§ 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Trong tiết này, G là một nhóm, và K là một vành giao hoán. Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì ta ký hiệu bởi $|G|$ phần tử Card(G) $\cdot 1$ của K. Từ No. 5 trở đi, ta giả sử rằng nhóm G là hữu hạn, vành K là một trường đóng đại số, và $|G|$ khác không.

1. Các biểu diễn tuyến tính

Định nghĩa 1 00NC

Cho M là một K-môđun. Một biểu diễn tuyến tính của G trong M là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm tuyến tính $\mathbf{G}\mathbf{L}(M)$ (II, §1, No. 2, p. 195).

Trích dẫn đến 7

Trích dẫn đến II § 1. Môđun, III § 2. Ví dụ về các đại số, Định nghĩa 1, VIII § 20, Mệnh đề 3, II § 4, VIII § 20. Biểu diễn tuyến tính của đại số, Mệnh đề 1, III § 9, Mệnh đề 21, II § 1

Cho $\pi$ là một biểu diễn tuyến tính của G trong một K-môđun M. Ta cũng nói rằng cặp $(M, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G. Khi K khác không và M là một K-môđun tự do, chiều của M được gọi là bậc (hoặc chiều) của biểu diễn $\pi$ .

Nhắc lại rằng ánh xạ chính tắc $g\mapsto e_g$ từ G vào đại số K[G] của nhóm G là một cơ sở của K-môđun K[G]. Do lạm dụng ký hiệu, ta cũng ký hiệu phần tử $e_g$ của K[G] bởi $g$ . Cho một biểu diễn tuyến tính $\pi : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(M)$ của G, tồn tại một đồng cấu đại số trên K duy nhất từ K[G] vào End $_K(M)$ mở rộng $\pi$ (III, §2, No. 6, p. 447, Ví dụ); ta cũng ký hiệu phần mở rộng này bởi $\pi$ . Đây là một biểu diễn của đại số K[G] trong M (VIII, p. 373, Định nghĩa 1), do đó M là một K[G]-môđun. Ngược lại, mọi biểu diễn tuyến tính $\rho$ của đại số K[G] trong M xác định một biểu diễn tuyến tính của G trong M bởi $g\mapsto \rho (g)$ .

Ta sẽ tự do áp dụng thuật ngữ liên quan đến cấu trúc K[G]-môđun cho các biểu diễn tuyến tính của nhóm G. Chẳng hạn, ta nói về một biểu diễn con, một biểu diễn đơn, một tổng trực tiếp của các biểu diễn, v.v. Cho $(M, \pi )$ và $(M', \pi ')$ là các biểu diễn tuyến tính của G; ta ký hiệu Hom $_G(\pi , \pi ')$ là K-môđun Hom $_{K[G]}(M,M')$ của các đồng cấu K[G]-môđun từ M đến $M'$ .[^1]

Một ánh xạ $f$ từ G vào K được gọi là một hàm trung tâm nếu ta có $f(gg') =$ $f(g'g)$ với mọi cặp $(g, g')$ các phần tử của G; tương đương, ta có $f(ghg^{-1}) =$ $f(h)$ với mọi cặp phần tử $g, h$ của G. Do đó các hàm trung tâm là các hàm trên G mà hạn chế của chúng trên mỗi lớp liên hợp là hằng. Chúng tạo thành một môđun con của không gian các ánh xạ từ G vào K, được ký hiệu bởi $\mathscr{Z}_K(G)$ . Khi G hữu hạn, đại số K $\mathscr{Z}_K(G)$ là một K-môđun tự do có chiều là số các lớp liên hợp của G. Tâm Z(K[G]) của đại số K[G] gồm các phần tử $a=\sum a_gg$ của K[G] sao cho $hah^{-1}=a$ với mọi $h\in G$ . Khi đó, ta có

hah^{-1}=\sum_{g\in G}a_{h^{-1}gh}g

do đó, khi G hữu hạn, tâm Z(K[G]) của đại số K[G] gồm các hàm trung tâm.

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G. Giả sử rằng M là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Vết của $\pi$ là vết của biểu diễn của K[G] liên kết với $\pi$ , tức là (VIII, p. 382), dạng tuyến tính $a\mapsto$ Tr( $\pi (a)$ ) trên K[G]. Dạng tuyến tính này được xác định bởi ánh xạ $g\mapsto$ Tr( $\pi (g)$ ) từ G vào K, mà ta gọi là đặc trưng của biểu diễn $\pi$ và ký hiệu bởi $\chi_{\pi}$ . Đặc trưng của một biểu diễn là một hàm trung tâm (II, §4, No. 3, p. 273, Mệnh đề 3).

Cho M và $M'$ là các K-môđun tự do hữu hạn chiều. Cho $\pi$ và $\pi '$ lần lượt là các biểu diễn tuyến tính của G trong M và $M'$ . Khi đó $M\oplus M'$ là một K-môđun tự do hữu hạn chiều, và, theo Mệnh đề 1 của III, §9, No. 2, p. 543, ta có

\chi_{\pi\oplus\pi'}=\chi_{\pi}+\chi_{\pi'}

Tổng quát hơn, cho

0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0

là một dãy khớp của các K[G]-môđun, và cho $\pi ,\pi '$ , và $\pi ''$ lần lượt là các biểu diễn tuyến tính của G liên kết với $M, M'$ , và $M''$ . Giả sử rằng các K-môđun $M'$ và $M''$ là tự do và hữu hạn chiều. Khi đó M cũng vậy (II, §1, No. 11, p. 218, Mệnh đề 21), và ta có

\chi_{\pi}=\chi_{\pi'}+\chi_{\pi''} \tag{1}

Mệnh đề 1 00ND

Giả sử rằng K là một trường giao hoán. Cho $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn K-tuyến tính nửa đơn hữu hạn chiều của G.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến VIII § 20. Biểu diễn tuyến tính của đại số, Hệ quả 1, VIII § 20

a) Nếu các đa thức đặc trưng của $\pi (g)$ và $\pi '(g)$ là như nhau với mọi $g\in G$ , thì các biểu diễn $\pi$ và $\pi '$ là đẳng cấu.

b) Hơn nữa, giả sử rằng K có đặc số 0. Nếu các đặc trưng $\chi_{\pi}$ và $\chi_{\pi'}$ bằng nhau, thì các biểu diễn $\pi$ và $\pi '$ là đẳng cấu.

Mệnh đề a) suy ra từ Hệ quả 1 của VIII, p. 386; mệnh đề b) suy ra từ phần a) của hệ quả của VIII, p. 384.

Ví dụ 1 00NE

Biểu diễn đơn vị hay tầm thường của G là biểu diễn $(K, \varepsilon )$ , trong đó $\varepsilon (g) =$ Id $_K$ với mọi $g\in G$ . Đặc trưng của nó là hàm hằng có giá trị 1.

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Ví dụ 2 00NF

Biểu diễn chính quy (trái) của G là biểu diễn $\boldsymbol{\gamma }$ của G trong K[G] được định nghĩa bởi $\boldsymbol{\gamma }(g)(x) =gx$ với $g\in G$ và $x\in K[G]$ . Nó tương ứng với biểu diễn chính quy trái của đại số K[G] (VIII, p. 375). Giả sử rằng nhóm G là hữu hạn. Khi đó biểu diễn chính quy có bậc hữu hạn. Với mọi phần tử $g$ của G khác phần tử đơn vị, ma trận của phép nhân trái bởi $g$ trong K[G] đối với cơ sở chính tắc là ma trận của một phép hoán vị không có điểm bất động. Do đó ta có

$|G|$ nếu $g$ là phần tử đơn vị,

\chi_{\boldsymbol{\gamma }}(g) = \tag{2}

0 trong trường hợp khác.

Ta định nghĩa biểu diễn chính quy phải của G tương tự. Biểu diễn chính quy hai phía của G là biểu diễn $\rho$ của $G\times G$ trong K[G] được định nghĩa bởi $\rho (g, g')(x) =gxg^{'-1}$ với $(g, g')\in G\times G$ và $x\in K[G]$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến VIII § 20. Biểu diễn tuyến tính của đại số

Ví dụ 3 00NG

Cho một biểu diễn tuyến tính $(M, \pi )$ của G, biểu diễn đối ngẫu hay đối ngẫu $\pi^{\vee}$ của $\pi$ là biểu diễn của G trong K-môđun đối ngẫu với M được định nghĩa bởi quan hệ $\pi^{\vee}(g) =^t\pi (g^{-1})$ với mọi $g\in G$ (cf. II, §2, No. 5, p. 234). Nếu M là một K-môđun tự do hữu hạn chiều, thì đối ngẫu của nó cũng vậy, và ta có $\chi_{\pi^{\vee}}(g) =\chi_{\pi}(g^{-1})$ với mọi $g\in G$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến II § 2. Môđun các ánh xạ tuyến tính. Đối ngẫu

Ví dụ 4 00NH

Cho $(M, \pi )$ và $(M', \pi ')$ là các biểu diễn tuyến tính của G. Trong Ví dụ 1 của VIII, p. 198, ta đã định nghĩa một cấu trúc K[G]-môđun trên $M\otimes_KM'$ . Biểu diễn tuyến tính tương ứng được gọi là tích tenxơ của $\pi$ và $\pi '$ và được ký hiệu bởi $\pi \otimes \pi '$ . Với $g\in G,x\in M$ , và $x'\in M'$ , ta có $((\pi \otimes \pi ')(g))(x\otimes x') =\pi (g)x\otimes \pi '(g)x'$ .

Nếu M và M' là các K-môđun tự do hữu hạn chiều, thì theo Mệnh đề 2 của III, §9, No. 2, p. 543, ta có

(3)

\chi_{\pi \otimes \pi'} = \chi_{\pi} \chi_{\pi'}.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Ví dụ 1, VIII § 11, Mệnh đề 2, III § 9

Ví dụ 5 00NI

Giả sử G là tích $G' \times G''$ của hai nhóm. Ánh xạ K-tuyến tính từ $K[G'] \otimes_K K[G'']$ vào $K[G]$ gửi $g' \otimes g''$ vào $(g', g'')$ với $g' \in G'$ và $g'' \in G''$ là một đẳng cấu đại số. Cho $(M', \pi')$ là một biểu diễn tuyến tính của $G'$ và $(M'', \pi'')$ là một biểu diễn tuyến tính của $G''$ . Tích tenxơ ngoài của $\pi'$ và $\pi''$ , ký hiệu bởi $\pi' \otimes \pi''$ , là biểu diễn của $G' \times G''$ trong không gian vectơ $M' \otimes M''$ được định nghĩa bởi $(\pi' \otimes \pi'')(g', g'') = \pi'(g') \otimes \pi''(g'')$ với $(g', g'') \in G' \times G''$ . Nếu $M'$ và $M''$ là các K-môđun tự do hữu hạn chiều, thì $M' \otimes_K M''$ là một K-môđun tự do hữu hạn chiều và đặc trưng của biểu diễn $\pi' \otimes \pi''$ được cho bởi công thức

\chi_{\pi' \otimes \pi''}(g', g'') = \chi_{\pi'}(g') \chi_{\pi''}(g'')

với

g' \in G'

và

g'' \in G''

(Mệnh đề 2 của III, §9, No. 2, p. 542).

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 2, III § 9

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Ví dụ 6 00NJ

Cho $(V, \pi)$ là một biểu diễn tuyến tính của G sao cho V là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Ta định nghĩa một biểu diễn $\rho$ của $G \times G$ trong $\operatorname{End}_K(V)$ bởi công thức

\rho(g, g')(u) = \pi(g') \circ u \circ \pi(g^{-1}).

Đẳng cấu K-môđun

\theta_V : V^* \otimes_K V \to \operatorname{End}_K(V)

của II, §4, No. 2, p. 271 là một đẳng cấu của các biểu diễn từ tích tenxơ ngoài

\pi^\vee \otimes \pi

vào

\rho

. Ánh xạ

g \mapsto \rho(1, g)

(tương ứng

g \mapsto \rho(g, 1)

) là một biểu diễn của G đẳng cấu với

\pi^{\dim_K V}

(tương ứng

(\pi^\vee)^{\dim_K V}

Cho L là một đại số giao hoán trên K, và cho $(M, \pi)$ là một biểu diễn tuyến tính của nhóm G. Đồng cấu nhóm $\pi_{(L)} : G \to \mathbf{GL}(M_{(L)})$ được định nghĩa bởi $g \mapsto \operatorname{Id}_L \otimes \pi(g)$ là một biểu diễn tuyến tính của G trong L-môđun $M_{(L)}$ , được gọi là biểu diễn tuyến tính của G suy ra từ biểu diễn $\pi$ bằng mở rộng vành các vô hướng từ K đến L.

