Cho $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập con $I'$ của I sao cho tổng của họ gồm các môđun N và $S_i$ với $i$ trong $I'$ là trực tiếp. Tập hợp $\mathscr{S}$ có đặc trưng hữu hạn: một tập con J của I thuộc $\mathscr{S}$ khi và chỉ khi điều đó cũng đúng với mọi tập con hữu hạn của J. Do đó, tập hợp $\mathscr{S}$ có một phần tử cực đại J (Lý thuyết tập hợp, III, §4, No. 5, p. 171). Đặt $N'= N +\sum_{j\in J}S_j$. Cho $i$ thuộc I - J. Vì J là cực đại trong $\mathscr{S}$, tập hợp $J\cup \{i\}$ không thuộc $\mathscr{S}$, nên $S_i\cap N'\not= 0$. Vì $S_i$ là một môđun đơn, ta có $S_i\cap N'= S_i$. Do đó ta có $S_i\subset N'$ với mọi $i\in I$, do đó $N'= M$. Điều này hoàn tất chứng minh.

Chỉ cần áp dụng Định lý 1 cho trường hợp N = 0.

Điều kiện đó là cần theo Định lý 1.

Ngược lại, giả sử rằng mọi môđun con của M đều thừa nhận một phần bù. Gọi $M'$ là tổng của các môđun con đơn của M, và $M''$ là một phần bù của $M'$ trong M. Giả sử $M'\not= M$ và do đó $M''\not= 0$. Gọi N là một môđun con đơn sinh khác không của $M''$. Theo Mệnh đề 3 của VIII, p. 49, tồn tại một môđun con cực đại P của N. Gọi Q là một môđun con phụ với P trong M. Khi đó $N\cap Q$ là một môđun con của N, phụ với P trong N, nên đẳng cấu với $N/P$ (II, §1, No. 9, p. 210, Mệnh đề 13). Do đó, $N\cap Q$ là một môđun con đơn của $M''$, trái với định nghĩa của $M'$.

Vậy $M'= M$, và môđun M là nửa đơn theo Hệ quả 1.

Chọn J như trong Định lý 1. Môđun $N'=\bigoplus_{j\in J}S_j$ là bổ sung với N trong M; do đó nó đẳng cấu với $M/N$. Hơn nữa, các môđun con N và $\bigoplus_{i\in I-J}S_i$ của M đều bổ sung với $N'$ và do đó đẳng cấu với $M/N'$.

Nếu M là đơn, thì E là một trường theo hệ quả của Mệnh đề 2 của VIII, p. 47.

Nếu E là một trường, thì môđun M là không phân tích được (VIII, p. 31, Mệnh đề 4, a)). Vì hơn nữa nó là nửa đơn, nên nó là đơn.

(i) Tồn tại một tập hợp I sao cho M đẳng cấu với $S^{(I)}$.

(ii) Môđun M là tổng trực tiếp của một họ các môđun con đẳng cấu với S.

(iii) Môđun M là tổng của một họ các môđun con đẳng cấu với S.

(iv) Tồn tại một không gian vectơ trái V trên trường D sao cho A-môđun M đẳng cấu với $S\otimes_DV$.

Tính tương đương của (i) và (ii) là ngay lập tức, và tính tương đương của (ii) và (iii) suy ra từ Định lý 1 của VIII, p. 56, áp dụng cho trường hợp N = 0. Mọi không gian vectơ trái trên D đều đẳng cấu với một không gian vectơ có dạng $D_s^{(I)}$, trong đó I là một tập hợp (II, §7, No. 1, p. 292, Định lý 1). Vì tích tenxơ giao hoán với các tổng trực tiếp, nên (i) tương đương với (iv).

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ các định nghĩa, mệnh đề thứ hai suy ra từ Hệ quả 3 của VIII, p. 56.

b) Cho V là một không gian vectơ trái trên trường D. Ánh xạ D-tuyến tính $\beta_V: V\rightarrow$ Hom$_A(S,S\otimes_DV)$ được xác định bởi $\beta_V(v)(s) =s\otimes v$ (VIII, p. 59) là song ánh.

