Bài tập 5, § 6

Cho $E$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n$ trên một trường $K$. (a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $m$, lũy thừa đối xứng $S^m(E)$ và không gian vectơ $S'_m(E)$ của các tenxơ phản biến đối xứng cấp $m$ có cùng chiều $\binom{m+n-1}{n-1} = \binom{n+m-1}{m}$. (b) Nếu $K$ có đặc số $p > 0$, chứng minh rằng không gian vectơ $S''_p(E)$ của các tenxơ đối xứng hóa cấp $p$ có chiều $\binom{n}{p}$ (hãy nhận xét rằng nếu, trong một tích tenxơ $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$ của $p$ vectơ của $E$, $x_i = x_j$ với một cặp có thứ tự các chỉ số phân biệt $i, j$, thì đối xứng hóa của tích này là không; dùng sự kiện rằng nếu $(H_i)_{1 \leq i \leq r}$ là một phân hoạch của $\{1, 2, \ldots, p\}$ thành các tập hợp không rỗng, gồm ít nhất hai tập hợp, thì nhóm con của $S_p$ để ổn định mỗi $H_i$ có cấp không chia hết cho $p$). Mặt khác, ảnh chính tắc trong $S^p(E)$ của không gian $S'_p(E)$ gồm các tenxơ đối xứng cấp $p$ có chiều $n$ và được sinh bởi các ảnh của các tenxơ $x \otimes x \otimes \cdots \otimes x$ ($p$ lần), trong đó $x \in E$ (dùng cùng nhận xét đó); do đó ánh xạ chính tắc từ $S'_p(E)$ vào $S^p(E)$ không phải là song ánh mặc dù hai không gian vectơ có cùng chiều.