Giả sử rằng K là một trường và L là một đại số giao hoán khác không trên K. Cho $(M, \pi)$ và $(M', \pi')$ là các biểu diễn tuyến tính của G. Các biểu diễn $\pi$ và $\pi'$ đẳng cấu khi và chỉ khi $\pi_{(L)}$ và $\pi'_{(L)}$ đẳng cấu (VIII, p. 37, Định lý 3).

Giả sử thêm rằng đại số L là một mở rộng của K. Xét các vành $R_K(G)$ và $R_L(G)$ được định nghĩa trong Ví dụ 1 của VIII, p. 198. Mở rộng vô hướng xác định một đồng cấu vành

u : R_K(G) \longrightarrow R_L(G).

Đồng cấu này là đơn ánh, và một phần tử $\xi \in R_K(G)$ là hiệu dụng khi và chỉ khi $u(\xi )$ là hiệu dụng (VIII, p. 195, Định lý 1).

Trích dẫn đến 4 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến II § 4. Các quan hệ giữa các tích tenxơ và các môđun đồng cấu, Định lý 3, VIII § 2, Ví dụ 1, VIII § 11, Định lý 1, VIII § 11

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 10

2. Định lý Maschke

Định lý 1 00NK

Giả sử nhóm G là hữu hạn. Cho M là một K[G]-môđun, và cho N là một K[G]-môđun con của M. Giả sử N là một nhân tử trực tiếp của K-môđun M và $|G|$ là khả nghịch trong K. Khi đó N là một nhân tử trực tiếp của K[G]-môđun M.

Được trích dẫn bởi 3

Được trích dẫn bởi Bài tập 1, § 21, Hệ quả 1 (Maschke), Hệ quả 2

Cho $p$ là một phép chiếu K-tuyến tính trong M có ảnh N. Ta định nghĩa một tự đồng cấu $q$ của K-môđun M bằng cách đặt

q(x) =|G|^{-1}\sum_{g\in G}g p(g^{-1}x)

với mọi $x\in M$ . Vì N ổn định dưới tác động của G và $p$ cảm sinh đồng nhất trên N, ta thấy rằng $q$ gửi M vào N và cảm sinh đồng nhất trên N.

Môđun K của M do đó là tổng trực tiếp của ảnh N của $q$ và hạt nhân của $q$ . Ta có $g q(x) =q(gx)$ với mọi $x\in M$ và $g\in G$ , sao cho hạt nhân của $q$ là một môđun con K[G] của M. Điều này chứng minh rằng N là một nhân tử trực tiếp của môđun K[G] M.

Hệ quả 1 (Maschke) 00SC

Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán. Đại số K[G] là nửa đơn khi và chỉ khi phần tử $|G|$ của trường K là khác không.

Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Định lý 1, Nhận xét 1, VIII § 9, Mệnh đề 3, VIII § 9

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Ví dụ, VIII § 8

Giả sử $|G| \not= 0$ . Theo Định lý 1, mọi môđun con K[G] của $K[G]_s$ là một nhân tử trực tiếp. Do đó K[G] là nửa đơn.

Ngược lại, giả sử $|G|$ là không, và ký hiệu $\varepsilon$ là phần tử $\sum_{g\in G}g$ của tâm của K[G]. Ta có $\varepsilon \not= 0$ nhưng $\varepsilon^2=|G|\varepsilon = 0$ , do đó K[G] không là nửa đơn (VIII, p. 153, Mệnh đề 3, a) và VIII, p. 157, Nhận xét 1).

Hệ quả 2 00NL

Giả sử nhóm G là hữu hạn và $|G|$ là khả nghịch trong K. Một dãy khớp của các môđun K[G] tách khi và chỉ khi nó tách như một dãy khớp của các môđun K.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Định lý 1

Được trích dẫn bởi Hệ quả 3

Cho một dãy khớp của các môđun K[G]

0 // ${M'}^f$ // M // $M''$ // $0$ ,

chỉ cần áp dụng Định lý 1 cho ảnh của cấu xạ $f$ .

Hệ quả 3 00NM

Giả sử nhóm G là hữu hạn và $|G|$ là khả nghịch trong K. Một môđun K[G] là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là xạ ảnh như một môđun K.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 4, II § 2, Hệ quả 2

Cho P là một môđun K[G]. Nếu P là một nhân tử trực tiếp của một môđun K[G] tự do M, thì nó a fortiori là một nhân tử trực tiếp của môđun K tự do M. Điều đảo lại suy ra từ Hệ quả 2, xét II, §2, No. 2, p. 231, Mệnh đề 4, d).

Hệ quả 4 00NN

a) Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán có đặc số 0. Hai biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng đặc trưng.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến VIII § 20. Biểu diễn tuyến tính của đại số

b) Giả sử K là một trường hoàn hảo có đặc số là một số nguyên tố $p$ và nhóm G là hữu hạn, có lực lượng nguyên tố cùng nhau với $p$ . Đặc trưng của một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G là không khi và chỉ khi biểu diễn này là đẳng cấu với tổng trực tiếp của $p$ biểu diễn từng đôi một đẳng cấu.

Theo các giả thiết của hệ quả, mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G là nửa đơn. Hệ quả khi đó suy ra từ hệ quả của VIII, p. 384.

Hệ quả 5 00NO

Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán trong đó $|G| \not= 0$ . Cho $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Khi đó $\pi$ và $\pi '$ đẳng cấu khi và chỉ khi với mọi $g$ trong G, các tự đồng cấu $\pi (g)$ và $\pi '(g)$ có cùng đa thức đặc trưng.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Hệ quả 1, VIII § 20

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Điều này suy ra từ Hệ quả 1 của VIII, p. 386.

3. Các biểu diễn cảm sinh và đối cảm sinh

Cho H là một nhóm con của nhóm G.

Nếu $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G, thì hạn chế của $\pi$ lên H là một biểu diễn tuyến tính của H trong V; ta ký hiệu nó là Res $^G_H(\pi )$ . Môđun K[H] liên kết với Res $^G_H(\pi )$ đơn giản là môđun suy ra từ môđun K[G] V bằng phép hạn chế vô hướng (II, §1, No. 13, p. 221). Nếu V là một K-môđun tự do hữu hạn chiều, thì đặc trưng của Res $^G_H(\pi )$ là hạn chế của đặc trưng của $\pi$ lên H.

Cho $(M, \sigma )$ là một biểu diễn của H.

Ta xem K[G] như một song môđun $(K[G]$ , K[H])-song môđun và M như một môđun K[H]. Môđun K[G] $\mathscr{T}(M) = K[G]\otimes_{K[H]}M$ (VIII, p. 58) xác định một biểu diễn tuyến tính của G, được ký hiệu là Ind $^G_H(\sigma )$ và được gọi là biểu diễn của G cảm sinh bởi $\sigma$ . Nếu $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G, thì môđun K[H] $\mathscr{H}(V) =$ Hom $_{K[G]}(K[G],V)$ có thể được đồng nhất với môđun K[H] tương ứng với biểu diễn Res $^G_H(\pi )$ . Do đó, phép nối cấu xạ (VIII, p. 59) cho một đẳng cấu môđun K, được gọi là chính tắc, từ Hom $_H(\sigma$ , Res $^G_H(\pi ))$ tới Hom $_G$ (Ind $^G_H(\sigma ), \pi$ ) (“luật tương hỗ Frobenius”).

Ta xem K[G] như một $(K[H]$ , K[G])-song môđun. Môđun K[G] $\mathscr{H}(M) =$ Hom $_{K[H]}(K[G],M)$ xác định một biểu diễn của G, ký hiệu là Coind $^G_H(\sigma )$ và được gọi là biểu diễn của G đối cảm sinh bởi $\sigma$ . Nếu $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G, thì K[H]-môđun $\mathscr{T}(V) = K[G]\otimes_{K[G]}V$ có thể được đồng nhất với K[H]-môđun tương ứng với biểu diễn Res $^G_H(\pi )$ . Do đó, cấu xạ nối (loc. cit.) cho một đẳng cấu K-môđun, được gọi là chính tắc, từ Hom $_H$ (Res $^G_H(\pi ), \sigma$ ) đến Hom $_G(\pi$ , Coind $^G_H(\sigma ))$ .

Cho $\varepsilon : K[G]\rightarrow K[H]$ là đồng cấu K-môđun được đặc trưng bởi các quan hệ $\varepsilon (h) =h$ nếu $h\in$ H và $\varepsilon (g) = 0$ nếu $g\in G$ - H. Ánh xạ $\varepsilon$ là một đồng cấu của các $(K[H]$ , K[H])-song môđun. Cho $(M, \sigma )$ là một biểu diễn tuyến tính của H. Ánh xạ $v\mapsto v\circ \varepsilon$ từ Hom $_{K[H]}(K[H],M)$ đến Hom $_{K[H]}(K[G],M)$ là một đồng cấu của các K[H]-môđun. Bằng cách đồng nhất M với Hom $_{K[H]}(K[H],M)$ , ta thu được một đồng cấu của các K[H]-môđun từ M đến Res $^G_H$ (Coind $^G_H(\sigma )$ ). Luật tương hỗ Frobenius gửi nó thành một đồng cấu $\iota$ của các K[G]-môđun từ Ind $^G_H(\sigma )$ đến Coind $^G_H(\sigma )$ được đặc trưng bởi quan hệ

\iota (g\otimes m)(g') =\varepsilon (g'g)m

với $g, g'\in G$ và $m\in M$ . Đồng cấu này được gọi là chính tắc.

Mệnh đề 2 00NP

Cho H là một nhóm con của G, và cho $(M, \sigma )$ là một biểu diễn tuyến tính của H. Đồng cấu chính tắc $\iota :$ Ind $^G_H(\sigma )\rightarrow$ Coind $^G_H(\sigma )$ là đơn ánh. Nếu nhóm con H có chỉ số hữu hạn trong G, thì $\iota$ là một đẳng cấu của các K[G]-môđun.

Cho $S\subset G$ là một hệ các đại diện của $G/H$ . Họ $(s)_{s\in S}$ là một cơ sở của K[H]-môđun phải K[G]. Suy ra rằng ánh xạ $M^{(S)}\rightarrow$ Ind $^G_H(\sigma )$ được xác định bởi $(m_s)_{s\in S}\mapsto \sum_{s\in S}s\otimes m_s$ là một đẳng cấu K-môđun. Với mọi $s, s'\in S$ và mọi $m\in M$ , ta có các quan hệ

\iota (s'\otimes m)(s^{-1}) =\begin{cases} m & \text{nếu } s=s',\\ 0 & \text{ngược lại.}\end{cases}

Suy ra rằng $\iota '$ là đơn ánh.

Giả sử H có chỉ số hữu hạn trong G. Khi đó tập hợp S là hữu hạn; gọi $\rho$ là ánh xạ từ Coind $^G_H(\sigma )$ đến Ind $^G_H(\sigma )$ cho bởi $u\mapsto \sum_{s\in S}s\otimes u(s^{-1})$ . Nó thỏa mãn $(\iota \circ \rho (u))(s^{-1}) =u(s^{-1})$ với $u\in$ Coind $^G_H(\sigma )$ và $s\in S$ . Vì họ $(s^{-1})_{s\in S}$ là một cơ sở của K[H]-môđun trái K[G], nên ánh xạ $\iota \circ \rho$ là ánh xạ đồng nhất. Do đó, $\iota$ là song ánh với song ánh ngược $\rho$ .

Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Cho $u$ là một hàm trung tâm trên H; ký hiệu $u^0$ là hàm trên G kéo dài $u$ và bằng không tại mọi điểm của G - H. Cho S là một hệ đại diện của $G/H$ . Với $g\in G$ , đặt

(4) Ind $^G_H(u)(g) =\sum_{s\in S}u^0(s^{-1}gs)$ .

