(i) $\lambda -w(\lambda )\geq 0$ (resp. $>0$) với mọi $w\in W$ sao cho $w\not= 1$;

(ii) với mọi $w\in W$ sao cho $w\not= 1,\lambda -w(\lambda )$ là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số dương (resp. các hệ số dương không phải tất cả đều bằng không) của các nghiệm đơn;

(iii) $\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$ (resp. $>0$) với mọi nghiệm dương $\alpha$;

(iv) $\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$ (resp. $>0$) với mọi nghiệm đơn $\alpha$.

Sự tương đương của (iii) và (iv) là ngay lập tức. Vì tập hợp các $K_{\alpha}$ có thể được đồng nhất với hệ nghiệm nghịch đảo của $R(G,T) ($§4, no. 5), sự tương đương của (i) và (iii) suy ra từ Chap. VI, §1, no. 6, Mệnh đề 18 và Hệ quả. Hàm ý (ii) $\Rightarrow$ (i) là tầm thường, và hàm ý đối suy ra từ loc. cit.

Ký hiệu $X_{++}$ là tập hợp các phần tử của X(T) sao cho $\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \geq 0$ với mọi nghiệm dương $\alpha$. Các phần tử của $X_{++}$ được gọi là trội. Chúng tạo thành một miền cơ bản cho phép toán của W trên X(T) (Chap. VI, §1, no. 10). Ta có $X_{++}\subset X_+$.

Nếu G đơn liên, với mỗi nghiệm đơn $\alpha$ tồn tại một phần tử $\varpi_{\alpha}$ của X(T) sao cho $\langle \varpi_{\beta}, K_{\alpha}\rangle =\delta_{\alpha \beta}$ với mỗi nghiệm đơn $\beta$, nghĩa là, $s_{\alpha}(\varpi_{\alpha}) =$ $\varpi_{\alpha}-\alpha ,s_{\beta}(\varpi_{\alpha}) =\varpi_{\alpha}$ với mỗi nghiệm đơn $\beta \not=\alpha$; các $\varpi_{\alpha}$ được gọi là các trọng số trội cơ bản; chúng tạo thành một cơ sở của nhóm giao hoán X(T) và của nửa nhóm giao hoán $X_{++}$; chính xác hơn, mỗi phần tử $\lambda$ của X(T) có thể được viết dưới dạng $\lambda =\sum_{\alpha}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \varpi_{\alpha}$.

Ký hiệu $\rho$ là phần tử của $X(T)\otimes \mathbf{Q}$ sao cho

Ta có $\langle \rho , K_{\alpha}\rangle = 1$ với mọi nghiệm đơn $\alpha$ (Chap. VI, §1, no. 10, Mệnh đề 29). Nếu G đơn liên, $\rho$ là tổng của các trọng số trội cơ bản.

Nếu tồn tại một biểu diễn $\tau$ của G sao cho $L(\tau )_{(\mathbf{C})}=\varphi$, thì $\varphi$ là nửa đơn vì G liên thông và $\tau$ là nửa đơn (Chap. III, §6, no. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 13), và các trọng số của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ trên V thuộc ảnh của $\delta$. Do đó, điều kiện là cần thiết; ta sẽ chứng minh rằng nó là đủ. Nếu $\varphi$ là nửa đơn, V là tổng trực tiếp của các $V_\mu(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$, trong đó $\mu$ thuộc tập hợp các trọng số của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ trên V (Chap. VII, §2, no. 4, Hệ quả 3 của Định lý 2); nếu tất cả các trọng số thuộc ảnh của $\delta$, thì tồn tại một biểu diễn $\tau_T$ của T trên V sao cho $L(\tau_T)_{(\mathbf{C})}=\varphi |\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}:$ thực vậy, chỉ cần đặt $\tau_T(t)v=t^{\lambda}v$ với $t\in T$ và $v\in V_{\delta(\lambda)}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$. Bổ đề được suy ra từ Mệnh đề 8 của §2, no. 6.

b) Hai biểu diễn bất khả quy của G là tương đương khi và chỉ khi các trọng số cao nhất của chúng bằng nhau.

c) Với mọi phần tử trội $\lambda$ của X(T), tồn tại một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất $\lambda$.

