§ 7. Algèbre extérieure

1. Définition de l’algèbre extérieure d’un module

Définition 1

Soient $A$ un anneau commutatif, $M$ un $A$ -module. On appelle algèbre extérieure de $M$ , et on note $\wedge(M)$ ou $\mathrm{Alt}(M)$ ou $\wedge_A(M)$ , l’algèbre sur $A$ quotient de l’algèbre tensorielle $T(M)$ par l’idéal bilatère $\mathfrak{I}''$ (aussi noté $\mathfrak{I}_{M}''$ ) engendré par les éléments $x \otimes x$ , où $x$ parcourt $M$ .

Cite 1

Cite Proposition 2, II § 11

L’idéal $\mathfrak{I}''$ étant engendré par des éléments homogènes de degré 2, est un idéal gradué (II, p. 167, prop. 2); on pose $\mathfrak{I}_n'' = \mathfrak{I}'' \cap T^n(M)$ ; l’algèbre $\wedge(M)$ est donc graduée par la graduation (dite canonique) formée des $\wedge^n(M) = T^n(M)/\mathfrak{I}_n''$ .

On a $\mathfrak{g}_0' = \mathfrak{g}_1'' = \{0\}$ , donc $\wedge^0(M)$ s’identifie canoniquement à $A$ et $\wedge^1(M)$ à $T^1(M) = M$ ; nous ferons toujours par la suite ces identifications, et nous noterons $\varphi''$ ou $\varphi_M''$ l’injection canonique $M \to \wedge(M)$ .

Proposition 1

Soient E une A-algèbre, $f : M \to E$ une application A-linéaire telle que*

(f(x))^2 = 0 \quad \text{quel que soit } x \in M.

*Il existe un homomorphisme et un seul de A-algèbres

g : \wedge(M) \to E

tel que

f = g \circ \varphi''

Cite 2 · Cité par 4

Cite E IV § 3. Applications universelles, Proposition 1, III § 5

Cité par III § 11. Cogèbres, produits de formes multilinéaires, produits intérieurs et dualité, § 7. Algèbre extérieure, Proposition 10, Proposition 2

En d’autres termes, $(\wedge(M), \varphi'')$ est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 23), où $\Sigma$ est l’espèce de structure de A-algèbre, les $\alpha$ -applications étant les applications linéaires du A-module $M$ dans une A-algèbre vérifiant (1).

L’unicité de $g$ résulte de ce que $\varphi''(M) = M$ engendre $\wedge(M)$ . Pour prouver l’existence de $g$ , notons qu’en vertu de III, p. 56, prop. 1, il existe un homomorphisme $g_1 : T(M) \to E$ de A-algèbres tel que $f = g_1 \circ \varphi$ ; tout revient à voir que $g_1$ s’annule dans l’idéal $\mathfrak{g}'$ , car alors, si $p : T(M) \to \wedge(M) = T(M)/\mathfrak{g}'$ est l’homomorphisme canonique, on pourra écrire $g_1 = g \circ p$ , où $g : \wedge(M) \to E$ est un homomorphisme d’algèbres, et la conclusion résultera de ce que $p \circ \varphi = \varphi''$ . Or, le noyau de $g_1$ est un idéal bilatère qui, en vertu de (1) et de la relation $g_1 \circ \varphi = f$ , contient les éléments $x \otimes x$ pour $x \in M$ . Ceci termine la démonstration.

*Remarques. — 1) Supposons que E soit une A-algèbre graduée de type $\mathbf{Z}$ , de graduation $(E_n)$ , et supposons en outre que l’application linéaire $f$ (supposée vérifier (1)) soit telle que*

f(M) \subset E_1.

Alors la relation

g(x_1 x_2 \ldots x_p) = f(x_1) f(x_2) \ldots f(x_p)

pour les

x_i \in M

montre que

g(\wedge^p(M)) \subset E_p

pour tout

p \geqslant 0

, donc

g

est un homomorphisme d’*algèbres graduées*.

2) Pour éviter des confusions, on note le plus souvent le produit de deux éléments $u, v$ de l’algèbre extérieure $\wedge(M)$ par $u \wedge v$ et on dit qu’il est le produit extérieur de $u$ par $v$ . Les éléments de $\wedge^n(M)$ sont donc les sommes d’éléments de la forme $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n$ avec $x_i \in M$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$ et sont souvent appelés n-vecteurs.

2. Propriétés fonctorielles de l’algèbre extérieure

Proposition 2

Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules, $u : M \to N$ une application A-linéaire. Il existe un homomorphisme de A-algèbres et un seul,*

u'' : \wedge(M) \to \wedge(N),

tel que le diagramme

\begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{u} & N \\ \downarrow{\varphi_M''} & & \downarrow{\varphi_N''} \\ \wedge(M) & \xrightarrow{u''} & \wedge(N) \end{array}

*soit commutatif. En outre,

u''

est un homomorphisme d’algèbres graduées.

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 1

Cité par Exemple 1, III § 11

L’existence et l’unicité de $u''$ résultent de III, p. 77, prop. 1, appliquée à l’algèbre $\wedge(\mathbf{N})$ et à $f = \varphi''_{\mathbf{N}} \circ u : \mathbf{M} \to \wedge(\mathbf{N})$ ; on a en effet $f(\mathbf{M}) \subset \mathbf{N}$ , donc $f$ vérifie la condition (1) par définition de $\mathfrak{J}'_{\mathbf{N}}$ ; comme $f(\mathbf{M}) \subset \wedge^1(\mathbf{N}) = \mathbf{N}$ , le fait que $u''$ soit un homomorphisme d’algèbres graduées résulte de la Remarque 1 de III, p. 77.

L’homomorphisme $u''$ de la prop. 2 sera désormais noté $\wedge(u)$ . Si $\mathbf{P}$ est un A-module et $v : \mathbf{N} \to \mathbf{P}$ une application A-linéaire, on a

\wedge(v \circ u) = \wedge(v) \circ \wedge(u)

car

\wedge(v) \circ \wedge(u)

est un homomorphisme d’algèbres qui rend commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} \mathbf{M} & \xrightarrow{v \circ u} & \mathbf{P} \\ \varphi''_{\mathbf{M}} \downarrow & & \downarrow \varphi''_{\mathbf{P}} \\ \wedge(\mathbf{M}) & \xrightarrow{\wedge(v) \circ \wedge(u)} & \wedge(\mathbf{P}) \end{array}

Puisque $\wedge(\mathbf{M})$ contient $\mathbf{M} = \wedge^1(\mathbf{M})$ , on dit parfois que $\wedge(u)$ est le prolongement canonique de $u$ à $\wedge(\mathbf{M})$ . La restriction $\wedge^n(u) : \wedge^n(\mathbf{M}) \to \wedge^n(\mathbf{N})$ est telle que

\wedge^n(u)(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = u(x_1) \wedge u(x_2) \wedge \cdots \wedge u(x_n)

pour les

x_i \in \mathbf{M}

, puisque

\wedge(u)

est un homomorphisme d’algèbres et

\wedge^1(u) = u

; la restriction

\wedge^0(u)

\mathbf{A}

est l’application identique. On notera que

\wedge^n(u)

provient de

\mathbf{T}^n(u) : \mathbf{T}^n(\mathbf{M}) \to \mathbf{T}^n(\mathbf{N})

par passage aux quotients.