Chú ý rằng với mọi $x, g\in G$ và mọi $h\in H$ , ta có $u^0((xh)^{-1}gxh) =$ $u^0(x^{-1}gx)$ . Suy ra rằng Ind $^G_H(u)$ là một hàm trung tâm trên G không phụ thuộc vào lựa chọn S. Do đó ta định nghĩa một ánh xạ K-tuyến tính Ind $^G_H$ từ $\mathscr{Z}_K(H)$ vào $\mathscr{Z}_K(G)$ .

Mệnh đề 3 00NQ

Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Cho $(M, \sigma )$ là một biểu diễn tuyến tính của H. Giả sử rằng M là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Ký hiệu $(V, \pi )$ là biểu diễn của G cảm sinh bởi $\sigma$ . Khi đó K-môđun V là tự do và hữu hạn chiều, và

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

(5) $\chi_{\pi}=$ Ind $^G_H(\chi_{\sigma})$ .

Cho S là một hệ đại diện của $G/H$ . Như đã thấy ở trên, ánh xạ tuyến tính $M^S\rightarrow$ Ind $^G_H(M)$ cho bởi $(m_s)_{s\in S}\mapsto \sum_{s\in S}s\otimes m_s$ là một đẳng cấu K-môđun. Đặc biệt, V là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Với mọi $g\in G$ , ký hiệu $M_g$ là ảnh của M qua ánh xạ $m\mapsto g\otimes m$ . Với mọi $g, g'\in G$ , ta có $M_g= M_{g'}$ khi và chỉ khi $gH =g'H$ , và V là tổng trực tiếp của các môđun con $M_s$ với $s\in S$ . Với mọi $g, g'\in G$ , ta cũng có $\pi (g)M_{g'}= M_{gg'}$ . Với mọi $g\in G$ , ký hiệu $S_g$ là tập hợp các phần tử $s$ của S sao cho $s^{-1}gs\in H$ . Với mọi $g, g'\in G$ sao cho $g^{'-1}gg'\in H$ , tự đẳng cấu $\pi (g)$ của V cảm sinh một tự đẳng cấu $\pi (g)_{g'}$ của $M_{g'}$ , và ta có

Tr( $\pi (g)$ ) $=\sum_{s\in S_g}$ Tr( $\pi (g)_s$ ) $=\sum_{s\in S_g}$ Tr( $\sigma (s^{-1}gs)$ ).

Khẳng định cuối cùng của mệnh đề được suy ra.

4. Các biểu diễn và nhóm Grothendieck

Trong tiểu mục này, ta giả sử rằng K là một trường giao hoán. Cho một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $(M, \pi )$ của G, ta ký hiệu $[\pi ]$ là lớp của K[G]-môđun M trong vành Grothendieck $R_K(G)$ (VIII, p. 198, Ví dụ 1).

Theo định nghĩa của các luật hợp thành trên vành $R_K$ (G), nếu $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G, thì ta có

[\pi \oplus \pi '] = [\pi ] + [\pi '],[\pi \otimes \pi '] = [\pi ] [\pi ']

Phần tử đơn vị của vành $R_K(G)$ là lớp của biểu diễn đơn vị của G (VIII, p. 399, Ví dụ 1).

Vành $R_K(G)$ là một $\mathbf{Z}$ -môđun tự do với cơ sở là tập hợp các lớp của các K[G]-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K. Khi $|G|$ là khả nghịch trong K, hai biểu diễn hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng một lớp trong $R_K(G)$ (VIII, p. 190, Hệ quả và p. 401, Hệ quả 1).

Đối với mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $(M, \pi )$ của G, biểu diễn đối ngẫu contragredient $\pi^{\vee}$ cũng hữu hạn chiều. Các biểu diễn $\pi$ và $(\pi^{\vee})^{\vee}$ là đẳng cấu. Nếu $\pi '$ cũng là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G, thì các biểu diễn $(\pi \otimes \pi ')^{\vee}$ và $\pi^{\vee}\otimes \pi^{'\vee}$ là đẳng cấu. Nếu

0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0

là một dãy khớp các K[G]-môđun có số chiều hữu hạn trên K, thì các biểu diễn đối ngẫu contragredient cho một dãy khớp các K[G]-môđun

0\longrightarrow M^{''\vee}\longrightarrow M^{\vee}\longrightarrow M^{'\vee}\longrightarrow 0

(II, §7, No. 5, p. 299, Hệ quả của Định lý 5). Theo tính chất phổ quát của các nhóm Grothendieck (VIII, p. 186, Mệnh đề 4), tồn tại một tự đẳng cấu $c\mapsto c^{\vee}$ của vành $R_K(G)$ được đặc trưng bởi $[\pi ]^{\vee}= [\pi^{\vee}]$ đối với mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $\pi$ của G; ta có $(c^{\vee})^{\vee}=c$ đối với mọi phần tử $c$ của $R_K(G)$ .

Cho H là một nhóm con của G. Hạn chế bảo toàn các dãy khớp. Theo tính chất phổ quát của các nhóm Grothendieck (loc. cit.), do đó tồn tại một đồng cấu nhóm, ký hiệu là Res $^G_H$ , từ $R_K(G)$ đến $R_K(H)$ được đặc trưng bởi quan hệ

(6) Res $^G_H[\pi ] =$ [Res $^G_H(\pi )]$

đối với mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $\pi$ của G; nó là một đồng cấu vành. Nếu H có chỉ số hữu hạn trong G, thì theo Mệnh đề 14 của II, §7, No. 7, p. 306, ta có thể định nghĩa tương tự một đồng cấu nhóm Ind $^G_H$ từ $R_K(H)$ đến $R_K(G)$ được đặc trưng bởi quan hệ

(7) Ind $^G_H[\sigma ] =$ [Ind $^G_H(\sigma )]$

đối với mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $\sigma$ của H.

Theo các quan hệ (1) của VIII, p. 399 và (3) của VIII, p. 400 và tính chất phổ quát của các nhóm Grothendieck đã nêu ở trên, tồn tại một đồng cấu vành $\Theta_G$ từ $R_K(G)$ đến đại số $\mathscr{Z}_K(G)$ của các hàm trung tâm trên G, được đặc trưng bởi $\Theta_G([\pi ]) =\chi_{\pi}$ đối với mọi biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ của G.

Nếu H là một nhóm con của G, thì các đồng cấu $\Theta_G$ và $\Theta_H$ liên kết với các nhóm G và H tương thích với các phép toán Res $^G_H$ và Ind $^G_H$ (VIII, p. 402 và VIII, p. 404, Mệnh đề 3).

Giả sử rằng G là tích $G'\times G''$ của hai nhóm. Theo VIII, p. 213, Nhận xét 2, tồn tại một ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$ $\kappa$ từ $R_K(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G'')$ đến nhóm $R_K(G'\times G'')$ được đặc trưng bởi quan hệ $\kappa ([\pi ']\otimes [\pi '']) = [\pi '\pi '']$ đối với $\pi '$ (tương ứng $\pi ''$ ) là một biểu diễn hữu hạn chiều của $G'$ (tương ứng $G''$ ) và $\pi '\pi ''$ là tích tenxơ ngoài (VIII, p. 400, Ví dụ 5). Nó là một đồng cấu vành. Nếu trường K đóng đại số, thì ánh xạ $\kappa$ là một đẳng cấu (VIII, p. 213, Nhận xét 2).

Giả sử rằng G là tích $G'\times G''$ của hai nhóm. Ký hiệu $\psi$ là đồng cấu từ $\mathscr{Z}_K(G')\otimes_K\mathscr{Z}_K(G'')$ đến $\mathscr{Z}_K(G)$ gửi $f'\otimes f''$ đến hàm $(g', g'')\mapsto f'(g')f''(g'')$ . Biểu đồ sau giao hoán:

$R_K(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G'')^{\kappa}$ // $R_K(G)$

\Theta_{G'}\otimes \Theta_{G''}\Theta_G

$\mathscr{Z}_K(G')\otimes_K\mathscr{Z}_K(G'')^{\psi}$ / $/\mathscr{Z}_K(G)$ .

5. Công thức đảo Fourier

Trong phần còn lại của tiết diện này, ta giả sử rằng nhóm G là hữu hạn và K là một trường đóng đại số mà đặc số không chia hết cấp của G, sao cho phần tử $|G|$ của K khác không.

Đại số K[G] là nửa đơn (Định lý Maschke) và hữu hạn chiều. Ký hiệu $\widehat{G}$ là tập hợp các lớp của các K[G]-môđun đơn. Với mỗi $\lambda \in \widehat{G}$ , chọn một biểu diễn tuyến tính $(V_{\lambda}, \pi_{\lambda})$ của G sao cho K[G]-môđun liên kết thuộc lớp $\lambda$ . Tập hợp $\widehat{G}$ là hữu hạn, và các không gian vectơ $V_{\lambda}$ là hữu hạn chiều (VIII, p. 141, Ví dụ). Với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ , ký hiệu $d_{\lambda}$ là bậc của biểu diễn $\pi_{\lambda}$ , tức là chiều của không gian vectơ trên K $V_{\lambda}$ , và ký hiệu đặc trưng của nó là $\chi_{\lambda}$ .

Ký hiệu $F(\widehat{G})$ là đại số tích $\prod_{\lambda \in \widehat{G}} \operatorname{End}_K(V_\lambda)$ và $\overline{\mathscr{F}}$ là ánh xạ từ $K[G]$ vào $F(\widehat{G})$ được xác định bởi $\overline{\mathscr{F}}(a) = (\pi_\lambda(a))_{\lambda \in \widehat{G}}$ . Vì trường $K$ là đóng đại số, ánh xạ $\overline{\mathscr{F}}$ là một đẳng cấu đại số (loc. cit.).

Với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ , chiều của đại số $\operatorname{End}_K(V_\lambda)$ là $d_\lambda^2$ ; chiều của đại số $K[G]$ là $\operatorname{Card}(G)$ . Do đó ta có quan hệ

\operatorname{Card}(G) = \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda^2.

Ký hiệu $\tau$ là vết trong đại số $K[G]$ ; theo định nghĩa, vết $\tau(a)$ của một phần tử $a$ của $K[G]$ là vết của tự đồng cấu $x \mapsto ax$ của $K[G]$ (III, §7, No. 7, p. 515). Cho $a = \sum_{g \in G} a_g g$ là một phần tử của $K[G]$ ; theo công thức (2), ta có $\tau(ag^{-1}) = |G| a_g$ với mọi $g \in G$ , và do đó có quan hệ

a = |G|^{-1} \sum_{g \in G} \tau(ag^{-1})\ g.

Ký hiệu $\widehat{\tau}$ là vết trong đại số $F(\widehat{G})$ . Cho $A = (A_\lambda)_{\lambda \in \widehat{G}}$ là một phần tử của $F(\widehat{G})$ ; ta có (xem III, §9, No. 3, p. 545, Ví dụ 3)

\widehat{\tau}(A) = \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}(A_\lambda).

Vì ánh xạ $\overline{\mathscr{F}}$ là một đẳng cấu đại số trên $K$ , ta có $\widehat{\tau} \circ \overline{\mathscr{F}} = \tau$ , và do đó

\tau(a) = \widehat{\tau}(\overline{\mathscr{F}}(a)) = \widehat{\tau}\left((\pi_\lambda(a))_{\lambda \in \widehat{G}}\right) = \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}(\pi_\lambda(a)) = \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}_\lambda(a)

với mọi $a \in K[G]$ , tức là

\tau = \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}_\lambda.

Do đó, theo (2) của VIII, p. 399, với $g \in G$ , ta có

\sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \chi_\lambda(g) = \begin{cases} |G| & \text{nếu } g \text{ là phần tử đơn vị,} \\ 0 & \text{ngược lại.} \end{cases}

Với $a \in K[G]$ , quan hệ (9) có dạng sau:

a = |G|^{-1} \sum_{g \in G} \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}(\pi_\lambda(a)\pi_\lambda(g^{-1}))\ g;

từ đó suy ra rằng với mọi phần tử $A = (A_\lambda)_{\lambda \in \widehat{G}}$ của $F(\widehat{G})$ , ta có

\overline{\mathscr{F}}^{-1}(A) = |G|^{-1} \sum_{g \in G} \sum_{\lambda \in \widehat{G}} d_\lambda \operatorname{Tr}(A_\lambda \pi_\lambda(g^{-1}))\ g

(“công thức đảo Fourier”).

