Bài tập 17, § 21

Cho C là một lớp liên hợp của G và $\pi$ là một biểu diễn bất khả quy của G có bậc $d$.

a) Chứng minh rằng phần tử $d^{-1}$ Card(C) $\chi (C)$ của K là nguyên trên $\mathbf{Z}$ (lý luận như trong chứng minh của Mệnh đề 9 của VIII, p. 415).

b) Giả sử rằng $d$ và Card(C) là các số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng phần tử $d^{-1}\chi (C)$ là nguyên trên $\mathbf{Z}$.

$*$c) Giả sử thêm rằng, $K =\mathbf{C}$. Chứng minh rằng mọi liên hợp của $d^{-1}\chi (C)$ trên $\mathbf{Q}$ đều có giá trị tuyệt đối $\leqslant 1$. Suy ra từ Bài tập 16, c) rằng $|\chi (C)|$ bằng không hoặc bằng $d$. Kết luận rằng nếu $\chi (C)$ không bằng không, thì $\pi (x)$ là một phép vị tự với mọi $x\in C$. Đặc biệt, nếu $\pi$ trung thành và C không quy về một phần tử, thì ta có $\chi (C) = 0.*$