a) Ký hiệu $u_1\in$ Alt$^s(M)$ là dạng $(x_1, . . . , x_s) \rightarrow u(p(x_1), . . . , p(x_s))$, và cho $v_1\in$ Alt$^r(M)$ là một dạng sao cho $v_1(i(x'_1), . . . , i(x'_r)) =v(x'_1, . . . , x'_r)$ với $x'_1, . . . , x'_r$ trong $M'$; khi đó $u\cap v=u_1\wedge v_1$.

b) Với mọi $x_1, . . . , x_s$ trong M và $x'_1, . . . , x'_r$ trong $M'$,

Ánh xạ $\varphi :$ Alt$^s(M'')\otimes_A$Alt$^r(M')\rightarrow$ Alt$^{s+r}(M)$ sao cho $\varphi (u\otimes v) =u\cap v$ là một đẳng cấu của các A-môđun tự do hạng một.

Sự tồn tại của một dạng $v_1$ thỏa mãn điều kiện a) suy ra từ sự kiện rằng $\wedge \wedge^r(i)$ cảm sinh một đẳng cấu từ $\wedge \wedge^r(M')$ lên một môđun con hạng tử trực tiếp của $\wedge \wedge^r(M) ($Đại số, Chap. III, §7, no. 2). Cho $v_1$ là một dạng như vậy; đặt $u\cap v=u_1\wedge v_1$. Công thức (1) khi đó được thỏa mãn, vì nếu đặt $i(x'_k) =x_{s+k}$ với $1\leq k\leq r$, thì phần tử duy nhất $\sigma$ của $\mathfrak{S}_{s,r}$ sao cho $p(x_{\sigma(i)})\not= 0$ với $1\leq i\leq s$ là phép hoán vị đơn vị. Mặt khác, công thức (1) xác định $u\cap v$ một cách duy nhất: thật vậy, gọi $(e'_1, . . . , e'_r)$ là một cơ sở của $M', (f''_1, . . . , f''_s)$ là một cơ sở của $M''$, và $f_1, . . . , f_s$ là các phần tử của M sao cho $p(f_i) =f''_i$ với $1\leq i\leq s$. Khi đó $(f_1, . . . , f_s, i(e'_1), . . . , i(e'_r))$ là một cơ sở của M (Đại số, Chap. II, §1, no. 11, Prop. 21), và công thức (1) có thể được viết

nhưng một phần tử của Alt$^{s+r}(M)$ được xác định bởi giá trị của nó trên một cơ sở.

Từ điều đã nêu trước đó suy ra rằng mỗi điều kiện a) và b) xác định tích $u\cap v$ một cách duy nhất; rõ ràng tích này là song tuyến tính. Cuối cùng, khẳng định cuối cùng của bổ đề suy ra từ công thức (2).

Rõ ràng ta có thể giả sử rằng $\omega_{G/T}$ và $\omega_T$ là khác không; khi đó dạng vi phân $(u, t) \rightarrow \omega_{G/T}(u)\wedge \omega_T(t)$ trên $(G/T)\times T$ có bậc $n$ và khác không tại mọi nơi; do đó tồn tại một hàm số $\delta$ trên $(G/T)\times T$ sao cho

Bây giờ nhận xét rằng, với $h\in G,u\in G/T,t\in$ T, ta có $f(h.u, t) =$ (Int $h$)$f(u, t)$; vì $\omega_G$ bất biến dưới các tự đẳng cấu nội, suy ra ngay lập tức rằng $\delta (h.u, t) =\delta (u, t)$, do đó $\delta (u, t) =\delta (\overline{e}, t)$.

Ký hiệu $p:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}/\mathfrak{t}$ là ánh xạ thương và $\varphi :\mathfrak{g}/\mathfrak{t}\rightarrow \mathfrak{g}$ là ánh xạ được định nghĩa bởi

$\varphi (p(X)) =$ (Ad $t^{-1}$)$X-X$ với $X\in \mathfrak{g}$; hãy nhớ (§5, no. 4, Bổ đề 4) rằng ánh xạ tiếp xúc

biến $(z, tH)$ thành $t(\varphi (z) +H)$ với $z\in \mathfrak{g}/\mathfrak{t}, H\in \mathfrak{t}$.

