a) Ánh xạ $(u_i)\mapsto \prod u_i$ từ $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$ vào End$_{\mathbf{Z}}(M)$ (II, §1, No. 5, p. 200) hạn chế thành các đẳng cấu vành từ $\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$, và $\prod(A_i)''_{M_i}$ lên $A_M,A'_M$, và $A''_M$, tương ứng.

b) Ánh xạ $(u_i)\mapsto \bigoplus u_i$ từ $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$ tới End$_{\mathbf{Z}}(N)$ (II, §1, No. 6, p. 203) hạn chế thành các đẳng cấu vành từ $\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$, và $\prod(A_i)''_{M_i}$ lên $A_N,A'_N$, và $A''_N$, tương ứng.

Các đẳng cấu vành được xác định trong Mệnh đề 1 được gọi là chính tắc. Tích $\prod(A_i)_{M_i}$ thường được đồng nhất với $A_M$, và $\prod(A_i)'_{M_i}$ với $A'_M$, v.v., thông qua các đẳng cấu này.

Ánh xạ $\varphi : (u_i)\mapsto \prod u_i$ từ $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$ vào End$_{\mathbf{Z}}(M)$ là một đồng cấu vành đơn ánh. Theo định nghĩa của cấu trúc A-môđun trên M, ta có $\varphi (\prod(A_i)_{M_i}) = A_M$. Lấy $u\in A'_M$. Với mọi $i\in I$, ký hiệu bởi $h_i$ phần tử của A mà mọi thành phần đều bằng 1 trừ thành phần có chỉ số $i$, thành phần này bằng 0. Nếu $x$ là một phần tử của M có thành phần chỉ số $i$ bằng 0, thì ta có $x=h_ix$, và do đó pr$_i(u(x)) =$ pr$_i(u(h_ix)) =$ pr$_i(h_iu(x)) = 0$. Do đó, tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất $u_i: M_i\mapsto M_i$ sao cho pr$_i(u(y)) =u_i$(pr$_i(y)$) với mọi $y\in M$. Ta có $u=\prod u_i$. Vì ánh xạ $u$ là A-tuyến tính, nên ánh xạ $u_i$ là $A_i$-tuyến tính với mọi $i\in I$. Điều này chứng tỏ rằng ảnh của $\prod(A_i)'_{M_i}$ dưới $\varphi$ chứa $A'_M$; bao hàm ngược lại là hiển nhiên. Áp dụng điều này cho môđun đối của M, ta suy ra rằng $\varphi$ cảm sinh một đẳng cấu từ $A''_M$ lên $\prod_i(A_i)''_{M_i}$. Điều này chứng minh mệnh đề a).

Chứng minh của b) cũng giống như chứng minh của a), mutatis mutandis.

Với $i\in I$, ta ký hiệu phép chiếu đồng cấu từ $M^{(I)}$ lên M bởi $\pi_i: (x_j)_{j\in I}\mapsto x_i$ và đơn ánh chính tắc tương ứng (I, §4, No. 9, p. 47) bởi $\iota_i: M\rightarrow M^{(I)}$.

Cho $u$ là một phần tử của End$_A(M^{(I)})$. Với mọi $i, j\in I$, hợp thành $u_{i,j}=\pi_j\circ u\circ \iota_i$ thuộc hoán tập $A'_M$ của M. Với mọi phần tử $b$ của $A''_M$ và mọi $(x_i)\in M^{(I)}$, ta có các hệ thức

Vì vậy phép vị tự $b_{M^{(I)}}$ thuộc đối giao hoán tử kép của A-môđun $M^{(I)}$.

Ngược lại, cho $b$ là một phần tử của đối giao hoán tử kép của $M^{(I)}$. Với $i, j\in I$, đặt $b_{i,j}=\pi_j\circ b\circ \iota_i$. Lấy $i, j\in I$ với $i\not=j$. Vì $\iota_j\circ \pi_j$ thuộc hoán tập của A-môđun $M^{(I)}$, ta có

Tương tự, ta có

Hơn nữa, $b_{i,i}$ thuộc $A''_M$. Suy ra $b$ trùng với một phép vị tự của $A''_M$-môđun $M^{(I)}$.