Theo Bổ đề 2, các lớp tương đương của các biểu diễn bất khả quy của G tương ứng song ánh với các lớp của các biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của $\mathfrak{g}$ có các trọng số thuộc $\delta (X(T))$.

Ký hiệu $\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ là tâm và $\mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ là đại số Lie dẫn xuất của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$, sao cho $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}=\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}\oplus \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$. Với mọi dạng song tuyến tính $\mu$ trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$, ký hiệu $E(\mu)$ là môđun $\mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ đơn được đưa vào trong Chap. VIII, §6, no. 3; với mọi dạng tuyến tính $\nu$ trên $\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$, ký hiệu $\mathbf{C}(\nu )$ là môđun $\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ chiều 1 trên $\mathbf{C}$ liên kết với nó. Khi đó các môđun $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ là đơn, và theo Chap. VIII, §7, no. 2, Hệ quả 2 của Định lý 1 và Đại số, Chap. VIII, §11, no. 1, Định lý 1, mọi môđun $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ đơn hữu hạn chiều đều đẳng cấu với một trong các môđun $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$; hơn nữa (loc. cit.)$\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ là hữu hạn chiều khi và chỉ khi $\mu(H_{\alpha})$ là một số nguyên dương với mọi nghiệm đơn $\alpha$. Nếu ta ký hiệu $\nu +\mu$ là dạng tuyến tính trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ cảm sinh $\nu$ trên $\mathscr{C}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ và $\mu$ trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\cap \mathscr{D}\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$, thì $(\nu +\mu)(H_{\alpha}) =\mu(H_{\alpha})$; hơn nữa, các trọng số của $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ là các $\nu +\lambda$, trong đó $\lambda$ là một trọng số bất kỳ của $E(\mu)$, và do đó có dạng $\nu +\mu-\theta$, với $\theta \in \delta (X_+)$ (Chap. VIII, §6, no. 2, Bổ đề 2).

Ta kết luận rằng môđun $\mathfrak{g}$-môđun $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ là hữu hạn chiều khi và chỉ khi $(\nu +\mu)(H_{\alpha})$ là một số nguyên dương với mọi nghiệm đơn $\alpha$, và các trọng số của nó thuộc $\delta (X(T))$ khi và chỉ khi $\nu +\mu$ thuộc $\delta (X(T))$. Phép hội của hai điều kiện này có nghĩa là $\nu +\mu$ thuộc $\delta (X_{++})$; trong trường hợp đó, $\nu +\mu$ là trọng số cao nhất của $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$. Như vậy, ta đã xây dựng với mỗi trọng số trội $\lambda$ của X(T) một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất $\lambda$, và do đó đã thu được, sai khác một tương đương, tất cả các biểu diễn bất khả quy của G. Vì các vectơ có trọng số $\nu +\mu$ trong $\mathbf{C}(\nu )\otimes E(\mu)$ tạo thành một không gian con có chiều 1, nên chứng minh đầy đủ.

Trước hết hãy nhận xét rằng mọi phần tử của X(T) đều bằng hiệu của hai trọng số trội: chính xác hơn, hãy lấy $\varpi$ là một phần tử của $X_{++}$ sao cho $\langle \varpi , K_{\alpha}\rangle >0$ với mọi nghiệm đơn $\alpha$; với mọi $\lambda \in X(T)$ tồn tại một số nguyên dương $n$ sao cho $\langle \lambda +n\varpi , K_{\alpha}\rangle \geq 0$ với mọi nghiệm đơn $\alpha$, nghĩa là (no. 1, Bổ đề $1$)$\lambda +n\varpi \in X_{++}$.

