Exercice 3, § 6

Soient $K$ un corps, $B$ l’anneau de polynômes $K[X_1, X_2]$, $p$ l’idéal de $B$ engendré par le polynôme $X_1^3 - X_2^2$. a) Montrer que $p$ est premier, et par suite $A = B/p$ est intègre. On désigne par $a$ et $b$ les images canoniques de $X_1$ et $X_2$ dans $A$; $a$ et $b$ sont non inversibles dans $A$, et on a $a^3 = b^2$. b) Soit $m$ l’idéal (maximal) de $A$ engendré par $a$ et $b$. Montrer quel’algèbre symétrique $S(m)$ n’est pas un anneau intègre. (Observer que $m$ s’identifie au module quotient $A^2/N$, où $N$ est le sous-module de $A^2$ engendré par $(b, -a)$; en conclure que $S(m)$ est isomorphe à l’anneau quotient $A[U, V]/(bU - aV)$, et montrer que dans l’anneau de polynômes $A[U, V]$ l’idéal principal $(bV - aU)$ n’est pas premier, en considérant le produit $b^2(bV^3 - U^3)$.)