Proposition 3

Si $u : \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ est une application A-linéaire surjective, l’homomorphisme $\wedge(u) : \wedge(\mathbf{M}) \to \wedge(\mathbf{N})$ est surjectif, et son noyau est l’idéal bilatère de $\wedge(\mathbf{M})$ engendré par le noyau $\mathbf{P} \subset \mathbf{M} \subset \wedge(\mathbf{M})$ de $u$ .

Cite 4 · Cité par 1

Cite Proposition 4, III § 6, III § 5. Algèbre tensorielle, tenseurs, Exercice 3, § 6, Corollaire

Cité par Théorème 1, III § 8

La démonstration se déduit de celle de III, p. 69, prop. 4 en y remplaçant S par $\wedge$ et $\mathfrak{J}'$ par $\mathfrak{J}''$ .

Si $u : \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ est une application linéaire injective, il n’est pas toujours vrai que $\wedge(u)$ soit une application injective (III, p. 188, exerc. 3) (voir cependant plus loin III, p. 88, corollaire). Toutefois il en est ainsi lorsque $u$ est une injection telle que $u(\mathbf{M})$ soit facteur direct de $\mathbf{N}$ , et alors l’image de $\wedge(u)$ (isomorphe à $\wedge(\mathbf{M})$ ) est facteur direct de $\wedge(\mathbf{N})$ ; la démonstration est la même que celle des assertions analogues pour $\mathbf{T}(u)$ (III, p. 58) en remplaçant $\mathbf{T}$ par $\wedge$ .

Proposition 4

Soient $\mathbf{N}$ et $\mathbf{P}$ deux sous-modules d’un A-module $\mathbf{M}$ , tels que leur somme $\mathbf{N} + \mathbf{P}$ soit facteur direct dans $\mathbf{M}$ , et que leur intersection $\mathbf{N} \cap \mathbf{P}$ soit facteur direct dans $\mathbf{N}$ et dans $\mathbf{P}$ . Alors les homomorphismes $\wedge(\mathbf{N}) \to \wedge(\mathbf{M}), \wedge(\mathbf{P}) \to \wedge(\mathbf{M})$ et $\wedge(\mathbf{N} \cap \mathbf{P}) \to \wedge(\mathbf{M})$ prolongements canoniques des injections canoniques, sont injectifs; si l’on identifie $\wedge(\mathbf{N}), \wedge(\mathbf{P}),$ et $\wedge(\mathbf{N} \cap \mathbf{P})$ à des sous-algèbres de $\wedge(\mathbf{M})$ au moyen de ces homomorphismes, on a*

\wedge(\mathbf{N} \cap \mathbf{P}) = \wedge(\mathbf{N}) \cap \wedge(\mathbf{P}).

Cite 1

Cite Proposition 4, III § 5

La démonstration se déduit de celle de III, p. 58, prop. 4 en remplaçant partout T par $\wedge$ . Les hypothèses de la prop. 4 sont toujours vérifiées pour des sous-modules quelconques N, P de M lorsque A est un corps.

Corollaire

Soient K un corps commutatif, M un espace vectoriel sur K. Pour tout élément $z \in \wedge(M)$ , il existe un plus petit sous-espace vectoriel N de M tel que $z \in \wedge(N)$ , et N est de dimension finie.

Cite 1 · Cité par 2

Cite Corollaire, III § 5

Cité par III § 11. Cogèbres, produits de formes multilinéaires, produits intérieurs et dualité, Corollaire 1

La démonstration se déduit de celle de III, p. 59, corollaire, en remplaçant partout T par $\wedge$ .

On dit que N est le sous-espace vectoriel de M associé à l’élément z de $\wedge(M)$ .

3. Anticommutativité de l’algèbre extérieure

Proposition 5

(i) Soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie d’éléments du module M; pour toute permutation $\sigma$ du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ , on a

x_{\sigma(1)} \wedge x_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(n)} = \varepsilon_\sigma \cdot x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n

Cite 1 · Cité par 6

Cite Lemme 3, III § 4

Cité par Corollaire 2, Proposition 12, Corollaire 1, Proposition 6, Théorème 1, Corollaire 1

$\varepsilon_\sigma$ désignant la signature de la permutation $\sigma$ .

(ii) S’il existe deux indices distincts i, j tels que $x_i = x_j$ , le produit

x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n

est nul.

(i) Tout d’abord, puisqu’on a $x \wedge x = 0$ quel que soit $x \in M$ par définition de l’idéal $\mathfrak{J}'$ , on a aussi, pour $x, y$ dans M,

x \wedge y + y \wedge x = (x + y) \wedge (x + y) - x \wedge x - y \wedge y = 0.

Ceci établit (6) dans le cas où $n = 2$ . Le cas général résulte alors de III, p. 45, lemme 3.

(ii) Sous les hypothèses de (ii), il existe une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que $\sigma(1) = i$ et $\sigma(2) = j$ ; alors le premier membre de (6) est nul pour cette permutation, donc il en est de même du second.

Corollaire 1

Soient H, K deux parties complémentaires de l’intervalle $[1, n]$ de $\mathbf{N}$ , et soient $(i_h)_{1 \leq h \leq p}$ , $(j_k)_{1 \leq k \leq n-p}$ les suites des éléments de H et de K respectivement, rangées dans l’ordre croissant; posons

x_H = x_{i_1} \wedge x_{i_2} \wedge \cdots \wedge x_{i_p}, \quad x_K = x_{j_1} \wedge x_{j_2} \wedge \cdots \wedge x_{j_{n-p}};

alors on a

x_H \wedge x_K = (-1)^{\nu} x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n

où $\nu$ est le nombre des couples $(i, j) \in H \times K$ tels que $i > j$ .

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 5

Cité par III § 8. Déterminants

Compte tenu de la prop. 5, tout revient à prouver le

Lemme 1

Si $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ est la permutation telle que $\sigma(h) = i_h$ pour $1 \leq h \leq p$ , $\sigma(h) = j_{h-p}$ pour $p + 1 \leq h \leq n$ , on a $\varepsilon_\sigma = (-1)^{\nu}$ .

