Cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của $L$, và cho $p_i$ là các hàm tọa độ tương ứng với cơ sở này. Chọn một thứ tự tốt (Lý thuyết tập hợp, III, p. 153) trên $I$ và ký hiệu $L_\alpha$ là môđun con sinh bởi các $e_i$, với $\alpha \leq i$; đặt $M_\alpha = M \cap L_\alpha$. Hàm tọa độ $p_i$ ánh xạ $M_\alpha$ lên một iđêan $a_\alpha$ của $A$; vì $a_\alpha$ là một $A$-môđun xạ ảnh, nên tồn tại (II, p. 231, Prop. 4) một môđun con $N_\alpha$ của $M$, sao cho ánh xạ $x \mapsto p_i(x)$ từ $N_\alpha$ vào $a_\alpha$ là song ánh. Gọi $M'_\alpha$ là môđun con của $L$ sinh bởi các $N_\alpha$, với $\alpha \leq i$; ta sẽ chứng minh rằng $M'_\alpha = M_\alpha$ với mọi $\alpha$, điều này sẽ suy ra rằng $M$ được sinh bởi họ $(N_\alpha)_{\alpha < i}$. Thật vậy, giả sử $M'_\lambda = M_\lambda$ với mọi $\lambda < i$; khi đó $p_\lambda(x) \in a_\lambda$, với mọi $x \in M_\lambda$; do đó tồn tại $y \in N_\lambda$ sao cho $x - y$ là một tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử $e_i$, với $\alpha < \lambda$; nói cách khác $x - y$ là một phần tử của $M_\alpha$, với một $\lambda < i$ nào đó; giả thiết quy nạp cho thấy $x - y \in M'_\lambda \subset M'_\alpha$, nghĩa là $x \in M'_\alpha$, và do đó $M'_\alpha = M_\alpha$. Còn phải chứng minh rằng tổng của các $N_\alpha$ là trực tiếp; bây giờ giả sử tồn tại một quan hệ tuyến tính $\sum a_\alpha = 0$, với $a_\alpha \in N_\alpha$, trong đó các $a_\alpha$ (trừ hữu hạn phần tử đều bằng không) không đồng thời bằng không. Gọi $p$ là chỉ số lớn nhất $\alpha$ sao cho $a_\alpha \neq 0$; vì $p_\mu(a_\lambda) = 0$ với $\lambda < \mu$, ta có $p_\mu(a_\mu) = p_\mu\left( \sum a_\alpha \right) = 0$, nên $a_\mu = 0$, mâu thuẫn với lựa chọn $p$.

Thật vậy mọi $A$-môđun xạ ảnh đều là một môđun con của một $A$-môđun tự do (II, p. 231, Mệnh đề 4), và Định lý 1 áp dụng được.

MỆNH ĐỀ I. — Nếu L là một môđun tự do hạng hữu hạn n trên một miền iđêan chính A, thì mọi môđun con M của L đều là một môđun tự do hạng $\leq n$. Thật vậy M là một môđun tự do theo Hệ quả 2 của Định lý 1, và nó có hạng $\leq n$ theo nhận xét trước, hoặc theo bổ đề sau: