Exercice 5, § 6

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$. a) Montrer que pour tout entier $m$, la puissance symétrique $S^m(E)$ et l’espace vectoriel $S'_m(E)$ des tenseurs contravariants symétriques d’ordre $m$ ont même dimension $\binom{m+n-1}{n-1} = \binom{n+m-1}{m}$. \* b) Si $K$ est de caractéristique $p > 0$, montrer que l’espace vectoriel $S_p''(E)$ des tenseurs symétrisés d’ordre $p$ a pour dimension $\binom{n}{p}$ (observer que si dans un produit tensoriel $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$ de $p$ vecteurs de $E$ on a $x_i = x_j$ pour un couple d’indices distincts $i, j$, alors le symétrisé de ce produit est nul; on utilisera le fait que si $(H_i)_{1 \leq i \leq r}$ est une partition de $\{1, 2, \ldots, p\}$ en ensembles non vides, comportant au moins deux ensembles, le sous-groupe de $\mathfrak{S}_p$ laissant stable chacun des $H_i$ est d’ordre non divisible par $p$. D’autre part, l’image canonique dans $S^p(E)$ de l’espace $S'_p(E)$ des tenseurs symétriques d’ordre $p$ est de dimension $n$ et est engendré par les images des tenseurs $x \otimes x \otimes \cdots \otimes x$ ($p$ fois), où $x \in E$ (utiliser la même remarque); l’application canonique de $S'_p(E)$ dans $S^p(E)$ n’est donc pas bijective bien que les deux espaces vectoriels aient même dimension.*