En effet, pour $1 \leq h < h' \leq p$ ou $p + 1 \leq h < h' \leq n$ , on a $\sigma(h') > \sigma(h)$ , et le nombre des couples $(h, h')$ tels que $1 \leq h \leq p < h' \leq n$ et que $\sigma(h) > \sigma(h')$ est égal à $\nu$ .

Corollaire 2

L’algèbre graduée* $\wedge(M)$ est alternée (III, p. 53). Il suffit en effet d’appliquer à $\wedge(M)$ la prop. 13 de III, p. 54, en prenant pour système générateur l’ensemble M et en utilisant la prop. 5 de III, p. 79.

Cite 2 · Cité par 1

Cite Proposition 13, Proposition 5

Cité par Corollaire 1

Proposition 6

Si M est un A-module de type fini, $\wedge(M)$ est un A-module de type fini; de plus, si M admet un système générateur à n éléments, on a $\wedge^p(M) = \{0\}$ pour $p > n$ .* Soit en effet $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ un système générateur de M. Tout élément de $\wedge^p(M)$ est combinaison linéaire d’éléments de la forme

x_{i_1} \wedge x_{i_2} \wedge \cdots \wedge x_{i_p}

où les indices

i_k

appartiennent à

\{1, n\}

; en vertu de la prop. 5 de III, p. 79, on peut supposer ces indices distincts (sinon l’élément correspondant est nul). Si

p > n

, il n’y a pas de telle suite d’indices, donc

\wedge^p(M) = \{0\}

. Si

p \leq n

, ces suites sont en nombre fini, ce qui achève la démonstration.

Cite 1 · Cité par 5

Cite Proposition 5

Cité par Lemme 2, III § 11, Théorème 1, Théorème 2, Lemme 1, VII § 3, Corollaire, VIII Appendix 4

4. Puissance extérieure $n$ -ème d’un module et applications multilinéaires alternées

Etant donnés deux modules M, N sur un anneau commutatif A, on appelle application n-linéaire alternée de $M^n$ dans N toute application n-linéaire $f : M^n \to N$ telle que l’on ait, pour tout $p \leq n - 2$ . (8)

f(u_1, \ldots, u_p, x, x, v_1, \ldots, v_{n-p-2}) = 0

quels que soient

x

, les

u_i

(

1 \leq i \leq p

) et les

v_j

(

1 \leq j \leq n - p - 2

) dans M.

Proposition 7

Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules. Si, à toute application A-linéaire $g : \wedge^n(M) \to N$ ( $n \geq 2$ ) on associe l’application n-linéaire* (9)

(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto g(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)

on obtient une application A-linéaire bijective du A-module

\operatorname{Hom}_A(\wedge^n(M), N)

sur le A-module des applications n-linéaires alternées de

M^n

dans N. Considérons en effet la bijection canonique de A-module

\operatorname{Hom}_A(T^n(M), N)

sur le A-module

\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)

de toutes les applications n-linéaires de

M^n

dans N, obtenu en associant à toute application A-linéaire

f : T^n(M) \to N

l’application n-linéaire

\tilde{f} : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto f(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n)

(II, p. 71). D’autre part, les applications A-linéaires

g : \wedge^n(M) \to N

correspondent biunivoquement aux applications A-linéaires

f : \mathbf{T}^n(\mathbf{M}) \to \mathbf{N}

telles que

f

s’annule dans

\mathfrak{S}_n''

, en associant à

g

l’application

f = g \circ p_n

, où

p_n : \mathbf{T}^n(\mathbf{M}) \to \wedge^n(\mathbf{M}) = \mathbf{T}^n(\mathbf{M})/\mathfrak{S}_n''

est l’homomorphisme canonique (II, p. 36, th. 1). Mais comme

\mathfrak{S}_n''

est combinai-son linéaire d’éléments de la forme

(u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_p) \otimes (x \otimes x) \otimes (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{n-p-2})

(x, u_i, v_j

dans

\mathbf{M}

), dire que

f

est de la forme

g \circ p_n

signifie que la fonction

n

-linéaire correspondante

\bar{f}

vérifie (8), autrement dit est alternée.

Cite 2 · Cité par 6

Cite II § 3. Produits tensoriels, Théorème 1, II § 2

Cité par Corollaire 1, Théorème 1, Corollaire 3, Proposition 1, III § 8, LIE IX § 6. Intégration dans les groupes de Lie compacts, LIE VIII § 13. Classical splittable simple Lie algebras

On dit que le A-module $\wedge^n(\mathbf{M})$ est la puissance extérieure $n$ -ème de $\mathbf{M}$ . Pour tout homomorphisme de A-modules $u : \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ , l’application

\wedge^n(u) : \wedge^n(\mathbf{M}) \to \wedge^n(\mathbf{N})

qui coïncide avec

\wedge(u)

dans

\wedge^n(\mathbf{M})

s’appelle la puissance extérieure

n

-ème de

u

Corollaire 1

Pour toute application n-linéaire alternée $g : \mathbf{M}^n \to \mathbf{N}$ , on a, pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ *,

g(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon_\sigma g(x_1, x_2, \ldots, x_n)

quels que soient les $x_i \in \mathbf{M}$ ; en outre si $x_i = x_j$ pour deux indices $i, j$ distincts, on a

g(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.

C’est une conséquence évidente de la prop. 7 de III, p. 80 et de III, p. 79, prop. 5.

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 7

Cité par Lemme 1, III § 8

Corollaire 2

Soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite de n éléments de $\mathbf{M}$ telle que*

x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = 0;

alors, pour toute application n-linéaire alternée $g : \mathbf{M}^n \to \mathbf{N}$ , on a

g(x_1, \ldots, x_n) = 0

Corollaire 3

Soit $f : \mathbf{M}^{n-1} \to \mathbf{A}$ une forme $(n-1)$ -linéaire alternée. Si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une suite de n éléments de $\mathbf{M}$ telle que $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = 0$ , on a*

\sum_{i=1}^n (-1)^i f(x_1, \ldots, \hat{x}_i, \ldots, x_n)x_i = 0

(où l’on pose $f(x_1, \ldots, \hat{x}_i, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n)$ pour $1 \leq i \leq n$ ). Il suffit de prouver que l’application

n

-linéaire

(x_1, \ldots, x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n (-1)^i f(x_1, \ldots, \hat{x}_i, \ldots, x_n)x_i

\mathbf{M}^n

dans

\mathbf{M}

est alternée. Or, si

x_i = x_{i+1}

, tous les termes de la somme du second membre ont des coefficients nuls sauf

x_i

x_{i+1}

, puisque

f

est alternée; d’autre part, le coefficient de

x_i

est

(-1)^i f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots, x_n)

et celui de

x_{i+1}

est

(-1)^{i+1} f(x_1, \ldots, x_i, x_{i+2}, \ldots, x_n)

et ils sont opposés par hypothèse.

