Theo định nghĩa $\phi'(x)\phi'(y) = \phi'(y)\phi'(x)$ với $x, y$ trong M và, vì các phần tử $\phi'(x)$, trong đó x chạy qua M, sinh ra S(M), kết luận suy ra từ § 1, no. 7.

Nói cách khác, $(S(M), \phi')$ là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát (Set Theory, IV, § 3, no. 1), trong đó $\Sigma$ là loài các cấu trúc đại số trên A, các ánh xạ $\alpha$ là các ánh xạ tuyến tính từ A-môđun M đến một đại số trên A thỏa mãn (1).

Tính duy nhất của g suy ra từ sự kiện rằng $\phi'(M) = M$ sinh ra S(M). Để chứng minh sự tồn tại của g, chú ý rằng theo § 5, No. 1, mệnh đề 1, tồn tại một đồng cấu đại số trên A $g_1 : T(M) \to E$ sao cho $f = g_1 \circ \phi;$

điều duy nhất cần chứng minh là $g_1$ bằng không trên iđêan $\mathfrak{J}'$, vì khi đó, nếu $p : T(M) \to S(M) = T(M)/\mathfrak{J}'$ là đồng cấu chính tắc, ta có thể viết $g_1 = g \circ p$, trong đó $g : S(M) \to E$ là một đồng cấu đại số, và kết luận sẽ suy ra từ sự kiện rằng $p \circ \phi = \phi'$. Bây giờ hạt nhân của $g_1$ là một iđêan hai phía mà, theo (1) và quan hệ $g_1 \circ \phi = f$, chứa các phần tử $x \otimes y - y \otimes x$ với $x, y$ trong $M$. Điều này hoàn tất chứng minh.

là giao hoán. Hơn nữa, $u'$ là một đồng cấu đại số phân bậc.

Sự tồn tại và tính duy nhất của $u'$ suy ra từ no. 1, Mệnh đề 2 áp dụng cho đại số giao hoán $S(N)$ và $f = \phi'_N \circ u : M \to S(N)$; vì

nên việc $u'$ là một đồng cấu đại số phân bậc suy ra từ no. 1, Nhận xét 1.

Từ nay về sau, đồng cấu $u'$ của Mệnh đề 3 sẽ được ký hiệu là $S(u)$. Nếu $P$ là một $A$-môđun và $v : N \to P$ là một ánh xạ $A$-tuyến tính, thì

vì $S(v) \circ S(u)$ là một đồng cấu đại số làm cho biểu đồ

giao hoán.

Vì $S(M)$ chứa $M = S^1(M)$, nên $S(u)$ đôi khi được gọi là mở rộng chính tắc của $u$ lên $S(M)$. Hạn chế $S^n(u): S^n(M) \to S^n(N)$ thỏa mãn

trong đó các $x_i \in M$, vì $S(u)$ là một đồng cấu đại số và $S^1(u) = u$; hạn chế $S^0(u)$ lên $A$ là ánh xạ đồng nhất. Chú ý rằng $S^n(u)$ có thể thu được từ $T^n(u): T^n(M) \to T^n(N)$ bằng cách chuyển qua các thương.

Ta viết $v = T(u): T(M) \to T(N)$; ta biết (§ 5, no. 2, Mệnh đề 3) rằng $v$ là toàn ánh và do đó suy ra từ các định nghĩa rằng $v(\mathfrak{J}'_M) = \mathfrak{J}'_N$; nếu $\mathfrak{R}$ là hạt nhân của $v$, thì $v^{-1}(\mathfrak{J}'_N) = \mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M$. Vì $S(u): T(M)/\mathfrak{J}'_M \to T(N)/\mathfrak{J}'_N$ được dẫn xuất từ $v$ bằng cách chuyển qua các thương, nên đó là một đồng cấu toàn ánh có hạt nhân là $\mathfrak{R}' = (\mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M)/\mathfrak{J}'_M$. Vì $\mathfrak{R}$ được sinh bởi hạt nhân $P$ của $u$ (§ 5, no. 2), nên $\mathfrak{R}'$ cũng vậy.