Cho $z_1, . . . , z_{n-r}$ là các phần tử của $\mathfrak{g}/\mathfrak{t},H_1, . . . , H_r$ là các phần tử của $\mathfrak{t}$. Khi đó

$=\omega_G(t)(t\varphi (z_1), . . . , t\varphi (z_{n-r}), tH_1, . . . , tH_r)$ theo phép tính của $T_{(\overline{e},t)}(f)$

$=\omega_G(e)(\varphi (z_1), . . . , \varphi (z_{n-r}), H_1, . . . , H_r)$ vì $\omega_G$ là bất biến

$=\omega_{G/T}(\overline{e})(p\varphi (z_1), . . . , p\varphi (z_{n-r})).\omega_T(e)(H_1, . . . , H_r)$ (no$.1$, Bổ đề 1)

= det($p\varphi$ )$\omega_{G/T}(\overline{e})(z_1, . . . , z_{n-r}).\omega_T(e)(H_1, . . . , H_r)$

vì $\omega_T$ là bất biến

do đó $f^*\omega_G(\overline{e}, t) =\delta_G(t)(\omega_{G/T}\wedge \omega_T)(\overline{e}, t)$; vậy $\delta (\overline{e}, t) =\delta_G(t)$, suy ra mệnh đề.

Gán cho các đa tạp $G,T$ và $G/T$ các định hướng được xác định lần lượt bởi các dạng $\omega_G, \omega_T$ và $\omega_{G/T}$. Các dạng này định nghĩa các độ đo bất biến trên $G,T$ và $G/T$ (Chap. III, §3, no. 16, Props. 55 and 56), cũng được ký hiệu bởi $\omega_G, \omega_T$ và $\omega_{G/T}$.

Ký hiệu $\pi$ là cấu xạ chính tắc từ G đến $G/T$. Cho $g\in G$, và cho $t_1, . . . , t_{n-r}$ là các phần tử của $T_{\pi(g)}(G/T)$. Đồng nhất thớ $\pi^{-1}(\pi (g)) =gT$ với T bằng phép tịnh tiến $\gamma (g)$. Quan hệ $\omega_G=\omega_{G/T}\cap \omega_T$ bây giờ suy ra đẳng thức (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 11.4.5):

Do đó $\int_{\pi}\omega_G=(\int_T\omega_T)\omega_{G/T}($Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 11.4.6), và

(Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 11.4.8).

Chọn một dạng vi phân bất biến $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) trên T (resp. $G/T$) có bậc tối đa, sao cho độ đo do $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) xác định bằng $dt$ (resp. $\mu$). Đặt $\omega_G=\omega_{G/T}\cap \omega_T$. Bổ đề 2 suy ra rằng độ đo do $\omega_G$ xác định bằng $dg$. Cho U là một tập con mở của $(G/T)\times T_r$ sao cho $f_r$ xác định một đẳng cấu từ U lên một tập con mở V của $G_r$. Cho $\varphi$ là một hàm liên tục có giá compact trong V; cũng ký hiệu bằng $\varphi$ phần mở rộng của $\varphi$ đến $G_r$ bằng 0 ngoài V. Ta có

$=\int_U(\varphi \circ f_r)\omega_{G/T}\wedge \delta_G\omega_T$ (Mệnh đề$.1$)

suy ra bổ đề.

$\delta_G(t) =$ det(Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{t}}(t)-1$) $=\prod_{\alpha\in R(G,T)}(t^{\alpha}-1)$.

Tương đương (Tích phân, Chương V, §6, no. 3, Mệnh đề $4$)$,dg$ là ảnh qua ánh xạ $f: (G/T)\times T\rightarrow G$ của độ đo $\mu\otimes \frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$.

