a) Họ $(x_i)$ có một ước chung lớn nhất trong $K$. b) Mọi ước chung lớn nhất của $(x_i)$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng $d = \sum a_i x_i$, trong đó các $a_i$ là các phần tử của $A$, tất cả trừ một số hữu hạn trong chúng là không.

Thật vậy, iđêan $\sum Abx$, của $A$ là chính, và do đó có dạng $Ad'$. Đặt $d' = bd \ (d \in K)$. Từ quan hệ $d' = \sum a_i b x_i$, ta suy ra $d = \sum a_i x_i$, trong đó $a_i \in A$. Do đó mọi ước chung của các $x_i$ đều chia hết $d$. Mặt khác, vì $bd$ là một ước chung của các $bx$, theo phép dựng, nên suy ra $d$ là một ước chung của các $x_i$.

Thật vậy $d$ là một ước chung của các $x_i$ trong $B$. Mặt khác quan hệ $d = \sum a_i x_i$ cho thấy rằng mọi ước chung của các $x_i$ trong $B$ đều chia hết $d$.

Một áp dụng quan trọng của hệ quả này là khi $A = K[X]$ và $B = E[X]$, trong đó $K$ là một trường và $E$ là một mở rộng của $K$ (IV, p. 12, Hệ quả 1).

Mệnh đề đầu tiên của Mệnh đề 1 cho thấy rằng nhóm có thứ tự $\mathscr{P}^*$ là có thứ tự dàn ($VI,$ p. 10). Đặc biệt mọi họ hữu hạn các phần tử của $K$ đều có bội chung nhỏ nhất. Do đó ta có thể áp dụng các kết quả được ký hiệu (DIV) trong $VI$, pp. 10 đến 17 cho các miền iđêan chính.

Kết quả sau đây là một hệ quả của mệnh đề thứ hai của Mệnh đề I :

Tính cần thiết của điều kiện chỉ là Mệnh đề 1. Ngược lại, nếu $\sum a_i x_i = 1$ thì mọi ước chung của các $x_i$ đều chia hết 1, và do đó 1 là một ước chung lớn nhất của các $x_i$.

Ta đã chứng minh a) (Mệnh đề 1). Vì các bội chung của $a$ và $b$ là các phần tử của $(a) \cap (b)$, và vì, theo giả thiết, iđêan $(a) \cap (b)$ là chính, giả sử $(a) \cap (b) = (m)$, nên suy ra rằng $m$ là một bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$, điều này chứng minh b). Cuối cùng, nói rằng $p \neq 0$ là một phần tử bất khả quy của $A$ có nghĩa theo định nghĩa (VI, p. 17) rằng $(p)$ là một phần tử cực đại của họ các iđêan chính $\neq A$ của $A$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm; vì $A$ không có iđêan nào khác ngoài các iđêan chính, điều này có nghĩa rằng $(p)$ là một iđêan cực đại của $A$, do đó có c), theo nhận xét trong VI, p. 17.

Trong một miền iđêan chính $A$, tổng (tương ứng, giao) của một số hữu hạn các iđêan cũng được gọi là gcd (tương ứng, lcm) của các iđêan này.

Nếu $ax \equiv b \pmod{c}$, với $x \in A$, thì tồn tại $y \in A$ sao cho $b = ax + cy$, do đó $d$ chia hết $b$. Ngược lại, nếu $d$ chia hết $b$ thì $b = ax_0 + cy_0$ với $x_0, y_0 \in A$ (Mệnh đề 1), do đó $ax_0 \equiv b \pmod{c}$; hơn nữa, quan hệ $ax \equiv b \pmod{c}$ khi đó tương đương với $a(x - x_0) \equiv 0 \pmod{c}$; đặt $a = da'$ và $c = dc'$, cái sau trở thành $a'(x - x_0) \equiv 0 \pmod{c'}$. Nhưng điều này tương đương (đối với $x \in A$) với $x - x_0 \equiv 0 \pmod{c'}$, vì $a'$ và $c'$ nguyên tố cùng nhau (VI, p. 14, Mệnh đề 10 (DIV) và VI, p. 15, Hệ quả 2 của Mệnh đề 11 (DIV)).

Điều này suy ra từ I, p. 110, Mệnh đề 9 và từ Mệnh đề 2 a).

Kết luận của Mệnh đề 4 không còn đúng nếu không giả thiết rằng các $a_i$ từng đôi một nguyên tố cùng nhau (xem VII, p. 24, Mệnh đề 9).

trong đó $u$ là một phần tử khả nghịch của $\mathbf{A}$, và trong đó các $n_{\alpha}$ là các số nguyên, tất cả trừ một số hữu hạn trong chúng đều bằng không. Để $x$ thuộc $\mathbf{A}$ thì điều kiện cần và đủ là tất cả các $n_{\alpha}$ đều dương.

Ta sẽ sử dụng định lý về phân tích thành một tổng các phần tử bất khả quy (VI, p. 18, Định lý 2), mà mệnh đề trên chỉ là một cách phát biểu lại. Vì $\mathscr{P}^*$ là một nhóm có thứ tự dàn nên đối với chúng ta chỉ cần chứng minh rằng mọi tập hợp khác rỗng các iđêan chính của $\mathbf{A}$ đều chứa một phần tử cực đại, để kiểm tra rằng các giả thiết của định lý này thực sự được thỏa mãn; giờ đây điều này suy ra từ Bổ đề sau:

Theo Bổ đề Zorn (Lý thuyết tập hợp, III, p. 154, Đl. 2) chỉ cần chứng minh rằng $\Phi$ là quy nạp. Bây giờ nếu $(a_\lambda)$ là một họ có thứ tự toàn phần các phần tử của $\Phi$ thì hợp $a$ của các iđêan $a_i$ là một iđêan trái của $\mathbf{A}$, và do đó thừa nhận một hệ hữu hạn các phần tử sinh $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$. Vì mỗi $a_i$ thuộc một iđêan $a_{,,}$, và vì họ $(a_\lambda)$ có thứ tự toàn phần, nên các $a_i$ đều thuộc iđêan lớn nhất trong các iđêan $a_{\lambda_i}$, chẳng hạn $a_1$. Khi đó $a = a_1$ thuộc $\Phi$, do đó đây thực sự là một tập quy nạp.

Sau này chúng ta sẽ nghiên cứu những vành $B$, được gọi là các vành Noether, sao cho mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của $B$ đều chứa một phần tử cực đại.

Thật vậy, cho một họ hữu hạn tùy ý $(p_i)$ ($1 \leq i \leq n$) các số nguyên tố phân biệt, mọi ước nguyên tố $q$ của số $\left( \prod_{i=1}^n p_i \right) + 1$ (lớn hơn $1$) đều phân biệt với tất cả các $p_i$, vì nếu không thì nó sẽ chia hết cho 1.

Thật vậy, cho một họ hữu hạn khác rỗng tùy ý $(p_i)$ ($1 \leq i \leq n$) gồm các đa thức bất khả quy đơn khởi phân biệt, đa thức $\left( \prod_{i=1}^n p_i \right) + 1$ không khả nghịch, và mọi nhân tử bất khả quy đơn khởi $q$ của đa thức này nhất thiết phân biệt với mọi $p_i$, nếu không nó sẽ chia hết cho 1.