Exercice 16, § 21

On suppose que la caractéristique de K est nulle. On dit qu’un élément $x$ de K est entier sur $\mathbf{Z}$s’il appartient à un sous-anneau de K qui est un $\mathbf{Z}$-module de type fini, ou de manière équivalente si le sous-anneau $\mathbf{Z}[x]$ de K est un $\mathbf{Z}$-module de type fini $*($cf. AC, V, p. $5)*$.

a) Prouver que l’ensemble des éléments de K entiers sur $\mathbf{Z}$est un sous-anneau de K (si $x, y$ sont entiers sur $\mathbf{Z}$, considérer le sous-anneau $\mathbf{Z}[x, y]$).

b) Pour qu’un élément $x$ de K soit entier sur $\mathbf{Z}$, il faut et il suffit qu’il soit racine d’un polynôme unitaire de $\mathbf{Z}[X]$ (si $x$ est entier, démontrer en adaptant la démonstration du lemme 1 de VIII, p. 77, qu’il vérifie une équation de la forme det($xI-A$) = 0, avec $A\in \mathbf{M}_m(\mathbf{Z})$).

c) Si $x$ est entier sur $\mathbf{Z}$, il en est de même de ses conjugués $x_1, . . . , x_m$ sur $\mathbf{Q}$; l’élément $x_1. . . x_m$ appartient à $\mathbf{Z}$(utiliser le lemme de VIII, p. 406).