Do đó, tồn tại một họ hữu hạn $(\lambda_i)_{i\in I}$ các phần tử của $X_{++}$ sinh môđun $\mathbf{Z}$-môđun X(T). Với $i\in I$, cho $\tau_i$ là một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất $\lambda_i$ (Định lý 1); gọi biểu diễn $\tau$ là tổng trực tiếp của các $\tau_i$. Theo phép dựng, tập hợp $P(\tau ,T)$ các trọng số của $\tau$ (đối với T) sinh môđun $\mathbf{Z}$-môđun X(T). Bây giờ, từ Mệnh đề 6 của §4, no. 3 suy ra rằng đồng cấu $\tau$ là đơn ánh, do đó là hệ quả.

là phần tử của nhóm Weyl sao cho $w_0(R_+) = R_-$ (Chap. VI, § 6, Hệ quả 3 của Mệnh đề 17). Có ba trường hợp có thể xảy ra:

a$)w_0(\lambda ) =-\lambda$ và $m$ là chẵn. Khi đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng tách được bất biến bởi G trên V; biểu diễn $\tau$ có kiểu thực (Phụ lục II).

b$)w_0(\lambda )\not=-\lambda$. Mọi dạng song tuyến tính bất biến bởi G trên V đều bằng không; biểu diễn $\tau$ có kiểu phức (loc. cit.).

c$)w_0(\lambda ) =-\lambda$ và $m$ là lẻ. Khi đó tồn tại một dạng song tuyến tính phản xứng tách được bất biến bởi G trên V; biểu diễn $\tau$ có kiểu quaternion (loc. cit.).

Nếu hạn chế của $\tau$ trên $C(G)_0$ không tầm thường, ta ở trường hợp b).

Một dạng song tuyến tính B trên V là bất biến dưới G khi và chỉ khi nó bất biến dưới $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ (Chap. III, §6, no. 5, Hệ quả 3). Vì vậy, nếu G là nửa đơn, mệnh đề suy ra từ Chap. VIII, §7, no. 5, Mệnh đề 12 và Mệnh đề 3 của Phụ lục II.

Trong trường hợp tổng quát, đặt $C(G)_0= S$, và đồng nhất $X(T/S)$ với một nhóm con của X(T) (ổn định dưới W). Nếu $\tau (S) =\{1_V\},\tau$ cảm sinh qua phép đi qua thương một biểu diễn $\tau ': G/S\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ có trọng số cao nhất $\lambda$; trong trường hợp này mệnh đề suy ra từ điều trước, áp dụng cho $G/S$.

Giả sử rằng $\tau (S)\not=\{1_V\}$. Tồn tại một phần tử khác không $\nu$ của X(S) sao cho $\tau (s) =\nu (s)_V$ với mọi $s\in S$ (Nhận xét 3). Khi đó $\nu$ là ảnh của $\lambda$ qua đồng cấu hạn chế $X(T)\rightarrow X(S)$; vì W tác động tầm thường trên X(S), đẳng thức $w_0(\lambda ) =-\lambda$ kéo theo rằng $\nu =-\nu$, điều này là không thể: do đó $w_0(\lambda )\not=-\lambda$. Mặt khác, nếu B là một dạng song tuyến tính bất biến bởi G trên V, ta có, với mọi $x, y$ trong V và $s$ trong S,

điều này suy ra rằng B = 0, do đó mệnh đề được chứng minh.

Gọi $\mathfrak{S}_{\mathbf{R}}(G)$ là tập hợp các lớp của các biểu diễn liên tục bất khả quy của G trên các không gian vectơ thực hữu hạn chiều. Mệnh đề 1 và các kết quả của Phụ lục II cho một song ánh $\Phi : X_{++}/\Sigma \rightarrow \mathfrak{S}_{\mathbf{R}}$(G), trong đó $\Sigma$ ký hiệu nhóm con $\{1,-w_0\}$ của Aut(X(T)). Chính xác hơn, cho $\lambda \in X_{++}$, và gọi $E_{\lambda}$ là một biểu diễn của G có trọng số cao nhất $\lambda$; khi đó

