Bài tập 13, § 21

Cho $\mathscr{H}$ là một tập hợp các nhóm con của G.

a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Hợp của các liên hợp của các nhóm con thuộc $\mathscr{H}$ bằng G.

(ii) Mọi đặc trưng của G là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số hữu tỉ của các đặc trưng cảm sinh bởi các đặc trưng của các nhóm con thuộc $\mathscr{H}$.

(Suy ra từ Mệnh đề 6 của VIII, p. 412 rằng tính chất (ii) là tương đương với tính đơn ánh của đồng cấu hạn chế $\mathscr{Z}_K(G)\rightarrow \bigoplus_{H\in\mathscr{H}}\mathscr{Z}_K(H).$)

b) Cho $\mathscr{C}$ là tập hợp các nhóm con cyclic của G; hiển nhiên nó có tính chất (i). Với mọi nhóm con cyclic C của G, ta ký hiệu bởi $\varphi_C$ hàm trên C có giá trị Card(C) trên các phần tử sinh của C và 0 trên các phần tử khác. Chứng minh đẳng thức Card(G) $=\sum_{C\in\mathscr{C}}$ Ind$^G_C(\varphi_C)$.

c) Cho $C\in \mathscr{C}$. Chứng minh rằng hàm $\varphi_C$ thuộc nhóm con $R_K(G)$ của $\mathscr{Z}_K(G)$ sinh bởi các đặc trưng (lập luận bằng quy nạp theo cấp của C, dùng b)).

d) Cho $\chi$ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G. Hãy chứng minh đẳng thức $\chi =$ Card(G)$^{-1}\sum_{C\in\mathscr{C}}$ Ind$^G_C(\varphi_C$ Res$^G_C(\chi ))$, điều này cho một công thức tường minh cho tính chất (ii) của a).