(i) A-môđun M là sinh.

(ii) Với mọi A-môđun N, tồn tại một tập hợp I và một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh từ $M^{(I)}$ đến N.

(iii) Tồn tại một số nguyên $n\geqslant 0$ và một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh từ $M^n$ đến $A_s$.

(iv) Tồn tại một số nguyên $n\geqslant 0$ sao cho $A_s$ đẳng cấu với một môđun con hạng tử trực tiếp của $M^n$.

(v) Iđêan vết $\tau (M)$ bằng A.

(vi) Tồn tại một số nguyên $n\geqslant 0$, các phần tử $x_1, . . . , x_n$ của M, và các phần tử $x^*_1, . . . , x^*_n$ của $M^*$ thỏa mãn $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): Giả sử rằng M là sinh, và cho N là một A-môđun trái. Tồn tại một họ $(u_i)_{i\in I}$ các ánh xạ A-tuyến tính từ M vào N sao cho ta có $N =\sum_{i\in I}u_i(M)$. Ánh xạ $(x_i)\mapsto \sum_{i\in I}u_i(x_i)$ từ $M^{(I)}$ vào N là A-tuyến tính và toàn ánh.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Giả sử rằng tính chất (ii) đúng, và lấy $N = A_s$. Khi đó ta có một tập hợp I và một ánh xạ tuyến tính toàn ánh $u: M^{(I)}\rightarrow A_s$. Vì $A_s$ được sinh bởi phần tử 1, tồn tại một tập con hữu hạn J của I sao cho $u(M^{(J)}) = A_s$, do đó có (iii).

(iii) $\Rightarrow$ (iv): Điều này suy ra từ Mệnh đề 21 của II, §1, No. 12, p. 218.

(iv) $\Rightarrow$ (v): Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên sao cho $A_s$ đẳng cấu với một môđun con hạng tử trực tiếp của M. Ta có $A =\tau (A_s)\subset \tau (M^n) =\tau (M)$ và vì thế $\tau (M) = A$.

(v) $\Rightarrow$ (vi): Điều này là hiển nhiên.

(vi) $\Rightarrow$ (i): Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0,x_1, . . . , x_n$ là các phần tử của M, và $x^*_1, . . . , x^*_n$ là các phần tử của $M^*$ thỏa mãn $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$. Cho N là một A-môđun trái và $y$ là một phần tử của N. Các ánh xạ $u_i:x\mapsto \langle x, x^*_i\rangle y$ từ M vào N là A-tuyến tính, và ta có $y=\sum^n_{i=1}u_i(x_i)$. Điều này chứng tỏ M là một A-môđun sinh.

Cho $a\in A$ thỏa mãn $aM = 0$. Dùng hệ quả (i) $\Rightarrow$ (iv) của Định lý 1, ta được $aA_s= 0$, và do đó $a= 0$. Hệ quả được suy ra (II, §1, No. 12, p. 219).

(i) $\mathfrak{a}M = M$.

(ii) Ann(M) $+\mathfrak{a}= A$.

(iii) Tồn tại một phần tử $a$ của $\mathfrak{a}$ sao cho $am=m$ với mọi $m\in M$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): Cho $(x_1, . . . , x_n)$ là một họ sinh của A-môđun M. Nếu $\mathfrak{a}M = M$, thì mỗi $x_i$ có thể được viết dưới dạng $\sum^n_{j=1}c_{ij}x_j$, trong đó các $c_{ij}$ thuộc $\mathfrak{a}$. Ký hiệu ma trận $(c_{ij})$ bởi C và ma trận cột có các phần tử $x_1, . . . , x_n$ bởi X. Ta có ($I_n-C$)X = 0. Gọi $d$ là định thức và V là ma trận các phần bù đại số của ma trận $I_n-C$. Theo công thức (26) của III, §8, No. 6, p. 532, ta có $dX=^tV$($I_n-C$)X = 0, nên $d\in$ Ann(M). Mặt khác, vì các $c_{ij}$ thuộc $\mathfrak{a}$, ta có $d\equiv$ 1(mod $\mathfrak{a}$) (III, §8, No. 5, p. 529, (18)), và do đó $1\in$ Ann(M) $+\mathfrak{a}$.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Giả sử rằng (ii) đúng, tồn tại $a\in \mathfrak{a}$ và $b\in$ Ann(M) sao cho $a+b= 1$. Khi đó ta có $am=m$ với mọi $m\in M$.