Ký hiệu không gian vectơ trái trên D Hom$_A(S,M)$ bởi $\mathscr{H}(M)$. Theo giả thiết, A-môđun M là tổng trực tiếp của một họ các môđun con đẳng cấu với S. A-môđun S là đơn sinh; do đó để chứng minh rằng ánh xạ $\alpha_M$ là song ánh, chỉ cần xét trường hợp M = S (VIII, p. 60, Nhận xét 3). Khi đó, $\mathscr{H}(S)$ đơn giản là không gian vectơ trên D $D_s$, và $\alpha_S$ đơn giản là đẳng cấu $\iota : S\otimes_DD_s\rightarrow S$ được xác định bởi $\iota (s\otimes d) =sd$.

Tương tự, để chứng minh b), chỉ cần xét trường hợp $V = D_s$. Vì ánh xạ $\alpha_S$ là song ánh, nên ánh xạ $\beta_{D_s}=\beta_{\mathscr{H}(S)}$ cũng vậy (VIII, p. 60, Nhận xét 2).

a) Ánh xạ $W\mapsto \alpha (S\otimes_DW)$ là một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ $\mathscr{D}_D(V)$ lên $\mathscr{D}_A(M)$.

b) Đẳng cấu nghịch đảo biến một môđun con N của M thành không gian con tuyến tính của V gồm các phần tử $v$ sao cho $\alpha (s\otimes v)$ thuộc về N với mọi $s\in S$.

Với $W\in \mathscr{D}_D$(V), đặt $\varphi (W) =\alpha (S\otimes_DW)$. Với $N\in \mathscr{D}_A$(M), ký hiệu bởi $\psi (N)$ tập hợp các phần tử $v\in V$ sao cho $\alpha (s\otimes v)\in N$ với mọi $s\in S$. Điều này xác định hai ánh xạ $\varphi :\mathscr{D}_D(V)\rightarrow \mathscr{D}_A(M)$ và $\psi :\mathscr{D}_A(M)\rightarrow \mathscr{D}_D(V)$. Chúng rõ ràng là tăng.

Cho N là một môđun con của M. Nó là đẳng kiểu kiểu S (VIII, p. 61, Mệnh đề 2). Đặt $W =\psi (N)$. Theo Mệnh đề 3, b) của VIII, p. 62, các ánh xạ A-tuyến tính $h: S\rightarrow M$ đơn giản là các ánh xạ $s\mapsto \alpha (s\otimes v)$, trong đó $v$ chạy qua V. Những ánh xạ có ảnh được chứa trong N là các ánh xạ $s\mapsto \alpha (s\otimes w)$ trong đó $w$ chạy qua W; các ảnh của chúng sinh ra N vì N là đẳng kiểu kiểu S. Do đó ta có $\alpha (S\otimes_DW) = N$, tức là $\varphi (\psi (N)) = N$. Điều đó chứng minh rằng $\varphi \circ \psi$ là ánh xạ đồng nhất trên $\mathscr{D}_A(M)$. Đặc biệt, $\varphi$ là toàn ánh và $\psi$ là đơn ánh.

Để hoàn tất chứng minh, chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ $\varphi$ là đơn ánh. Cho W và $W'$ là các không gian con tuyến tính của V sao cho $\varphi (W) =\varphi (W')$. Các không gian vectơ $S\otimes_DW$ và $S\otimes_DW'$ trùng nhau khi được xem như các không gian con tuyến tính của $S\otimes_DV$. Chọn một dạng tuyến tính khác không $f$ trên không gian vectơ trên D S, và gọi $g: S\otimes_DV\rightarrow V$ là đồng cấu nhóm được xác định bởi $g(s\otimes v) =f(s)v$. Ta có $W =g(S\otimes_DW) =g(S\otimes_DW') = W'$, do đó $\varphi$ là đơn ánh.

a) Ánh xạ $N\mapsto$ Hom$_A(S,N)$ là một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ $\mathscr{D}_A(M)$ đến $\mathscr{D}_D$(Hom$_A(S,M)$).

b) Song ánh ngược gửi một không gian con tuyến tính W của Hom$_A(S,M)$ lên môđun con $\sum_{h\in W}h(S)$ của M.

