Bài tập 16, § 14

Giữ ký hiệu của Bài tập 15, và giả sử thêm rằng V có hữu hạn chiều trên D. Một vành con B của A được gọi là yếu Galois (tương ứng Galois) trong A nếu hoán tập $B'$ của nó trong Ω được sinh, như một không gian vectơ trên D (trái hoặc phải), bởi các ánh xạ nửa tuyến tính (tương ứng song ánh) từ V vào chính nó. Ký hiệu DB là vành con của Ω được sinh bởi D và B.

a) Chứng minh rằng nếu B là đơn và yếu Galois, thì V là một môđun nửa đơn có độ dài hữu hạn trên DB. (Cho W là một thành phần đẳng kiểu của B-môđun V và S là một DB-môđun con đơn của W. Cho Σ là tập hợp các ánh xạ nửa tuyến tính $v$ thuộc $B'$. Nhận xét rằng $v(S)$ là một DB-môđun đối với $v\in \Sigma$ và suy ra từ Hệ quả 3 của VIII, p. 56 rằng W được chứa trong tổng của các $v(S)$ đối với $v\in \Sigma .$)

b) Giả sử rằng vành B là đơn và Galois yếu và rằng hoán tập $B'_0$ của nó trong A là đơn. Chứng minh rằng V là một môđun DB đẳng kiểu (nhận thấy rằng $B'_0$ là hoán tập của DB trong Ω, và sử dụng Mệnh đề 5 của VIII, p. 85). Suy ra rằng B là Galois. (Cho $v$ là một phần tử khác không của Σ và $V =\bigoplus^n_{i=1}V_i$ là một phân tích của V thành tổng trực tiếp của các môđun DB đơn đẳng cấu sao cho $W_1=v(V_1)$ là khác không. Nhận thấy rằng tồn tại các môđun DB đơn $W_i$ (với $2\leqslant i\leqslant n$) đẳng cấu với $W_1$ sao cho $V =\bigoplus^n_{i=1}W_i$, và suy ra một song ánh nửa tuyến tính $w\in B'$ trùng với $v$ trên $V_1$ và sao cho $vw^{-1}$ thuộc về $B'_0$. Kết luận bằng cách nhận thấy rằng mọi phần tử của một vành đơn đều là một tổng của các phần tử khả nghịch.)