$=d(u)\int_Gf(g$)Tr($u(gh^{-1})$)$dg=d(u)\int_Gf(gh$)Tr($u(g)$)$dg$. (10)

Với mọi $u\in \widehat{G}$ chọn một cơ sở trực chuẩn $Bu$ của $E_u$, và ký hiệu bởi $(u_{ij}(g))$ ma trận của $u(g)$ trong cơ sở này. Mệnh đề 1 cũng có nghĩa là họ các hàm $\surd\overline{d(u)}u_{ij}$, với $u$ trong $\widehat{G}$ và $i, j$ trong $B_u$, là một cơ sở trực chuẩn của không gian $L^2(G)$.

Nếu $f$ là một hàm khả tích trên G sao cho họ $(f_u)$ là khả tổng đều, thì tổng của họ này là một hàm liên tục trùng với $f$ hầu khắp mọi nơi; nói cách khác, nếu ta giả sử thêm rằng $f$ là liên tục, thì với mọi $h\in G$, $f(h) =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u)\int_Gf(gh$)Tr($u(g)$)$dg$. (11)

Ngược lại, cho $A\in F( \widehat{G})$; nếu họ $(\mathscr{F}_uA)_{u\in\widehat{G}}$ là khả tổng đều, hàm

$g \rightarrow \sum_{u\in\widehat{G}}(\mathscr{F}_uA)(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u$)Tr(A$_uu(g)^{-1}$)

là một hàm liên tục trên G mà biến đổi Fourier ngược của nó là A.

Cho $f$ là một hàm khả tích trên G, và cho $s\in G$. Ký hiệu $\gamma (s)f$ và $\delta (s)f$ là các hàm trên G được xác định bởi $\gamma (s)f=\varepsilon_s*f,\delta (s)f=f*\varepsilon_{s^{-1}}$, nghĩa là,

$(\gamma (s)f)(g) =f(s^{-1}g),(\delta (s)f)(g) =f(gs)$ với $g\in G$,

(Chương III, §3, no. 4 và Tích phân, Chương VII, §1, no. 1). Ta có

do đó

và tương tự

Khi G giao hoán, $\widehat{G}$ là tập nền của nhóm đối ngẫu của G (Các lý thuyết phổ, Chương II, §1, số $1$)$,d(u) = 1$ với mọi $u\in \widehat{G}$, và ta thu được lại các định nghĩa của biến đổi Fourier đã cho trong Các lý thuyết phổ, Chương II.

a) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại một số nguyên $n >0$ sao cho $\varphi (u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^n$ (tương ứng, với mọi số nguyên $n >0$, ta có $\varphi (u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^{-n}$).

(ii) Tồn tại một số nguyên $n >0$ sao cho $\varphi (u)\preccurlyeq ( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^n$ (tương ứng, với mọi số nguyên $n >0$, ta có $\varphi (u)\preccurlyeq ( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^{-n}$).

b) Nếu G là nửa đơn, các điều kiện (i) và (ii) cũng tương đương với:

(iii) Tồn tại một số nguyên $n >0$ sao cho $\varphi (u)\preccurlyeq d(u)^n$ (tương ứng, với mọi số nguyên $n >0$, ta có $\varphi (u)\preccurlyeq d(u)^{-n}$).

Trước hết chú ý rằng điều kiện (i) rõ ràng độc lập với lựa chọn chuẩn. Do đó ta có thể dùng chuẩn được xác định bởi dạng toàn phương $Q_{\Gamma}$ liên kết với $\Gamma ($§7, no. 6, Prop. 4). Khi đó

nên $\widetilde{\Gamma}(u) + 1\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^2\preccurlyeq \widetilde{\Gamma}(u) + 1$, do đó suy ra a).

Hơn nữa, nếu G là nửa đơn,

$\|\lambda (u) +\rho \|\preccurlyeq d(u)\preccurlyeq \|\lambda (u) +\rho \|^N$, trong đó $N = 1/$2(dim $G-$ dim T)

(§7, no. 5, Cor. 1 of Th. 3), nên $\|\lambda (u)\|+ 1\preccurlyeq d(u)\preccurlyeq (\|\lambda (u)\|+ 1)^N$, do đó suy ra b).

Từ Mệnh đề 2 suy ra rằng điều kiện (i) độc lập với lựa chọn xuyến cực đại, buồng, và chuẩn, và rằng điều kiện (ii) độc lập với lựa chọn phần tử Casimir. Một hàm $\varphi$ thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) được gọi là tăng vừa phải (tương ứng, giảm nhanh). Tích của hai hàm tăng vừa phải là tăng vừa phải; tích của một hàm tăng vừa phải và một hàm giảm nhanh là giảm nhanh. Nếu $\varphi$ giảm nhanh, họ $(\varphi (u))_{u\in\widehat{G}}$ là tổng được.