Đây là một sự phát biểu lại của Định lý 2 khi ta lấy $(V, \alpha )$ làm mô tả chính tắc của M.

Thật vậy, theo Định lý 2, mọi A-môđun con N của $S\otimes_DV$ đều bằng $S\otimes_DW$, trong đó W là không gian con tuyến tính của V gồm các phần tử $v$ sao cho $s\otimes v$ thuộc N với mọi $s\in S$.

$S\otimes_DV^{\alpha}$ // M

$S\otimes_D{V'}^{\alpha'}$ // $M'$.

Ánh xạ $f\mapsto \widetilde{f}$ từ Hom$_D(V,V')$ đến Hom$_A(M,M')$ là một đẳng cấu nhóm.

Chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ $\mathbf{Z}$-tuyến tính $u\mapsto 1_S\otimes u$ từ Hom$_D(V,V')$ đến Hom$_A(S\otimes_DV,S\otimes_DV')$ là song ánh. Theo ký hiệu của No.3 áp dụng cho $(A$, D)-song môđun S, điều này quy về việc chỉ ra rằng ánh xạ

$\mathscr{T}:$ Hom$_D(V,V')\longrightarrow$ Hom$_A(\mathscr{T}(V),\mathscr{T}(V'))$

là song ánh. Nhưng theo Nhận xét 1 của VIII, p. 60, vì đẳng cấu liên hợp (VIII, p. 59) là song ánh, điều này quy về việc chỉ ra rằng ánh xạ biến $u$ thành $\beta_{V'}\circ u$ là song ánh, điều này suy ra từ việc ánh xạ D-tuyến tính $\beta_{V'}$ là song ánh (VIII, p. 62, Mệnh đề 3, b)).

Ta giữ ký hiệu của Định lý 3. Cho $M''$ là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S, và cho $(V'', \alpha '')$ là một mô tả của $M''$. Với mọi $f\in$ Hom$_D(V,V')$ và mọi $g\in$ Hom$_D(V',V'')$, ta có $g]\circ f=\widetilde{g}\circ \widetilde{f}$. Đặc biệt, với $M = M'$, $V = V'$, và $\alpha =\alpha '$, ánh xạ $f\mapsto \widetilde{f}$ từ End$_D(V)$ đến End$_A(M)$ là một đẳng cấu vành.

Do tính giao hoán của biểu đồ (I) trong VIII, p. 59, hệ quả này suy ra từ Định lý 3, áp dụng cho các mô tả chính tắc của M và $M'$.

a) Môđun M là tổng trực tiếp của họ $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ các thành phần đẳng kiểu của nó.

b) Giả sử rằng M là tổng trực tiếp của một họ $(N_i)_{i\in I}$ các môđun con đơn. Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$, gọi $I(\lambda )$ là tập hợp các chỉ số $i\in I$ sao cho $N_i$ thuộc lớp $\lambda$. Ta có $M_{\lambda}=\bigoplus_{i\in I(\lambda)}N_i$.

c) Nếu M sinh hữu hạn, thì tập hợp các $\lambda \in \mathscr{S}$ sao cho $M_{\lambda}\not= 0$ là hữu hạn.

d) Với mọi môđun con N của M và mọi $\lambda \in \mathscr{S}$, ta có $N_{\lambda}= N\cap M_{\lambda}$ và $(M/N)_{\lambda}= (M_{\lambda}+ N)/N$.

Vì M là nửa đơn, nó là tổng của họ $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$; hãy chứng minh rằng tổng này là trực tiếp. Cho $\lambda \in \mathscr{S}$. Ký hiệu tổng của họ $(M_\mu)_{\mu\in\mathscr{S}-\{\lambda\}}$ là $M'_{\lambda}$. Môđun $M'_{\lambda}$ là tổng trực tiếp của một họ các môđun đơn không đẳng cấu với $\lambda$ (VIII, p. 56, Định lý 1). Theo Hệ quả 3 của Định lý 1 của VIII, p. 56, $M'_{\lambda}$ không chứa môđun con đơn nào thuộc lớp $\lambda$. Do đó ta có $M_{\lambda}\cap M'_{\lambda}= 0$. Vậy mệnh đề a) được chứng minh. Theo phép dựng, ta có $M_{\lambda}\supset \bigoplus_{i\in I(\lambda)}N_i$, nên mệnh đề b) suy ra từ Nhận xét 1 của II, §1, No. 8, p. 208.

