§ 9. Corps

1. Corps

L’ensemble des éléments non nuls du corps K, muni de la multiplication, est un groupe, qui n’est autre que le groupe multiplicatif $K^*$ de l’anneau K (I, p. 93). L’anneau opposé d’un corps est un corps. On dit qu’un corps est commutatif si sa multiplication est commutative; un tel corps est identique à son opposé. Un corps non commutatif est parfois appelé corps gauche.

2. Anneaux intègres

L’anneau $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels est intégre: il est commutatif, non réduit à 0; le produit de deux entiers $> 0$ est non nul; tout entier non nul est de la forme $a$ ou $-a$ avec $a > 0$, et l’on a $(-a)b = -ab, (-a)(-b) = ab$ pour $a > 0, b > 0$, d’où notre assertion.

Tout corps commutatif est un anneau intégre. Un sous-anneau d’un anneau intégre est intégre. En particulier, un sous-anneau d’un corps commutatif est intégre. Nous allons montrer que réciproquement tout anneau intégre $A$ est isomorphe à un sous-anneau d’un corps commutatif. Rappelons (I, p. 108) que l’on a identifié $A$ à un sous-anneau de son anneau total des fractions. Notre assertion résulte alors de la proposition suivante:

3. Idéaux premiers

4. Le corps des nombres rationnels

Tout nombre rationnel est donc une fraction de la forme $a/b$ où $a$ et $b$ sont des entiers rationnels avec $b \neq 0$ (et même $b > 0$ comme le prouve la relation $a/b = (-a)/(-b)$). On note $\mathbf{Q}_+$ l’ensemble des nombres rationnels de la forme $a/b$ avec $a \in \mathbf{N}$ et $b \in \mathbf{N}^*$. On a les relations:

(1) $\mathbf{Q}_+ + \mathbf{Q}_+ = \mathbf{Q}_+$ (2) $\mathbf{Q}_+ \cdot \mathbf{Q}_+ = \mathbf{Q}_+$ (3) $\mathbf{Q}_+ \cap (-\mathbf{Q}_+) = \{0\}$ (4) $\mathbf{Q}_+ \cup (-\mathbf{Q}_+) = \mathbf{Q}$ (5) $\mathbf{Q}_+ \cap \mathbf{Z} = \mathbf{N}$.

Les deux premières résultent des formules $a/b + a'/b' = (ab' + ba')/bb'$, $(a/b)(a'/b') = aa'/bb'$, $0 \in \mathbf{Q}_+$, $1 \in \mathbf{Q}_+$, et de ce que $\mathbf{N}$ est stable par addition et multiplication et $\mathbf{N}^*$ stable par multiplication. Comme $0 \in \mathbf{Q}_+$, on a $0 \in (-\mathbf{Q}_+)$; soit $x$ dans $\mathbf{Q}_+ \cap (-\mathbf{Q}_+)$; il existe donc des entiers positifs $a, b, a', b'$ avec $b \neq 0$, $b' \neq 0$ et $x = a/b = -a'/b'$; on en déduit $ab' + ba' = 0$ d’où $ab' = 0$ (car $ab' \geqslant 0$ et $ba' \geqslant 0$), donc $a = 0$ car $b' \neq 0$; autrement dit, on a $x = 0$. Enfin, on a évidemment $\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$ et $\mathbf{N} \subset \mathbf{Q}_+$. Inversement, si $x$ appartient à $\mathbf{Z} \cap \mathbf{Q}_+$, c’est un entier rationnel; il existe deux entiers rationnels $a$ et $b$ tels que $a \geqslant 0,\ b > 0$ et $x = a/b$ d’où $a = bx$; si l’on avait $x \notin \mathbf{N}$, on aurait $-x > 0$ d’où $-a = b(-x) > 0$ et par conséquent $a < 0$ contrairement à l’hypothèse.

Etant donnés deux nombres rationnels $x$ et $y$, on écrit $x \leqslant y$ si l’on a $y - x \in \mathbf{Q}_+$. On déduit facilement des formules (1), (3) et (4) que $x \leqslant y$ est une relation d’ordre totale sur $\mathbf{Q}$, de (5) que cette relation induit la relation d’ordre usuelle sur $\mathbf{Z}$. Enfin de (1) on déduit que les relations $x \leqslant y$ et $x' \leqslant y'$ entraînent $x + x' \leqslant y + y'$ et de (2) que la relation $x \leqslant y$ entraîne $xz \leqslant yz$ pour tout $z \geqslant 0$ et $xz \geqslant yz$ pour $z \leqslant 0$ (cf. VI, § 2, n° 1).

Soit $x$ un nombre rationnel. On dit que $x$ est positif si $x \geqslant 0$, strictement positif si $x > 0$, négatif si $x \leqslant 0$ et strictement négatif si $x < 0$.\footnote{Nous nous écartons de la terminologie courante, où positif signifie $> 0$.} L’ensemble des nombres rationnels positifs est $\mathbf{Q}_+$ et celui des nombres négatifs est $-\mathbf{Q}_+$. Si l’on note $\mathbf{Q}^*$ l’ensemble des nombres rationnels non nuls, l’ensemble $\mathbf{Q}_+^*$ des nombres strictement positifs est égal à $\mathbf{Q}^* \cap \mathbf{Q}_+$ et $-\mathbf{Q}_+^*$ est l’ensemble des nombres strictement négatifs.

Les ensembles $\mathbf{Q}_+^*$ et $\{1, -1\}$ sont des sous-groupes du groupe multiplicatif $\mathbf{Q}^*$. Tout nombre rationnel $x \neq 0$ se met d’une manière et d’une seule sous l’une des formes $1.y,\ (-1).y$, où $y > 0$; donc le groupe multiplicatif $\mathbf{Q}^*$ est produit des sous-groupes $\mathbf{Q}_+^*$ et $\{1, -1\}$; le composant de $x$ dans $\mathbf{Q}_+^*$ s’appelle la valeur absolue de $x$, et se note $|x|$; le composant de $x$ dans $\{-1, 1\}$ (égal à 1 si $x > 0$, à $-1$ si $x < 0$) s’appelle signe de $x$, et se note $\operatorname{sgn}\, x$.

On prolonge d’ordinaire ces deux fonctions à $\mathbf{Q}$ tout entier en posant $|0| = 0$, et $\operatorname{sgn}\, 0 = 0$.

Exercices

See the exercises for § 9.