$\Phi (\{\lambda ,-w_0(\lambda )\}) = E_{\lambda[\mathbf{R}]}$ nếu $\lambda \not=-w_0(\lambda )$ hoặc nếu $\sum_{\alpha\in R_+}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \notin2\mathbf{Z}$

$\Phi (\{\lambda ,-w_0(\lambda )\}) = E'_{\lambda}$ nếu $\lambda =-w_0(\lambda )$ và $\sum_{\alpha\in R_+}\langle \lambda , K_{\alpha}\rangle \in 2\mathbf{Z}$

trong đó $E'_{\lambda}$ là một $\mathbf{R}$-cấu trúc trên $E_{\lambda}$ bất biến dưới tác động của G.

Với $\lambda \in X_{++}$, ký hiệu $[\lambda ]$ là lớp trong R(G) của biểu diễn bất khả quy có trọng số cao nhất $\lambda$. Vì họ $([\lambda ])_{\lambda\in X_{++}}$ là một cơ sở của môđun $\mathbf{Z}$ R(G), chỉ cần chứng minh mệnh đề sau:

Họ (Ch[$\lambda ]$)$_{\lambda\in X_{++}}$ là một cơ sở của môđun $\mathbf{Z}[X(T)]^W$.

Với mỗi phần tử $u=\sum_{\lambda}a_{\lambda}e^{\lambda}$ của $\mathbf{Z}[X(T)]$, một số hạng $a_{\lambda}e^{\lambda}$ trong $u$ được gọi là cực đại nếu $\lambda$ là một phần tử cực đại của tập các $\mu\in X(T)$ sao cho $a_\mu\not= 0$. Định lý 1 suy ra rằng Ch[$\lambda ]$ có một số hạng cực đại duy nhất, cụ thể là $e^{\lambda}$. Do đó, mệnh đề suy ra từ bổ đề sau.

Chứng minh này giống hệt chứng minh của Mệnh đề 3 của Chương VI, §3, no. 4, bằng cách thay A bởi $\mathbf{Z}, P$ bởi X(T) và $P\cap \overline{C}$ bởi $X_{++}$.

Gọi $\Theta (G)$ (tương ứng $\Theta (T)$) là đại số $\mathbf{C}$ của các hàm đại diện liên tục trên G (tương ứng T), và gọi $Z\Theta (G)$ (tương ứng $\Theta (T)^W$) là đại số con gồm các hàm trung tâm (tương ứng W-bất biến). Ánh xạ hạn chế $\Theta (G)\rightarrow \Theta (T)$ cảm sinh một đồng cấu của các vành $r: Z\Theta (G)\rightarrow \Theta (T)^W$. Mặt khác, ánh xạ gán cho một biểu diễn $\tau$ đặc trưng của nó (nghĩa là, hàm $g \rightarrow$ Tr $\tau (g)$) mở rộng thành một đồng cấu của các đại số $\mathbf{C}$ Tr$:\mathbf{C}\otimes_{\mathbf{Z}}R(G)\rightarrow Z\Theta (G)$ mà, theo Spectral Theories, là một đẳng cấu. Tương tự, đơn ánh chính tắc $X(T)\rightarrow \Theta (T)$ cảm sinh một đẳng cấu của các đại số $\mathbf{C}$ $\iota :\mathbf{C}[X(T)]\rightarrow \Theta$(T), đẳng cấu này cảm sinh một đẳng cấu $\iota :\mathbf{C}[X(T)]^W\rightarrow \Theta (T)^W$. Biểu đồ

là giao hoán: thật vậy, với mọi biểu diễn $\tau : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ và mọi $t\in T$,

Tr $\tau (t) =\sum_{\lambda\in X(T)}$(dim $V_{\lambda}(T)$)$\lambda (t) =\iota$(Ch$\tau$ )$(t)$,

nghĩa là, $(r\circ$ Tr)[$\tau ] = (\iota \circ$ Ch)[$\tau ]$.

Bây giờ ta có thể suy ra từ mệnh đề kết quả sau.

