{ij}$ là ma trận $M_{ij} + \delta_{ij} Z I_m$ ( $\delta_{ij}$ là chỉ số Kronecker). Nếu $D^{ij}(X_{11}, \ldots, X_{nn})$ là phần bù đại số của $X_{ij}$ trong ma trận $X$ (§ 8, no. 6), thì

\text{(25)} \quad X_{ji} D^{ki}(X_{11}, \ldots, X_{nn}) = \delta_{jk} D(X_{11}, \ldots, X_{nn})

(§ 8, no. 6, công thức (28)). Ta viết $N'_{ij} = D^{ij}(N_{11}, \ldots, N_{nn})$ , đó là một ma trận bình phương cấp $m$ trên $\mathbf{A}[Z]$ , và xét tích $N . U$ , trong đó

U = \begin{pmatrix} N'_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ N'_{12} & I_m & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ N'_{1n} & 0 & \cdots & I_m \end{pmatrix},

N = \begin{pmatrix} N_{11} & N_{12} & \cdots & N_{1n} \\ N_{21} & N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ N_{n1} & N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

Thực hiện tích này theo khối (II, § 10, no. 5) và dùng các công thức (25), ta thu được

N . U = \begin{pmatrix} P & N_{12} & \cdots & N_{1n} \\ 0 & N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

trong đó ta đã viết $P = D(N_{11}, \ldots, N_{nn})$ . Đặt

Q = \begin{pmatrix} N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

đó là một ma trận cấp $m(n-1)$ ; khi đó (§ 8, no. 6, công thức (31)) (det $N$ ) (det $U$ ) = (det $P$ )(det $Q$ ) và det $U = \det N'_{11}$ . Nhưng theo giả thiết quy nạp, det $Q = \det(D^{11}(N_{11}, \ldots, N_{nn})) = \det N'_{11}$ , và do định nghĩa của các $N_{ij}$ , rõ ràng det $Q$ là một đa thức trong $\mathbf{A}[Z]$ bậc $m(n-1)$ , mà số hạng theo $Z^{m(n-1)}$ có hệ số bằng 1 ; suy ra ngay lập tức det $Q$ không là ước của không trong đại số phân bậc $\mathbf{A}[Z]$ . Vì vậy ta kết luận rằng det $N = \det(D(N_{11}, \ldots, N_{nn}))$ trong $\mathbf{A}[Z]$ ; nếu ta thay $Z$ bởi 0 trong các đa thức này, thì det $M = \det(D(M_{11}, \ldots, M_{nn}))$ .

Sau khi đã chứng minh bổ đề này, K-môđun V là tổng trực tiếp của các K-môđun $Ae_j$ ( $1 \leq j \leq n$ ); ta viết $u(e_j) = \sum_{k=1}^n c_{jk} e_k$ . Với mọi phần tử $xe_j \in Ae_j$ , trong đó $x \in A$ , thành phần của $u(xe_j)$ trong $Ae_k$ là $xc_{jk} e_k$ ; suy ra ma trận của $u_k$ đối với cơ sở $(a_i e_j)$ của K-môđun V có thể được viết dưới dạng một ma trận bình phương gồm các ma trận $(M_{jk})$ , trong đó $M_{jk}$ là ma trận của ánh xạ K-tuyến tính $xe_j \mapsto xc_{jk} e_k$ từ $Ae_j$ vào $Ae_k$ đối với các cơ sở $(a_i e_j)_{1 \leq i \leq m}$ và $(a_i e_k)_{1 \leq i \leq m}$ của hai K-môđun ấy (II, § 10, no. 5). Nếu với mọi $t \in A$ , $M(t)$ ký hiệu ma trận, đối với cơ sở $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ của A trên K, của tự đồng cấu $x \mapsto xt$ của A, thì $M_{jk} = M(c_{jk})$ ; vì $t \mapsto M(t)$ là một đồng cấu vành nên các ma trận $M_{jk}$ giao hoán từng đôi một. Khi đó

\det u_K = \det(D(M_{11}, \ldots, M_{nn}))

theo Bổ đề 1. Nhưng vì

t \mapsto M(t)

là một đồng cấu vành,

D(M_{11}, \ldots, M_{nn})

là ma trận của K-tự đồng cấu

x \mapsto x.\det(c_{jk})

của A đối với cơ sở

(a_i)

