a) La famille $(x_i)$ admet un pgcd dans $K$.

b) Tout pgcd de $(x_i)$ se met sous la forme $d = \sum a_i x_i$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$, nuls à l’exception d’un nombre fini d’entre eux.

En effet l’idéal $\sum Abx_i$ de $A$ est principal, donc de la forme $Ad'$. Posons $d' = bd$ ($d \in K$). De la relation $d' = \sum a_i b x_i$, on tire $d = \sum a_i x_i$, où $a_i \in A$, donc tout diviseur commun des $x_i$ divise $d$. D’autre part, comme $bd$ est un diviseur commun des $bx_i$ par construction, $d$ est un diviseur commun des $x_i$.

En effet $d$ est un diviseur commun des $x_i$ dans $B$. D’autre part la relation $d = \sum a_i x_i$ ($a_i \in A$) montre que tout diviseur commun des $x_i$ dans $B$ divise $d$.

Un cas important d’application de ce corollaire est celui où $A = K[X]$, $B = E[X]$, $K$ étant un corps et $E$ une extension de $K$ (IV, p. 12, cor. 1).

La première assertion de la prop. 1 montre que le groupe ordonné $\mathscr{P}^*$ est réticulé (VI, p. 10). En particulier toute famille finie d’éléments de $K$ admet un ppcm. Nous pouvons donc appliquer à un anneau principal les résultats notés (DIV) de VI, p. 10 à 17.

Comme conséquence de la seconde assertion de la prop. 1, on a le résultat suivant :

C’est nécessaire d’après la prop. 1. Réciproquement, si $\sum a_i x_i = 1$, tout diviseur commun des $x_i$ dans $K$ divise 1, donc 1 est un pgcd des $x_i$.

Nous avons déjà démontré $a$ (prop. 1). Comme les multiples communs de $a$ et $b$ sont les éléments de $(a) \cap (b)$, et que $(a) \cap (b)$ est, par hypothèse, un idéal principal $(m)$, $m$ est un ppcm de $a$ et $b$, ce qui démontre $b$. Enfin dire que $p \neq 0$ est élément extrémal de $A$ veut dire, par définition (VI, p. 16), que $(p)$ est un élément maximal de la famille ordonnée par inclusion des idéaux principaux $\neq A$ de $A$; comme $A$ n’a d’autres idéaux que les idéaux principaux, ceci veut dire que $(p)$ est idéal maximal de $\mathbf{A}$, d’où $c$), compte tenu de la remarque de VI, p. 17.

Dans un anneau principal $\mathbf{A}$, on dit encore que la somme (resp. l’intersection) d’un nombre fini d’idéaux de $\mathbf{A}$ est le pgcd (resp. ppcm) de ces idéaux.

Si $ax \equiv b$ (mod. $c$) avec $x \in \mathbf{A}$, il existe $y \in \mathbf{A}$ tel que $b = ax + cy$, donc $d$ divise $b$. Réciproquement, si $d$ divise $b$, on a $b = ax_0 + cy_0$, où $x_0$ et $y_0$ appartiennent à $\mathbf{A}$ (prop. 1), donc $ax_0 \equiv b$ (mod. $c$); en outre, la relation $ax \equiv b$ (mod. $c$) est alors équivalente à $a(x - x_0) \equiv 0$ (mod. $c$); en posant $a = da'$ et $c = dc'$, ceci s’écrit $a'(x - x_0) \equiv 0$ (mod. $c'$). Mais cette dernière relation équivaut (pour $x \in \mathbf{A}$) à $x - x_0 \equiv 0$ (mod. $c'$), puisque $a'$ et $c'$ sont des éléments étrangers (VI, p. 14, prop. 10 (DIV) et VI, p. 15, cor. 2 de la prop. 11 (DIV)).

Cela résulte de I, p. 104, prop. 9 et de la prop. 2, a).

La conclusion de la prop. 4 n’est plus valable si on ne suppose pas que les $a_i$ sont deux à deux étrangers (cf. VII, p. 24, prop. 9).

où u est un élément inversible de A, et où les $n_\alpha$ sont des entiers rationnels nuls sauf un nombre fini d’entre eux. Pour que x appartienne à A, il faut et il suffit que tous les $n_\alpha$ soient positifs.

Nous allons utiliser le théorème de décomposition en somme d’éléments extrémaux (VI, p. 17, th. 2), dont l’énoncé ci-dessus n’est qu’une traduction. Comme $\mathscr{P}^*$ est un groupe réticulé, il nous suffira, pour constater que nous sommes bien dans les conditions d’application de ce théorème, de montrer que tout ensemble non vide d’idéaux principaux de A contient un élément maximal ; or c’est ce qui résulte du lemme suivant :

En vertu du th. de Zorn (E, III, p. 20, th. 2), il nous suffit de prouver que $\Phi$ est inductif. Or, si $(\alpha_\lambda)$ est une famille totalement ordonnée d’éléments de $\Phi$, la réunion $\alpha$ des idéaux $\alpha_\lambda$ est un idéal à gauche de A, et admet donc un système fini de générateurs $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$. Comme chacun des $a_i$ appartient à un idéal $\alpha_{\lambda_i}$, et que la famille $(\alpha_\lambda)$ est totalement ordonnée, les $a_i$ ($1 \leq i \leq n$) appartiennent tous au plus grand des idéaux $\alpha_{\lambda_i}$, soit $\alpha_\mu$. Alors $\alpha = \alpha_\mu$ appartient à $\Phi$, qui est donc bien un ensemble inductif.

Nous étudierons plus tard, sous le nom d’anneaux noethériens, les anneaux B tels que tout ensemble non vide d’idéaux à gauche de B possède un élément maximal.

En effet, étant donnée une famille finie quelconque $(p_i)$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) de nombres premiers distincts, un diviseur premier $q$ du nombre $\left( \prod_{i=1}^n p_i \right) + 1$ (qui est $> 1$) est distinct de tous les $p_i$, sinon il diviserait 1.

En effet, étant donnée une famille finie non vide quelconque $(p_i)$ ($1 \leq i \leq n$) de polynômes unitaires irréductibles distincts, le polynôme $\left( \prod_{i=1}^n p_i \right) + 1$ n’est pas inversible, et un facteur unitaire irréductible $q$ de ce polynôme est nécessairement distinct de tous les $p_i$, sinon il diviserait 1.