Exercice 16, § 14

On conserve les notations de l’exerc. 15, en supposant de plus V de dimension finie sur D. On dit qu’un sous-anneau B de A est faiblement galoisien (resp. galoisien) dans A si son commutant $B'$ dans Ω est engendré en tant que D-espace vectoriel (à gauche ou à droite) par des applications (resp. des bijections) semi-linéaires de V dans lui-même. On note DB le sous-anneau de Ω engendré par D et B.

a) Prouver que si B est simple et faiblement galoisien, V est un module semi-simple de longueur finie sur DB (soient W un composant isotypique du B-module V et S un sousDB-module simple de W. Soit Σ l’ensemble des applications semi-linéaires $v$ appartenant à $B'$; observer que $v(S)$ est un DB-module pour $v\in \Sigma$ et déduire du cor. 3 de VIII, p. 52 que W est contenu dans la somme des $v(S)$ pour $v\in \Sigma$ ).

b) On suppose que l’anneau B est simple et faiblement galoisien et que son commutant $B'_0$ dans A est simple ; prouver que V est un DB-module isotypique (remarquer que $B'_0$ est le commutant de DB dans Ω et utiliser la prop. 5 de VIII, p. 80). En déduire que B est galoisien (soient $v$ un élément non nul de Σ, et $V =\bigoplus^n_{i=1}V_i$ une décomposition de V en somme directe de DB-modules simples isomorphes, telle que $W_1=v(V_1)$ soit non nul ; observer qu’il existe des DB-modules simples $W_i(2\leqslant i\leqslant n)$ isomorphes à $W_1$ tels que $V =\bigoplus^n_{i=1}W_i$ et en déduire une bijection semi-linéaire $w\in B'$ coïncidant avec $v$ dans $V_1$ et telle que $vw^{-1}$ appartienne à $B'_0$. Conclure en observant que tout élément d’un anneau simple est somme d’éléments inversibles).