Remarque

On dit qu’un élément z de $T^n(M)$ est un tenseur antisymétrique (contravariant) d’ordre n si $\sigma.z = \varepsilon_\sigma z$ pour tout permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ (cf. III, p. 71, Remarque); ces éléments forment un sous-A-module $A'_n(M)$ de $T^n(M)$ . Pour tout $z \in T^n(M)$ , on pose $a.z = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma(\sigma.z)$ et on dit que $a.z$ est l’antisymétrisé de z; comme $\varepsilon_{\sigma\tau} = \varepsilon_\sigma \varepsilon_\tau$ , on voit aussitôt que $a.z$ est un tenseur antisymétrique, et par suite $z \mapsto a.z$ est un endomorphisme de $T^n(M)$ dont l’image $A''_n(M)$ est contenue dans $A'_n(M)$ ; en général on a $A''_n(M) \neq A'_n(M)$ (III, p. 189, exerc. 8). Si $z$ est un tenseur antisymétrique, on a $a.z = n!z$ ; donc, lorsque $n!$ est inversible dans A, l’endomorphisme $z \mapsto (n!)^{-1}a.z$ est un projecteur dans $T^n(M)$ dont l’image est $A'_n(M) = A''_n(M)$ . En outre le noyau de ce projecteur n’est autre que $\mathfrak{g}_n''$ ; en effet, on peut évidemment se borner au cas où $n \geqslant 2$ , donc 2 (divisant $n!$ ) est inversible dans A et $x \otimes x = 2^{-1}(x \otimes x + x \otimes x)$ ; par suite $\mathfrak{g}_n''$ est engendré par les éléments $z + \rho.z$ , où $\rho$ est une transposition échangeant deux nombres consécutifs dans $\{1, n\}$ ; en outre, pour deux permutations $\sigma, \tau$ de $\mathfrak{S}_n$ , on peut écrire

z - \varepsilon_{\sigma\tau}((\sigma\tau).z) = z - \varepsilon_\tau(\tau.z) + \varepsilon_\tau(\tau.z - \varepsilon_\sigma\sigma.(\tau.z)),

d’où l’on déduit que

z - \varepsilon_\sigma(\sigma.z) \in \mathfrak{g}_n''

quels que soient

z \in T^n(M)

\sigma \in \mathfrak{S}_n

. Par suite (en supposant toujours

n!

inversible dans A), on voit que

z - (n!)^{-1}a.z = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (n!)^{-1}(z - \varepsilon_\sigma(\sigma.z)) \in \mathfrak{g}_n''

pour tout

z \in T^n(M)

, ce qui établit notre assertion.

Lorsque $n!$ est inversible dans A, les sous-modules $A'_n(M)$ et $\mathfrak{g}_n''$ de $T^n(M)$ sont donc supplémentaires, et la restriction à $A'_n(M)$ de l’homomorphisme canonique $T^n(M) \to \wedge^n(M) = T^n(M)/\mathfrak{g}_n''$ est un isomorphisme de A-modules, qui permet dans le cas envisagé d’identifier les tenseurs antisymétriques d’ordre n aux éléments de la puissance extérieure n-ème de M. On notera ici encore que cette identification n’est pas compatible avec la multiplication, le produit dans $T(M)$ de deux tenseurs antisymétriques n’étant pas antisymétrique en général.

Cite 2

Cite III § 6. Algèbre symétrique, Exercice 8, § 7

5. Extension de l’anneau des scalaires

Soient A, A’ deux anneaux commutatifs, $\rho : A \to A'$ un homomorphisme d’anneaux, M un A-module, M’ un A’-module, $f : M \to M'$ un A-homomorphisme (relatif à $\rho$ ) de M dans M’. L’application composée $M \xrightarrow{f} M' \xrightarrow{\varphi''_{M'}} \wedge_{A'}(M')$ est une application A-linéaire de M dans la A-algèbre $\wedge_{A'}(M')$ , et comme les éléments de $f(M) \subset M'$ sont de carré nul dans $\wedge_{A'}(M')$ , il existe (III, p. 77, prop. 1) un A-homomorphisme d’algèbres et un seul $f'' : \wedge_A(M) \to \wedge_{A'}(M')$ rendant commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{f} & M' \\ \varphi''_M \downarrow & & \downarrow \varphi''_{M'} \\ \wedge_A(M) & \xrightarrow{f''} & \wedge_{A'}(M') \end{array}

(12) et $f''$ est un homomorphisme d’algèbres graduées. On en déduit aussitôt que si $\sigma : A' \to A''$ est un second homomorphisme d’anneaux, $M''$ un $A''$ -module, $g : M' \to M''$ un $A'$ -homomorphisme (relatif à $\sigma$ ), $g'' : \wedge_{A'}(M') \to \wedge_{A''}(M'')$ le $A''$ -homomorphisme d’algèbres correspondant, alors le $A$ -homomorphisme d’algèbres composé

\wedge_A(M) \xrightarrow{f''} \wedge_{A'}(M') \xrightarrow{g''} \wedge_{A''}(M'')

correspond au $A$ -homomorphisme composé $g \circ f : M \to M''$ (relatif à $\sigma \circ \rho$ ).

Proposition 8

Soient $A, B$ deux anneaux commutatifs, $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, $M$ un $A$ -module. Le prolongement canonique

Cite 1

Cite Proposition 5, III § 5

\psi : \wedge_B(B \otimes_A M) \to B \otimes_A \wedge_A(M)

de l’application B-linéaire $l_B \otimes \varphi_M'' : B \otimes_A M \to B \otimes_A \wedge_A(M)$ , est un isomorphisme de B-algèbres graduées.

La démonstration se déduit de celle de III, p. 60, prop. 5 en y remplaçant $T$ par $\wedge$ et $\varphi_M$ par $\varphi_M''$ .