(iii) $\Rightarrow$ (i): Điều này là hiển nhiên.

Cho P là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Ta có $\tau (P)P = P$ (VIII, p. 80).

Nếu A-môđun P là trung thành, thì iđêan $\tau (P)$ bằng A (Bổ đề 1) và A-môđun P là sinh (Định lý 1); điều này dẫn đến mệnh đề thứ nhất. Mệnh đề thứ hai suy ra từ Bổ đề 2 dưới đây.

Cho $(x_i)_{i\in I}$ là một họ sinh của A-môđun M. Tồn tại một họ $(x^*_i)_{i\in I}$ các dạng tuyến tính trên A-môđun M sao cho với mọi $x\in M$, họ $(\langle x, x^*_i\rangle )_{i\in I}$ có giá hữu hạn và $x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle x_i$ (II, §2, No. 6, p. 238, Mệnh đề 12). Với mọi $i\in I$, ánh xạ $x\mapsto \langle x, x^*_i\rangle_M$ là một dạng tuyến tính trên $A_M$-môđun M, và ta có $x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle_Mx_i$ với mọi $x\in M$. Theo loc. cit., M là một $A_M$-môđun xạ ảnh.

Cho A là một vành, và cho M là một A-môđun sinh; theo định nghĩa, tồn tại một số nguyên $n\geqslant 0$, các phần tử $x_1, . . . , x_n$ của M, và các phần tử $x^*_1, . . . , x^*_n$ của đối ngẫu $M^*$ của M thỏa mãn $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$. Nhắc lại (II, §4, No. 2, p. 271) rằng ta định nghĩa một đồng cấu nhóm $\theta : M^*\otimes_AM\rightarrow$ End$_A(M)$ bởi công thức $\theta (x^*\otimes y)(x) =\langle x, x^*\rangle y$. Nếu $u$ là một phần tử của đối giao hoán tử kép của M, thì nó giao hoán với End$_A(M)$; do đó, với mọi $y\in M$, ta có

Do đó, $u$ thuộc $A_M$, và M là cân bằng.

Điều này là hiển nhiên nếu môđun bằng không, và một môđun tự do khác không là sinh (VIII, p. 81, Ví dụ 2).

Cho M là A-môđun phải $A^n_d$. Nó là cân bằng theo Hệ quả 1. Do đó, các tâm của $A_M, A'_M$ và $A''_M$ trùng nhau. Khi đó Hệ quả 2 suy ra từ việc $A_M$ được đồng nhất với A và $A'_M$ với $\mathbf{M}_n(A)$.

Thật vậy, một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh M là một $A_M$-môđun sinh theo Mệnh đề 3 của VIII, p. 82. Vậy hệ quả suy ra từ nhận xét trên.

Thật vậy, một môđun hữu hạn sinh M trên một miền iđêan chính A là một $A_M$-môđun sinh (VIII, p. 81, Ví dụ 4).

(i) Tồn tại một đa thức P trong K[X] sao cho $v= P(u)$.

(ii) Tự đồng cấu $v$ giao hoán với mọi tự đồng cấu của V giao hoán với $u$.

Lấy A là vành K[X] và M là K[X]-môđun suy ra từ V và $u$ (VII, §5, No. 1, p. 28). Mệnh đề (i) có nghĩa là $v\in K[X]_M$ và (ii) có nghĩa là $v\in K[X]''_M$. Vậy Hệ quả 5 là một trường hợp riêng của Hệ quả 4.

Điều này suy ra từ Ví dụ 3 của VIII, p. 81 và nhận xét.

