Nói cách khác, $(\bigwedge(M), \phi'')$ là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát (Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 1), trong đó $\Sigma$ là loài các cấu trúc $A$-đại số, còn các ánh xạ $\alpha$ là các ánh xạ tuyến tính từ $A$-môđun $M$ tới một $A$-đại số thỏa mãn (1).

Tính duy nhất của $g$ suy ra từ việc $\phi''(M) = M$ sinh ra $\bigwedge(M)$. Để chứng minh sự tồn tại của $g$, ta nhận thấy rằng theo § 5, no. 1, Mệnh đề 1 tồn tại một đồng cấu đại số $A$ $g_1 : T(M) \to E$ sao cho $f = g_1 \circ \phi$; ta cần chứng minh rằng $g_1$ bằng không trên iđêan $\mathfrak{J}''$, vì khi đó nếu

là đồng cấu chính tắc, ta có thể viết $g_1 = g \circ p$, trong đó $g : \bigwedge(M) \to E$ là một đồng cấu đại số và kết luận sẽ suy ra từ việc $p \circ \phi = \phi''$. Thật vậy, hạt nhân của $g_1$ là một iđêan hai phía mà, theo (1) và quan hệ $g_1 \circ \phi = f$, chứa các phần tử $x \otimes x$ với $x \in M$. Điều này hoàn tất chứng minh.

là giao hoán. Hơn nữa, $u''$ là một đồng cấu đại số phân bậc.

Sự tồn tại và tính duy nhất của $u'$ suy ra từ no. 1, Mệnh đề 1 áp dụng cho đại số $\bigwedge(N)$ và $f = \phi_N'' \circ u : M \to \bigwedge(N)$; thật vậy, $f(M) \subset N$ và do đó $f$ thỏa mãn điều kiện (1) theo định nghĩa của $\mathfrak{g}_N''$: vì $f(M) \subset \bigwedge^1(N) = N$, việc $u''$ là một đồng cấu đại số phân bậc suy ra từ Nhận xét 1 của no. 1.

Đồng cấu $u''$ của Mệnh đề 2 từ nay sẽ được ký hiệu bởi $\bigwedge(u)$. Nếu $P$ là một $A$-môđun và $v : N \to P$ là một ánh xạ $A$-tuyến tính, thì

vì $\bigwedge(v) \circ \bigwedge(u)$ là một đồng cấu đại số làm cho biểu đồ

là giao hoán.

Vì $\Lambda(M)$ chứa $M = \Lambda^1(M)$, $\Lambda(u)$ đôi khi được gọi là mở rộng chính tắc của $u$ tới $\Lambda(M)$. Hạn chế $\Lambda^n(u): \Lambda^n(M) \to \Lambda^n(N)$ sao cho

với $x_i \in M$, vì $\Lambda(u)$ là một đồng cấu đại số và $\Lambda^1(u) = u$; hạn chế $\Lambda^0(u)$ trên $A$ là ánh xạ đồng nhất. Chú ý rằng $\Lambda^n(u)$ thu được từ $T^n(u): T^n(M) \to T^n(N)$ bằng cách chuyển qua các thương.

Chứng minh được dẫn xuất từ chứng minh của § 6, no. 2, Mệnh đề 4, thay thế $S$ bằng $\Lambda$ và $\mathfrak{g}'$ bằng $\mathfrak{g}''$.

Nếu $u: M \to N$ là một ánh xạ tuyến tính đơn ánh, thì không phải bao giờ cũng đúng rằng $\Lambda(u)$ là một ánh xạ đơn ánh (§ 6, Bài tập 3) (tuy nhiên xem dưới đây no. 9, Hệ quả của Mệnh đề 12). Tuy nhiên điều đó đúng khi $u$ là một đơn ánh sao cho $u(M)$ là một nhân tử trực tiếp của $N$, và khi đó ảnh của $\Lambda(u)$ (đẳng cấu với $\Lambda(M)$) là một nhân tử trực tiếp của $\Lambda(N)$; chứng minh giống như chứng minh của các khẳng định tương tự đối với $T(u)$ (§ 5, no. 2), thay thế $T$ bằng $\Lambda$.

Chứng minh được suy ra từ chứng minh của § 5, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4 bằng cách thay thế $T$ bởi $\Lambda$ ở mọi chỗ.

$N$ được gọi là không gian con vectơ của $M$ liên kết với phần tử $z$ của $\Lambda(M)$.

(ii) Nếu tồn tại hai chỉ số phân biệt $i, j$ sao cho $x_i = x_j$, thì tích

bằng không.

(i) Trước hết, vì $x \wedge x = 0$ với mọi $x \in M$ theo định nghĩa của iđêan $\mathfrak{g}'$, nên cũng vậy, với $x, y$ trong $M$,

Điều này thiết lập (6) trong trường hợp $n = 2$. Trường hợp tổng quát khi đó suy ra từ § 4, no. 6, Bổ đề 3.

(ii) Dưới giả thiết của (ii), tồn tại một phép hoán vị $\sigma \in S_n$ sao cho $\sigma(1) = i$ và $\sigma(2) = j$; khi đó vế trái của (6) bằng không đối với phép hoán vị này và vì thế vế phải cũng vậy.