Chứng minh giống hệt chứng minh của Chương VI, §3, no. 3, Mệnh đề 1.

Theo Chương VI, loc. cit., Mệnh đề 2,

nên

Theo Hệ quả 2 của Định lý 1 (§6, no. 2), ta suy ra:

Với mọi $\lambda \in X_{++}$, ký hiệu $\chi_{\lambda}$ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất $\lambda$.

Hàm $J(\rho ).\chi_{\lambda}|T$ là phản bất biến dưới W, và là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên của các phần tử của X(T). Vì vậy, theo Chương VI, §3, no. 3, Mệnh đề 1, nó có thể được viết thành $\sum_\mu a_\mu J(\mu\rho )$, trong đó $\mu$ thuộc $X_{++}$, và các $a_\mu$ là các số nguyên, tất cả trừ hữu hạn số trong đó là không; vì $\int_G|\chi_{\lambda}(g)|^2dg= 1$

(Các lý thuyết phổ), suy ra từ Mệnh đề 3 và Bổ đề 4 rằng $\sum_\mu(a_\mu)^2= 1$; do đó, các $a_\mu$ đều bằng không, trừ một số phải bằng 1 hoặc $-1$. Nhưng hệ số của $\lambda$ trong $\chi_{\alpha}|T$ bằng 1 (Định lý 1), vậy hệ số của $\lambda \rho$ trong $J(\rho ).\chi_{\lambda}|T$ bằng 1 (Chương VI, §3, no. 3, Nhận xét 2), điều này kéo theo rằng $a_{\lambda \rho}= 1$, do đó định lý được chứng minh.

$(\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\rho})$ Ch[$\lambda ] =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\lambda}e^{w\rho}$ với mọi $\lambda \in X_{++}$.

Điều này suy ra từ định lý và biểu đồ giao hoán (2) (no. 3).

Thật vậy, $J(\rho )(t)$ khác không, vì $t$ là chính quy (công thức (4)).

Nếu $\varphi$ là một hàm trung tâm trên G, hạn chế của $\varphi$ lên T là bất biến dưới W, nên $J(\rho ).\varphi |T$ là phản bất biến dưới W. Hơn nữa, theo Các lý thuyết phổ và Định lý 1, họ $(\chi_{\lambda})_{\lambda\in X_{++}}$ là một cơ sở đại số của không gian các hàm đại diện trung tâm trên G và một cơ sở trực chuẩn của không gian ZL$^2(G)$ gồm các hàm trung tâm khả tích bình phương trên G.

Vậy, từ Mệnh đề 3 và Định lý 2 ta suy ra:

Thật vậy, theo Bổ đề 4 và Định lý 2,

Nhưng hàm $t \rightarrow \varphi (t)J(\rho )(t)$ là phản bất biến và $\frac{1}{w(G)}J(\lambda \rho )$ là phép chiếu trực giao của $\lambda \rho$ lên không gian con các phần tử phản bất biến của $L^2$(T), do đó

cuối cùng, theo công thức (3), ta có $\rho (t)J(\rho )(t) =\prod_{\alpha >0}(1-\alpha (t)^{-1})$, do đó có hệ quả.

Đặt $\gamma =\frac{1}{2}\sum_{\alpha >0}K_{\alpha}$, sao cho $\delta (\alpha )(\gamma ) = 2\pi i$ với mọi nghiệm đơn $\alpha$ (Chương VI, §1, no. 10, Mệnh đề 29). Đường thẳng $\mathbf{R}\gamma$ không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào Ker $\delta (\alpha )$, nên exp($z\gamma$ ) là một phần tử chính quy của G với mọi $z\in \mathbf{R}^*$ đủ nhỏ; với mọi $\mu\in X(T)$ và mọi $z\in \mathbf{R}$, ta có

$J(\mu$)(exp($z\gamma$ )) $=\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{z\delta(\mu)(w^{-1}\gamma)}$.