6. Limites inductives d’algèbres extérieures

Soient $(A_\alpha, \varphi_{\beta \alpha})$ un système inductif filtrant d’anneaux commutatifs, $(M_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif de $A_\alpha$ -modules, $A = \lim \longrightarrow A_\alpha, M = \lim \longrightarrow M_\alpha$ . Pour $\alpha \leq \beta$ , on déduit canoniquement du $A_\alpha$ -homomorphisme $f_{\beta \alpha} : M_\alpha \to M_\beta$ un homomorphisme de $A_\alpha$ -algèbres (III, p. 82, formule (12)) $f_{\beta \alpha}' : \wedge_{A_\alpha}(M_\alpha) \to \wedge_{A_\beta}(M_\beta)$ et il résulte de (13) que $(\wedge_{A_\alpha}(M_\alpha), f_{\beta \alpha}')$ est un système inductif de A-algèbres graduées. Soit d’autre part $f_\alpha : M_\alpha \to M$ le $A_\alpha$ -homomorphisme canonique; on en déduit (III, p. 82, formule (12)) un homomorphisme de $A_\alpha$ -algèbres graduées, $f_\alpha'' : \wedge_{A_\alpha}(M_\alpha) \to \wedge_A(M)$ , et il résulte encore de (13) que les $f_\alpha''$ constituent un système inductif de $A_\alpha$ -homomorphismes.

Proposition 9

Le $A$ -homomorphisme $f'' = \lim \longrightarrow f_\alpha'' : \lim \longrightarrow \wedge_{A_\alpha}(M_\alpha) \to \wedge_A(M)$ est un isomorphisme d’algèbres graduées.

Cite 1

Cite Proposition 6, III § 5

La démonstration est la même que celle de III, p. 61, prop. 6, en y remplaçant partout $T$ par $\wedge$ et $\varphi$ et $\varphi''$ , et tenant compte du fait qu’une limite inductive d’algèbres alternées est alternée.

7. Algèbre extérieure d’une somme directe. Algèbre extérieure d’un module gradué

Soient $A$ un anneau commutatif, $M = \bigoplus_{\lambda \in L} M_\lambda$ la somme directe d’une famille de $A$ -modules, $j_\lambda : M_\lambda \to M$ l’injection canonique; on en déduit un $A$ -homomorphisme d’algèbres graduées $\wedge(j_\lambda) : \wedge(M_\lambda) \to \wedge(M)$ . Puisque $\wedge(M)$ est anti-commutative, on peut appliquer aux homomorphismes $\wedge(j_\lambda)$ la prop. 10 de III, p. 47 (éventuellement généralisée au cas où L est infini, cf. III, p. 53, Remarque); il existe donc un unique homomorphisme d’algèbres

(14)

g : \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda) \to \wedge (M)

(aussi noté

g_M

) tel que

\wedge (j_\lambda) = g \circ f_\lambda

, en désignant par

f_\lambda : \wedge (M_\lambda) \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

l’homomorphisme canonique.

Proposition 10

L’homomorphisme canonique g (formule (14)) est un isomorphisme d’algèbres graduées.* Pour prouver que $g$ est bijectif, on définit un homomorphisme d’algèbres graduées (15)

h : \wedge (M) \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

tel que

g \circ h

h \circ g

soient respectivement les applications identiques de

\wedge (M)

et de

\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

. Pour chaque

\lambda \in L

, on considère l’application linéaire composée

u_\lambda : M_\lambda \xrightarrow{\varphi''_{M_\lambda}} \wedge (M_\lambda) \xrightarrow{f_\lambda} \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda).

Il existe une application A-linéaire et une seule

u : M \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

telle que

u \circ j_\lambda = u_\lambda

pour tout

\lambda \in L

. Le produit tensoriel gauche

\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

est une algèbre alternée: en effet, pour L fini cela résulte de III, p. 54, prop. 14, et pour L quelconque, cela résulte de la définition de ce produit donnée dans III, p. 53, Remarque et du fait qu’une limite inductive d’algèbres graduées alternées est alternée. Comme en outre

u(M)

est contenu dans le sous-module des éléments de degré 1 de l’algèbre graduée

\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

, il résulte de III, p. 77, prop. 1 et Remarque 1, qu’il existe un homomorphisme unique d’algèbres graduées

h : \wedge (M) \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \wedge (M_\lambda)

tel que

h \circ \varphi''_M = u

. La vérification du fait que

g \circ h

h \circ g

sont les applications identiques se fait alors comme dans III, p. 73, prop. 9 en remplaçant S par

\wedge

, et

\varphi'

par

\varphi''

Cite 4 · Cité par 5

Cite III § 4. Produits tensoriels d’algèbres, Proposition 14, III § 4, Proposition 1, Proposition 9, III § 6

Cité par Exemple 1, III § 11, Remarque, Proposition 13, Théorème 1, Proposition 1, VII § 4

Remarque

Soit $N = \bigoplus_{\lambda \in L} N_\lambda$ la somme directe d’une seconde famille de A-modules ayant L pour ensemble d’indices, et, pour tout $\lambda \in L$ , soit $v_\lambda : M_\lambda \to N_\lambda$ une application A-linéaire, d’où une application A-linéaire $v = \bigoplus_{\lambda} v_{\lambda} : M \to N$ (II, p. 13, prop. 7). Alors le diagramme

\begin{array}{ccc} g \bigotimes_{\lambda \in L} \wedge (M_{\lambda}) & \xrightarrow{g_M} & \wedge (M) \\ \downarrow \wedge (v_{\lambda}) & & \downarrow \wedge (v) \\ g \bigotimes_{\lambda \in L} \wedge (N_{\lambda}) & \xrightarrow{g_N} & \wedge (N) \end{array}

est commutatif (cf. III, p. 43, corollaire).

On peut décrire de façon plus précise le sous-A-module de $g \bigotimes_{\lambda \in L} \wedge (M_{\lambda})$ auquel $\wedge^n(M)$ s’identifie au moyen de l’isomorphisme $g$ . Pour toute partie finie $J$ de $L$ , posons $E_J = g \bigotimes_{\lambda \in J} \wedge (M_{\lambda})$ , de sorte que $g \bigotimes_{\lambda \in L} \wedge (M_{\lambda}) = \varprojlim E_J$ suivant l’ensemble filtrant $\mathscr{F}(L)$ des parties finies de $L$ , par définition (III, p. 53, Remarque). Pour toute famille $\nu = (n_{\lambda}) \in \mathbf{N}^{(L)}$ (ayant donc un support fini) telle que $\sum_{\lambda \in L} n_{\lambda} = n$ , et toute partie finie $J$ de $L$ contenant le support de la famille $\nu$ , posons

(16)

