En effet, on a par définition $\varphi'(x)\varphi'(y) = \varphi'(y)\varphi'(x)$ pour $x, y$ dans $M$, et comme les éléments $\varphi'(x)$, où $x$ parcourt $M$, engendrent $S(M)$, la conclusion résulte de III, p. 11.

Il existe un homomorphisme et un seul de A-algèbres $g : S(M) \to E$ tel que $f = g \circ \varphi'$.

En d’autres termes, $(S(M), \varphi')$ est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 23), où $\Sigma$ est l’espèce de structure de A-algèbre, les $\alpha$-applications étant les applications linéaires du A-module M dans une A-algèbre vérifiant (1).

L’unicité de $g$ résulte de ce que $\varphi'(M) = M$ engendre $S(M)$. Pour prouver l’existence de $g$, notons qu’en vertu de III, p. 56, prop. 1, il existe un homomorphisme $g_1 : T(M) \to E$ de A-algèbres tel que $f = g_1 \circ \varphi$; tout revient à voir que $g_1$ s’annule dans l’idéal $\mathfrak{J}'$, car alors, si $p : T(M) \to S(M) = T(M)/\mathfrak{J}'$ est l’homomorphisme canonique, on pourra écrire $g_1 = g \circ p$, où $g : S(M) \to E$ est un homomorphisme d’algèbres, et la conclusion résultera de ce que $p \circ \varphi = \varphi'$. Or le noyau de $g_1$ est un idéal bilatère qui, en vertu de (1) et de la relation $g_1 \circ \varphi = f$, contient les éléments $x \otimes y - y \otimes x$ pour $x, y$ dans M. Ceci termine la démonstration.

L’existence et l’unicité de $u'$ résultent de III, p. 67, prop. 2, appliquée à l’algèbre commutative $S(N)$ et à $f = \varphi'_N \circ u : M \to S(N)$; comme

le fait que $u'$ soit un homomorphisme d’algèbres graduées résulte de III, p. 68, Remarque 1.

L’homomorphisme $u'$ de la prop. 3 sera désormais noté $S(u)$. Si P est un A-module et $v : N \to P$ une application A-linéaire, on a

car $S(v) \circ S(u)$ est un homomorphisme d’algèbres qui rend commutatif le diagramme

Comme $S(M)$ contient $M = S^1(M)$, on dit parfois que $S(u)$ est le prolongement canonique de $u$ à $S(M)$. La restriction $S^n(u) : S^n(M) \to S^n(N)$ est telle que

pour les $x_i \in M$, puisque $S(u)$ est un homomorphisme d’algèbres et $S^1(u) = u$; la restriction $S^0(u)$ à $A$ est l’application identique. On notera que $S^n(u)$ provient de $T^n(u) : T^n(M) \to T^n(N)$ par passage aux quotients.

Posons $v = T(u) : T(M) \to T(N)$; on sait (III, p. 57, prop. 3) que $v$ est surjective, donc il résulte des définitions que l’on a $v(\mathfrak{J}'_M) = \mathfrak{J}'_N$; si $\mathfrak{R}$ est le noyau de $v$, on a par suite $v^{-1}(\mathfrak{J}'_N) = \mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M$. Comme $S(u) : T(M)/\mathfrak{J}'_M \to T(N)/\mathfrak{J}'_N$ se déduit de $v$ par passage aux quotients, c’est un homomorphisme surjectif dont le noyau est $\mathfrak{R}' = (\mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M)/\mathfrak{J}'_M$. Comme $\mathfrak{R}$ est engendré par le noyau $P$ de $u$ (III, p. 57), il en est de même de $\mathfrak{R}'$.

Si $u : M \to N$ est une application linéaire injective, il n’est pas toujours vrai que $S(u)$ soit une application injective (III, p. 187, exerc. 1). Toutefois il en est ainsi lorsque $u$ est une injection telle que $u(M)$ soit facteur direct de $N$, et alors l’image de $S(u)$ (isomorphe à $S(M)$) est facteur direct de $S(N)$; la démonstration est la même que celle des assertions analogues pour $T(u)$ (III, p. 58) en remplaçant $T$ par $S$.

La démonstration se déduit de celle de III, p. 58–59, prop. 4, en remplaçant partout $T$ par $S$. Les hypothèses de la prop. 5 sont toujours vérifiées pour des sous-modules quelconques $N, P$ de $M$ lorsque $A$ est un corps.

