Notons $p_i : M \to M$ l’homothétie $m \mapsto e_i m$; comme $e_i$ est central, $p_i$ est A-linéaire ; comme $e_i^2 = e_i$, $\sum_{i \in I} e_i = 1$, et $e_i e_j = 0$ pour $i \neq j$, on a

et les $p_i$ forment une famille orthogonale de projecteurs de somme l’identité (II, p. 18, déf. 7). D’après loc. cit., prop. 12, M est somme directe des sous-modules $p_i(M) = e_i M$. Par ailleurs $e_i M$ est annulé par $b_i = A(1 - e_i)$; si $i \neq j$ et $m \in M$, on a $(1 - e_i) e_j m = e_j m$, de sorte qu’aucun élément non nul de $e_j M$ n’est annulé par $1 - e_i$ et a fortiori par $b_i$. Il s’ensuit que $e_i M = M_i$, d’où la proposition.

Le sous-module N = M(α) des éléments de M annulés par α est somme directe des sous-modules M(π_i^{n(i)}), et l’application qui, à tout x ∈ M(α), fait correspondre son composant dans M(π_i^{n(i)}), est de la forme x ↦ γ_i x (γ_i ∈ A). En outre, on a

Notons d’abord que N est annulé par α, donc muni d’une structure naturelle de A/(α)-module. D’après la prop. 4 de VII, p. 3, l’homomorphisme canonique de $A/(\alpha)$ dans le produit des anneaux $A/(\pi_i^{n(i)})$ est un isomorphisme d’anneaux ; appliquant alors la prop. 1 de VII, p. 6, on en déduit que $N$ est somme directe des $M(\pi_i^{n(i)})$; les projecteurs de cette décomposition sont des homothéties d’après VII, p. 7, remarque 2. L’inclusion $M(\pi_i^{n(i)}) \subset M(\alpha) \cap M_{\pi_i}$ est évidente ; inversement, soit $x \in M(\alpha) \cap M_{\pi_i}$. Il existe une puissance $\pi_i^s$ de $\pi_i$ qui annule $x$; on peut supposer $s \geq n(i)$; d’après l’identité de Bezout, il existe $\lambda, \mu \in A$ tels que $\pi_i^{n(i)} = \lambda \pi_i^s + \mu \alpha$, donc $\pi_i^{n(i)} x = 0$ et finalement $x \in M(\pi_i^{n(i)})$.

En effet, pour chaque indice $i$, il existe un élément $\alpha_i \neq 0$ dans $A$ qui annule $x_i$; l’élément $\gamma = \prod_{i=1}^n \alpha_i$ répond à la question.

Tout élément $x \in M$ appartient à un sous-module $M(\alpha)$ pour un $\alpha \neq 0$, donc, en vertu du lemme 1 est somme d’un nombre fini d’éléments dont chacun appartient à un sous-module $M_\pi$. D’autre part, si l’on a $\sum_{\pi \in P} x_\pi = \sum_{\pi \in P} y_\pi$, où $x_\pi \in M_\pi$ et $y_\pi \in M_\pi$ pour tout $\pi \in P$ et où les $x_\pi$ et $y_\pi$ sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux, le lemme 2 montre qu’il existe $\gamma \neq 0$ dans $A$ tel que les $x_\pi$ et $y_\pi$ appartiennent à un même sous-module $M(\gamma)$; l’application du lemme 1 à $M(\gamma)$ montre que $x_\pi = y_\pi$ pour tout $\pi \in P$, ce qui achève la démonstration.

Il est clair que, si $\pi$ et $\pi'$ sont deux éléments extrémaux associés, on a $M_\pi = M_{\pi'}$; pour un module donné $M$, le sous-module $M_\pi$ ne dépend donc que de l’idéal $(\pi)$ de $A$; on dit que c’est le composant $\pi$-primaire du module $M$, et la décomposition de $M$ en somme directe des $M_\pi$ est appelée la décomposition canonique de $M$ en somme directe de ses composants $\pi$-primaires.

Cela résulte de ce que $N \cap M_\pi$ est le composant $\pi$-primaire $N_\pi$ de $N$.

En effet, si $N$ et $N'$ sont deux sous-modules de $M$, on a $M = N \oplus N'$ si et seulement si $M_\pi = N_\pi \oplus N'_\pi$ pour tout élément extrémal $\pi$ de $A$ (cor. 1).

En effet, la condition $(M/N)_{\pi} = 0$ implique $N_{\pi} = M_{\pi}$, et on applique le cor. 2.

On dit qu’un $A$-module $M$ est semi-simple si tout sous-module de $M$ est facteur direct (cf. A, VIII, § 4).