Mệnh đề c) suy ra từ a) và Mệnh đề 23 của II, §1, No. 12, p. 221.

Cho N là một môđun con của M và $\lambda \in \mathscr{S}$. Thành phần đẳng kiểu $N_{\lambda}$ kiểu $\lambda$ của N được chứa trong $M_{\lambda}$ và $M_{\lambda}\cap N\subset N_{\lambda}$. Do đó giao $N\cap M_{\lambda}$ là thành phần đẳng kiểu của N kiểu $\lambda$.

Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$, môđun $M_{\lambda}+N/N$ đẳng cấu với $M_{\lambda}/(M_{\lambda}\cap N)$. Vì vậy nó là đẳng kiểu kiểu $\lambda$ và được chứa trong $(M/N)_{\lambda}$. Khẳng định cuối cùng khi đó suy ra từ a) và II, §1, No. 8, p. 208, Nhận xét 1.

Vì N và $M/N$ là nửa đơn (VIII, p. 56, Hệ quả 3), hệ quả suy ra từ Mệnh đề 4, d).

Giá của A-môđun nửa đơn M là tập hợp các lớp $\lambda$ của các A-môđun đơn sao cho thành phần đẳng kiểu của M kiểu $\lambda$ là khác không. Giá của một A-môđun nửa đơn sinh hữu hạn là hữu hạn.

a) Cho $f: M\rightarrow N$ là một đồng cấu. Với mọi $\lambda \in \mathscr{S},f$ cảm sinh một đồng cấu $f_{\lambda}$ từ $M_{\lambda}$ đến $N_{\lambda}$; nếu M là nửa đơn và $f$ toàn ánh, thì mỗi đồng cấu $f_{\lambda}$ đều toàn ánh.

b) Giả sử rằng M là nửa đơn. Ánh xạ $f\mapsto (f_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ là một đẳng cấu nhóm từ Hom$_A(M,N)$ lên $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom$_A(M_{\lambda},N_{\lambda})$. Khi M bằng N, ánh xạ này là một đẳng cấu vành từ End$_A(M)$ lên $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ End$_A(M_{\lambda})$.

Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$, môđun con $f(M_{\lambda})$ của N đẳng cấu với một thương của một môđun đẳng kiểu kiểu $\lambda$; do đó nó là đẳng kiểu kiểu $\lambda$ và, do đó, được chứa trong $N_{\lambda}$.

Giả sử rằng M là nửa đơn và $f$ toàn ánh. Khi đó $f$ cảm sinh một đẳng cấu từ $M/$ Ker($f$) lên N biến $(M_{\lambda}$+Ker($f$))$/$ Ker($f$) thành $f(M_{\lambda})$. Theo Mệnh đề 4 của VIII, p. 65, ta có $N_{\lambda}=f(M_{\lambda})$, điều này hoàn tất chứng minh của a).

Ánh xạ được xét trong b) rõ ràng là một đồng cấu nhóm, và là một đồng cấu vành khi M bằng N. Cho $(f_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ là một phần tử của $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom(M$_{\lambda},N_{\lambda}$). Phần tử duy nhất của ảnh ngược của nó qua ánh xạ trong b) là đồng cấu $f: M\rightarrow N$ được xác định bởi

với mọi $(x_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}\in \bigoplus_{\lambda}M_{\lambda}$.

(i) Tồn tại duy nhất một môđun con phụ với N trong M.

(ii) Ta có Hom$_A(M/N,N) = 0$.

(iii) Tồn tại một tập con Λ của $\mathscr{S}$ sao cho $N =\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$.