La démonstration se déduit de celle de III, p. 59, corollaire, en remplaçant partout $T$ par $S$.

On dit que $N$ est le sous-espace vectoriel de $M$ associé à $z$.

Rappelons (II, p. 71) qu’on a une bijection canonique du $A$-module $\mathrm{Hom}_A(T^n(M), N)$ sur le $A$-module $\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)$ de toutes les applications $n$-linéaires de $M^n$ dans $N$, en associant à toute application $A$-linéaire $f : T^n(M) \to N$ l’application $n$-linéaire

D’autre part, les applications $A$-linéaires $g : S^n(M) \to N$ correspondent bi-univoquement aux applications $A$-linéaires $f : T^n(M) \to N$ telles que $f$ s’annule dans $\mathfrak{S}_n'$, en associant à $g$ l’application $f = g \circ p_n$, où $p_n : T^n(M) \to S^n(M) = T^n(M)/\mathfrak{S}_n'$ est l’homomorphisme canonique (II, p. 36, th. 1). Mais comme $\mathfrak{S}_n'$ est combinaison linéaire d’éléments de la forme

(x, y, u_i, v_j dans M), dire que la fonction $f$ est de la forme $g \circ p_n$ signifie que la fonction $n$-linéaire correspondante $\bar{f}$ vérifie la relation

autrement dit, d’après ce qu’on a vu plus haut, cela signifie que $\bar{f}$ est symétrique; d’où la proposition, compte tenu de ce que $p_n(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_1 x_2 \cdots x_n$ pour les $x_i \in M$.

On dit que le A-module $S^n(M)$ est la puissance symétrique $n$-ème de M. Pour tout homomorphisme de A-modules $u : M \to N$, l’application $S^n(u) : S^n(M) \to S^n(N)$ qui coïncide avec $S(u)$ dans $S^n(M)$ s’appelle la puissance symétrique $n$-ème de $u$.

La démonstration se déduit de celle de III, p. 60, prop. 5 en y remplaçant $T$ par $S$ et $\varphi_M$ par $\varphi'_M$.

La démonstration est la même que celle de III, p. 61, prop. 6, en y remplaçant partout $T$ par $S$ et $\varphi$ et $\varphi'$, et tenant compte du fait qu’une limite inductive d’algèbres commutatives est commutative.

Pour prouver que $g$ est bijectif, on va définir un homomorphisme d’algèbres

tel que $g \circ h$ et $h \circ g$ soient respectivement les applications identiques de $S(M)$ et de $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$. Pour chaque $\lambda \in L$, soit $u_\lambda$ l’application linéaire composée

Il existe une application $A$-linéaire et une seule $u: M \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ telle que $u \circ j_\lambda = u_\lambda$ pour tout $\lambda \in L$. Comme les $S(M_\lambda)$ sont commutatives, il en est de même de leur produit tensoriel (III, p. 42), donc (III, p. 67, prop. 2) il existe un homomorphisme unique d’algèbres $h : S(M) \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$, tel que $h \circ \varphi'_M = u$; d’ailleurs, il est immédiat que $u(M)$ est contenu dans le sous-module des éléments de degré 1 de l’algèbre graduée $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$, donc $h$ est un homomorphisme d’algèbres graduées. Pour $x_\lambda \in M_\lambda$, on a $h(g(u_\lambda(x_\lambda))) = h(g(f_\lambda(\varphi'_{M_\lambda}(x_\lambda)))) = h(S(j_\lambda)(\varphi'_{M_\lambda}(x_\lambda))) = h(\varphi'_M(j_\lambda(x_\lambda))) = u_\lambda(x_\lambda)$; comme les $u_\lambda(x_\lambda)$ engendrent l’algèbre $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ (III, p. 42, prop. 8), $h \circ g$ est bien l’application identique. De même,

et comme les éléments $\varphi'_M(j_\lambda(x_\lambda))$ engendrent l’algèbre $S(M)$, $g \circ h$ est bien l’application identique.