Nếu $u: M \to N$ là một ánh xạ tuyến tính đơn ánh, thì không phải lúc nào cũng đúng rằng $S(u)$ là một ánh xạ đơn ánh (Bài tập 1). Tuy nhiên điều đó đúng khi $u$ là một đơn ánh sao cho $u(M)$ là một nhân tử trực tiếp trong $N$ và khi đó ảnh của $S(u)$ (đẳng cấu với $S(M)$) là một nhân tử trực tiếp của $S(N)$; chứng minh giống như chứng minh các mệnh đề tương tự đối với $T(u)$ (§ 5, no. 2) khi thay thế $T$ bởi $S$.

Chứng minh được quy về chứng minh của § 5, no. 2, Mệnh đề 4 khi thay thế khắp nơi $T$ bởi $S$. Các giả thiết của Mệnh đề 5 luôn đúng với các môđun con tùy ý $N, P$ của $M$ khi $A$ là một trường.

Chứng minh được dẫn xuất từ chứng minh của § 5, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4 khi thay thế khắp nơi T bởi S.

N được gọi là không gian con vectơ của M liên kết với z.

(trong đó ở vế phải tích được lấy trong đại số $S(M)$), thì thu được một ánh xạ A-tuyến tính song ánh từ A-môđun $\operatorname{Hom}_A(S^n(M), N)$ lên A-môđun các ánh xạ n-tuyến tính đối xứng từ $M^n$ vào N.

Nhắc lại rằng (II, § 3, no. 9) có một song ánh chính tắc của A-môđun $\operatorname{Hom}_A(T^n(M), N)$ lên A-môđun $\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)$ gồm mọi ánh xạ n-tuyến tính từ $M^n$ vào N, thu được bằng cách gắn với mỗi ánh xạ A-tuyến tính $f : T^n(M) \to N$ ánh xạ n-tuyến tính

Mặt khác, các ánh xạ A-tuyến tính $g : S^n(M) \to N$ tương ứng một-một với các ánh xạ A-tuyến tính $f : T^n(M) \to N$ sao cho $f$ bằng không trên $\mathfrak{J}'_n$, bằng cách gắn với $g$ ánh xạ $f = g \circ p_n$, trong đó

là đồng cấu chính tắc (II, § 2, no. 1, Định lý 1). Nhưng vì $\mathfrak{J}'_n$ là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử dạng

lũy thừa đối xứng bậc n

(x, y, u_i, v_j trong M), nên nói rằng hàm f có dạng g \circ p_n có nghĩa là hàm n-tuyến tính tương ứng $\bar{f}$ thỏa mãn quan hệ

nói cách khác, theo điều đã thấy ở trên, điều đó có nghĩa là $\bar{f}$ là đối xứng; do đó có mệnh đề, có tính đến việc

với các $x_i \in M$.

A-môđun $S^n(M)$ được gọi là lũy thừa đối xứng bậc n của M. Với mọi đồng cấu A-môđun $u : M \to N$, ánh xạ $S^n(u) : S^n(M) \to S^n(N)$ trùng với $S(u)$ trên $S^n(M)$ được gọi là lũy thừa đối xứng bậc n của u.

Chứng minh được dẫn xuất từ chứng minh của § 5, no. 3, mệnh đề 5 bằng cách thay thế $T$ bởi $S$ và $\phi_M$ bởi $\phi_M'$.

Chứng minh giống như chứng minh của § 5, no. 5, Mệnh đề 6 khi thay thế xuyên suốt $T$ bởi $S$ và $\phi$ bởi $\phi'$ và có tính đến sự kiện rằng một giới hạn trực tiếp của các đại số giao hoán là giao hoán.