\wedge^{J,\nu}(M) = \bigotimes_{\lambda \in J} \wedge^{n_{\lambda}}(M_{\lambda})

de sorte que le sous-module $E_{J,n}$ des éléments de degré $n$ de $E_J$ est la somme directe des $\wedge^{J,\nu}(M)$ pour toutes les familles $\nu$ de support contenu dans $J$ et telles que $\sum_{\lambda \in L} n_{\lambda} = n$ (III, p. 47, prop. 10 et p. 52). Posons par convention $\wedge^{J,\nu}(M) = \{0\}$ pour les familles $\nu$ dont le support n’est pas contenu dans $J$ ; alors on peut encore dire que $E_{J,n}$ est somme directe de tous les $\wedge^{J,\nu}(M)$ , où $\nu$ parcourt l’ensemble $H_n$ de toutes les familles $\nu = (n_{\lambda})_{\lambda \in L}$ telles que $\sum_{\lambda \in L} n_{\lambda} = n$ . Puisque $\wedge^0(M_{\lambda})$ s’identifie à $A$ , il est clair en outre que pour deux parties finies $J \subset J'$ de $L$ et une famille $\nu$ de support contenu dans $J$ , l’application canonique $\wedge^{J,\nu}(M) \to \wedge^{J',\nu}(M)$ (restriction à $\wedge^{J,\nu}(M)$ de l’application canonique $E_J \to E_{J'}$ ) est bijective. Si l’on pose, pour tout $\nu \in H_n$ ,

(17)

\wedge^{\nu}(M) = \varprojlim \wedge^{J,\nu}(M)

on voit donc que l’on a, compte tenu de II, p. 91, prop. 5:

Cite 4

Cite Proposition 7, II § 1, Corollaire, III § 4, Proposition 10, Proposition 5, II § 6

Corollaire

Le A-module $\wedge^n(M)$ est l’image par l’isomorphisme (14) (III, p. 84) du sous-module de $g \bigotimes_{\lambda \in L} \wedge (M_{\lambda})$ somme directe des sous-modules $\wedge^{\nu}(M)$ pour toutes les familles $\nu = (n_{\lambda}) \in \mathbf{N}^{(L)}$ telles que $\sum_{\lambda \in L} n_{\lambda} = n$ ; si $J$ est le support de $\nu$ , $\wedge^{\nu}(M)$ est canoniquement isomorphe à $\bigotimes_{\lambda \in J} \wedge^{n_{\lambda}}(M_{\lambda})$ .

Cité par 1

Cité par Proposition 11

On identifiera en général $\wedge^{\nu}(M)$ , $\bigotimes_{\lambda \in J} \wedge^{n_{\lambda}}(M_{\lambda})$ et leur image dans $\wedge^n(M)$ . Avec cette convention:

Proposition 11

Soient $\Delta$ un monoïde commutatif à élément neutre, $M$ un $A$ -module gradué de type $\Delta$ , $(M_\alpha)_{\alpha \in \Delta}$ sa graduation. Pour tout couple $(\alpha, n) \in \Delta \times \mathbf{N}$ , soit $\wedge^{\alpha, n}(M)$ le sous-module de $\wedge^n(M)$ somme directe des sous-modules $\bigotimes_{\lambda \in J} \wedge^{n_\lambda}(M_{\alpha_\lambda})$ , où $(n_\lambda)_{\lambda \in L}$ parcourt l’ensemble des familles d’entiers $\geqslant 0$ telles que $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$ , $J$ est son support et, pour chaque $(n_\lambda), (\alpha_\lambda)_{\lambda \in J}$ parcourt l’ensemble des familles de $\Delta^J$ telles que $\sum_{\lambda \in J} \alpha_\lambda = \alpha$ . Alors $(\wedge^{\alpha, n}(M))_{(\alpha, n) \in \Delta \times \mathbf{N}}$ est la seule graduation de type $\Delta \times \mathbf{N}$ compatible avec la structure d’algèbre de $\wedge(M)$ et qui induise sur $M = \wedge^1(M)$ la graduation donnée.

Cite 2 · Cité par 1

Cite Proposition 7, III § 5, Corollaire

Cité par Corollaire 1

Le fait que $\wedge(M)$ soit somme directe des $\wedge^{\alpha, n}(M)$ résulte de III, p. 85, corollaire; le reste de la démonstration est identique à la fin de la démonstration de III, p. 62, prop. 7.

8. Algèbre extérieure d’un module libre

Théorème 1

Soit $M$ un $A$ -module ayant une base $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ . Munissons $L$ d’une structure d’ensemble totalement ordonné (E, III, p. 20, th. 1), et, pour toute partie finie $J$ de $L$ , posons

e_J = e_{\lambda_1} \wedge e_{\lambda_2} \wedge \cdots \wedge e_{\lambda_n}

Cite 7 · Cité par 6

Cite Theorem 1 (Zermelo), E III § 2, Proposition 6, E III § 5, Proposition 5, Corollaire 2, II § 3, Proposition 10, Proposition 6, Proposition 7

Cité par Remarque, III § 11, Proposition 14, III § 11, Proposition 7, III § 11, Proposition 12, Corollaire 1, Théorème 2

où $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq n}$ est la suite des éléments de $J$ rangés dans l’ordre croissant (E, III, p. 38, prop. 6); on convient que $e_\varnothing = 1$ , élément unité de $A$ . Alors les $e_J$ , où $J$ parcourt l’ensemble $\mathscr{F}(L)$ des parties finies de $L$ , forment une base de l’algèbre extérieure $\wedge(M)$ .

Puisque les $e_\lambda$ engendrent le $A$ -module $M$ , tout élément de $\wedge(M)$ est combinaison linéaire de produits d’éléments $e_\lambda$ en nombre fini, donc (compte tenu de III, p. 79, prop. 5) est une combinaison linéaire d’un nombre fini d’éléments $e_J$ pour $J \in \mathscr{F}(L)$ . Tout revient à prouver que les $e_J$ sont linéairement indépendants sur $A$ . Sinon, il existerait entre ces éléments une relation linéaire à coefficients non tous nuls; la réunion des parties $J$ qui correspondent aux $e_J$ dont le coefficient dans cette relation est $\neq 0$ est une partie finie $K$ de $L$ (puisque’il n’y a qu’un nombre fini de coefficients $\neq 0$ ). Soit $N$ le sous-module de $M$ engendré par les $e_\lambda$ tels que $\lambda \in K$ ; $N$ est facteur direct dans $M$ , donc (III, p. 78) $\wedge(N)$ s’identifie à une sous-algèbre de $\wedge(M)$ , et si nous montrons que les $e_J$ , pour $J \subset K$ , forment une base de $\wedge(N)$ , nous arriverons à la contradiction cherchée.