Ta chứng minh khẳng định cuối cùng. Từ §5, no. 1 và Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả$, 10.1.3c)$ suy ra rằng G-- $G_r$ là tập không đáng kể trong G và T -- $T_r$ là tập không đáng kể trong T. Hơn nữa, ánh xạ $f_r$ làm cho $(G/T)\times T_r$ thành một phủ chính của $G_r$, với nhóm W (§5, no. 4, Mệnh đề $4b$)$)$. Định lý bây giờ suy ra từ Bổ đề 3 và Tích phân, Chương V, §6, no. 6, Mệnh đề 11.

(“công thức tích phân của Hermann Weyl”).

(ii) Cho $\varphi$ là một hàm đo được dương trên G. Với hầu hết mọi $t\in T$, hàm $g \rightarrow \varphi (gtg^{-1})$ trên G là đo được. Hàm $t \rightarrow \int_G^*\varphi (gtg^{-1})dg$ trên T là đo được, và ta có

Vì ánh xạ $f$ cảm sinh bởi phép chuyển qua thương từ ánh xạ $(g, t) \rightarrow gtg^{-1}$ từ $G\times T\rightarrow G$, nên chỉ cần áp dụng Integration, Chap. V, §5, 6, 8 và Integration, Chap. VII, §2.

a$)\varphi$ đo được khi và chỉ khi hạn chế của nó lên T là đo được.

b$)\varphi$ khả tích khi và chỉ khi hàm $(\varphi |T)\delta_G$ khả tích trên T, và trong trường hợp đó ta có

Ký hiệu $p: G/T\times T\rightarrow T$ là phép chiếu thứ hai. Ta có $\varphi \circ f$ = $(\varphi |T)\circ p$; hơn nữa, ảnh dưới $p$ của độ đo $\mu\otimes \frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$ là $\frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$. Hệ quả bây giờ suy ra từ Định lý 1 ở trên và Định lý 1 của Integration, Chap. V, §6, no. 2, áp dụng cho hai ánh xạ thực sự $f$ và $p$.

$\int_G\varphi (g)dg=\frac{w(H)}{w(G)}\int_H\varphi (h$)det(Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}(h)-1$)$dh$. (7)

Thật vậy, hàm $h \rightarrow \varphi (h$)det(Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}(h)-1$) là một hàm trung tâm trên H mà hạn chế của nó lên T là hàm $t \rightarrow \varphi (t)\delta_G(t)\delta_H(t)^{-1}$. Do đó, hệ quả suy ra từ Hệ quả 2 áp dụng cho G và H.

(exp$_H$)$^*\omega_H=\lambda_{\mathfrak{h}}\omega_{\mathfrak{h}}$ (10)

trong đó $\lambda_{\mathfrak{h}}$ là hàm bất biến theo Ad(H) trên $\mathfrak{h}$ sao cho

$\lambda_{\mathfrak{h}}(x) =$ det $\sum(p+$ 1)!1 (ad $x$)$^p$ với $x\in \mathfrak{h}$.

$p\geq 0$

Cho $x, x_1, . . . , x_m$ là các phần tử của $\mathfrak{h}$. Ta có

(exp$^*\omega_H$)$_x(x_1, . . . , x_m) = (\omega_H$(exp $x$))$(T_x$(exp)($x_1$)$, . . . ,T_x$(exp)($x_m$)). Ký hiệu $\varpi (x) :\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h}$ là vi phân phải của ánh xạ mũ tại $x$ (Chap. III, §3, no. 17, Def. 8); theo định nghĩa,

$T_x$(exp)($y$).(exp $x$)$^{-1}=\varpi (x).y$ với mọi $y\in \mathfrak{h}$.

Vì dạng $\omega_H$ bất biến phải, ta thu được

$(\omega_H$(exp $x$))$(T_x$(exp)($x_1$)$, . . . ,T_x$(exp)($x_m$))

$=\omega_H(e)(\varpi (x).x_1, . . . , \varpi (x).x_m) =$ (det $\varpi (x)$)$\omega_{\mathfrak{h}}(x_1, . . . , x_m)$;

do đó, exp$^*\omega_H=\lambda_{\mathfrak{h}}\omega_{\mathfrak{h}}$, với $\lambda_{\mathfrak{h}}(x) =$ det $\varpi (x) =$ det$\frac{exp ad x-1}{ad x}$ (Chương III, §6, no. 4, Mệnh đề 12).