Xét A-môđun $M =\prod_{i\in I}S_i$. Vì I hữu hạn, ta cũng có $M =\bigoplus_{i\in I}S_i$, và ảnh của $S_i$ trong M là thành phần đẳng kiểu của M kiểu $S_i$. Do đó, các nội cấu của A-môđun M là các ánh xạ $(s_i)\mapsto (s_id_i)$, trong đó $(d_i)_{i\in I}$ chạy qua $\prod_{i\in I}D_i$ (VIII, p. 66, Mệnh đề 5). Vì I hữu hạn và với mọi $i\in I$, không gian vectơ phải trên $D_i$ là $S_i$ hữu hạn chiều, nên môđun đối của M là sinh hữu hạn. Theo Mệnh đề 4, A-môđun M là cân bằng. Bây giờ, đối giao hoán tử kép của A-môđun M gồm các phần tử của End$_{\mathbf{Z}}(M)$ có dạng $\prod_{i\in I}u_i$, trong đó $(u_i)\in \prod_{i\in I}$ End$_{D_i}(S_i)$ (VIII, p. 78, Mệnh đề 1) vì End$_{D_i}(S_i)$ là đối giao hoán tử kép của $S_i$. Hệ quả suy ra từ đó.

Hệ quả này áp dụng được, đặc biệt, khi A là một đại số trên một trường giao hoán K và mỗi $S_i$ là một A-môđun đơn hữu hạn chiều như một không gian vectơ trên K: thật vậy, khi đó $D_i$ chứa các phép vị tự $\alpha_{S_i}$, với $\alpha$ chạy qua K, và $S_i$ là hữu hạn chiều trên $D_i$ vì nó hữu hạn chiều trên K.

Thật vậy, trường các nội cấu của A-môđun S chỉ gồm các phép vị tự $\alpha_S$ với $\alpha \in K$ (VIII, p. 47, Định lý 1). Khi đó áp dụng Hệ quả 1 cho A-môđun đơn S.

b) Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}_M$, B-môđun $V_{\lambda}$ là đơn, và hoán tập của nó bằng $(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$.

c) Ánh xạ $\lambda \mapsto$ cl(V$_{\lambda}$) là một song ánh từ giá của A-môđun M lên giá của môđun đối của nó.

d) Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}_M$, B-môđun con $M_{\lambda}$ là thành phần đẳng kiểu thuộc kiểu $V_{\lambda}$ của B-môđun M, và bội số của $V_{\lambda}$ trong M bằng dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$.

e) Với $s\in S$, ký hiệu ánh xạ $\varphi \mapsto \varphi (s)$ từ $V_{\lambda}=$ Hom$_A(S_{\lambda},M)$ vào M bởi $\widetilde{s}$. Nó là B-tuyến tính. Ánh xạ thu được $s\mapsto \widetilde{s}$ từ $S_{\lambda}$ vào Hom$_B(V_{\lambda},M)$ là một đẳng cấu của các $(A,D_{\lambda})$-song môđun.

Cho $\lambda \in \mathscr{S}_M$. Ký hiệu vành End$_{D_{\lambda}}(V_{\lambda})$ bởi $E_{\lambda}$; vì $V_{\lambda}$ là một không gian vectơ $D_{\lambda}$ khác không, nên nó là một $E_{\lambda}$-môđun đơn, (VIII, p. 45, Ví dụ 3), và hoán tập của nó bằng $(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$ (VIII, p. 82, Hệ quả 1 của Định lý 2). Vì $E_{\lambda}$ là vành các phép vị tự của B-môđun $V_{\lambda}$ (VIII, p. 71, Hệ quả của Mệnh đề 9), điều này chứng minh b).

Mô tả chính tắc $\alpha_M$ của M xác định một đẳng cấu $\alpha_{\lambda}$ từ $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ đến $M_{\lambda}$. Vì $V_{\lambda}$ là một B-môđun đơn, B-môđun $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ là đẳng kiểu kiểu $V_{\lambda}$ (VIII, p. 61, Mệnh đề 1); do đó điều tương tự cũng đúng đối với B-môđun $M_{\lambda}$, điều này chứng minh a).

Theo Nhận xét 1 ở trên, tồn tại các phần tử $e_{\lambda}$ của B, với $\lambda$ chạy qua $\mathscr{S}_M$, sao cho $(e_{\lambda})_{V_{\lambda}}= 1_{V_{\lambda}}$ và $(e_{\lambda})_{V_\mu}$ = 0 với $\mu\in \mathscr{S}_M$ và $\mu\not=\lambda$. Do đó các B-môđun đơn $V_{\lambda}$ đôi một không đẳng cấu, điều này chứng minh c) và mệnh đề thứ nhất của d). B-môđun $M_{\lambda}$ đẳng cấu với $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$, nên dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$ là bội số của $V_{\lambda}$ trong M (II, §3, No. 7, p. 255, Hệ quả 1).