Theo Mệnh đề 5, việc này quy về chứng minh

Với $1 \leq h < h' \leq p$ hoặc $p + 1 \leq h < h' \leq n$, ta có $\sigma(h') > \sigma(h)$ và số các cặp có thứ tự $(h, h')$ sao cho $1 \leq h \leq p < h' \leq n$ và $\sigma(h) > \sigma(h')$ bằng $\nu$.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 13 của $§ 4$, no. 9 cho $\bigwedge(M)$, lấy làm hệ sinh tập hợp $M$ và dùng Mệnh đề 5.

Cho $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ sinh của M. Mọi phần tử của $\bigwedge^p(M)$ là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử có dạng

trong đó các chỉ số $i_k$ thuộc $\{1, n\}$; theo Mệnh đề 5, có thể giả sử các chỉ số này phân biệt (nếu không thì phần tử tương ứng bằng không). Nếu $p > n$, thì không có dãy chỉ số như vậy và do đó $\bigwedge^p(M) = \{0\}$. Nếu $p \leq n$, thì các dãy này hữu hạn về số lượng, điều đó hoàn tất chứng minh.

Ta xét song ánh chính tắc của A-môđun $\operatorname{Hom}_A(T^n(M), N)$ lên A-môđun $\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)$ gồm mọi ánh xạ n-tuyến tính của $M^n$ vào N, thu được bằng cách liên kết với mỗi ánh xạ A-tuyến tính $f : T^n(M) \to N$ ánh xạ n-tuyến tính

(II, § 3, no. 9). Mặt khác, các ánh xạ A-tuyến tính $g : \bigwedge^n(M) \to N$ tương ứng một-một với các ánh xạ A-tuyến tính $f : T^n(M) \to N$ sao cho f bằng không trên $\mathfrak{g}_n''$, bằng cách liên kết với g ánh xạ $f = g \circ p_n$, trong đó

là đồng cấu chính tắc (II, § 2, no. 1, Định lý 1). Nhưng vì $\mathfrak{J}_n''$ là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử có dạng

$(x, u_i, v_j$ trong $M$), nên việc nói rằng $f$ có dạng $g \circ p_n$ có nghĩa là hàm $n$-tuyến tính tương ứng $\bar{f}$ thỏa mãn (8), nói cách khác, nó là phản xứng.

A-môđun $\bigwedge^n(M)$ được gọi là lũy thừa ngoài bậc n của M. Với mọi đồng cấu A-môđun $u : M \to N$, ánh xạ

trùng với $\bigwedge(u)$ trên $\bigwedge^n(M)$ được gọi là lũy thừa ngoài bậc n của u.

Chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ $n$-tuyến tính

từ $M^n$ vào $M$ là phản xứng. Thật vậy, nếu $x_i = x_{i+1}$, thì mọi hạng trong tổng ở vế phải đều có hệ số bằng không, trừ $x_i$ và $x_{i+1}$, vì $f$ là phản xứng; mặt khác, hệ số của $x_i$ là

và hệ số của $x_{i+1}$ là $(-1)^{i+1} f(x_1, \ldots, x_i, x_{i+2}, \ldots, x_n)$, và theo giả thiết chúng đối nhau.

của ánh xạ $B$-*tuyến tính* $1_B \otimes \phi_M'' : B \otimes_A M \to B \otimes_A \bigwedge_A(M)$ là một đẳng cấu đại số $B$-*phân bậc.*

Chứng minh được dẫn xuất từ chứng minh của § 5, no. 4, Mệnh đề 5 khi thay thế $T$ bởi $\bigwedge$ và $\phi_M$ bởi $\phi_M''$.

Chứng minh giống như chứng minh của § 5, no. 4, Mệnh đề 6, thay khắp nơi T bằng $\Lambda$ và $\phi$ bằng $\phi''$, đồng thời lưu ý rằng giới hạn trực tiếp của các đại số phản xứng là phản xứng.

Để chứng minh rằng g là song ánh, ta định nghĩa một đồng cấu đại số phân bậc

sao cho $g \circ h$ và $h \circ g$ lần lượt là các ánh xạ đồng nhất trên $\Lambda(M)$ và $\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$. Với mỗi $\lambda \in L$, xét ánh xạ tuyến tính hợp thành

Tồn tại một và chỉ một ánh xạ A-tuyến tính $u : M \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$ sao cho $u \circ j_\lambda = u_\lambda$ với mọi $\lambda \in L$. Tích tenxơ lệch $\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$ là một đại số phản xứng: thật vậy, khi L hữu hạn, điều này suy ra từ § 4, no. 9, Mệnh đề 14, và khi L tùy ý, điều này suy ra từ định nghĩa của tích này đã cho trong § 4, no. 8, Nhận xét 1 và từ sự kiện rằng giới hạn trực tiếp của các đại số phân bậc phản xứng là phản xứng. Vì $u(M)$ cũng được chứa trong môđun con các phần tử bậc 1 của đại số phân bậc $\bigotimes_{\lambda \in L} \Lambda(M_\lambda)$, nên từ no. 1, Mệnh đề 1 và Nhận xét 1 suy ra rằng tồn tại một đồng cấu đại số phân bậc duy nhất

sao cho $h \circ \phi''_M = u$. Việc kiểm tra rằng $g \circ h$ và $h \circ g$ là các ánh xạ đồng nhất khi đó được thực hiện như trong § 6, no. 6, Mệnh đề 9, thay $S$ bằng $\Lambda$ và $\phi'$ bằng $\phi''$.