Remarque 1). — Soit $N = \bigoplus_{\lambda \in L} N_\lambda$ la somme directe d’une seconde famille de A-modules ayant $L$ pour ensemble d’indices, et, pour tout $\lambda \in L$, soit $v_\lambda : M_\lambda \to N_\lambda$ une application A-linéaire, d’où une application A-linéaire $v = \bigoplus_{\lambda} v_\lambda : M \to N$ (II, p. 12, prop. 6). Alors le diagramme

est commutatif, comme il résulte des définitions (III, p. 43, corollaire).

On peut décrire de façon plus précise le sous-A-module de $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ auquel $S^n(M)$ s’identifie au moyen de l’isomorphisme $g$. Pour toute partie finie $J$ de $L$, posons $E_J = \bigotimes_{\lambda \in J} S(M_\lambda)$, de sorte que $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda) = \lim_{\longrightarrow} E_J$ suivant l’ensemble filtrant $\mathscr{F}(L)$ des parties finies de $L$, par définition (III, p. 42). Pour toute famille $\nu = (n_\lambda) \in \mathbf{N}^{(L)}$ (ayant donc un support fini) telle que $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$, et toute partie finie $J$ de $L$ contenant le support de la famille $\nu$, posons

de sorte que le sous-module $E_{J,n}$ des éléments de degré $n$ de $E_J$ est la somme directe des $S^{J,\nu}(M)$ pour toutes les familles $\nu$ de support contenu dans $J$ et telles que $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$ (III, p. 47, prop. 10 et III, p. 53). Posons par convention $S^{J,\nu}(M) = \{0\}$ pour les familles $\nu$ dont le support n’est pas contenu dans $J$; alors on peut encore dire que $E_{J,n}$ est somme directe de tous les $S^{J,\nu}(M)$, où $\nu$ parcourt l’ensemble $H_n$ de toutes les familles $\nu = (n_\lambda)_{\lambda \in L}$ telles que $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$. Puisque $S^0(M_\lambda)$ s’identifie à $A$, il est clair en outre que pour deux parties finies $J \subset J'$ de $L$ et une famille $\nu$ de support contenu dans $J$, l’application canonique $S^{J', \nu}(M) \to S^{J', \nu}(M)$ (restriction à $S^{J', \nu}(M)$ de l’application canonique $E_J \to E_{J'}$) est bijective. Si l’on pose, pour tout $\nu \in H_n$,

on voit donc que l’on a, compte tenu de II, p. 91, prop. 5:

On identifiera en général $S^\nu(M)$, $\bigotimes_{\lambda \in J} S^{n_\lambda}(M_\lambda)$ et leur image dans $S^n(M)$.

Comme $M$ est somme directe des $M_\lambda = Ae_\lambda$, il suffit de démontrer le théorème lorsque $L$ est réduit à un seul élément et d’appliquer ensuite III, p. 73, prop. 9. Mais lorsque $M = Ae$ (e élément libre), on a $x \otimes y - y \otimes x = 0$ quels que soient $x, y$ dans $M$; l’idéal $\mathfrak{J}'$ est donc nul, d’où $T(Ae) = S(Ae)$ et le théorème résulte alors de III, p. 62, th. 1.

La table de multiplication de la base (14) est donnée par

où $\alpha + \beta$ est l’application $\lambda \mapsto \alpha(\lambda) + \beta(\lambda)$ de $L$ dans $N$. En d’autres termes, la base $(e^\alpha)$ de $S(M)$, munie de la loi multiplicative (15), est canoniquement isomorphe au monoïde commutatif libre $\mathbf{N}^{(L)}$ déduit de $L$; on en conclut (III, p. 25) que l’algèbre symétrique $S(M)$ d’un module libre $M$ ayant une base dont $L$ est l’ensemble d’indices, est canoniquement isomorphe à l’algèbre des polynômes $A[(X_\lambda)_{\lambda \in L}]$, l’isomorphisme canonique s’obtenant en faisant correspondre $X_\lambda$ à $e_\lambda$. En particulier (III, p. 22, prop. 7), pour toute application $f : L \to E$ de $L$ dans une A-algèbre commutative $E$, il existe un homomorphisme $f : S(M) \to E$ de A-algèbres et un seul tel que $f(e_\lambda) = f(\lambda)$.

Remarque 2). — Les résultats précédents peuvent également s’obtenir comme conséquence des propriétés universelles des algèbres de polynômes et des algèbres symétriques, compte tenu de (II, p. 25, cor. 3).

La démonstration est la même que celle de III, p. 62, corollaire, en remplaçant $T$ par $S$.