a) Cho $\mathfrak{m}$ là một iđêan trái của A. A-môđun $A_s/\mathfrak{m}$ là đơn khi và chỉ khi $\mathfrak{m}$ là một iđêan trái cực đại.

b) Cho M là một A-môđun đơn, và cho $x$ là một phần tử khác không của M. Ta có đẳng thức $M = Ax$, linh hóa tử $\mathfrak{m}$ của $x$ là một iđêan trái cực đại của A, và ánh xạ $a\mapsto ax$ xác định, khi chuyển qua thương, một đẳng cấu từ $A_s/\mathfrak{m}$ lên M.

c) Cho M là một A-môđun khác không. Nếu ta có $M = Ax$ với mọi phần tử khác không $x$ của M, thì M là đơn.

Các môđun con của $A_s/\mathfrak{m}$ có dạng $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}$, trong đó $\mathfrak{n}$ là một iđêan trái của A chứa $\mathfrak{m}$ (I, §4, No. 6, p. 41, Định lý 4); do đó, A-môđun $A_s/\mathfrak{m}$ là đơn khi và chỉ khi ta có $\mathfrak{m}\not= A$ và mọi iđêan trái $\mathfrak{n}$ của A chứa $\mathfrak{m}$ đều thỏa $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= 0$ hoặc $\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= A_s/\mathfrak{m}$, nghĩa là, $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}$ hoặc $\mathfrak{n}= A$. Điều này chứng minh a).

Dưới các giả thiết của b), $Ax$ là một môđun con khác không của M, nên bằng M. Do đó, ánh xạ $a\mapsto ax$ xác định, khi chuyển qua thương, một đẳng cấu từ $A_s/\mathfrak{m}$ lên M; vì thế A-môđun $A_s/\mathfrak{m}$ là đơn, và iđêan trái $\mathfrak{m}$ là cực đại theo a). Điều này chứng minh b).

Dưới các giả thiết của c), gọi N là một môđun con khác không của M. Nếu $x$ là một phần tử khác không của N, thì ta có $Ax\subset N$ và $Ax= M$, và do đó M = N. Vậy M là đơn.

Thật vậy, theo định lý Krull (I, §8, No. 6, p. 104, Định lý 1), tồn tại các iđêan trái cực đại của A.

a) Nếu M là đơn, thì $f$ là đơn ánh.

b) Nếu N là đơn, thì $f$ là toàn ánh.

c) Nếu M và N là đơn, thì $f$ là một đẳng cấu.

Hạt nhân của $f$ là một môđun con thực sự của M, và ảnh của $f$ là một môđun con khác không của N.

a) Nếu M là đơn, thì ta có Ker($f$) $= 0$, nên $f$ là đơn ánh.

b) Nếu N là đơn, thì ta có Im($f$) $= N$, nên $f$ là toàn ánh.

c) Nếu M và N là đơn, thì $f$ vừa đơn ánh vừa toàn ánh.

Nếu M là một A-môđun đơn, thì mọi phần tử khác không của vành khác không End$_A(M)$ đều khả nghịch (Mệnh đề 2, c)), nên End$_A(M)$ là một trường.

Cho E là vành các tự đồng cấu của A-môđun M; đó là một trường theo hệ quả của Mệnh đề 2 và là một đại số trên trường K. Nếu ta xem M như một không gian vectơ trái trên trường E, thì ta có dim$_KM =$ (dim$_EM$)$[E : K]$ theo Mệnh đề 25 của II, §1, No. 13, p. 222, do đó dim$_KM\geqslant [E : K]$. Vì dim$_KM<$ Card(K) theo giả thiết, đẳng thức $E = K\cdot 1_M$ khi đó là một hệ quả của bổ đề sau.

Cho $x$ là một phần tử của E - K và L là trường con (giao hoán) của E sinh bởi $K\cup \{x\}$. Vì K đóng đại số, nên $x$ siêu việt trên K. Theo VII, §2, No. 3, p. 10, Định lý 2 và p. 11, các phần tử $(x-\alpha )^{-1}$ của L, trong đó $\alpha$ chạy qua K, là độc lập tuyến tính trên K. Do đó ta có $[E : K]\geqslant [L : K]\geqslant$ Card(K).

Vì vành A là giao hoán, $a_M$ là một tự đồng cấu của A-môđun M với mọi $a\in A$. Theo Định lý 1, do đó ta có $A_M= K\cdot 1_M$, và M là một K-môđun đơn, nghĩa là, một không gian vectơ 1 chiều trên trường K.