Để chứng minh rằng $g$ là song ánh, ta định nghĩa một đồng cấu đại số

sao cho $g \circ h$ và $h \circ g$ lần lượt là các ánh xạ đồng nhất trên $S(M)$ và $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$. Với mỗi $\lambda \in L$, gọi $u_\lambda$ là ánh xạ tuyến tính hợp thành

Tồn tại một và chỉ một ánh xạ $A$-tuyến tính $u : M \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ sao cho $u \circ j_\lambda = u_\lambda$ với mọi $\lambda \in L$. Vì các $S(M_\lambda)$ là giao hoán, nên tích tenxơ của chúng cũng giao hoán (§ 4, no. 5) và do đó (no. 1, Mệnh đề 2) tồn tại một đồng cấu đại số duy nhất $h : S(M) \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ sao cho $h \circ \phi'_M = u$; mặt khác, ngay lập tức thấy rằng $u(M)$ được chứa trong môđun con các phần tử bậc 1 của đại số phân bậc $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ và do đó $h$ là một đồng cấu đại số phân bậc. Với $x_\lambda \in M_\lambda$, vì các $u_\lambda(x_\lambda)$ sinh đại số $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ (§ 4, no. 5, Mệnh đề 8), chắc chắn $h \circ g$ là ánh xạ đồng nhất. Tương tự, và, vì các phần tử $\phi'_M(j_\lambda(x_\lambda))$ sinh đại số $S(M)$, chắc chắn $g \circ h$ là ánh xạ đồng nhất.

Nhận xét (1) Cho $N = \bigoplus_{\lambda \in L} N_\lambda$ là tổng trực tiếp của một họ khác các $A$-môđun với $L$ là tập hợp chỉ số và, với mọi $\lambda \in L$, cho $v_\lambda : M_\lambda \to N_\lambda$ là một ánh xạ $A$-tuyến tính, do đó có một ánh xạ $A$-tuyến tính $v = \bigoplus_\lambda v_\lambda : M \to N$ (II, § 1, no. 6, Mệnh đề 6). Khi đó biểu đồ

là giao hoán, như suy ra từ các định nghĩa (§ 4, no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 8).

Môđun con của $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ mà $S^n(M)$ được đồng nhất với nó bằng đẳng cấu $g$ có thể được mô tả chính xác hơn. Với mọi tập con hữu hạn $J$ của $L$, ta viết $E_J = \bigotimes_{\lambda \in J} S(M_\lambda)$, sao cho $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda) = \varprojlim E_J$ đối với tập có hướng $\mathscr{F}(L)$ gồm các tập con hữu hạn của $L$, theo định nghĩa (§ 4, no. 5). Với mọi họ $\nu = (n_\lambda) \in \mathbf{N}^{(L)}$ (do đó có giá hữu hạn) sao cho $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$ và mọi tập con hữu hạn $J$ của $L$ chứa giá của họ $\nu$, ta viết

sao cho môđun con $E_{J,n}$ gồm các phần tử bậc $n$ trong $E_J$ là tổng trực tiếp của các $S^{J,\nu}(M)$ trên mọi họ $\nu$ có giá được chứa trong $J$ và sao cho $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$ (§ 4, no. 7, mệnh đề 10 and § 4, no. 8). Theo quy ước ta viết $S^{J,\nu}(M) = \{0\}$ đối với các họ $\nu$ mà giá của chúng không được chứa trong $J$; khi đó $E_{J,n}$ cũng có thể được gọi là tổng trực tiếp của mọi $S^{J,\nu}(M)$, trong đó $\nu$ chạy qua tập hợp $H_n$ của mọi họ $\nu = (n_\lambda)_{\lambda \in L}$ sao cho $\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$. Vì $S^0(M_\lambda)$ được đồng nhất với $A$, ta cũng thấy rõ rằng, với hai tập con hữu hạn $J \subset J'$ của $L$ và một họ $\nu$ có giá được chứa trong $J$, ánh xạ chính tắc $S^{J,\nu}(M) \to S^{J',\nu}(M)$ (hạn chế của ánh xạ chính tắc $E_J \to E_J$ lên $S^{J,\nu}(M)$) là song ánh. Nếu ta viết, với mọi $\nu \in H_n$,

thì thấy rằng, có tính đến II, § 6, no. 2, mệnh đề 5:

Nói chung $S^\nu(M)$, $\bigotimes_{\lambda \in J} S^{n_\lambda}(M_\lambda)$ và ảnh của chúng trong $S^n(M)$ được đồng nhất với nhau.

