Exercice 17, § 21

Soient C une classe de conjugaison de $G,\pi$ une représentation irréductible de G, de degré $d$.

a) Prouver que l’élément $d^{-1}$ Card(C)$\chi (C)$ de K est entier sur $\mathbf{Z}$(raisonner comme dans la démonstration de la prop. 9 de VIII, p. 405).

b) On suppose que $d$ et Card(C) sont premiers entre eux ; prouver que l’élément $d^{-1}\chi (C)$ est entier sur $\mathbf{Z}$.

$*$c) On suppose en outre $K =\mathbf{C}$. Prouver que tous les conjugués de $d^{-1}\chi (C)$ sur $\mathbf{Q}$ sont de module $\leqslant 1$; déduire de l’exerc. 16 c) que $|\chi (C)|$ est nul ou égal à $d$. Conclure que si $\chi (C)$ n’est pas nul, $\pi (x)$ est une homothétie pour tout $x\in C$. En particulier si $\pi$ est fidèle et C non réduite à un élément, on a $\chi (C) = 0.*$