Vì tích của hai hàm tăng vừa phải là tăng vừa phải, chỉ cần chứng minh điều này khi $t\in \mathfrak{g}:$ trong trường hợp đó mệnh đề suy ra từ Nhận xét trong §7, no. 6 và bất đẳng thức

$f(h) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle u(h)|u(f)\rangle =\sum_{u\in\widehat{G}}d(u)\int_Gf(g$)Tr($u(gh^{-1})$)$dg$.

(b) Cho $f$ là một hàm khả tích trên G; khi đó $f$ bằng hầu khắp nơi với một hàm khả vi vô hạn khi và chỉ khi hàm $u \rightarrow \|u(f)\|_{\infty}$ giảm nhanh trên $\widehat{G}$.

Cho $f$ là một hàm khả vi vô hạn trên G, và cho $\Gamma$ là một phần tử Casimir đối với G; theo công thức (14),

với mọi $n\geq 0$, và do đó

$\widetilde{\Gamma}(u)^n\|u(f)\|_{\infty}\leq \|(L_{\Gamma})^nf\|_1\leq$ sup$_{g\in G}|((L_{\Gamma})^nf)(g)|$; (15)

do đó, hàm $u \rightarrow \|u(f)\|_{\infty}$ thực sự giảm nhanh.

Ngược lại, cho $A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$ là một phần tử của $F( \widehat{G})$ sao cho hàm $u \rightarrow \|A_u\|_{\infty}$ giảm nhanh. Đặt $f_u(g) =\langle u(g)|A_u\rangle$; hàm $g \rightarrow f_u(g)$ là giải tích, do đó khả vi vô hạn. Theo Chap. III, §3, no. 7, Prop. 27,

với mọi $x\in \mathfrak{g}$. Cho $t\in U(G)$; theo công thức trước đó,

và do đó

Vì $d(u)$ và $\|u(t)\|_{\infty}$ tăng vừa phải (Prop. 3) và $\|A_u\|_{\infty}$ giảm nhanh, hàm $u \rightarrow$ sup$_g|(L_tf_u)(g)|$ giảm nhanh; do đó, họ $(L_tf_u)_{u\in\widehat{G}}$ khả tổng đều. Suy ra$^7$ rằng tổng của họ $(f_u)$ là một hàm khả vi vô hạn trên G, có đối biến đổi Fourier là $(A_u)$, do đó định lý được chứng minh.

Ký hiệu $\mathscr{S}( \widehat{G})$ là không gian con vectơ của $L^2( \widehat{G})$ gồm các họ $A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$ sao cho hàm $u \rightarrow \|A_u\|_{\infty}$ giảm nhanh trên $\widehat{G}$. Theo định lý, các ánh xạ $\mathscr{F}:f \rightarrow (u(f))_{u\in\widehat{G}}$ và $\mathscr{F}: A \rightarrow \sum_{u\in\widehat{G}}\langle u(g)|A_u\rangle$ cảm sinh các đẳng cấu nghịch đảo giữa các không gian vectơ phức $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$ và $\mathscr{S}( \widehat{G})$. Trang bị cho không gian $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$ tôpô của sự hội tụ đều $C^{\infty}$ (§6, no. 4), có thể được xác định bởi họ các nửa chuẩn $f \rightarrow$ sup$_{g\in G}|L_tf(g)|$ với $t\in U(G)$, và cho không gian $\mathscr{S}( \widehat{G})$ tôpô được xác định bởi dãy các nửa chuẩn $p_n: A \rightarrow$ sup$_{u\in\widehat{G}}( \widetilde{\Gamma}(u) + 1)^n\|A_u\|_{\infty}$. Công thức (15) của chứng minh trước cho thấy rằng $\overline{\mathscr{F}}$ là liên tục. Cho $t\in U(G)$, và cho $A = (A_u)_{u\in\widehat{G}}$ là một phần tử của $\mathscr{S}( \widehat{G})$; đặt $f_n(g) =\langle u(g)|A_u\rangle$. Cho $p$ là một số nguyên sao cho $\sum_{u\in\widehat{G}}\widetilde{\Gamma}(u)^{-p}= M<\infty$. Theo chứng minh trước, tồn tại một số nguyên dương $m$ sao cho, với mọi $g\in G$,

do đó $|(L_t\mathscr{F}(A))(g)| \leq mMp_m(A)$; điều này chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là liên tục. Do đó:

$^7$ Điều này suy ra từ sự kiện rằng không gian $\mathscr{C}^{\infty}(G;\mathbf{C})$, với tôpô của sự hội tụ đều

$C^{\infty}$ (§6, no. 4), là đầy đủ.

