a) Soit $\mathfrak{m}$ un idéal à gauche de A. Pour que le A-module $A_s/\mathfrak{m}$ soit simple, il faut et il suffit que $\mathfrak{m}$ soit un idéal à gauche maximal.

b) Soit M un A-module simple et soit $x$ un élément non nul de M. On a l’égalité $M = Ax$, l’annulateur $\mathfrak{m}$ de $x$ est un idéal à gauche maximal de A, et l’application $a\rightarrow ax$ définit par passage au quotient un isomorphisme de $A_s/\mathfrak{m}$ sur M.

c) Soit M un A-module non nul. Si l’on a $M = Ax$ pour tout élément non nul $x$ de M, alors M est simple.

Les sous-modules de $A_s/\mathfrak{m}$ sont de la forme $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}$, où $\mathfrak{n}$ est un idéal à gauche de A contenant $\mathfrak{m}$ (I, p. 39, th. 4) ; par suite le A-module $A_s/\mathfrak{m}$ est simple si et seulement si l’on a $\mathfrak{m}\not= A$ et tout idéal à gauche $\mathfrak{n}$ de A contenant $\mathfrak{m}$ satisfait à $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= 0$ ou $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= A_s/\mathfrak{m}$, c’est-à-dire à $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}$ ou $\mathfrak{n}= A$. Ceci prouve a).

Sous les hypothèses de b), $Ax$ est un sous-module non nul de M, donc égal à M. Par suite, l’application $a\rightarrow ax$ définit par passage au quotient un isomorphisme de $A_s/\mathfrak{m}$ sur M ; le A-module $A_s/\mathfrak{m}$ est donc simple et l’idéal à gauche $\mathfrak{m}$ est maximal d’après a). Ceci prouve b).

Sous les hypothèses de c), soit N un sous-module non nul de M. Si $x$ est un élément non nul de N, on a $Ax\subset N$ et $Ax= M$, d’où M = N. Donc M est simple.

En effet, il existe d’après le théorème de Krull (I, p. 99, th. 1) des idéaux à gauche maximaux de A.

a) Si M est simple, $f$ est injectif.

b) Si N est simple, $f$ est surjectif.

c) Si M et N sont simples, $f$ est un isomorphisme.

Le noyau de $f$ est un sous-module de M distinct de M, et l’image de $f$ est un sous-module non nul de N.

a) Si M est simple, on a Ker($f$) $= 0$, donc $f$ est injectif.

b) Si N est simple, on a Im($f$) $= N$, donc $f$ est surjectif.

c) Si M et N sont simples, $f$ est à la fois injectif et surjectif.

Si M est un A-module simple, tout élément non nul de l’anneau non nul End$_A(M)$ est inversible (prop. 2, c)), donc End$_A(M)$ est un corps.

Soit E l’anneau des endomorphismes du A-module M ; c’est un corps d’après le cor. de la prop. 2, et une algèbre sur le corps K. Si l’on considère M comme un espace vectoriel à gauche sur le corps E, on a dim$_KM =$ (dim$_EM$)$[E : K]$ d’après la prop. 25 de II, p. 31, donc dim$_KM\geqslant [E : K]$. Comme dim$_KM<$ Card(K) par hypothèse, l’égalité $E = K\cdot 1_M$ résulte alors du lemme suivant :

Soient $x$ un élément de E- K et L le sous-corps (commutatif) de E engendré par $K\cup \{x\}$. Comme K est algébriquement clos, $x$ est transcendant sur K. D’après VII, p. 10, th. 2 et p. 11, les éléments $(x-\alpha )^{-1}$ de L, où $\alpha$ parcourt K, sont linéairement indépendants sur K. On a donc $[E : K]\geqslant [L : K]\geqslant$ Card(K).

Comme l’anneau A est commutatif, $a_M$ est un endomorphisme du A-module M pour tout $a\in A$. D’après le th. 1, on a donc $A_M= K\cdot 1_M$ et M est un K-module simple, c’est-à-dire un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps K.

