Soit $(e_i)_{i \in I}$ une base de $L$, et soient $p_i$ les fonctions coordonnées relatives à cette base. Munissons $I$ d’une structure d’ensemble bien ordonné (E, III, p. 20, th. 1), et désignons par $L_i$ le sous-module engendré par les $e_\lambda$ pour $\lambda \leq i$; nous poserons $M_i = M \cap L_i$. La fonction coordonnée $p_i$ applique $M_i$ sur un idéal $a_i$ de $A$; puisque $a_i$ est un $A$-module projectif, il existe (II, p. 39, prop. 4) un sous-module $N_i$ de $M_i$ tel que l’application $x \mapsto p_i(x)$ de $N_i$ dans $a_i$ soit bijective. Soit $M'_i$ le sous-module de $L$ engendré par les $N_\lambda$ pour $\lambda \leq i$; nous allons montrer que $M'_i = M_i$ pour tout $i$, ce qui impliquera que $M$ est engendré par la famille $(N_i)_{i \in I}$. Supposons en effet que l’on ait $M'_\lambda = M_\lambda$ pour tout $\lambda < i$; alors, pour tout $x \in M_i$, on a $p_i(x) \in a_i$; il existe donc $y \in N_i$ tel que $x - y$ soit combinaison linéaire d’un nombre fini d’éléments $e_\lambda$ avec $\lambda < i$; autrement dit, $x - y$ est élément d’un $M_\lambda$ avec $\lambda < i$; l’hypothèse de récurrence montre que $x - y \in M'_\lambda \subset M'_i$ c’est-à-dire $x \in M'_i$, d’où $M'_i = M_i$. Reste à montrer que la somme des $N_i$ est directe ; or, supposons qu’il existe une relation linéaire $\sum_i a_i = 0$, avec $a_i \in N_i$ où les $a_i$ (nuls sauf un nombre fini d’entre eux) ne sont pas tous nuls. Soit $\mu$ le plus grand des indices $i$ tels que $a_i \neq 0$; comme $p_\mu(a_\lambda) = 0$ pour $\lambda < \mu$, on a $p_\mu(a_\mu) = p_\mu(\sum_i a_i) = 0$ donc $a_\mu = 0$, ce qui est contraire à l’hypothèse.

En effet, tout $A$-module projectif est isomorphe à un sous-module d’un module libre (II, p. 39, prop. 4) et on applique le th. 1.

Tous les idéaux d’un anneau principal étant des modules libres, cela résulte directement du th. 1.

En effet, $M$ est un module libre d’après le cor. 2 au th. 1, et il est de rang $\leq n$ d’après la remarque précédente ou le lemme suivant :

Supposons tout d’abord L libre. Notons i l’injection canonique de M dans L. D’après III, p. 88, cor., l’homomorphisme $\Lambda^{n+1}i : \Lambda^{n+1}M \to \Lambda^{n+1}L$ est injectif ; d’après III, p. 80, prop. 6, $\Lambda^{n+1}L = \{0\}$, donc $\Lambda^{n+1}M = \{0\}$; il en résulte que M est de rang $\leq n$ (III, p. 87, cor. 1). Passons maintenant au cas général ; L est un quotient d’un module libre L’ de rang n. Il existe un sous-module M’ de L’ isomorphe à M (II, p. 27, prop. 21). D’après la première partie du raisonnement, M’ est de rang $\leq n$, d’où le résultat.

Il existe en effet un homomorphisme f de $A^n$ sur E (II, p. 25, cor. 3), et $\bar{f}(F)$, qui est un module libre de rang $m \leq n$, est engendré par m éléments ; les images de ceux-ci par f engendrent F.