Ánh xạ $\sum_{\lambda\in\mathscr{S}_M}\alpha_{\lambda}$ từ $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ đến M cung cấp một mô tả (VIII, p. 69, Định nghĩa 5) của B-môđun nửa đơn M. Theo VIII, p. 70, Mệnh đề 8, b), với mọi $\lambda \in \mathscr{S}_M$, ánh xạ từ $S_{\lambda}$ đến Hom$_B(V_{\lambda},M)$ được mô tả trong e) là song ánh và $D_{\lambda}$-tuyến tính. Vì nó hiển nhiên là A-tuyến tính, điều này chứng minh e).

b) Với mọi $\lambda \in \mathscr{S}_M,M_{\lambda}$ là một môđun con song $(A,B^o)$ đơn của M.

c) Với mọi môđun con song $(A,B^o)$ N của M, tồn tại một tập con Λ duy nhất của $\mathscr{S}_M$ sao cho N bằng $\oplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$.

Cho $\lambda$ thuộc $\mathscr{S}_M$. A-môđun trái $S_{\lambda}$ và B-môđun phải $V_{\lambda}$ là đơn, và $D_{\lambda}$ là vành đối của trường các tự đồng cấu của $S_{\lambda}$. Theo Hệ quả 2 của VIII, p. 63, $(A,B^o$)-song môđun $S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$ là đơn, và điều tương tự cũng đúng với $M_{\lambda}$, là môđun đẳng cấu với nó. Điều này chứng minh b), và a) suy ra.

Nếu $\lambda$ và $\mu$ phân biệt trong $\mathscr{S}_M$, thì $M_{\lambda}$ và $M_\mu$ không đẳng cấu như các A-môđun, và do đó a fortiori cũng không đẳng cấu như các $(A,B^o$)-song môđun. Mệnh đề c) suy ra từ Hệ quả 2 của VIII, p. 68.

b) Trang bị cho các $S_{\lambda}$, với $\lambda$ chạy qua $\mathscr{S}_M$, cấu trúc C-môđun được xác định bởi a). Khi đó ánh xạ chính tắc $\alpha_M$ từ $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$ tới M là một đẳng cấu của các $(C,B^o)$-song môđun.

c) Ánh xạ $c\mapsto (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ là một đẳng cấu từ C lên $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ End$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$.

Các khẳng định a) và c) suy ra từ VIII, p. 71, Mệnh đề 9 vì ánh xạ chính tắc $\alpha_M$ từ $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}}(S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}W_{\lambda})$ lên M cho một mô tả của B-môđun M (Nhận xét 2). Hơn nữa, $\alpha_M$ là $(C,B^o$)-tuyến tính, điều này chứng minh b).

b) A-môđun M là đẳng kiểu và khác không khi và chỉ khi Z là một trường.

c) Cho Λ là một tập con của $\mathscr{S}_M$. Ký hiệu bởi $e_{\Lambda}$ phần tử duy nhất của Z sao cho $(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 1_{S_{\lambda}}$ với $\lambda \in \Lambda$ và $(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 0$ với $\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$. Ta có $(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 1_{M_{\lambda}}$ với $\lambda \in \Lambda$ và $(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 0$ với $\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$.

d) Nếu giá $\mathscr{S}_M$ của M là hữu hạn, thì ánh xạ $\Lambda \mapsto e_{\Lambda}Z$ là một song ánh từ tập hợp các tập con của $\mathscr{S}_M$ lên tập hợp các iđêan của Z, và ánh xạ $\mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}M$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan của Z lên tập hợp các môđun con song $(A,B^o)$ của M. Các song ánh này là các đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự. Song ánh ngược gửi một môđun con song $(A,B^o)$ N của M tới iđêan gồm các phần tử $z$ của Z mà gửi N vào M.