Với $\mu\in \widehat{G}$ , ký hiệu $j_\mu:$ End $_K(V_\mu)\longrightarrow \prod_{\lambda\in\widehat{G}}$ End $_K(V_{\lambda})$ là ánh xạ sao cho $j_\mu(u) = (v_{\lambda})$ , trong đó $v_{\lambda}= 0$ nếu $\lambda \not=\mu$ và $v_\mu=u$ . Theo công thức (14), ta có

(15) $\overline{\mathscr{F}}^{-1}(j_\mu(u)) =|G|^{-1}d_\mu\sum_{g\in G}$ Tr( $u\pi_\mu(g^{-1})$ ) $g$ .

Tâm của đại số $F(\widehat{G}) =\prod_{\lambda\in\widehat{G}}$ End $_K(V_{\lambda})$ gồm các họ $(a_{\lambda}1_{V_{\lambda}})_{\lambda\in\widehat{G}}$ , trong đó $(a_{\lambda})$ là một họ các phần tử của K. Nó là ảnh qua $\overline{\mathscr{F}}$ của tâm của đại số K[G]. Do đó tâm đó có một cơ sở $(e_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ được đặc trưng bởi quan hệ

\pi_{\lambda}(e_\mu) =\delta_{\lambda \mu}1_{V_{\lambda}} \tag{16}

với $\lambda , \mu\in \widehat{G}$ , trong đó $\delta_{\lambda \mu}$ là hàm delta Kronecker. Theo công thức (15), ta có, với mọi $\mu\in \widehat{G}$ ,

e_\mu=|G|^{-1}d_\mu\sum_{g\in G}\chi_\mu(g^{-1})g \tag{17}

Các phần tử này thỏa mãn các quan hệ

(18) $\sum_{\lambda\in\widehat{G}}e_{\lambda}= 1,e^2_\mu=e_\mu$ , và $e_\mu e_{\nu}= 0$

với mọi $\mu, \nu \in \widehat{G}$ sao cho $\mu\not=\nu$ ; chúng là các phần tử lũy đẳng không phân tích được của Z(K[G]) (VIII, p. 147, Mệnh đề 15)

Nhận xét 00NR

Cho $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G. Theo định lý Maschke, K[G]-môđun V là nửa đơn. Với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ , ký hiệu $V^{\lambda}$ là thành phần đẳng kiểu kiểu $\lambda$ của K[G]-môđun V; ta có $V =\bigoplus_{\lambda\in\widehat{G}}V^{\lambda}$ . Theo Mệnh đề 15 của VIII, p. 147 và công thức (17), phép chiếu của V có ảnh $V^{\lambda}$ liên kết với phân tích này của V bằng

\pi (e_{\lambda}) =|G|^{-1}d_{\lambda}\sum_{g\in G}\chi_{\lambda}(g^{-1})\pi (g) \tag{19}

Áp dụng công thức này cho $\pi =\pi_{\lambda}$ , ta thu được rằng phần tử $d_{\lambda}\cdot 1$ của K khác không. Ta sẽ thấy về sau (VIII, p. 420, Hệ quả 2) rằng $d_\mu$ chia lực lượng của G.

Cho $\lambda$ là một phần tử của $\widehat{G}$ . Ánh xạ $\pi_{\lambda}$ từ K[G] đến End $_K(V_{\lambda})$ cảm sinh một đẳng cấu của các song môđun $(K[G]$ , K[G])-bimodules từ $e_{\lambda}K[G]$ đến End $_K(V_{\lambda})$ . Theo Mệnh đề 15 của VIII, p. 147, K[G]-môđun con $e_{\lambda}K[G]$ là thành phần đẳng kiểu của K[G] kiểu $\lambda$ . Nó cũng là thành phần đẳng kiểu kiểu $\lambda^{\vee}$ đối với biểu diễn chính quy phải của G (VIII, p. 143, Mệnh đề 11) cũng như là thành phần đẳng kiểu kiểu $\lambda \times \lambda^{\vee}$ đối với biểu diễn chính quy hai phía (VIII, p. 381, Mệnh đề 4).

Trích dẫn đến 4

Trích dẫn đến Mệnh đề 15, VIII § 8, Hệ quả 2, Mệnh đề 4, VIII § 20, Mệnh đề 11, VIII § 8

6. Các hệ thức trực giao Schur

Ta giữ các ký hiệu của tiểu mục trước. Cho $\lambda$ là một phần tử của $\widehat{G}$ , và cho $u$ và $v$ là các phần tử của End $_K(V_{\lambda})$ ; theo công thức (10), ta có

$\widehat{\tau}(j_{\lambda}(u)j_{\lambda}(v)) =d_{\lambda}$ Tr( $uv$ ). Vì $\tau =\widehat{\tau}\circ \mathscr{F}$ , ta suy ra từ các công thức (2) và (15) quan hệ

$d^2_{\lambda}|G|^{-1}\sum_{g\in G}$ Tr( $u\pi_{\lambda}(g)$ ) Tr( $v\pi_{\lambda}(g^{-1})$ ) $=d_{\lambda}$ Tr( $uv$ ).

Trước đây chúng ta đã nhận thấy rằng $d_{\lambda}.1\not= 0$ trong trường K; suy ra rằng (20) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}$ Tr( $u\pi_{\lambda}(g)$ ) Tr( $v\pi_{\lambda}(g^{-1})$ ) $=d^{-1}_{\lambda}$ Tr( $uv$ ).

Hãy áp dụng quan hệ này cho trường hợp khi $u$ và $v$ có hạng $\leqslant 1$ ; ta thu được (21) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}\langle x^*, \pi_{\lambda}(g)x\rangle \langle y^*, \pi_{\lambda}(g^{-1})y\rangle =d^{-1}_{\lambda}\langle x^*, y\rangle \langle y^*, x\rangle$

với $x,y$ trong $V_{\lambda}$ và $x^*, y^*$ trong đối ngẫu $V^*_{\lambda}$ của $V_{\lambda}$ .

Với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ , cho $(e_{\lambda ,j})_{1\leqslant j\leqslant d_{\lambda}}$ là một cơ sở của $V_{\lambda}$ ; ký hiệu $(\pi^{\lambda}_{ij}(g))$ là ma trận của tự đồng cấu $\pi_{\lambda}(g)$ của $V_{\lambda}$ đối với cơ sở này. Nếu ta ký hiệu $(e^*_{\lambda ,i})_{1\leqslant i\leqslant d_{\lambda}}$ là cơ sở của $V^*_{\lambda}$ đối ngẫu với $(e_{\lambda ,j})$ , thì ta có $\pi^{\lambda}_{ij}(g) =\langle e^*_{\lambda ,i}, \pi_{\lambda}(g)e_{\lambda ,j}\rangle$ , và do đó (22) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}\pi_{ij}^{\lambda}(g)\pi^{\lambda}_{k\ell}(g^{-1}) =d^{-1}_{\lambda}\delta_{i\ell}\delta_{jk}$ .

Bây giờ cho $\lambda$ và $\mu$ là hai phần tử phân biệt của $\widehat{G}$ , và cho $u\in$ End $_K(V_{\lambda})$ và $v\in$ End $_K(V_\mu)$ . Một lần nữa theo quan hệ (15), ta có (23) $\sum_{g\in G}$ Tr( $u\pi_{\lambda}(g)$ ) Tr( $v\pi_\mu(g^{-1})$ ) $= 0$ .

Như trên, ta suy ra rằng (24) $\sum_{g\in G}\langle x^*, \pi_{\lambda}(g)x\rangle \langle y^*, \pi_\mu(g^{-1})y\rangle = 0$

với $x\in V_{\lambda},x^*\in V^*_{\lambda},y\in V_\mu$ , và $y^*\in V^*_\mu$ . Ta cũng có (25) $\sum_{g\in G}\pi^{\lambda}_{ij}(g)\pi^\mu_{k\ell}(g^{-1}) = 0$ với $i, j$ trong $[1, d_{\lambda}]$ và $k, \ell$ trong $[1, d_\mu]$ .

Các quan hệ (20) đến (25) được biết đến như là các hệ thức trực giao Schur.

Nhận xét 00NS

Chúng ta đồng nhất đại số End $_K(V_{\lambda})$ với đại số ma trận $\mathbf{M}_{d_{\lambda}}(K)$ qua cơ sở $(e_{\lambda ,j})$ của $V_{\lambda}$ . Ánh xạ $\mathscr{F}^{-1}$ là một đẳng cấu từ đại số $\prod_{\lambda}\mathbf{M}_{d_{\lambda}}(K)$ đến đại số K[G]. Với $\mu\in \widehat{G}$ , ký hiệu $E^\mu_{ij}$ là phần tử của $\prod_{\lambda}\mathbf{M}_{d_{\lambda}}(K)$ mà thành phần có chỉ số $\mu$ là đơn vị ma trận $E_{ij}$ của $\mathbf{M}_{d_\mu}(K)$ (II, §10, No. 3, p. 341) và các thành phần khác đều bằng không; đặt $u^\mu_{ij}=\mathscr{F}^{-1}(E^\mu_{ij})$ . Họ các phần tử $u^{\lambda}_{ij}$ , với $\lambda \in \widehat{G}, 1\leqslant i\leqslant d_{\lambda}$ , $1\leqslant j\leqslant d_{\lambda}$ , là một cơ sở của đại số K[G]; bảng phép nhân là

u^{\lambda}_{ij}u^\mu_{k\ell}=\delta_{\lambda \mu}\delta_{jk}u^{\lambda}_{i\ell} \tag{26}

Hơn nữa, theo công thức (15), ta có

u^{\lambda}_{ij}=|G|^{-1}d_{\lambda g}\sum_{\in G}\pi^{\lambda}_{ji}(g^{-1})g \tag{27}

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến II § 10. Ma trận

7. Quan hệ trực giao đối với các ký tự

Chúng ta giữ ký hiệu của các Tiểu mục 5 và 6. Nhắc lại rằng Z(K[G]) gồm các hàm trung tâm.

Ta định nghĩa một ánh xạ song tuyến tính đối xứng từ $K[G]\times K[G]$ vào K bởi công thức

\langle f, f'\rangle_G=|G|^{-1}\sum_{g\in G}f_gf'_{g^{-1}} \tag{28}

với mọi $f=\sum f_gg$ và $f'=\sum f_g'g$ thuộc K[G]. Ta có $\langle f, f'\rangle_G=$ $|G|^{-2}\tau (f f')$ .

Mệnh đề 4 (Quan hệ trực giao đối với các ký tự) 00SG

Với $\lambda$ và $\mu$ trong $\widehat{G}$ , ta có $\langle \chi_{\lambda}, \chi_\mu\rangle_G=\delta_{\lambda \mu}$ .

Được trích dẫn bởi 3

Được trích dẫn bởi Hệ quả, Mệnh đề 11, Mệnh đề 5

Đây là trường hợp cụ thể của các quan hệ (20) và (23) khi các tự đồng cấu $u$ và $v$ được lấy là đồng nhất.

Hệ quả 00NT

Cho $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Trong trường K, ta có

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 4 (Quan hệ trực giao đối với các ký tự), Mệnh đề 2, VIII § 3

(29) $\langle \chi_{\pi}, \chi_{\pi'}\rangle_G=$ (dim $_K$ Hom $_G(\pi , \pi ')$ ) $\cdot 1$ .

Trước hết ta giả sử rằng $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn đơn. Không gian vectơ Hom $_G(\pi , \pi ')$ có chiều 1 hoặc 0 tùy theo $\pi$ và $\pi '$ có đẳng cấu hay không (Bổ đề Schur, VIII, p. 47, Mệnh đề 2). Trong trường hợp này, công thức (29) suy ra từ Mệnh đề 4.

Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn $\pi$ (tương ứng $\pi '$ ) là tổng trực tiếp của các biểu diễn đơn $\pi_1, . . . , \pi_m$ (tương ứng $\pi '_1, . . . , \pi '_n$ ). Không gian Hom $_G(\pi , \pi ')$ đẳng cấu với tổng trực tiếp của các không gian Hom $_G(\pi_i, \pi '_j)$ với $1\leqslant i\leqslant m$ , $1\leqslant j\leqslant n$ , và ta có

\chi_{\pi}=\chi_{\pi_1}+\cdots +\chi_{\pi_m},\chi_{\pi'}=\chi_{\pi'_1}+\cdots +\chi_{\pi'_n}

Theo tính tuyến tính, chứng minh của công thức (29) được quy về trường hợp các biểu diễn đơn.

8. Các hàm trung tâm trên một nhóm hữu hạn

Mệnh đề 5 00NU

Họ $(\chi_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ là một cơ sở của không gian vectơ các hàm trung tâm. Số các lớp của các biểu diễn tuyến tính đơn của G bằng số các lớp liên hợp của G.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến Mệnh đề 4 (Quan hệ trực giao đối với các ký tự), Mệnh đề 11, II § 10

Được trích dẫn bởi § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Mệnh đề 6, Mệnh đề 7, Mệnh đề 8

Với $a=\sum_{g\in G}a_gg\in K[G]$ , viết $a^{\vee}=\sum_{g\in G}a_{g^{-1}}g$ ; ánh xạ $a\mapsto a^{\vee}$ là một phản tự đẳng cấu đối hợp của đại số K[G]. Theo công thức (17), ta có $e_{\lambda}=|G|^{-1}d_{\lambda}\chi^{\vee}_{\lambda}$ với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ . Khi đó mệnh đề suy ra từ sự kiện rằng họ $(e_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ là một cơ sở của tâm của K[G].

Ký hiệu $\mathscr{C}$ là tập hợp các lớp liên hợp của G. Cho C là một phần tử của $\mathscr{C}$ ; ảnh $C^{-1}$ của C qua ánh xạ $g\mapsto g^{-1}$ là một lớp liên hợp. Các nhóm giao hoán của các phần tử của C là các nhóm con liên hợp từng đôi một của G; lực lượng của chúng $d(C)$ thỏa mãn

(30) Card(G) = Card(C) $d(C)$ .

Đặc biệt, ta có $d(C)\cdot 1\not= 0$ trong trường K.

Cho $f$ là một hàm trung tâm trên G. Với mọi lớp liên hợp C, ký hiệu $f(C)$ là giá trị chung của các $f(x)$ với $x\in C$ . Với ký hiệu này, quan hệ trực giao của các đặc trưng (VIII, p. 410, Mệnh đề 4) có thể được viết là

\sum_{C\in\mathscr{C}}\chi_{\lambda}(C^{-1})\chi_\mu(C)d(C)^{-1}=\delta_{\lambda \mu} \tag{31}

với $\lambda$ và $\mu$ trong $\widehat{G}$ .

Ký hiệu A là ma trận kiểu $\widehat{G}\times \mathscr{C}$ có các phần tử là $\chi_{\lambda}(C)$ và B là ma trận kiểu $\mathscr{C}\times \widehat{G}$ có các phần tử là $\chi_{\lambda}(C^{-1})d(C)^{-1}$ . Các tập hợp $\widehat{G}$ và $\mathscr{C}$ có cùng lực lượng (Mệnh đề 5); quan hệ (31) biểu thị rằng tích ma trận AB là đơn vị ma trận kiểu $\widehat{G}\times \widehat{G}$ . Theo Mệnh đề 11 của II, §10, No. 12, p. 360, tích ma trận BA là đơn vị ma trận kiểu $\mathscr{C}\times \mathscr{C}$ ; nói cách khác, ta có quan hệ

\sum_{\lambda\in\widehat{G}}\chi_{\lambda}(C^{-1})\chi_{\lambda}(C') =d(C)\delta_{CC'} \tag{32}

với C và $C'$ trong $\mathscr{C}$ (đôi khi được gọi là “quan hệ trực giao thứ hai của các đặc trưng”).

Cho H là một nhóm con của G. Ta chú ý rằng số nguyên Card(H) chia hết Card(G) và rằng $|G|$ không phải là không trong K; do đó ta có $|H| \not= 0$ trong K.

Ký hiệu Res $^G_H$ là ánh xạ tuyến tính từ Z(K[G]) vào Z(K[H]) gửi một hàm trung tâm trên G tới hạn chế của nó trên H. Ta đã thấy rằng nếu $\chi_{\pi}$ là đặc trưng của một biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ của G, thì Res $^G_H(\chi_{\pi})$ là đặc trưng của biểu diễn Res $^G_H(\pi )$ của H.

Mệnh đề 6 00NV

Cho $f$ là một hàm trung tâm trên G và $u$ là một hàm trung tâm trên H. Ta có

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Mệnh đề 5

Được trích dẫn bởi Bài tập 13, § 21

(33) $\langle$ Ind $^G_H(u), f\rangle_G=\langle u$ , Res $^G_H(f)\rangle_H$ .

Các đặc trưng của các biểu diễn đơn của G tạo thành một cơ sở của Z(K[G]) (VIII, p. 411, Mệnh đề 5), và điều tương tự đúng với H. Do đó chỉ cần thiết lập (33) trong trường hợp $f$ là đặc trưng $\chi_{\pi}$ của một biểu diễn đơn $\pi$ của G và $u$ là đặc trưng $\chi_{\sigma}$ của một biểu diễn đơn $\sigma$ của H. Trong trường hợp này, Ind $^G_H(u)$ là đặc trưng của biểu diễn Ind $^G_H(\sigma )$ của G, và, theo VIII, p. 410, Hệ quả, ta có

$\langle$ Ind $^G_H(u), f\rangle_G=$ (dim $_K$ Hom $_G$ (Ind $^G_H(\sigma ), \pi$ )) $\cdot 1$ .

Ta chứng minh tương tự quan hệ

$\langle u$ , Res $^G_H(f)\rangle_H=$ (dim $_K$ Hom $_H(\sigma$ , Res $^G_H(\pi )$ )) $\cdot 1$

và đẳng thức (33) suy ra từ luật tương hỗ Frobenius.

Mệnh đề 7 00NW

Cho $f$ là một ánh xạ từ G vào K. Các khẳng định sau là tương đương:

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Định lý 1, VIII § 3, Mệnh đề 5

(i) Có một phần tử $\lambda$ của $\widehat{G}$ và một phần tử $a$ của K sao cho $f=a\chi_{\lambda}$ .

(ii) Với mọi cặp $(g, g')$ các phần tử của G, ta có

f(g)f(g') =|G|^{-1}f(1)\sum_{h\in G}f(hgh^{-1}g') \tag{34}

Cho $\lambda$ là một phần tử của $\widehat{G}$ ; với mọi tự đồng cấu $u$ của $V_{\lambda}$ , đặt

u^{\natural}=|G|^{-1}\sum_{h\in G}\pi_{\lambda}(h)u \pi_{\lambda}(h^{-1}) \tag{35}

Tự đồng cấu $u^{\natural}$ của $V_{\lambda}$ là K[G]-tuyến tính. Theo bổ đề Schur (VIII, p. 47, Định lý 1) $,u^{\natural}$ là một phép vị tự. Vì $u$ và $u^{\natural}$ có cùng vết, do đó ta có

$u^{\natural}=d^{-1}_{\lambda}$ Tr( $u$ ) $1_{V_{\lambda}}$ .

Cho $u$ và $v$ là các tự đồng cấu của $V_{\lambda}$ ; suy ra

(36) Tr( $u$ ) Tr( $v$ ) $=d_{\lambda}$ Tr( $u^{\natural}v$ ) $=d_{\lambda}|G|^{-1}\sum_{h\in G}$ Tr( $\pi_{\lambda}(h)u \pi_{\lambda}(h^{-1})v$ ).

Lấy $u=\pi_{\lambda}(g)$ và $v=\pi_{\lambda}(g')$ trong công thức (36); quan hệ (34) đối với $f=\chi_{\lambda}$ được suy ra.

Ngược lại, giả sử rằng mệnh đề (ii) đúng. Nếu ta có $f(1) = 0$ , thì suy ra $f(g)f(g') = 0$ với mọi cặp $(g, g')$ các phần tử của G, và do đó $f= 0$ . Vì vậy ta có thể giả sử rằng $f(1)\not= 0$ . Lấy $g'= 1$ trong (34), ta thu được quan hệ

f(g) =|G|^{-1}\sum_{h\in G}f(hgh^{-1})

với mọi $g\in G$ , điều này kéo theo rằng $f$ là một hàm trung tâm. Theo Mệnh đề 5, tồn tại một họ $(a_{\lambda})$ các phần tử của K sao cho $f=\sum_{\lambda\in\widehat{G}}a_{\lambda}\chi_{\lambda}$ . Thay $f$ bằng biểu thức này trong công thức (34); chú ý rằng mỗi ký tự $\chi_{\lambda}$ cũng thỏa mãn quan hệ này, ta tìm được

\sum_{\lambda ,\mu\in\widehat{G}}a_{\lambda}a_\mu\chi_{\lambda}(g)\chi_\mu(g') =\sum_{\lambda\in\widehat{G}}a_{\lambda}d^{-1}_{\lambda}f(1)\chi_{\lambda}(g)\chi_{\lambda}(g') \tag{37}

với $g, g'\in G$ . Quan hệ này cũng có thể được viết dưới dạng

\sum_{\lambda ,\mu}(a_{\lambda}a_\mu-\delta_{\lambda \mu}a_{\lambda}d^{-1}_{\lambda}f(1))\chi_{\lambda}(g)\chi_\mu(g') = 0 \tag{38}

với $g, g'\in G$ . Bây giờ, các hàm $\chi_{\lambda}$ , với $\lambda \in \widehat{G}$ , là độc lập tuyến tính (Mệnh đề 5 của VIII, p. 411); suy ra rằng

a_{\lambda}a_\mu=\delta_{\lambda \mu}a_{\lambda}d^{-1}_{\lambda}f(1)

với $\lambda , \mu\in \widehat{G}$ . Đặc biệt, $a_{\lambda}a_\mu= 0$ bất cứ khi nào $\lambda \not=\mu$ . Do đó, tồn tại nhiều nhất một phần tử $\lambda$ của $\widehat{G}$ sao cho $a_{\lambda}\not= 0$ , và ta có $f=a_{\lambda}\chi_{\lambda}$ , và do đó (i).

9. Trường hợp các nhóm Abel

Trong tiểu mục này, ta giả sử rằng nhóm G là Abel.

Theo Bổ đề Schur (VIII, p. 48, Hệ quả 1), mọi biểu diễn đơn của G đều có chiều 1. Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn như vậy và $\chi$ là đặc trưng của nó; với mọi $g\in G$ và $x\in M$ , ta có $\pi (g)(x) =\chi (g)x$ . Do đó, đặc trưng $\chi$ là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân $K^*$ của K. Ngược lại, mọi đồng cấu từ G vào $K^*$ đều là đặc trưng của một biểu diễn của G có bậc 1. Do đó tập $\widehat{G}$ các lớp của các K[G]-môđun đơn có thể được đồng nhất với tập Hom(G $,K^*$ ) các đồng cấu từ G vào $K^*$ . Từ đó ta suy ra một cấu trúc nhóm Abel trên $\widehat{G}$ ; tích trong $\widehat{G}$ tương ứng với tích tenxơ của các biểu diễn. Các nhóm G và $\widehat{G}$ có cùng lực lượng theo Mệnh đề 5 của VIII, p. 411. Mọi hàm trên G đều là trung tâm, và $\widehat{G}$ là một cơ sở của không gian vectơ các ánh xạ từ G vào K (loc. cit.). Do quan hệ trực giao đối với các đặc trưng, một ánh xạ như vậy $f$ có phân tích duy nhất sau đây theo cơ sở $\widehat{G}:$

f=\sum_{\chi\in\widehat{G}}\langle \chi , f\rangle_G\chi \tag{39}

Đối với các ánh xạ $f$ và $f'$ từ G vào K, ta có quan hệ

\langle f, f'\rangle_G=\sum_{\chi\in\widehat{G}}\langle \chi , f\rangle_G\langle \chi , f'\rangle_G \tag{40}

Cho $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G. Với mọi $\chi \in \widehat{G}$ , ký hiệu $V^{\chi}$ là không gian con của V gồm các vectơ $v$ sao cho $\pi (g)(v) =\chi (g)v$ với mọi $g\in G$ . Không gian $V^{\chi}$ là thành phần đẳng kiểu kiểu $\chi$ của K[G]-môđun V. Không gian V là tổng trực tiếp của họ $(V^{\chi})_{\chi\in\widehat{G}}$ , và phép chiếu $p_{\chi}$ của V có ảnh $V^{\chi}$ liên kết với phân tích này được cho bởi

p_{\chi}=|G|^{-1}\sum_{g\in G}\chi (g^{-1})\pi (g) \tag{41}

do quan hệ (19).

