Bài tập 8, § 1

Cho K là một trường bậc hai, tức là một mở rộng của $\mathbf{Q}$ có bậc 2. a) Chứng minh rằng $K = \mathbf{Q}(e)$ trong đó $e^2$ là một số nguyên hữu tỉ $d \neq 1$ không chia hết cho một bình phương $> 1$ (trong $Z$). b) Nếu $a = a + be$ ($a, b \in \mathbf{Q}$), gọi $\bar{\alpha}$ là liên hợp của $a + be$. Ta nói rằng $a$ là một số nguyên của trường bậc hai K nếu chuẩn $\alpha \bar{\alpha}$ và vết $a + \bar{\alpha}$ của nó là các số nguyên hữu tỉ. Chứng minh rằng các số nguyên của K tạo thành một vành A (chú ý rằng nếu $\alpha$ và $\beta$ là các số nguyên của K thì tổng và tích của các số hữu tỉ $\alpha \beta + \overline{\alpha \beta}$ và $\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha \beta}$ là các số nguyên, do đó các số hữu tỉ này là các nghiệm của một đa thức đơn khởi trên $Z$; suy ra rằng chúng là các số nguyên hữu tỉ). c) Chứng minh rằng các số nguyên của $K = \mathbf{Q}(e)$ tạo thành một $Z$-môđun với cơ sở $(1, e)$ nếu $d - 1 \not\equiv 0 \pmod{4}$, hoặc $(1/2(1 + e), 1/2(1 - e))$ nếu $d - 1 \equiv 0 \pmod{4}$ (nếu $a + be$ là một số nguyên của K, hãy kiểm tra rằng $2a$ và $2b$ là các số nguyên hữu tỉ sao cho $(2a)^2 - d(2b)^2 \equiv 0(4)$, và khảo sát xem chúng có thể là số lẻ hay không). Chứng minh rằng các biệt thức của các cơ sở này (III, p. 549, Định nghĩa 3) lần lượt là $4d$ và $d$.