Tout revient donc à prouver le th. 1 lorsque la base de $M$ est finie; on peut donc supposer que $L = \{1, m\} \subset \mathbf{N}$ . Pour chaque $i \in L$ , soit $M_i$ le sous-module libre $Ae_i$ de $M$ ; $M$ est somme directe des $M_i$ , et $\wedge(M_i)$ est somme directe de $\wedge^0(M_i) = A$ et de $\wedge^1(M_i) = M_i$ (III, p. 80, prop. 6). Identifions canoniquement $\wedge(M)$ au $A$ -module produit tensoriel des $\wedge(M_i)$ (III, p. 84, prop. 10); ce dernier a pour base le produit tensoriel des bases $(1, e_i)$ des $\wedge(M_i)$ (II, p. 62, cor. 2); on obtient ainsi tous les éléments

u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_m

où l’on a, soit $u_i = 1$ , soit $u_i = e_i$ ; si $J$ est l’ensemble des indices $i$ tels que $u_i = e_i$ , $u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_m$ est identifié à $e_J$ , ce qui termine la démonstration.

Corollaire 1

Supposons que $L = \{1, m\}$ ; alors la base $(e_J)_{J \in \mathscr{B}(L)}$ de $\wedge(M)$ a $2^m$ éléments. Pour $p > m$ , on a $\wedge^p(M) = \{0\}$ ; $\wedge^m(M)$ a une base formée d’un seul élément $e_L$ ; pour $0 \leq p \leq m$ , le nombre d’éléments de la base $(e_J)$ de $\wedge^p(M)$ formée des $e_J$ tels que $\mathrm{Card}(J) = p$ , est $\binom{m}{p} = \frac{m!}{p!(m-p)!}$ .

Cite 8 · Cité par 3

Cite Proposition 11, Proposition 12, E III § 3, Corollaire 1, E III § 5, III § 1. Algèbres, Théorème 1, Corollaire, Corollaire 2, Proposition 5

Cité par Théorème 2, VI § 2. Corps ordonnés, Lemme 1, VII § 3

Cela résulte de E, III, p. 29, prop. 12 et E, III, p. 42, cor. 1.

Revenons au cas où l’ensemble $L$ du th. 1 est quelconque, et explicitons la table de multiplication (III, p. 10) de la base $(e_J)$ . Etant données deux parties finies $J, K$ de l’ensemble totalement ordonné $L$ , posons

\begin{cases} \rho_{J, K} = 0 & \text{si } J \cap K \neq \varnothing \\ \rho_{J, K} = (-1)^v & \text{si } J \cap K = \varnothing \end{cases}

en désignant dans ce dernier cas par $v$ le nombre des couples $(\lambda, \mu) \in J \times K$ tels que $\lambda > \mu$ . Alors le cor. 1 de III, p. 79 entraîne aussitôt la relation

e_J \wedge e_K = \rho_{J, K} e_{J \cup K}.

On notera la formule

\rho_{J, K} \rho_{K, J} = (-1)^{jk}

lorsque $J \cap K = \varnothing$ , $j = \mathrm{Card}(J)$ et $k = \mathrm{Card}(K)$ (III, p. 80, cor. 2).

Corollaire 2

Si $M$ est un $A$ -module projectif, $\wedge(M)$ est un $A$ -module projectif.

Cite 1 · Cité par 2

Cite Corollaire, III § 5

Cité par Corollaire 3, Corollaire, VIII Appendix 4

La démonstration est la même que celle de III, p. 62, corollaire, en remplaçant $T$ par $\wedge$ .

Corollaire 3

Soient $M$ un $A$ -module projectif, $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie d’éléments de $M$ . Pour qu’il existe sur $M$ une forme $n$ -linéaire alternée $f$ telle que $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \neq 0$ , il faut et il suffit que $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \neq 0$ .

Cite 4 · Cité par 2

Cite Proposition 7, Corollaire 2, Corollaire 4, II § 2, Proposition 13

Cité par Proposition 12, Théorème 2

On sait déjà (sans hypothèse sur $M$ ) que la condition est nécessaire (III, p. 80, prop. 7). Supposons maintenant que $M$ soit projectif et que

x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \neq 0.

Alors $\wedge^n(M)$ est projectif (cor. 2), donc l’application canonique

\wedge^n(M) \to (\wedge^n(M))^**

est injective (II, p. 47, cor. 4); on en conclut qu’il existe une forme linéaire $g : \wedge^n(M) \to A$ telle que $g(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) \neq 0$ . Si $f$ est la forme $n$ -linéaire alternée correspondant à $g$ (III, p. 80, prop. 7), on a donc $f(x_1, \ldots, x_n) \neq 0$ .

9. Critères d’indépendance linéaire

Proposition 12

Soit M un A-module projectif. Pour que des éléments $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de M soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu’il existe $\lambda \neq 0$ dans A tel que

\lambda x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = 0.

La condition est nécessaire (sans hypothèse sur M), car si, par exemple,

\lambda x_1

(avec

\lambda \neq 0

) est combinaison linéaire de

x_2, \ldots, x_n

, la relation (22) a lieu (III, p. 79, prop. 5). Montrons que la condition est suffisante par récurrence sur n; pour

n = 1

, c’est une conséquence triviale de la définition. Supposons donc

n > 1

et la condition (22) vérifiée pour un

\lambda \neq 0

. Si

\lambda x_2 \wedge x_3 \wedge \cdots \wedge x_n = 0

, alors l’hypothèse de récurrence entraîne que

x_2, \ldots, x_n

sont linéairement dépendants, donc a fortiori

x_1, x_2, \ldots, x_n

le sont. Si

\lambda x_2 \wedge x_3 \wedge \cdots \wedge x_n \neq 0

, il résulte de III, p. 87, cor. 3, qu’il existe une forme

(m - 1)

-linéaire alternée

f

telle que

f(\lambda x_2 \wedge x_3 \wedge \cdots \wedge x_n) = \mu \neq 0

. Puisque l’on a

x_1 \wedge (\lambda x_2) \wedge \cdots \wedge x_n = 0,

il résulte de III, p. 87, cor. 3, que

\mu x_1

est combinaison linéaire de

\lambda x_2, x_3, \ldots, x_n

; donc

x_1, x_2, \ldots, x_n

sont linéairement dépendants.

Cite 3 · Cité par 3

Cite Proposition 5, Théorème 1, Corollaire 3

Cité par Corollaire, III § 8. Déterminants, Proposition 3, III § 8

Corollaire

Soient M et N deux A-modules projectifs, et soit $f : M \to N$ une application A-linéaire. Si f est injective, alors $\wedge(f) : \wedge(M) \to \wedge(N)$ est injective.