Nhận xét 00NX

Cho $n$ là lực lượng của nhóm G, và $\mu_n(K)$ là nhóm các căn bậc $n$ của đơn vị trong K. Với mọi $g\in G$ , ta có $g^n= 1$ ; do đó, $\widehat{G}$ có thể được đồng nhất với nhóm Hom(G $, \mu_n(K)$ ). Nhóm $\mu_n(K)$ là cyclic có cấp $n$ (V, §11, No. 2, p. 78, Định lý 1). Do đó nhóm $\widehat{G}$ đẳng cấu với nhóm D(G) = Hom(G $,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ ). Theo VII, §4, No. 9, p. 26, Mệnh đề 10, nhóm $\widehat{G}$ đẳng cấu với nhóm G, và ánh xạ gửi một phần tử $g$ của G vào đồng cấu $\chi \mapsto \chi (g)$ từ $\widehat{G}$ vào $K^*$ là một đẳng cấu từ G vào $\widehat{\widehat{G}}$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 10, VII § 4

10. Các đặc trưng và các nhóm Grothendieck

Ký hiệu $\theta_G$ là đồng cấu đại số K từ $K\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G)$ vào $\mathscr{Z}_K(G)$ gửi $1\otimes [\pi ]$ vào $\chi_{\pi}$ với mọi biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ .

Mệnh đề 8 00NY

a) Đồng cấu $\theta_G$ là một đẳng cấu từ $K\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G)$ vào $\mathscr{Z}_K(G)$ .

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 5

Được trích dẫn bởi Bài tập 7, § 21

b) Giả sử K có đặc số 0. Khi đó $\theta_G$ xác định một đẳng cấu từ $R_K(G)$ lên vành con của $\mathscr{Z}_K(G)$ gồm các tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng $\chi_{\lambda}$ với $\lambda$ thuộc $\widehat{G}$ và có hệ số nguyên.

Họ $([\lambda ])_{\lambda\in\widehat{G}}$ là một cơ sở của $\mathbf{Z}$ -môđun $R_K$ (G), và họ $(\chi_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ là một cơ sở của không gian vectơ trên K $\mathscr{Z}_K(G)$ . Các khẳng định a) và b) suy ra từ (VIII, p. 411, Mệnh đề 5).

11. Chiều của các biểu diễn đơn

Ký hiệu lực lượng của nhóm G là $n$ . Cho $\pi$ là một biểu diễn tuyến tính của G trong một không gian vectơ trên K hữu hạn chiều M. Với mọi $g\in G$ , ta có $\pi (g)^n= 1_M$ , nên đa thức tối tiểu của $\pi (g)$ chia hết cho $T^n-1$ . Vì $n\cdot 1\not= 0$ trong K, đa thức tối tiểu này là tách được (V, §11, No. 2, p. 78), và vì trường K là đóng đại số, tự đồng cấu $\pi (g)$ của M là chéo hóa được (VII, §5, No. 7, p. 40, Mệnh đề 12). Các trị riêng của $\pi (g)$ là các nghiệm bậc $n$ của đơn vị, và với mọi $\alpha \in K$ , bội số hình học của $\alpha$ như một trị riêng của $\pi (g)$ (VII, §5, No. 2, p. 30, Định nghĩa 1) bằng với bội số của $\alpha$ như một nghiệm của đa thức đặc trưng của $\pi (g)$ . Ký hiệu bởi $\mathscr{O}_n$ nhóm con của K sinh bởi tập hợp $\mu_n(K)$ các nghiệm bậc $n$ của đơn vị; đó là một $\mathbf{Z}$ -môđun sinh hữu hạn và là một vành con của K. Đặc trưng của $\pi$ nhận các giá trị trong $\mathscr{O}_n$ .

Mệnh đề 9 00NZ

Giả sử rằng trường K có đặc số không. Khi đó bậc của mọi biểu diễn đơn của G chia hết lực lượng của G.

Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến VII § 3. Môđun tự do trên một miền iđêan chính, § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Định lý 1, VIII § 3

Được trích dẫn bởi Bài tập 17, § 21, Bổ đề, Mệnh đề 10, Hệ quả 2

Cho $(V, \pi )$ là một biểu diễn đơn của G và $\chi$ là đặc trưng của nó. Với mọi phần tử $a$ của Z(K[G]), tự đồng cấu $\pi (a)$ của V là một phép vị tự (VIII, p. 47, Định lý 1); ký hiệu bởi $\varphi (a)$ vô hướng sao cho $\pi (a) =\varphi (a)_V$ . Ánh xạ thu được $\varphi$ từ Z(K[G]) vào K là một đồng cấu đại số. Lấy $a=\sum_{g\in G}\chi (g^{-1})g$ ; theo nhận xét ở VIII, p. 408, ta có $\varphi (a) =$ (dim $V$ ) $^{-1}|G|$ . Mặt khác, $a$ thuộc vành con $\mathscr{O}_n[G]\cap Z(K[G])$ của K[G], là một $\mathbf{Z}$ -môđun sinh hữu hạn (VII, §3, p. 15, Hệ quả). Vậy phần tử $\varphi (a) =$ (dim $V$ ) $^{-1}|G|$ của K thuộc một vành con của K là một $\mathbf{Z}$ -môđun sinh hữu hạn. Ta kết luận bằng cách sử dụng bổ đề sau.

Bổ đề 00O0

Cho L là một mở rộng của $\mathbf{Q}$ . Cho A là một vành con của L. Giả sử rằng A là một $\mathbf{Z}$ -môđun sinh hữu hạn. Ta có $A\cap \mathbf{Q}=\mathbf{Z}$ .

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Định lý 2 (Cantor), E III § 3, Mệnh đề 9

Vì $\mathbf{Z}$ -môđun $A\cap \mathbf{Q}$ sinh hữu hạn, nên tồn tại một số nguyên dương ngặt N sao cho $A\cap \mathbf{Q}$ được chứa trong $\frac{1}{N}\mathbf{Z}$ . Cho $x$ là một phần tử của $\mathbf{Q}-\mathbf{Z}$ ; ta viết nó dưới dạng $x=\frac{p}{q}$ , trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau và $q\geqslant 2$ . Ta có $q^N\geqslant 2^N>N ($ Lý thuyết tập hợp, III, §3, No. 6, p. 165, Định lý 2), các số nguyên $p^N$ và $q^N$ nguyên tố cùng nhau, và do đó $x^N\notin\frac{1}{N}\mathbf{Z}$ . Suy ra $x$ không thuộc A. Điều này kết thúc chứng minh của bổ đề.

Trong tiểu mục tiếp theo, chúng tôi mở rộng Mệnh đề 9 cho trường hợp khi ta chỉ giả thiết rằng đặc số của K không chia hết cấp của G.

12. Đổi trường cơ sở

Ta giữ ký hiệu của tiểu mục trước. Cho $K'$ là một trường đóng đại số sao cho phần tử $n\cdot 1$ của $K'$ khác không. Các nhóm $\mu_n(K)$ và $\mu_n(K')$ là cyclic cấp $n$ (V, §11, No. 2, p. 78, Định lý 1). Chọn một đẳng cấu $\varphi$ từ $\mu_n(K)$ đến $\mu_n(K')$ . Cho $\pi$ là một biểu diễn tuyến tính của G trong một không gian vectơ trên K hữu hạn chiều, và cho $\pi '$ là một biểu diễn tuyến tính của G trong một không gian vectơ trên $K'$ hữu hạn chiều. Ta nói rằng $\pi$ và $\pi '$ liên quan với nhau (qua $\varphi$ ) nếu với mọi $g\in G$ và $\omega \in \mu_n$ (K), bội số của $\omega$ như một trị riêng của $\pi (g)$ bằng bội số của $\varphi (\omega )$ như một trị riêng của $\pi '(g)$ . Khi đó, $\pi$ và $\pi '$ có cùng chiều, như có thể thấy bằng cách lấy $g= 1$ .

Cho $\pi_1$ và $\pi_2$ (resp. $\pi '_1$ và $\pi '_2$ ) là các biểu diễn tuyến tính của G trong các không gian vectơ hữu hạn chiều trên K (resp. $K'$ ). Ta có các tính chất sau:

a) Nếu $\pi_1$ liên quan với $\pi '_1$ và $\pi '_2$ , thì $\pi '_1$ và $\pi '_2$ đẳng cấu.

b) Nếu $\pi_1$ liên quan với $\pi '_1$ và $\pi_2$ liên quan với $\pi '_2$ , thì $\pi_1\oplus \pi_2$ liên quan với $\pi '_1\oplus \pi '_2$ và $\pi_1\otimes \pi_2$ liên quan với $\pi '_1\otimes \pi '_2$ .

Mệnh đề a) suy ra từ Hệ quả 5 của VIII, p. 402, và mệnh đề b) là hiển nhiên.

Ở đây, ta ký hiệu bởi $\mathscr{S}_K(G)$ tập hợp các lớp của các K[G]-môđun đơn, trước đây được ký hiệu bởi $\widehat{G}$ , và ta định nghĩa $\mathscr{S}_{K'}(G)$ tương tự. Các tập hợp $\mathscr{S}_K(G)$ và $\mathscr{S}_{K'}(G)$ đều hữu hạn, với lực lượng là số các lớp liên hợp (VIII, p. 411, Mệnh đề 5).

Mệnh đề 10 00O1

Tồn tại một ánh xạ duy nhất $\varphi_G$ từ $\mathscr{S}_K(G)$ đến $\mathscr{S}_{K'}(G)$ sao cho $\lambda$ và $\varphi_G(\lambda )$ liên quan qua $\varphi$ đối với mọi $\lambda$ trong $\mathscr{S}_K(G)$ . Hơn nữa, $\varphi_G$ là song ánh.

Trích dẫn đến 5 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Mệnh đề 9, VIII § 8. Vành nửa đơn, Nhận xét 4, VIII § 8, Ví dụ 6

Được trích dẫn bởi Hệ quả 2

Tính duy nhất của $\varphi_G$ suy ra từ tính chất a) ở trên.

A) Giả sử rằng trường K có đặc số 0.

Nhóm $\mu_n(K)$ là cyclic (V, §11, No. 2, p. 78, Định lý 1); chọn một phần tử sinh $\zeta$ của nhóm này. Xét đồng cấu vành $\rho :\mathbf{Z}[X]\rightarrow \mathscr{O}_n$ gửi X đến $\zeta$ . Nó là toàn ánh. Đa thức cyclotomic $\Phi_n(X)$ là bất khả quy trong $\mathbf{Q}[X]$ (V, §11, No. 5, p. 84, Định lý 2); do đó nó là đa thức tối tiểu của $\zeta$ trên $\mathbf{Q}$ . Đa thức $\Phi_n$ là monic với các hệ số nguyên (V, §11, No. 4, p. 81). Cho $P\in \mathbf{Z}[X]$ là một đa thức sao cho $P(\zeta ) = 0$ ; bằng phép chia Euclid các đa thức (IV, §1, No. 6, p. 10), tồn tại hai đa thức Q và R trong $\mathbf{Z}[X]$ sao cho P = QΦ $_n+ R$ và deg(R) $<$ deg(Φ $_n$ ). Ta có $R(\zeta ) = 0$ , và do đó R = 0 vì $\Phi_n$ là đa thức tối tiểu của $\zeta$ . Do đó, hạt nhân của $\rho$ là iđêan $\Phi_n\mathbf{Z}[X]$ của $\mathbf{Z}[X]$ , và $\rho$ cảm sinh một đẳng cấu vành từ $\mathbf{Z}[X]/\Phi_n\mathbf{Z}[X]$ đến $\mathscr{O}_n$ .