Chọn một môđun con $N'$ bổ sung cho N trong M (VIII, p. 56, Hệ quả 2). Nếu đồng nhất M với $N'\times N$, thì các môđun con của M bổ sung cho N là các đồ thị của các ánh xạ A-tuyến tính từ $N'$ đến N. Vì $N'$ đẳng cấu với $M/N$, ta đã chứng minh được tính tương đương của các tính chất (i) và (ii). Theo Mệnh đề 5, b), nhóm Hom$_A(N',N)$ đẳng cấu với nhóm $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom$_A(N'_{\lambda},N_{\lambda})$. Nhóm này bằng không khi và chỉ khi với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$, ta có $N_{\lambda}= 0$ hoặc $N'_{\lambda}= 0$ (VIII, p. 61, Nhận xét), nghĩa là $N_{\lambda}= 0$ hoặc $N_{\lambda}= M_{\lambda}$. Điều này chứng minh tính tương đương của các tính chất (ii) và (iii).

(i) Mọi môđun con của M đều có một môđun con bổ sung duy nhất.

(ii) Môđun M là tổng trực tiếp của một họ $(S_i)_{i\in I}$ các môđun đơn, từng đôi một không đẳng cấu.

Giả sử rằng M thỏa mãn các điều kiện này. Khi đó, với mọi môđun con N của M, tồn tại duy nhất một tập con J của I sao cho ta có $N =\bigoplus_{j\in J}S_j$ và mọi môđun con đơn của M đều bằng một trong các $S_i$.

Các điều kiện (i) và (ii) đều suy ra rằng M là nửa đơn.

Giả sử rằng điều kiện (i) được thỏa mãn. Cho $\lambda \in \mathscr{S}$. Theo sự tương đương của (i) và (iii) trong Hệ quả 1, mọi môđun con của $M_{\lambda}$ đều bằng không hoặc bằng $M_{\lambda}$. Do đó, $M_{\lambda}$ bằng không hoặc đơn, và (ii) suy ra từ việc M là tổng trực tiếp của họ $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$.

Ngược lại, nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, thì $M_{\lambda}$ bằng không hoặc đơn với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$. Nếu N là một môđun con của M, thì $N\cap M_{\lambda}$ bằng 0 hoặc $M_{\lambda}$ với mọi $\lambda \in \mathscr{S}$. Vì ta có $N =\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}}(N\cap M_{\lambda})$ (VIII, p. 66, Hệ quả), môđun con N có tính chất (iii) của Hệ quả 1 và vì thế thừa nhận một môđun con bổ sung duy nhất trong M. Điều này chứng minh rằng (ii) suy ra (i), cũng như các khẳng định cuối cùng của hệ quả.

Cho M là một A-môđun và S là một A-môđun đơn. Ký hiệu vành đối của trường End$_A(S)$ bởi D, và xem S như một song môđun $(A$, D). Khi đó Hom$_A(S,M)$ là một không gian vectơ trái trên D, và Hom$_A(M,S)$ là một không gian vectơ phải trên D. Đối ngẫu của không gian vectơ trái trên D Hom$_A(S,M)$ là một không gian vectơ phải trên D (II, §2, No. 3, p. 232, Định nghĩa 2). Với mọi $u\in$ Hom$_A(M,S)$, ánh xạ $h(u) :v\mapsto u\circ v$ từ Hom$_A(S,M)$ vào Hom$_A(S,S) = D$ là một dạng tuyến tính trên không gian vectơ trái trên D Hom$_A(S,M)$.

Cho $u\in$ Hom$_A(M,S),v\in$ Hom$_A(S,M)$, và $d\in D$. Ta có

Điều này chứng tỏ rằng ánh xạ $h$ là D-tuyến tính. Nó đơn giản là ánh xạ được cho bởi $u\mapsto$ Hom(1$_S, u$) từ Hom$_A(M,S)$ đến Hom$_D$(Hom$_A(S,M)$, Hom$_A(S,S)$). Để chứng minh rằng nó là song ánh, theo Mệnh đề 5, b) của VIII, p. 66, chỉ cần xét trường hợp M là đẳng kiểu kiểu S; khi đó ta có thể áp dụng hệ quả của VIII, p. 65.