Ta tạm thời chấp nhận bổ đề sau:

$J(\mu$)(exp($z\gamma$ )) $=e^{z\delta(\mu)(\gamma)}\prod_{\alpha >0}(1-e^{-z\delta(\mu)(K_{\alpha})})$.

Do đó, hàm $J(\mu$)(exp($z\gamma$ )) là tích của một hàm tiến tới 1 khi $z$ tiến tới 0 và của

trong đó N = Card $R_+$.

Trước hết giả sử rằng $\rho \in X(T)$; áp dụng Hệ quả 2 của Định lý 2 ta thấy rằng, khi $z$ tiến tới $0,\chi_{\lambda}(z\gamma )$ tiến tới

do đó định lý đúng trong trường hợp này.

Trong trường hợp tổng quát, chỉ cần chú ý rằng, khi chứng minh Định lý 3, ta luôn có thể thay thế G bằng một phủ liên thông thích hợp và do đó rút gọn về trường hợp trước.

Bây giờ ta chứng minh Bổ đề 5. Cho $z\in \mathbf{C}$; ký hiệu $\varphi_z$ là ánh xạ từ $\mathfrak{t}$ đến đại số $\mathbf{C}$-ánh xạ(X(T)$,\mathbf{C}$) của các ánh xạ từ X(T) đến $\mathbf{C}$, gán cho $H\in \mathfrak{t}$ ánh xạ

$\varphi_z(H) :\mu \rightarrow \mu$(exp $zH$) $=e^{z\delta(\mu)(H)}$.

Ta có $\varphi_z(H+H') =\varphi_z(H)\varphi_z(H')$, nên tồn tại một đồng cấu vành

$\psi_z:\mathbf{Z}[\mathfrak{t}]\rightarrow$ ánh xạ(X(T)$,\mathbf{C}$)

sao cho $\psi_z(e^H)(\mu) =e^{z\delta(\mu)(H)}$. Mặt khác, theo Chap. VI, §3, no. 3, Mệnh đề 2, ta có quan hệ sau trong $\mathbf{Z}[\mathfrak{t}]:$

Áp dụng đồng cấu $\psi_z$, và dùng đẳng thức

ta suy ra công thức đã nêu.

a) sup$_{\lambda\in X_{++}}d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|^N<\infty$, trong đó $N = 1/$2(dim $G-$ dim T).

b) Nếu G là nửa đơn, inf$_{\lambda\in X_{++}}d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|>0$.

a) Với mọi $\alpha \in R_+$, tồn tại $A_{\alpha}>0$ sao cho $|\langle \lambda +\rho , K_{\alpha}\rangle | \leq A_{\alpha}\|\lambda +\rho \|$, do đó $d(\lambda )/\|\lambda +\rho \|^N\leq \prod_{\alpha >0}A_{\alpha}/\langle \rho , K_{\alpha}\rangle$.

b) Giả sử G là nửa đơn, ký hiệu $\beta_1, . . . , \beta_r$ là các rễ đơn và đặt $N_i=K_{\beta_i}$. Khi đó

vì $\langle \lambda +\rho , N_i\rangle \geq \langle \rho , N_i\rangle = 1$, điều này suy ra rằng

$d(\lambda )\geq$ sup$_i|\langle \lambda +\rho , N_i\rangle |$.

Nếu G là nửa đơn, $x \rightarrow$ sup$|\langle x, N_i\rangle |$ là một chuẩn trên $X(T)\otimes \mathbf{R}$, tất yếu tương đương với chuẩn đã cho, nên b).

Hệ quả 1b) suy ra rằng tập hợp $X_d$ của các phần tử $\lambda$ của $X_{++}$ sao cho $d(\lambda )\leq d$ là hữu hạn. Với mọi $\lambda$ trong $X_d$, cho $V_{\lambda}$ là một biểu diễn bất khả quy có trọng số cao nhất $\lambda$; mọi biểu diễn có chiều $\leq d$ đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp $\bigoplus_{\lambda\in X_d}V^{n_{\lambda}}_{\lambda}$, với $n_{\lambda}\leq d$, suy ra hệ quả.