Đặt $\zeta '=\varphi (\zeta )$ ; đó là một nghiệm nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị trong $K'$ , và do đó ta có $\Phi_n(\zeta ') = 0$ (V, §11, No. 5, p. 83, Bổ đề 3). Do đó, tồn tại một đồng cấu $\varphi_0$ từ vành $\mathscr{O}_n$ vào trường $K'$ biến đổi $\zeta$ thành $\zeta '$ ; nó mở rộng ánh xạ $\varphi$ từ $\mu_n(K)$ đến $\mu_n(K')$ . Gọi $\mathscr{O}$ là vành con của K gồm các phần tử $\frac{a}{n^r}$ với $a\in \mathscr{O}_n$ và $r\in \mathbf{N}$ . Vì $n\cdot 1$ là khả nghịch trong $K'$ , đồng cấu $\varphi_0$ mở rộng thành một đồng cấu $\varphi_1$ từ $\mathscr{O}$ đến $K'$ .

Ta đồng nhất đại số $\mathscr{O}[G]$ của nhóm G trên $\mathscr{O}$ với một vành con của đại số K[G] và định nghĩa một đồng cấu vành Φ từ $\mathscr{O}[G]$ đến $K'[G]$ bởi công thức

\Phi (\sum_{g\in G}a_gg)=\sum_{g\in G}\varphi_1(a_g)g \tag{42}

Ký hiệu $\mathscr{C}$ là tập hợp các lớp liên hợp của G. Với C trong $\mathscr{C}$ , ký hiệu $u_C$ là phần tử $\sum_{g\in C}g$ của $\mathscr{O}[G]$ ; họ $(u_C)_{C\in\mathscr{C}}$ là một cơ sở trên $\mathscr{O}$ của tâm $Z(\mathscr{O}[G])$ của đại số $\mathscr{O}[G]$ (VIII, p. 398). Với mọi phần tử $\lambda$ của $\mathscr{S}_K$ (G), ký hiệu $\chi_{\lambda}$ là đặc trưng của nó, $d_{\lambda}$ là chiều của nó, và $e_{\lambda}$ là phần tử của K[G] được định nghĩa bởi

e_{\lambda}=|G|^{-1}d_{\lambda}\sum_{g\in G}\chi_{\lambda}(g^{-1})g \tag{43}

Họ $(e_{\lambda})$ là một cơ sở trên K của tâm Z(K[G]) của vành K[G] (VIII, p. 408). Ta có

e_{\lambda}=\sum_{C\in\mathscr{C}}\alpha_{\lambda ,C}u_C \tag{44}

với

\alpha_{\lambda ,C}=|G|^{-1}d_{\lambda}\chi_{\lambda}(C^{-1}) \tag{45}

Với $C\in \mathscr{C}$ và $\lambda \in \mathscr{S}_K$ (G), đặt $\beta_{C,\lambda}=|G|d^{-1}_{\lambda}d(C)^{-1}\chi_{\lambda}(C)$ . Các phần tử của ma trận $(\alpha_{\lambda ,C})$ thuộc $\mathscr{O}$ , và từ công thức (31) của VIII, p. 411 suy ra rằng ma trận nghịch đảo của nó là ma trận $(\beta_{C,\lambda})$ , mà các phần tử của nó cũng thuộc $\mathscr{O}$ theo Mệnh đề 9 của VIII, p. 415. Do đó, họ $(e_{\lambda})$ là một cơ sở của môđun $\mathscr{O}$ $Z(\mathscr{O}[G])$ .

Các phần tử $\Phi (u_C) =\sum_{g\in C}g$ của $K'[G]$ tạo thành một cơ sở trên $K'$ của tâm $Z(K'[G])$ của vành $K'[G]$ . Ta có

\Phi (e_{\lambda}) =\sum_{C\in\mathscr{C}}\varphi_1(\alpha_{\lambda ,C}) \Phi (u_C) \tag{46}

và ma trận có các phần tử $\varphi_1(\alpha_{\lambda ,C})$ là khả nghịch. Do đó họ các $\Phi (e_{\lambda})$ là một cơ sở của $Z(K'[G])$ . Họ $(e_{\lambda})$ là một phân hoạch của phần tử lũy đẳng 1 trong Z(K[G]) (VIII, p. 146 và p. 408); nói cách khác, ta có

$\sum_{\lambda}e_{\lambda}= 1,e^2_{\lambda}=e_{\lambda},e_{\lambda}e_\mu= 0$ nếu $\lambda \not=\mu$ .

Suy ra rằng họ các $\Phi (e_{\lambda})$ là một phân hoạch của phần tử lũy đẳng 1 trong $Z(K'[G])$ ; vì họ này là một cơ sở của $Z(K'[G])$ trên $K'$ , nên các phần tử của nó là các phần tử lũy đẳng không phân tích được trong $Z(K'[G])$ (VIII, p. 148, Nhận xét 4).

Với $\lambda '$ trong $\mathscr{S}_{K'}$ (G), định nghĩa $\chi_{\lambda'},d_{\lambda'}$ , và $e_{\lambda'}$ như trên. Theo VIII, p. 408, các phần tử $e_{\lambda'}$ là các phần tử lũy đẳng không phân tích được trong $Z(K'[G])$ . Do đó tồn tại một song ánh $\varphi_G$ từ $\mathscr{S}_K(G)$ đến $\mathscr{S}_{K'}(G)$ sao cho $\Phi (e_{\lambda}) =e_{\varphi_G(\lambda)}$ với mọi $\lambda$ trong $\mathscr{S}_K(G)$ .

Cho $\lambda$ trong $\mathscr{S}_K(G)$ ; đặt $\lambda '=\varphi_G(\lambda )$ . Gọi $(V_{\lambda}, \pi_{\lambda})$ (tương ứng, $(V_{\lambda'}, \pi_{\lambda'})$ ) là một biểu diễn tuyến tính của G mà K[G]-môđun liên kết (tương ứng, $K'$ [G]-môđun) có lớp $\lambda$ (tương ứng, $\lambda '$ ). Ta sẽ chứng minh rằng $\lambda$ và $\lambda '$ có liên quan. Gọi $g$ là một phần tử của G. Gọi $\delta (T)$ là định thức của tự đồng cấu $1 + T\pi_{\lambda}(g)$ của K[T]-môđun $K[T]\otimes_KV_{\lambda}$ . Gọi $\omega_1, . . . , \omega_{d_{\lambda}}$ là các trị riêng của $\pi_{\lambda}(g)$ ; ta có

\delta (T) = (1 + T\omega_1)\cdots (1 + T\omega_{d_{\lambda}})

Ta định nghĩa $\delta '(T)$ tương tự, và ký hiệu các trị riêng của $\pi_{\lambda'}(g)$ là $\omega '_1, . . . , \omega '_{d_{\lambda'}}$ . $\mathscr{O}$ -môđun $\mathscr{O}[G]$ là tự do với cơ sở G, và không gian vectơ trên K K[G] có cơ sở G. Ký hiệu Δ(T) là định thức của phép nhân bởi $1 +e_{\lambda}gT$ trong $\mathscr{O}$ [T]-môđun $\mathscr{O}[T]\otimes_{\mathscr{O}}\mathscr{O}[G]$ . Nó cũng là định thức của phép nhân bởi $1 +e_{\lambda}gT$ trong K[T]-môđun $K[T]\otimes_KK[G]$ . Gọi $\overline{\varphi}_1$ là đồng cấu từ $\mathscr{O}[T]$ đến $K'[T]$ mở rộng $\varphi_1$ và gửi T đến T. Vì G là một cơ sở của không gian vectơ trên $K'$ $K'[G]$ , đa thức $\overline{\varphi}_1(\Delta (T))$ bằng định thức $\Delta '(T)$ của phép nhân bởi $1 +e_{\lambda'}gT$ trong không gian vectơ trên $K'$ $K'[G]$ .

Đại số K[G] là tổng trực tiếp của các thành phần đơn của nó $e_\mu K[G]$ với $\mu$ chạy qua $\mathscr{S}_K(G)$ . Với $\mu$ khác $\lambda$ , phần tử $e_{\lambda}g$ triệt tiêu $e_\mu K[G]$ . Hơn nữa, phép nhân bởi $e_{\lambda}g$ trùng với phép nhân bởi $g$ trong $e_{\lambda}K[G]$ . Theo VIII, p. 409 và Ví dụ 6 của VIII, p. 400, biểu diễn của G trong $e_{\lambda}K[G]$ là tổng trực tiếp của $d_{\lambda}$ biểu diễn thuộc lớp $\lambda$ . Do đó ta có $\Delta (T) =\delta (T)^{d_{\lambda}}$ .

Tương tự, ta có $\Delta '(T) =\delta '(T)^{d_{\lambda'}}$ .

Từ quan hệ $\Delta '(T) =\overline{\varphi}_1$ (Δ(T)), ta suy ra trước hết rằng $d^2_{\lambda}=d^2_{\lambda'}$ , và do đó $d_{\lambda}=d_{\lambda'}$ , rồi suy ra rằng dãy $\varphi (\omega_1), . . . , \varphi (\omega_{d_{\lambda}})$ có thể được suy ra từ dãy $(\omega '_1, . . . , \omega '_{d'_{\lambda'}})$ bằng một phép hoán vị của tập hợp các chỉ số.

Vì điều này đúng với mọi phần tử $g$ của G, các biểu diễn $\lambda$ và $\lambda '$ có liên quan. Do đó ta đã chứng minh được Mệnh đề 10 khi trường K có đặc số 0.

B) Trường hợp tổng quát.

Cho L là một trường đóng đại số có đặc số 0 (ví dụ, một bao đóng đại số của $\mathbf{Q}$ ). Ký hiệu $\mathscr{S}_L(G)$ là tập hợp các lớp của các L[G]-môđun đơn. Chọn một đẳng cấu $\eta$ từ nhóm $\mu_n(L)$ đến nhóm $\mu_n$ (K), và đặt $\eta '=\varphi \circ \eta$ . Theo phần A) của chứng minh, tồn tại các song ánh

\eta_G:\mathscr{S}_L(G)\rightarrow \mathscr{S}_K(G),\eta '_G:\mathscr{S}_L(G)\rightarrow \mathscr{S}_{K'}(G)

có tính chất sau: với mọi $\lambda$ trong $\mathscr{S}_L$ (G), các biểu diễn $\lambda$ và $\eta_G(\lambda )$ có liên quan qua $\eta$ , và các biểu diễn $\lambda$ và $\eta '_G(\lambda )$ có liên quan qua $\eta '$ . Song ánh $\varphi_G=\eta '_G\circ \eta_G^{-1}$ có các tính chất mong muốn.

Song ánh $\varphi_G$ từ $\mathscr{I}_K(G)$ đến $\mathscr{I}_{K'}(G)$ mở rộng thành một đẳng cấu, cũng được ký hiệu là $\varphi_G$ , từ nhóm Grothendieck $R_K(G)$ đến nhóm $R_{K'}(G)$ .

Nhận xét 1 00O2

Giả sử rằng $K'$ là một mở rộng của $K$ và đẳng cấu $\varphi$ là ánh xạ $\xi \mapsto \xi \cdot 1$ ; khi đó ánh xạ $\varphi_G$ được cho bởi phép mở rộng vô hướng từ $K$ đến $K'$ .

Hệ quả 1 00O3

Ánh xạ $\varphi_G$ là một đẳng cấu vành từ $R_K(G)$ đến $R_{K'}(G)$ . Với mọi biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ của $G$ trong một không gian vectơ trên $K$ , ta có $\varphi_G([\pi]) = [\pi']$ , trong đó $\pi'$ là một biểu diễn liên quan với $\pi$ thông qua $\varphi$ *.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Điều này suy ra từ tính nửa đơn của các biểu diễn của $G$ và tính chất b) của VIII, p. 416.

Hệ quả 2 00O4

Chiều của mỗi biểu diễn đơn của $G$ đều chia hết cấp của $G$ *.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 10, Mệnh đề 9

Được trích dẫn bởi Bài tập 10, § 21, Nhận xét

Điều này suy ra từ Mệnh đề 10 và Mệnh đề 9 của VIII, p. 415.