Supposons d’abord $M$ semi-simple ; soit $x \in M$ et soit $\pi$ un élément extrémal de $A$. Si $N$ est un supplémentaire de $A\pi x$ dans $M$, on peut écrire $x = \alpha \pi x + y$, avec $\alpha \in A$ et $y \in N$; mais cela implique $y = (1 - \alpha \pi) x$, donc

Il en résulte d’abord que $M$ est de torsion ; de plus, si $x \in M_{\pi}$, on a $\pi(1 - \alpha \pi) x = 0$ donc $\pi x = \alpha \pi^2 x = \alpha^2 \pi^3 x = \cdots = \alpha^n \pi^{n+1} x$ est nul et l’on a $M_{\pi} = M(\pi)$.

Inversement, il suffit, d’après le cor. 2, de prouver qu’un $A$-module $M$ annulé par un élément extrémal $\pi$ est semi-simple ; mais cela est clair, puisque $M$ est alors muni d’une structure naturelle d’espace vectoriel sur le corps $A/(\pi)$, et que les sous-modules de $M$ ne sont autres que les sous-espaces vectoriels de cette structure.

Cela résulte aussitôt du lemme 1, car, en vertu du lemme 2, il existe $\alpha \neq 0$ dans $A$ tel que $M = M(\alpha)$.

Si de plus $R_p$ désigne une partie de $A$ contenant un élément et un seul de chaque classe de $A$ mod. $p$ ($p \in P$), tout $x \in K$ s’écrit, d’une manière et d’une seule, sous la forme

où $a \in A$ et $r_{ph} \in R_p$ quels que soient $h$ et $p$, les $r_{ph}$ étant nuls sauf un nombre fini d’entre eux.

Considérons $K$ comme muni de sa structure de $A$-module ; alors $A$ est le sous-module de $K$ engendré par 1. Le module quotient $K/A$ est le quotient de $K$ par la relation d’équivalence $x' - x \in A$, qui, avec les notations de VI, p. 6, s’écrit aussi $x \equiv x'$ (mod. 1) ; nous noterons $f$ l’application canonique de $K$ sur $M = K/A$.

Le module quotient $M$ est un module de torsion, car tout élément de $M$ est de la forme $f(a/b)$ ($a \in A, b \in A, b \neq 0$), d’où $bf(a/b) = f(a) = 0$. On peut donc lui appliquer le th. 1 de VII, p. 8. Soit $M_p$ ($p \in P$) le sous-module des éléments de $M$ annulés par une puissance de $p$ ; alors $\overline{f}(M_p)$ est le sous-anneau $A_p$ des éléments de $K$ de la forme $ap^{-n}$ où $a \in A$ et où $n$ est un entier $\geqslant 0$. Le module $M$ étant somme directe des $M_p$, tout $x \in K$ est congru mod. 1 à un élément de la somme des $A_p$ ; en d’autres termes, on peut écrire la formule (1), où les $s(p)$ sont des entiers $> 0$, et les $a_p$ des éléments de $A$ en nombre fini tels que $a_p$ ne soit pas multiple de $p$.

Montrons que ces conditions sur les $s(p)$ et les $a_p$ déterminent complètement $H$ et les $s(p)$. En effet, $H$ est alors l’ensemble des $p \in P$ tels que le composant de $f(x)$ dans $M_p$ soit $\neq 0$. D’autre part si $s$ et $s'$ sont deux entiers $> 0$ tels que $s \geqslant s'$, $a$ et $a'$ des éléments de $A$ non multiples de $p$ tels que $ap^{-s} \equiv a'p^{-s'}$ (mod. 1) on en déduit que $a \equiv a'p^{s-s'}$ (mod. $p^s$) ; si l’on avait $s > s'$, on aurait $a \equiv 0$ (mod. $p$), contrairement à l’hypothèse. Ce raisonnement montre de plus que chaque $a_p$ est bien déterminé mod. $p^{s(p)}$.

Pour achever la démonstration, remarquons d’abord que, dans chaque classe de $A$ mod. $p^s$, il existe un élément et un seul de la forme $\sum_{h=0}^{s-1} r_h p^h$ avec $r_h \in R_p$ pour $0 \leqslant h \leqslant s-1$. Procédons en effet par récurrence sur $s$ (la propriété résultant de la définition de $R_p$ pour $s = 1$) : soit $x \in A$; dans la classe de $x$ mod. $p^{s-1}$ il existe par hypothèse, un élément et un seul de la forme $\sum_{h=0}^{s-2} r_h p^h$ ($r_h \in R_p$); alors $x - \sum_{h=0}^{s-2} r_h p^h$ est un multiple $ap^{s-1}$ de $p^{s-1}$; or il existe un élément $r_{s-1}$ et un seul de $R_p$ tel que $a \equiv r_{s-1}$ (mod. $p$); d’où $x \equiv \sum_{h=0}^{s-1} r_h p^h$ (mod. $p^s$). Il suffit alors d’appliquer ceci à chaque $a_p$ de la formule (1) pour obtenir la formule (2). L’unicité est évidente en vertu de ce qui précède.