Với $\lambda \in \mathscr{S}_M, Z_{\lambda}$ là tâm chung của hoán tập $D_{\lambda}$ và đối giao hoán tử kép $C_{\lambda}$ của A-môđun $S_{\lambda}$. Theo Mệnh đề 7, c) ở trên, ánh xạ $c\mapsto (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ là một đẳng cấu từ C lên $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}C_{\lambda}$. Bằng cách hạn chế vào các tâm, ta thu được đẳng cấu $z\mapsto (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ từ Z lên $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$, do đó a).

Vành $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$ là một trường khi và chỉ khi tập hợp $\mathscr{S}_M$ chỉ có một phần tử, do đó b).

Mệnh đề c) suy ra từ Mệnh đề 7, a). Giả sử rằng $\mathscr{S}_M$ là hữu hạn. Từ a) và Mệnh đề 8 của I, §8, No. 10, p. 109, suy ra rằng ánh xạ $\Lambda \mapsto e_{\Lambda}Z$ là một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ $\mathfrak{P}(\mathscr{S}_M)$ lên tập hợp các iđêan của Z. Cho Λ là một tập con của $\mathscr{S}_M$. Theo c), ta có quan hệ $e_{\Lambda}$ZM $=e_{\Lambda}M =$ $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$; do Mệnh đề 6, c) của VIII, p. 86, còn lại là mô tả song ánh ngược. Nhưng $z\in Z$ biến M vào $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$ khi và chỉ khi $z=e_{\Lambda}z$, tức là, $z\in e_{\Lambda}Z$.

Vì M là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K đồng thời là tổng trực tiếp của họ các môđun con khác không $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$, tập hợp $\mathscr{S}_M$ là hữu hạn, và mỗi không gian $S_{\lambda}$, với $\lambda \in \mathscr{S}_M$, đều hữu hạn chiều trên K. Vì trường K là đóng đại số, ta có $D_{\lambda}= Z_{\lambda}= K$ (VIII, p. 47, Định lý 1), và ánh xạ $z\mapsto (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ là một đẳng cấu từ Z lên $K^{\mathscr{S}_M}$ (Mệnh đề 8, a)). Khi đó hệ quả suy ra từ phần c) của Mệnh đề 8.

(D) Với mọi tập con hữu hạn F của M, tồn tại một phần tử $a$ của A sao cho $c$ trùng với $a_M$ trên F.

Trước hết, giả sử rằng $c$ thỏa mãn điều kiện (D). Cho $u$ là một phần tử của $A'_M$. Cho $x$ là một phần tử của M, và áp dụng điều kiện (D) cho tập con $F =\{x, u(x)\}$. Tồn tại một phần tử $a$ của A sao cho $c(x) =ax$ và $c(u(x)) =au(x)$, do đó $u(c(x)) =u(ax) =au(x) =c(u(x))$. Vì $x$ là tùy ý, ta có $cu=uc$; do điều này đúng với mọi $u$, suy ra $c\in A''_M$.

Để chứng minh đảo lại, ta dùng bổ đề sau.

Cho N là một A-môđun con của M. Theo Hệ quả 2 của VIII, p. 56, tồn tại một phép chiếu $p$ của A-môđun M có ảnh là N; nó thuộc về $A'_M$. Vì ta có quan hệ $pb=bp$ với mọi $b\in B$, suy ra N là một B-môđun con của M.

Hãy kết luận chứng minh của Định lý 3. Giả sử rằng $c$ thuộc $A''_M$, và đặt F = $\{x_1, . . . , x_n\}$ là một tập con hữu hạn của M. Ký hiệu phần tử $(x_1, . . . , x_n)$ của $M^n$ bởi $x$. A-môđun $M^n$ là nửa đơn và, theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 79, đối giao hoán tử kép của nó trùng với các phép vị tự của $A''_M$-môđun $M^n$. Theo Bổ đề 3, A-môđun con $Ax$ của $M^n$ là một $A''_M$-môđun con của $M^n$. Lấy $a\in A$ sao cho $(cx_1, . . . , cx_n)$ bằng $ax$. Khi đó $c$ trùng với $a_M$ trên $\{x_1, . . . , x_n\}$, điều này kéo theo điều kiện (D).