Cho I là một tập hợp có lực lượng lớn hơn nghiêm ngặt chiều của M trên K (chẳng hạn, tập hợp các tập con của M). Gọi L là một bao đóng đại số của trường $K((X_i)_{i\in I})$ (V, §4, No. 3, p. 23, Định lý 2). Chọn một dạng tuyến tính K-tuyến tính $\varphi$ trên L sao cho $\varphi (1) = 1$, và gọi $v: M_{(L)}\rightarrow M$ là ánh xạ K-tuyến tính được đặc trưng bởi $v(\alpha \otimes m) =\varphi (\alpha )m$. Gọi $u$ là một tự đồng cấu của M. Chiều của $M_{(L)}$ trên L bằng chiều của M trên K và nhỏ hơn nghiêm ngặt lực lượng của L. Theo Định lý 1, tự đồng cấu $1_L\otimes u$ của $A_{(L)}$-môđun $M_{(L)}$ có dạng $\lambda \otimes 1_M$ với $\lambda \in L$. Với mọi $x\in M$, ta có

sao cho $u$ là phép vị tự $\varphi (\lambda )_M$.

Cho N là một môđun con thực sự của M. Ký hiệu $\mathscr{S}$ là tập hợp các môđun con thực sự của M chứa N, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm; ta sẽ chứng minh rằng $\mathscr{S}$ là quy nạp. Cho $\mathscr{F}$ là một tập con được sắp thứ tự toàn phần của $\mathscr{S}$. Nếu $\mathscr{F}$ là rỗng, thì N là một cận trên của $\mathscr{F}$ trong $\mathscr{S}$. Trong trường hợp ngược lại, ký hiệu Q là hợp của các phần tử của $\mathscr{F}$. Khi đó Q là một môđun con của M. Cho F là một tập con sinh hữu hạn của M. Nếu Q bằng M, thì F sẽ được chứa trong một môđun con $P\in \mathscr{F}$, điều này sẽ suy ra P = M, trái với định nghĩa của $\mathscr{F}$. Vậy ta có $Q\in \mathscr{S}$, điều này chứng minh rằng $\mathscr{S}$ là quy nạp. Khi đó Mệnh đề 3 suy ra từ Hệ quả 1 của Lý thuyết tập hợp, III, §2, No. 4, p. 155.

Cho N là một môđun con cực đại của M (Mệnh đề 3), và gọi $\mathfrak{a}$ là linh hóa tử của A-môđun đơn $M/N$; đó là một iđêan hai phía của A, và ta có $\mathfrak{a}(M/N) = 0$, do đó $\mathfrak{a}M\subset N$ và do đó $\mathfrak{a}M\not= M$.

Vì vành A là giao hoán, linh hóa tử của một A-môđun đơn là một iđêan cực đại của A (VIII, p. 46, Mệnh đề 1). Theo Hệ quả 1 áp dụng cho A-môđun M, tồn tại một iđêan cực đại $\mathfrak{a}$ của A sao cho $\mathfrak{a}M\not= M$. Nhưng $\mathfrak{a}M$ là một môđun con của B-môđun đơn M; do đó ta có $\mathfrak{a}M = 0$ và do đó $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{m}$. Vì iđêan $\mathfrak{m}$ phân biệt với A, nó bằng $\mathfrak{a}$, nên $\mathfrak{m}$ là cực đại. Môđun M là một môđun hữu hạn sinh trên trường $A/\mathfrak{m}$; khẳng định cuối cùng suy ra.

Cho M là một A-môđun đơn trung thành. Cho $\alpha$ là một phần tử khác không của $\mathfrak{a}$. Vì A-môđun M là trung thành, tồn tại một phần tử $x$ của M sao cho $\alpha x\not= 0$. Khi đó đồng cấu $a\mapsto ax$ từ $\mathfrak{a}$ đến M là khác không; do đó nó là một đẳng cấu theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 47.

a) Tồn tại một số tự nhiên $m$ và một đẳng cấu từ $A_s$ đến một môđun con của $M^m$.

b) Nếu M thừa nhận một chuỗi Jordan–Hölder $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$, thì mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một trong các thương $M_i/M_{i+1}$.

Áp dụng VIII, p. 2 cho A-môđun $A_s$ và các linh hóa tử của các phần tử của M, tồn tại các phần tử $x_1, . . . , x_m$ của M sao cho linh hóa tử của M là giao của các linh hóa tử của các $x_i$. Vì A-môđun M là trung thành, ánh xạ A-tuyến tính $a\mapsto (ax_1, . . . , ax_m)$ từ $A_s$ vào $M^m$ là đơn ánh, do đó a).

Dưới giả thiết b), mọi thương đơn của $A_s$ đều đẳng cấu với một thương của một chuỗi Jordan–Hölder của $M^m$ (I, §4, No. 7, p. 43, Hệ quả), nên đẳng cấu với một trong các môđun $M_i/M_{i+1}$ (I, §4, No. 7, p. 43, Định lý 6). Ta kết luận rằng mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một thương của $A_s$.