Cite 3 · Cité par 1

Cite Corollaire 3, II § 1, Proposition 12, Proposition 4, II § 2

Cité par Proposition 3

Démontrons-le d’abord en supposant que M soit libre; soit $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ une base de M, de sorte que $(e_J)_{J \in \mathfrak{F}(L)}$ (formule (18)) est une base de $\wedge(M)$ . Supposons que le noyau de $\wedge(f)$ contienne un élément $u = \sum_J \alpha_J e_J \neq 0$ . Soit K un élément minimal parmi les parties finies J telles que $\alpha_J \neq 0$ , et soit H une partie finie de L, disjointe de K et telle que $K \cup H$ contienne tous les J (en nombre fini) tels que $\alpha_J \neq 0$ ; pour tout $J \neq K$ tel que $\alpha_J \neq 0$ , on a donc par définition $J \cap H \neq \varnothing$ , et par suite (III, p. 87, formule (20))

u \wedge e_H = \pm \alpha_K e_{K \cup H}

appartient à l’idéal bilatère de

\wedge(M)

, noyau de

\wedge(f)

. Posons

e_{K \cup H} = e_{\lambda_1} \wedge e_{\lambda_2} \wedge \cdots \wedge e_{\lambda_n}

; on a donc

\alpha_K f(e_{\lambda_1}) \wedge f(e_{\lambda_2}) \wedge \cdots \wedge f(e_{\lambda_n}) = 0

; en vertu de la prop. 12, les éléments

f(e_{\lambda_i})

(

1 \leq i \leq n

) de N sont linéairement dépendants. Mais ceci contredit l’hypothèse que f est injectif (II, p. 25, cor. 3).

Abordons maintenant le cas général, et soit $M'$ un A-module tel que $M \oplus M' = P$ soit libre (II, p. 39, prop. 4). Considérons l’application linéaire $g : M \oplus M' \to N \oplus M \oplus M'$ telle que $g(x, y) = (f(x), 0, y)$ , de sorte qu’on a le diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{f} & N \\ \downarrow & & \downarrow \\ P & \xrightarrow{g} & N \oplus P \end{array}

où les flèches verticales sont les injections canoniques. Puisque $g$ est injective et $P$ libre, $\wedge(g)$ est un homomorphisme injectif comme on l’a vu plus haut. Or, $\wedge(j): \wedge(M) \to \wedge(P)$ est un homomorphisme injectif puisque $M$ est facteur direct dans $P$ (III, p. 78). L’homomorphisme composé

\wedge(M) \xrightarrow{\wedge(j)} \wedge(P) \xrightarrow{\wedge(g)} \wedge(N \oplus P)

est donc injectif, et comme il est aussi égal, à l’homomorphisme composé

\wedge(M) \xrightarrow{\wedge(f)} \wedge(N) \xrightarrow{\wedge(g')} \wedge(N \oplus P)

on en conclut que

\wedge(f)

est injectif.

Proposition 13

Soient $M$ un $A$ -module, $N$ un sous-module facteur direct de $M$ qui est libre de dimension $p$ , $\{u\}$ une base de $\wedge^p(N)$ . Pour qu’un élément $x \in M$ appartienne à $N$ , il faut et il suffit que $u \wedge x = 0$ .

Cite 2 · Cité par 3

Cite Proposition 4, II § 3, Proposition 10

Cité par Corollaire 2, Corollaire 3, Lemma 2, LIE VII § 5

Soit $P$ un sous-module de $M$ supplémentaire de $N$ , et soient $y \in N$ , $z \in P$ tels que $x = y + z$ . Alors $u \wedge x = u \wedge z$ . Comme $\wedge^p(N)$ est libre de dimension 1, l’application $\varphi : P \to P \otimes \wedge^p(N)$ telle que $\varphi(p) = p \otimes u$ est bijective (II, p. 55, prop. 4). D’autre part (III, p. 84, prop. 10), le composé des homomorphismes canoniques

\psi : P \otimes \wedge^p(N) \to \wedge(P) \otimes \wedge(N) \to \wedge(M)

est injectif. L’application

\psi \circ \varphi

est donc injective, d’où la proposition.

Théorème 2

Soit $M$ un $A$ -module ayant une base finie $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ . Pour qu’une suite $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $n$ éléments de $M$ forme une base de $M$ , il faut et il suffit que l’élément $\lambda \in A$ tel que*

x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n = \lambda \cdot e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n

*soit inversible dans

A

Cite 4 · Cité par 1

Cite Théorème 1, Corollaire 1, Proposition 6, Corollaire 3

Cité par Théorème 1, III § 8

Rappelons que $e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n$ est l’unique élément d’une base de $\wedge^n(M)$ (III, p. 87, cor. 1) de sorte que l’élément $\lambda \in A$ vérifiant (23) est déterminé de façon unique. Si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $M$ , $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n$ est l’unique élément d’une base de $\wedge^n(M)$ (III, p. 87), donc $\lambda$ est inversible. Réciproquement, supposons $\lambda$ inversible; alors la forme $n$ -linéaire alternée $f$ correspondant à l’application linéaire $g : \wedge^n(M) \to A$ telle que $g(e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n) = \lambda^{-1}$ , est telle que $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ . Pour tout $x \in M$ , on a évidemment

x \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge x_n = 0

(III, p. 80, prop. 6); appliquant III, p. 87, cor. 3, on obtient

f(x_1, x_2, \ldots, x_n)x = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} f(x, x_1, \ldots, \hat{x}_i, \ldots, x_n)x_i.

Comme

f(x_1, \ldots, x_n) = 1

, cela montre que tout

x \in M

est combinaison linéaire de

x_1, x_2, \ldots, x_n

, et comme ces derniers sont linéairement indépendants (puisque

x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \neq 0

), ils forment une base de

M

Exercices

See the exercises for § 7.

§ 7. Algèbre extérieure

1. Définition de l’algèbre extérieure d’un module

Définition 1

Proposition 1

2. Propriétés fonctorielles de l’algèbre extérieure

Proposition 2

Proposition 3

Proposition 4

Corollaire

3. Anticommutativité de l’algèbre extérieure

Proposition 5

Corollaire 1

Lemme 1

Corollaire 2

Proposition 6

4. Puissance extérieure nnn-ème d’un module et applications multilinéaires alternées

Proposition 7

Corollaire 1

Corollaire 2

Corollaire 3

Remarque

5. Extension de l’anneau des scalaires

Proposition 8

6. Limites inductives d’algèbres extérieures

Proposition 9

7. Algèbre extérieure d’une somme directe. Algèbre extérieure d’un module gradué

Proposition 10

Remarque

Corollaire

Proposition 11

8. Algèbre extérieure d’un module libre

Théorème 1

Corollaire 1

Corollaire 2

Corollaire 3

9. Critères d’indépendance linéaire

Proposition 12

Corollaire

Proposition 13

Théorème 2

Exercices

4. Puissance extérieure $n$ -ème d’un module et applications multilinéaires alternées