Les cas les plus importants d’application du th. 2 sont les suivants :

I. L’anneau A est l’anneau $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels, et $K = \mathbf{Q}$. On prend pour $P$ l’ensemble des nombres premiers $> 0$, et, pour tout $p \in P$, on prend pour $R_p$ l’intervalle $[0, p-1]$ de $\mathbf{Z}$. D’où la décomposition canonique

où $a \in \mathbf{Z}$, $e_{ph} \in \mathbf{Z}$, $0 \leq e_{ph} \leq p-1$.

II. L’anneau A est l’anneau $E[X]$ des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif $E$, et $K = E(X)$. On prend pour $P$ l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles de $E[X]$ (VII, p. 5). Pour $p \in P$, on peut, en vertu de la division euclidienne des polynômes (IV, p. 10), prendre pour $R_p$ l’ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à celui de $p$. D’où la décomposition (dite canonique) d’une fraction rationnelle $r(X) \in E(X)$ :

où $a(X)$ est un polynôme, où $v_{ph}(X)$ est un polynôme de degré strictement inférieur à celui de $p(X)$, quels que soient $p$ et $h$. Si, en particulier, $E$ est un corps algébriquement clos, les $p(X)$ sont de la forme $X - \alpha$ avec $\alpha \in E$ (V, p. 19) et les $v_{ph}(X)$ sont donc des constantes.

On peut donc dire que l’espace vectoriel $E(X)$ sur le corps $E$ admet pour base l’ensemble formé des monômes $X^n$ (n entier $\geq 0$) et des fractions rationnelles de la forme $X^m/(p(X))^h$ où $p$ parcourt l’ensemble $P$, et où, pour chaque $p$, $h$ parcourt l’ensemble des entiers $\geq 1$, et $m$ l’ensemble des entiers tels que $0 \leq m < \deg(p)$.

Pour démontrer la première assertion, il suffit de prouver que si $k \geqslant 1$ et si $x \equiv 1 + p^k y$ mod. $p^{k+1}$, alors $x^p \equiv 1 + p^{k+1} y$ mod. $p^{k+2}$, et on conclura par récurrence sur l’entier $k$. Or on a aussitôt, pour $a \in \mathbf{Z}$ et $k \geqslant 1$,

donc De même, pour $k \geqslant 1$, on a $(1 + 2^{k+1} a)^2 \equiv 1 + 2^{k+2} a$ mod. $2^{k+3}$, donc d’où la deuxième assertion par récurrence sur $k$.

Comme $\mathrm{U}(p^n)$ est d’ordre $p^{n-1}$, l’ordre de tout élément $u$ de $\mathrm{U}(p^n)$ est une puissance de $p$, et $u$ est un générateur de $\mathrm{U}(p^n)$ si et seulement si $u^{p^{n-2}} \neq 1$. Or, si $u$ est la classe de $x = 1 + py$, $u^{p^{n-2}}$ est d’après le lemme 3 la classe de $1 + p^{n-1} y$, de sorte que $u$ engendre $\mathrm{U}(p^n)$ si et seulement si $y \not\equiv 0$ mod. $p$, c’est-à-dire $x \not\equiv 1$ mod. $p^2$. Par exemple, la classe de $1 + p$ engendre $\mathrm{U}(p^n)$. De même, la classe $u$ de $x$ mod. $2^n$ engendre $\mathrm{U}(2^n)$ si et seulement si $u^{2^{n-3}} \neq 1$, ce qui d’après le lemme 3 signifie que $x$ n’est pas congru à 1 mod. 8 ; cela est vérifié pour $x = 5$.

On a $abM = 0$, donc $M$ est de torsion. La première assertion résulte du cor. 3 de VII, p. 9. Si $N$ et $P$ sont monogènes, ils sont de type fini, ainsi par conséquent que $M$ (II, p. 17, cor. 5) ; comme les composants $p$-primaires de $M$ sont isomorphes à des composants $p$-primaires, soit de $N$, soit de $P$, $M$ est monogène d’après la remarque 2 de VII, p. 9.

Les ordres $p^{n-1}$ de $U(p^n)$ et $p-1$ de $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*$ sont étrangers ; comme $U(p^n)$ et $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*$ sont cycliques (prop. 3 et V, p. 75, lemme 1), le groupe $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^*$ est cyclique (appliquer le lemme 4 à la suite exacte (3)). Si $n \geqslant 2$, la restriction de l’homomorphisme canonique $v : (\mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})^* \to (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z})^*$ au sous-groupe $\{1, -1\}$ est bijectif ; le groupe $(\mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})^*$ est donc produit direct de ce sous-groupe et du noyau $U(2^n)$ de $v$; on conclut grâce à la prop. 3.