; do đó, theo định nghĩa, định thức của nó là

N_{A/K}(\det(u))

, điều này chứng minh công thức thứ hai của (24). Mặt khác,

\operatorname{Tr}(u_K) = \sum_{j=1}^n \operatorname{Tr}(M_{jj}) = \sum_{j=1}^n \operatorname{Tr}_{A/K}(c_{jj}) = \operatorname{Tr}_{A/K}\left( \sum_{j=1}^n c_{jj} \right) = \operatorname{Tr}_{A/K}(\operatorname{Tr}(u))

và chứng minh của Mệnh đề 6 là đầy đủ.

Hệ quả

Cho A là một đại số giao hoán trên K có một cơ sở hữu hạn trên K và B là một đại số trên A có một cơ sở hữu hạn trên A. Khi đó B có một cơ sở hữu hạn trên K, và, với mọi $b \in B$ ("các công thức bắc cầu")*

\begin{align*} \operatorname{Tr}_{B/K}(b) &= \operatorname{Tr}_{A/K}(\operatorname{Tr}_{B/A}(b)), \quad N_{B/K}(b) = N_{A/K}(N_{B/A}(b)) \\ P_{C_{B/K}}(b; X) &= N_{A[X]/K[X]}(P_{C_{B/A}}(b; X)). \end{align*}

(26) Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 6, bằng cách đặt

V = B

và

u(x) = bx

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 6

Nhận xét

Giả sử rằng đồng cấu $\lambda \mapsto \lambda . 1$ của K vào A là đơn ánh và đồng nhất K với ảnh của nó trong A; giả sử rằng A có một cơ sở hữu hạn $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ như một K-môđun. Cho s là một tự đẳng cấu của A sao cho $s(K) = K$ . Cho a là một phần tử của A; khi đó, bằng cách chuyển cấu trúc

\begin{align*} \operatorname{Tr}_{A/K}(s(a)) &= s(\operatorname{Tr}_{A/K}(a)) \\ N_{A/K}(s(a)) &= s(N_{A/K}(a)). \end{align*}

(27) (28) Xét thêm một đạo hàm D của A ( $§ 10$ , no. 2) sao cho $D(K) \subset K$ và viết $D(e_i) = \sum_{j=1}^n e_j \mu_{ji}$ trong đó $\mu_{ji} \in K$ ; viết

ae_i = \sum_{j=1}^n e_j \lambda_{ji} \quad \text{với} \quad \lambda_{ji} \in K.

Khi đó

D(a)e_i + aD(e_i) = D(ae_i) = \sum_{j=1}^n (D(e_j)\lambda_{ji} + e_j D(\lambda_{ji})).

Suy ra

D(a)e_i = \sum_{j=1}^n e_j v_{ji}

với

v_{ji} = D(\lambda_{ji}) + \sum_{k=1}^n (\mu_{jk}\lambda_{ki} - \lambda_{jk}\mu_{ki})

. Vì

\sum_{i,k} (\mu_{ik}\lambda_{ki} - \lambda_{ik}\mu_{ki}) = 0

, do đó

\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(D(a)) = \sum_{i=1}^n D(\lambda_{ii})

, nói cách khác

\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(D(a)) = D(\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(a)). *

5. Biệt thức của một đại số

Định nghĩa 3

Cho A là một đại số trên K có một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử. Biệt thức của một dãy $(x_1, \ldots, x_n)$ gồm n phần tử của A, đối với K, ký hiệu là $D_{A/\mathbf{K}}(x_1, \ldots, x_n)$ , là biệt thức của ma trận vuông*

(\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}.

Trước hết xét một cơ sở

(e_i)_{1 \leq i \leq n}

của A trên K và viết

e_i e_j = \sum_{k=1}^n c_{ij k} e_k \quad \text{với} \quad c_{ij k} \in \mathbf{K}.

Khi đó

\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(e_i) = \sum_{s=1}^n c_{iss}

, do đó

\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(e_i e_j) = \sum_{k,s} c_{ij k} c_{kss}

và vì thế

D_{A/\mathbf{K}}(e_1, \ldots, e_n) = \det \left( \left( \sum_{k,s} c_{ij k} c_{kss} \right)_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n} \right).

Bây giờ cho

(x_i)_{1 \leq i \leq n}, (x'_i)_{1 \leq i \leq n}

là hai dãy gồm n phần tử của A và giả sử rằng tồn tại một ma trận vuông cấp n,

M = (m_{ij})

, với các hệ số trong K, sao cho

x_i = \sum_{j=1}^n m_{ij} x'_j

với

1 \leq i \leq n

. Ta viết

T = (\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}, \qquad T' = (\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x'_i x'_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}.

Khi đó

\operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j) = \sum_{p,q} m_{ip} m_{jq} \operatorname{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x'_p x'_q)

, do đó

T = M \cdot T' \cdot {}^t M

; quy tắc phép nhân của các định thức vì thế cho

\det T = \det M \cdot \det T' \cdot \det {}^t M = (\det M)^2 \det T'

do đó cuối cùng

D_{A/\mathbf{K}}(x_1, \ldots, x_n) = (\det M)^2 D_{A/\mathbf{K}}(x'_1, \ldots, x'_n).

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Bài tập 8, § 1

Công thức trên cho thấy riêng rằng các biệt thức của hai cơ sở của A trên K sai khác nhau bởi bình phương của một phần tử khả nghịch của K và vì thế sinh ra cùng một iđêan (chính) của K. Iđêan này $\Delta_{A/K}$ được gọi là iđêan biệt thức của A trên K; theo công thức (32) biệt thức của mọi dãy gồm n phần tử của A chỉ sai khác nhau ở thứ tự các số hạng đều có cùng biệt thức, vì định thức của một ma trận hoán vị bằng $\pm 1$ .

Ví dụ

(1) Nếu A là một đại số bậc hai kiểu $(\alpha, \beta)$ trên K, thì (theo ký hiệu của § 2, no. 3) $\operatorname{Tr}(e_1) = 2, \operatorname{Tr}(e_2) = \beta$ ,

\operatorname{Tr}(e_2^2) = \alpha \operatorname{Tr}(e_1) + \beta \operatorname{Tr}(e_2) = 2\alpha + \beta^2,

do đó $D_{A/K}(e_1, e_2) = \beta^2 + 4\alpha$ .

(2) Cho $A = K[X]/K[X]P$ , trong đó $P(X) = X^3 + pX + q$ , sao cho nếu x là ảnh của X trong A thì 1, x, $x^2$ tạo thành một cơ sở của A trên K và $x^3 = -px - q$ . Ta thấy ngay lập tức rằng $\operatorname{Tr}(1) = 3, \operatorname{Tr}(x) = 0, \operatorname{Tr}(x^2) = -2p$ , có tính đến hệ thức $x^3 = -px - q, \operatorname{Tr}(x^3) = -3q$ và $\operatorname{Tr}(x^4) = 2p^2$ , do đó dễ dàng được $D_{A/K}(1, x, x^2) = -4p^3 - 27q^2$ .

(3) Cho A là một đại số quaternion kiểu $(\alpha, \beta, \gamma)$ trên K và $(1, i, j, k)$ là một cơ sở của A kiểu $(\alpha, \beta, \gamma)$ ; có tính đến § 3, no. 5, công thức (30), ta dễ dàng thấy rằng $\operatorname{Tr}(1) = 4, \operatorname{Tr}(i) = 2\beta, \operatorname{Tr}(j) = \operatorname{Tr}(k) = 0$ , khi đó

D_{A/K}(1, i, j, k) = -16\gamma^2(\beta^2 + 4\alpha)^2.

(4) Cho $A = M_n(K)$ và xét cơ sở chính tắc $(E_{ij})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}$ của A trên K (II, § 10, no. 3). Ngay lập tức ta thấy rằng $\operatorname{Tr}_{A/K}(E_{ij}) = 0$ nếu $j \neq i$ và $\operatorname{Tr}_{A/K}(E_{ii}) = n$ với mọi i; từ đó suy ra không khó rằng ma trận $(\operatorname{Tr}(E_{ij}E_{hk}))$ cấp $n^2$ có dạng $n.P$ , trong đó P là một ma trận hoán vị, do đó $D_{A/K}((E_{ij})) = \pm n^{n^2}$ .

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến III § 2. Ví dụ về các đại số, III § 3. Đại số phân bậc, II § 10. Ma trận

Bài tập

Xem các bài tập của § 9.