Bài tập 16, § 21

Giả sử rằng đặc số của K là không. Ta nói rằng một phần tử $x$ của K là nguyên trên $\mathbf{Z}$ nếu nó thuộc về một vành con của K là một môđun $\mathbf{Z}$ sinh hữu hạn hoặc, tương đương, nếu vành con $\mathbf{Z}[x]$ của K là một môđun $\mathbf{Z}$ sinh hữu hạn $*$(xem

Comm. Alg., V, §1, No. 1, p. $303)*$.

a) Chứng minh rằng tập hợp các phần tử của K nguyên trên $\mathbf{Z}$ là một vành con của K (đối với $x, y$ nguyên trên $\mathbf{Z}$, xét vành con $\mathbf{Z}[x, y]$).

b) Một phần tử $x$ của K là nguyên trên$\mathbf{Z}$ khi và chỉ khi nó là một nghiệm của một đa thức đơn khởi trong $\mathbf{Z}[X]$ (khi $x$ là nguyên, thích nghi chứng minh của Bổ đề 1 của VIII, p. 81 để chỉ ra rằng nó thỏa mãn một phương trình có dạng det($xI_m-A$) = 0 với $A\in \mathbf{M}_m(\mathbf{Z})$).

c) Nếu $x$ là nguyên trên $\mathbf{Z}$, thì điều tương tự cũng đúng đối với các phần tử liên hợp của nó $x_1, . . . , x_m$ trên $\mathbf{Q}$; phần tử $x_1\cdots x_m$ thuộc về $\mathbf{Z}$ (sử dụng bổ đề của VIII, p. 416).