Soit I un ensemble de cardinal strictement supérieur à la dimension de M sur K (par exemple l’ensemble des parties de M). Soit L une clôture algébrique du corps $K((X_i)_{i\in I})$ (V, p. 22, th. 2). Choisissons une forme K-linéaire $\varphi$ sur L telle que $\varphi (1) = 1$ et notons $v: M_{(L)}\rightarrow M$ l’application K-linéaire caractérisée par $v(\alpha \otimes m) =\varphi (\alpha )m$. Soit $u$ un endomorphisme de M. La dimension de $M_{(L)}$ sur L est égale à celle de M sur K et est strictement inférieure au cardinal de L. D’après le th. 1, l’endomorphisme $1_L\otimes u$ du $A_{(L)}$-module $M_{(L)}$ est de la forme $\lambda \otimes 1_M$, avec $\lambda \in L$. Pour tout $x\in M$, on a

de sorte que $u$ est l’homothétie $\varphi (\lambda )_M$.

Soit N un sous-module de M, distinct de M. Notons $\mathscr{S}$ l’ensemble des sous-modules de M distincts de M et contenant N ordonné par la relation d’inclusion ; démontrons que $\mathscr{S}$ est inductif. Soit $\mathscr{F}$ une partie totalement ordonnée de $\mathscr{S}$. Si $\mathscr{F}$ est vide, N est un majorant de $\mathscr{F}$ dans $\mathscr{S}$. Dans le cas contraire, notons Q la réunion des éléments de $\mathscr{F}$. Alors Q est un sous-module de M. Soit F une partie génératrice finie de M. Si Q était égal à M, F serait contenue dans un sous-module $P\in \mathscr{F}$, ce qui entraînerait P = M, contrairement à la définition de $\mathscr{F}$. On a donc $Q\in \mathscr{S}$, ce qui prouve que $\mathscr{S}$ est inductif. La prop. 3 résulte alors du cor. 1 de E, III, p. 21.

Soit N un sous-module maximal de M (prop. 3) et soit $\mathfrak{a}$ l’annulateur du A-module simple $M/N$; c’est un idéal bilatère de A et l’on a $\mathfrak{a}(M/N) = 0$, d’où $\mathfrak{a}M\subset N$ et par suite $\mathfrak{a}M\not= M$.

Comme l’anneau A est commutatif, l’annulateur d’un A-module simple est un idéal maximal de A (VIII, p. 42, prop. 1). D’après le corollaire 1 appliqué au A-module M, il existe un idéal maximal $\mathfrak{a}$ de A tel que $\mathfrak{a}M\not= M$. Mais $\mathfrak{a}M$ est un sous-module du B-module simple M ; on a donc $\mathfrak{a}M = 0$, d’où $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{m}$. Comme l’idéal $\mathfrak{m}$ est distinct de A, il est égal à $\mathfrak{a}$, de sorte que $\mathfrak{m}$ est maximal. Le module M est un module de type fini sur le corps $A/\mathfrak{m}$, d’où la dernière assertion.

Soit M un A-module simple et fidèle. Soit $\alpha$ un élément non nul de $\mathfrak{a}$. Comme le A-module M est fidèle, il existe un élément $x$ de M tel que $\alpha x\not= 0$. L’homomorphisme $a\rightarrow ax$ de $\mathfrak{a}$ dans M est alors non nul ; c’est donc un isomorphisme d’après la prop. 2 de VIII, p. 43.

a) Il existe un entier naturel $m$ et un isomorphisme de $A_s$ sur un sous-module de $M^m$.

b) Si M possède une suite de Jordan-Hölder $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$, tout A-module simple est isomorphe à l’un des quotients $M_i/M_{i+1}$.

D’après VIII, p. 2 appliqué au A-module $A_s$ et aux annulateurs des éléments de M, il existe des éléments $x_1, . . . , x_m$ de M tels que l’annulateur de M soit l’intersection des annulateurs des $x_i$. Comme le A-module M est fidèle, l’application A-linéaire $a\rightarrow (ax_1, . . . , ax_m)$ de $A_s$ dans $M^m$ est injective, d’où a).

Sous les hypothèses de b), tout quotient simple de $A_s$ est isomorphe à un quotient d’une suite de Jordan-Hölder de $M^m$ (I, p. 41, cor.), donc à l’un des modules $M_i/M_{i+1}$ (I, p. 41, th. 6). Enfin, tout A-module simple est isomorphe à un quotient de $A_s$.