(tích trong đại số giao hoán $S(M)$). Khi đó, khi $\alpha$ chạy qua tập $\mathbf{N}^{(L)}$ các ánh xạ từ $L$ vào $\mathbf{N}$, có giá hữu hạn, thì các $e^\alpha$ lập thành một cơ sở của $A$-*môđun* $S(M)$.

Vì $M$ là tổng trực tiếp của các $M_\lambda = Ae_\lambda$, nên chỉ cần chứng minh định lý khi $L$ thu về một phần tử duy nhất rồi áp dụng Mệnh đề 9. Nhưng khi $M = Ae$ (e là một phần tử tự do), thì $x \otimes y - y \otimes x = 0$ với mọi $x, y$ trong $M$; do đó iđêan $\mathfrak{g}'$ bằng không, do đó $T(Ae) = S(Ae)$ và khi ấy định lý suy ra từ § 5, no. 5, Định lý 1.

Bảng phép nhân của cơ sở (14) được cho bởi

(15)

trong đó $\alpha + \beta$ là ánh xạ $\lambda \mapsto \alpha(\lambda) + \beta(\lambda)$ từ $L$ vào $\mathbf{N}$. Nói cách khác, cơ sở $(e^\alpha)$ của $S(M)$, với luật nhân (15), đẳng cấu chính tắc với monoit giao hoán tự do $N^{(L)}$ dẫn xuất từ $L$; suy ra (§ 2, no. 9) đại số đối xứng $S(M)$ của một môđun tự do $M$ có một cơ sở với tập chỉ số là $L$, đẳng cấu chính tắc với đại số đa thức $A[(X_\lambda)_{\lambda \in L}]$, đẳng cấu chính tắc thu được bằng cách ánh xạ $e_\lambda$ lên $X_\lambda$. Đặc biệt (§ 2, no. 7, Mệnh đề 7), với mọi ánh xạ $f : L \to E$ từ $L$ vào một đại số giao hoán $A$-đại số $E$, tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số $\tilde{f} : S(M) \to E$ sao cho $\tilde{f}(e_\lambda) = f(\lambda)$.

Nhận xét (2). Các kết quả trên cũng có thể thu được như một hệ quả của các tính chất phổ quát của các đại số đa thức và các đại số đối xứng, có tính đến II, § 1, no. 11, Hệ quả 3 của Mệnh đề 17.

Chứng minh giống như chứng minh của Hệ quả của Định lý 1 ở § 5, no. 5, thay thế $T$ bằng $S$.

Việc $S(M)$ là tổng trực tiếp của các $S^{\alpha, n}(M)$ suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 9; phần còn lại của chứng minh giống hệt phần cuối của chứng minh của § 5, no. 5, Mệnh đề 7.

Giả sử riêng rằng $\Delta = \mathbf{Z}$ và cho $S(M)$ phân bậc toàn phần (kiểu $\mathbf{Z}$) (II, § 11, no. 1) tương ứng với phân bậc kiểu $\mathbf{Z} \times \mathbf{N}$ (và do đó cũng kiểu $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$) được định nghĩa ở trên; các phần tử thuần nhất bậc $n \in \mathbf{Z}$ đối với phân bậc này vì thế là các phần tử của tổng trực tiếp của các $S^{q, m}(M)$ với $q + m = n$. Cho $f$ là một ánh xạ tuyến tính thuần nhất bậc 0 của $A$-môđun phân bậc $M$ vào một $A$-đại số phân bậc giao hoán $F$ kiểu $\mathbf{Z}$; khi đó đồng cấu đại số $g : S(M) \to F$ sao cho $f = g \circ \phi_M'$ là một đồng cấu của các đại số phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$, như suy ra từ công thức $g(x_1 x_2 \ldots x_n) = f(x_1) f(x_2) \ldots f(x_n)$ đối với các $x_i$ thuần nhất trong $M$, từ giả thiết trên $f$ và từ định nghĩa của phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ trên $S(M)$.