Cho $h\in H$; vì Ad $h$ là một tự đẳng cấu của $\mathfrak{h}$, ta có

ad ((Ad $h$)$(x)$) $=$ Ad $h\circ$ Ad$x\circ$ (Ad $h$)$^{-1}$,

nên $\lambda_{\mathfrak{h}}$((Ad $h$)$(x)$) $=\lambda_{\mathfrak{h}}(x)$. Do đó, hàm $\lambda_{\mathfrak{h}}$ là bất biến dưới Ad(H); điều này hoàn tất chứng minh của mệnh đề.

Ký hiệu $\omega_G$ (resp. $\omega_T$) là dạng vi phân bất biến bậc lớn nhất trên G (resp. T) trùng với $\omega_{\mathfrak{g}}$ (resp. $\omega_{\mathfrak{t}}$) tại gốc. Xét biểu đồ giao hoán

(Id,exp$_T$) exp$_G$.

$(G/T)\times T\longrightarrow^f$ G

Nhờ Mệnh đề 1 của no. 2 và hệ thức exp$^*_T\omega_T=\omega_{\mathfrak{t}}$, ta suy ra đẳng thức

$\psi^*$exp$^*_G\omega_G=\omega_{G/T}\wedge \delta_{\mathfrak{g}}\omega_{\mathfrak{t}}$.

Theo Mệnh đề $2,\psi^*$exp$^*_G\omega_G= (\psi^*\lambda_{\mathfrak{g}})\psi^*\omega_{\mathfrak{g}}$. Vì hàm $\lambda_{\mathfrak{g}}$ bất biến dưới Ad(G), ta có $(\psi^*\lambda_{\mathfrak{g}})(\overline{g}, x) =\lambda_{\mathfrak{g}}(x) =\frac{\delta_{\mathfrak{g}}(x)}{\pi_{\mathfrak{g}}(x)}$ với $\overline{g}\in G/T, x\in \mathfrak{t}$.

Suy ra các dạng $\psi^*\omega_G(\overline{g}, x)$ và $\omega_{G/T}(\overline{g})\wedge \pi_{\mathfrak{g}}(x)\omega_{\mathfrak{t}}(x)$ trùng nhau tại những điểm mà $\delta_{\mathfrak{g}}(x)$ khác không, tức là trên tập con mở trù mật $(G/T)\times \mathfrak{t}_r$; do đó chúng bằng nhau, suy ra mệnh đề.

Chọn các dạng vi phân bất biến $\omega_G$ trên G và $\omega_T$ trên T, có bậc lớn nhất, sao cho $|\omega_G|=dg$ và $|\omega_T|=dt$; ký hiệu $\omega_{\mathfrak{g}}$ (resp. $\omega_{\mathfrak{t}}$) là dạng vi phân bất biến qua phép tịnh tiến trên $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{t}$) trùng với $\omega_G(e)$ (resp. $\omega_T(e)$) tại gốc, và $dz$ (resp. $dx$) là độ đo Haar $|\omega_{\mathfrak{g}}|$ (resp. $|\omega_{\mathfrak{t}}|$). Lập luận như ở no. 2, với những sửa đổi thích hợp, cho ta mệnh đề sau:

Chúng tôi để cho độc giả phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự của Hệ quả 1 đến 3 và các Nhận xét 1 đến 3 của no. 2. Ví dụ, cho $\varphi$ là một hàm khả tích trên $\mathfrak{g}$ (nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc $\overline{\mathbf{R}}$); khi đó

$\int_{\mathfrak{g}}\varphi (z)dz=\frac{1}{w(G)}\int_{\mathfrak{t}}(\int_G\varphi$((Ad $g$)$x$)$dg)\pi_{\mathfrak{g}}(x)dx$, (12)

và, nói riêng, nếu $\varphi$ bất biến dưới Ad(G),