Nhận xét 2 00O5

Giả sử rằng nhóm $G$ là Abel. Ta đã thấy trong nhận xét của VIII, p. 414 rằng $\mathscr{I}_K(G)$ có thể được đồng nhất với tập hợp $\operatorname{Hom}(G, \mu_n(K))$ . Tương tự, $\mathscr{I}_{K'}(G)$ có thể được đồng nhất với $\operatorname{Hom}(G, \mu_n(K'))$ . Với các sự đồng nhất này, song ánh $\varphi_G$ đơn giản là ánh xạ $\chi \mapsto \varphi \circ \chi$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Nhận xét 3 00O6

Cho $\pi_1$ và $\pi_2$ là các biểu diễn tuyến tính của $G$ trong các không gian vectơ hữu hạn chiều trên $K$ . Với $i = 1, 2$ , gọi $\pi_i'$ là một biểu diễn liên quan với $\pi_i$ thông qua $\varphi$ . Ta có

\dim_K \operatorname{Hom}_K(\pi_1, \pi_2) = \dim_{K'} \operatorname{Hom}_{K'}(\pi_1', \pi_2') .

Chứng minh đi theo chứng minh của Hệ quả VIII, p. 410, bằng cách quy về trường hợp các

\pi_i

(và do đó các

\pi_i'

) là đơn.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Nhận xét 4 00O7

Cho $H$ là một nhóm con của $G$ có lực lượng $m$ . Đẳng cấu $\varphi$ hạn chế thành một đẳng cấu từ $\mu_m(K)$ đến $\mu_m(K')$ và, do đó, thành một đẳng cấu vành $\varphi_H$ từ $R_K(H)$ đến $R_{K'}(H)$ . Các biểu đồ sau là giao hoán:

\begin{array}{ccc} R_K(G) & \xrightarrow{\operatorname{Res}_H^G} & R_K(H) \\ \downarrow \varphi_G & & \downarrow \varphi_H \\ R_{K'}(G) & \xrightarrow{\operatorname{Res}_H^{G'}} & R_{K'}(H) , \end{array}

\begin{array}{ccc} R_K(H) & \xrightarrow{\operatorname{Ind}_H^G} & R_K(G) \\ \downarrow \varphi_H & & \downarrow \varphi_G \\ R_{K'}(H) & \xrightarrow{\operatorname{Ind}_H^{G'}} & R_{K'}(G) . \end{array}

Tính giao hoán của biểu đồ thứ nhất là hiển nhiên, và tính giao hoán của biểu đồ thứ hai suy ra từ đó bằng cách dùng luật tương hỗ Frobenius và công thức (47).

Nhận xét 5 00O8

Giả sử rằng G là tích $G'\times G''$ của hai nhóm hữu hạn. Ta định nghĩa các đẳng cấu $\varphi_{G'}$ và $\varphi_{G''}$ như trong ví dụ trước.

Ta có một biểu đồ giao hoán

$R_K(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G'')^{\kappa}$ // $R_K(G)$

\varphi_{G'}\otimes \varphi_{G''}\varphi_G

$R_{K'}(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_{K'}(G'')^{\kappa'}$ // $R_{K'}(G)$ ,

trong đó các đẳng cấu $\kappa$ và $\kappa '$ là những đẳng cấu được định nghĩa trong VIII, p. 406.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

\*13. Các biểu diễn tuyến tính phức

Trong tiểu mục này, ta giả sử rằng K là trường $\mathbf{C}$ các số phức.

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của G. Ta nói rằng một dạng Hermit Φ trên M là bất biến dưới G nếu ta có

\Phi (\pi (g)x, \pi (g)x') = \Phi (x, x') \tag{48}

với mọi $x, x'\in M$ và mọi $g\in G$ . Điều này cũng có nghĩa là với mọi $g\in G$ , tự đẳng cấu $\pi (g)$ của M là unita đối với Φ.

Mệnh đề 11 00O9

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G.

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến Định lý 1, VIII § 3, § 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, Mệnh đề 4 (Quan hệ trực giao đối với các ký tự)

a) Trên M tồn tại một dạng Hermit dương, tách biệt và bất biến dưới G.

b) Giả sử biểu diễn $\pi$ là đơn. Nếu Φ và Ψ là các dạng Hermit khác không trên M bất biến dưới G, thì tồn tại một số thực $a$ sao cho $\Psi =a\Phi$ .

Chọn một dạng Hermit dương tách biệt trên không gian vectơ M, và ký hiệu nó là $\Phi_0$ . Ta định nghĩa một dạng Hermit dương tách biệt Φ bất biến dưới G bằng cách đặt

\Phi (x, x') =\sum_{g\in G}\Phi_0(\pi (g)x, \pi (g)x') \tag{49}

với $x, x'\in M$ .

Cho Ψ là một dạng Hermit trên M; tồn tại một tự đồng cấu duy nhất A của M sao cho $\Psi (x, x') = \Phi (x,Ax')$ với $x, x'$ thuộc M. Nếu hơn nữa Ψ bất biến dưới G, thì tự đồng cấu A giao hoán với tự đẳng cấu $\pi (g)$ với $g\in G$ . Nếu biểu diễn $\pi$ là đơn, thì theo bổ đề Schur (VIII, p. 47, Định lý 1), A là một phép vị tự và do đó tồn tại một số phức $a$ sao cho $\Psi =a\Phi$ . Vì Φ và Ψ là Hermit và Φ khác không, $a$ là một số thực. Mệnh đề được suy ra.

Ta trang bị cho không gian vectơ $\mathbf{C}[G]$ các hàm phức trên G cấu trúc không gian Hilbert có tích vô hướng được cho bởi

\langle f|f'\rangle_G=|G|^{-1}\sum_{g\in G}\overline{f(g)}f'(g) \tag{50}

Với mọi hàm $f\in \mathbf{C}[G]$ , ta ký hiệu $f^*$ là hàm được định nghĩa bởi

f^*(g) =\overline{f(g^{-1})} \tag{51}

với $g\in G$ ; ánh xạ $f\mapsto f^*$ là một đối hợp nửa tuyến tính của $\mathbf{C}[G]$ . Ta cũng có

\langle f|f'\rangle_G=\langle f^*, f'\rangle_G \tag{52}

với $f, f'\in \mathbf{C}[G]$ , với ký hiệu của công thức (28) của VIII, p. 410. Do đó ta có

\langle f|f'\rangle_G=|G|^{-2}\tau (f^*f') \tag{53}

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Ta trang bị cho không gian vectơ M cấu trúc của một không gian Hilbert sao cho các tự đồng cấu $\pi (g)$ là unita (Mệnh đề 11). Nếu ta ký hiệu $A^*$ là tự đồng cấu liên hợp của một tự đồng cấu A của M đối với cấu trúc này, thì ta có Tr( $A^*$ ) $=$ Tr(A). Với mọi $g\in G$ , ta có $\pi (g^{-1}) =\pi (g)^*$ , và do đó $\chi_{\pi}(g^{-1}) =\chi_{\pi}(g)$ ; nói cách khác, ta có $\chi_{\pi}=\chi^*_{\pi}$ . Quan hệ trực giao đối với các ký tự (VIII, p. 410, Mệnh đề 4) khi đó có dạng

\langle \chi_{\lambda}|\chi_\mu\rangle_G=\delta_{\lambda \mu} \tag{54}

với $\lambda , \mu\in \widehat{G}$ . Nó biểu thị rằng họ các ký tự $(\chi_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ của các biểu diễn đơn của G là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert $Z(\mathbf{C}[G])$ các hàm trung tâm.

Cho $\pi$ và $\pi '$ là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Ta có quan hệ $\langle \chi_{\pi}|\chi_{\pi'}\rangle_G=$ dim $_{\mathbf{C}}$ Hom $_G(\pi , \pi ')$ (VIII, p. 410, Hệ quả). Biểu diễn $\pi$ là bất khả quy khi và chỉ khi $\langle \chi_{\pi}|\chi_{\pi}\rangle_G= 1$ .

Đối với mọi phần tử $\lambda$ của $\widehat{G}$ , ta trang bị cho không gian vectơ $V_{\lambda}$ cấu trúc của một không gian Hilbert sao cho các tự đồng cấu $\pi_{\lambda}(g)$ là unita. Ta ký hiệu bởi $\langle v|v'\rangle_{\lambda}$ tích vô hướng nội của hai phần tử $v, v'$ của $V_{\lambda}$ và bởi $u^*$ phần tử liên hợp của một tự đồng cấu $u$ của $V_{\lambda}$ . Cho $A = (A_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ và $A'= (A'_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ là các phần tử của $F(\widehat{G})$ . Ta viết $A^*= (A^*_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ . Ta có $\mathscr{F}(a^*) = (\mathscr{F}(a))^*$ với mọi phần tử $a$ của $\mathbf{C}[G]$ . Đặt (55) $\langle A|A'\rangle_{\widehat{G}}=|G|^{-2}\widehat{\tau}(A^*A')$ . Theo công thức (10) của VIII, p. 407, ta có

(56) $\langle A|A'\rangle_{\widehat{G}}=\frac{1}{|G|^2}\sum_{\lambda\in\widehat{G}}d_{\lambda}$ Tr(A $^*_{\lambda}$ A $'_{\lambda}$ ).

Vì $\widehat{\tau}\circ \mathscr{F}=\tau$ , các công thức (53) và (55) suy ra rằng ánh xạ $\mathscr{F}$ là một đẳng cấu của các không gian Hilbert từ $\mathbf{C}[G]$ đến $F(\widehat{G})$ .

Các hệ thức trực giao Schur (VIII, p. 410) có thể được phát biểu lại bằng cách sử dụng các tích vô hướng nội Hilbert. Khi đó, các hệ thức (21) và (24) cho các khẳng định sau. Với $\lambda \in \widehat{G}$ và $x, x', y, y'$ thuộc $V_{\lambda}$ , ta có (57) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}\overline{\langle x|\pi_{\lambda}(g)x'\rangle}_{\lambda}\langle y|\pi_{\lambda}(g)y'\rangle_{\lambda}=d^{-1}_{\lambda}\overline{\langle x|y\rangle}_{\lambda}\langle x'|y'\rangle_{\lambda}$ .

Nếu $\lambda$ và $\mu$ là hai phần tử phân biệt của $\widehat{G}$ , thì với $x, x'$ thuộc $V_{\lambda}$ và $y, y'$ thuộc $V_\mu$ , ta có (58) $\sum_{g\in G}\overline{\langle x|\pi_{\lambda}(g)x'\rangle}_{\lambda}\langle y|\pi_\mu(g)y'\rangle_\mu= 0$ .

Với mọi $\lambda \in \widehat{G}$ , ta chọn một cơ sở trực chuẩn $(e_{\lambda ,i})_{1\leqslant i\leqslant d_{\lambda}}$ của $V_{\lambda}$ . Với mọi $g\in G$ , ta ký hiệu bởi $(\pi^{\lambda}_{ij}(g))$ ma trận của tự đồng cấu $\pi_{\lambda}(g)$ của $V_{\lambda}$ đối với cơ sở này; ta có (59) $\pi^{\lambda}_{ij}(g) =\langle e_{\lambda ,i}|\pi_{\lambda}(g)e_{\lambda ,j}\rangle_{\lambda}$ .

Vì tự đồng cấu $\pi_{\lambda}(g)$ là unita, nghịch đảo của nó bằng $\pi_{\lambda}(g)^*$ , do đó (60) $\overline{\pi^{\lambda}_{ij}(g)}=\pi^{\lambda}_{ji}(g^{-1})$ . Từ đó, suy ra từ các công thức (22) của VIII, p. 409 và (25), p. 409 rằng các hàm $(d_{\lambda})^{1/2}\pi_{ij}^{\lambda}$ , với $\lambda \in \widehat{G},1\leqslant i\leqslant d_{\lambda},1\leqslant j\leqslant d_{\lambda}$ , tạo thành một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert $\mathbf{C}[G].*$

Bài tập

Xem các bài tập của § 21.

[^1]: Các phần tử của Hom $_G(\pi , \pi ')$ đôi khi được gọi là các toán tử xen kẽ của $\pi$ và $\pi '$ .