Theo Mệnh đề 1 (no. 1), nói rằng $f$ là trung tâm có nghĩa là $u(\gamma (s)f) =$ $u(\delta (s^{-1})f)$ với mọi $s\in G$ và mọi $u\in \widehat{G}$; nhưng điều này cũng có thể được viết thành $u(s)u(f) =u(f)u(s)$ với mọi $s\in G$ và mọi $u\in \widehat{G}$ (các công thức (12) và (13)), do đó suy ra mệnh đề đầu tiên của Mệnh đề 4 (Bổ đề Schur). Nếu $u(f)$ là một phép vị tự, thì $u(f) =\lambda_u\varepsilon_u$ với

$\lambda_u=\frac{1}{d(u)}$ Tr($u(f)$) $=\frac{1}{d(u)}\int_Gf(g$)Tr($u(g)$)$dg=\frac{1}{d(u)}\int_Gf(g)\chi_u(g)dg$.

Do đó, với $f\in$ ZL$^2(G)$ ta có

nên

với

$uu$

Ngược lại, nếu $\varphi$ là một hàm phức khả tích bình phương trên $\widehat{G}$, phần tử $(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_u)_{u\in\widehat{G}}$ của $F( \widehat{G})$ thuộc về $L^2( \widehat{G})$, và ta có (công thức (9)) $(\mathscr{F}_u(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_u))(g) =d(u$)Tr $(\frac{\varphi(u)}{d(u)}\varepsilon_uu(g)^{-1})=\varphi (u)\overline{\chi}_u(g)$,

do đó

$u\in \widehat{G}$

Đặc biệt, chú ý rằng các công thức (20) và (21) cho, với $u, v$ trong $\widehat{G},^8$

$u(\overline{\chi}_v) = 0$ nếu $u\not=v$, (23)

$u(\overline{\chi}_u) =\frac{\varepsilon_u}{d(u)}\in$ End(E$_u$), (24)

$\overline{\mathscr{F}}(\chi_u) =\frac{\varepsilon_u}{d(u)}\in$ End(E$_u$)$\subset F( \widehat{G})$. (25)

Theo Th. $1b)$, hàm $\overline{f}$ khả vi vô hạn khi và chỉ khi hàm $u \rightarrow \|u(\overline{f})\|_{\infty}$ là giảm nhanh; nhưng, theo (20),

suy ra mệnh đề đầu tiên, vì các hàm $d(u)$ và $\frac{1}{d(u)}$ là tăng vừa phải.

Giả sử rằng $f$ khả vi vô hạn; theo Th. $1a),f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}f_u(g)$ với mọi $g\in G$, do đó

$f_u(g) =\langle u(g)|u(f)\rangle =d(u$)Tr($u(g)^{-1}.u(f)$) $=d(u$)Tr$(u(g)^{-1}\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \frac{\varepsilon_u}{d(u)})$

$=\langle \overline{\chi}_u|f\rangle$Tr($u(g)^{-1}$) $=\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \overline{\chi}_u(g)$.

Do đó, $f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle \overline{\chi}_u|f\rangle \overline{\chi}_u(g)$; nhưng, với mọi $u\in \widehat{G}$, biểu diễn đối ngẫu của biểu diễn $u$ là $u'$ thỏa mãn $\overline{\chi}_u=\chi_{u'}$ và ánh xạ $u \rightarrow u'$ là một phép hoán vị của $\widehat{G}$; vì vậy ta cũng có $f(g) =\sum_{u\in\widehat{G}}\langle \chi_u|f\rangle \chi_u(g)$, do đó có mệnh đề.

$^8$ Ta nhúng End(E$_u$) vào tích $F( \widehat{G}) =\prod_{v\in\widehat{G}}$ End(E$_v$) bằng cách gán cho mỗi

$A\in$ End(E$_u$) họ $(A_v)_{v\in\widehat{G}}$ sao cho $A_u= A$ và $A_v= 0$ với $v\not=u$.

Thật vậy, theo Hệ quả 4 của §7, no. 4,

$\langle \chi_u|f\rangle =\int_G\overline{\lambda(u)(t)}\varphi (t)dt$, trong đó $\varphi (t) =\prod_{\alpha >0}(1-\alpha (t)^{-1})f(t)$.

Nếu $f|T$ là khả vi vô hạn, thì $\varphi$ cũng vậy; theo Mệnh đề 5, áp dụng cho nhóm T, hàm $\mu \rightarrow \int_T\overline{\mu(t)}\varphi (t)dt$ trên $\widehat{T} = X(T)$ khi đó giảm nhanh, và hàm $u \rightarrow \langle \chi_u|f\rangle$ cũng vậy; do đó hàm $f$ là khả vi vô hạn (Mệnh đề 5). Điều đảo lại là hiển nhiên.