Exercice 13, § 21

Soit $\mathscr{H}$ un ensemble de sous-groupes de G.

a) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) La réunion des conjugués des sous-groupes appartenant à $\mathscr{H}$ est égale à G ;

(ii) Tout caractère de G est combinaison linéaire à coefficients rationnels de caractères induits par des caractères de sous-groupes appartenant à $\mathscr{H}$.

(Déduire de la prop. 6 de VIII, p. 402 que la condition (ii) équivaut à l’injectivité de l’homomorphisme de restriction $\mathscr{Z}_K(G)\rightarrow \bigoplus_{H\in\mathscr{H}}\mathscr{Z}_K(H).$)

b) Soit $\mathscr{C}$ l’ensemble des sous-groupes cycliques de G ; il satisfait évidemment à (i). Pour tout sous-groupe cyclique C de G, on note $\varphi_C$ la fonction sur C qui vaut Card(C) sur les générateurs de C et 0 sur les autres éléments. Démontrer l’égalité Card(G) = $\sum_{C\in\mathscr{C}}$ Ind$^G_C(\varphi_C)$.

c) Soit $C\in \mathscr{C}$; démontrer que la fonction $\varphi_C$ appartient au sous-groupe $R_K(G)$ de $\mathscr{Z}_K(G)$ engendré par les caractères (raisonner par récurrence sur l’ordre de C, en utilisant b)).

d) Soit $\chi$ le caractère d’une représentation irréductible de G ; démontrer l’égalité $\chi =$ Card(G)$^{-1}\sum_{C\in\mathscr{C}}$ Ind$^G_C(\varphi_C$ Res$^G_C(\chi ))$, qui donne une formule explicite pour la propriété (ii) de a).