Cho $x\in A$; tồn tại các tập con mở $U_x$ của T và $U'_x$ của $T'$ sao cho $\{x\} \times A'\subset U_x\times U'_x\subset W:$ thật vậy, tập con compact $\{x\} \times A'$ của $T\times T'$ có thể được phủ bởi một số hữu hạn các tập mở chứa trong W, có dạng $U_i\times U'_i$, với $x\in U_i$; chỉ cần lấy $U_x=\bigcap_iU_i$ và $U'_x=\bigcup_iU'_i$.

Vì A compact, tồn tại các điểm $x_1, . . . , x_m$ của A sao cho $A\subset \bigcup_iU_{x_i}$; đặt $U =\bigcup_iU_{x_i}$ và $U'=\bigcap_iU'_{x_i}$. Khi đó $A\times A'\subset U\times U'\subset W$, do đó có bổ đề.

Trong phần còn lại của số này, Y ký hiệu một đa tạp tách được thuộc lớp $C^r$.

(i) Hạn chế của $\varphi$ lên A là đơn ánh, và $\varphi$ là một phép nhúng tại mọi điểm của A;

(ii) tồn tại một lân cận mở U của A sao cho $\varphi$ cảm sinh một phép nhúng của U vào Y.

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, $\varphi$ được gọi là một phép nhúng trong lân cận của A.

Ta chứng minh rằng (i) kéo theo (ii), chiều ngược lại là hiển nhiên. Giả sử (i), tồn tại một lân cận mở V của X chứa A sao cho hạn chế của $\varphi$ lên V là một phép nhúng (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 5.7.1). Ký hiệu $\Gamma$ là tập hợp các điểm $(x, y)$ trong $V\times V$ sao cho $\varphi (x) =\varphi (y)$, và ký hiệu $\Delta$ là đường chéo trong $V\times V$. Khi đó $\Delta$ là một tập con mở của $\Gamma :$ thật vậy, với mọi $x\in V$, tồn tại một lân cận mở $U_x$ của $x$ sao cho hạn chế của $\varphi$ lên $U_x$ là đơn ánh, nghĩa là, sao cho $\Gamma \cap (U_x\times U_x) =$ $\Delta \cap (U_x\times U_x)$.

Vì Y là tách được, $\Gamma$ là đóng trong $V\times V$; do đó phần bù W của $\Gamma$ -- $\Delta$ trong $V\times V$ là mở. Theo giả thiết, W chứa $A\times A$; Bổ đề 1 suy ra rằng tồn tại một tập con mở $U'$ của V chứa A sao cho $U'\times U'\subset W$, nghĩa là sao cho hạn chế của $\varphi$ trên $U'$ là đơn ánh. Hơn nữa, tồn tại một lân cận mở U của A có bao đóng compact và được chứa trong $U'($Tôpô đại cương, Chương I, §9, no. 7, Mệnh đề 10). Khi đó $\varphi$ cảm sinh một đồng phôi từ U vào $\varphi$(U), và do đó từ U vào $\varphi (U)$; suy ra rằng hạn chế của $\varphi$ trên U là một phép nhúng (Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 5.8.3).

Nếu cần, hạn chế X và Y, ta có thể giả sử rằng $\varphi$ là étale và toàn ánh. Ký hiệu $\sigma :\varphi (A)\rightarrow A$ là đồng phôi nghịch đảo của $\varphi |A$. Vì Y là mêtric hóa được (Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 5.1.6), $\varphi (A)$ thừa nhận một hệ cơ bản các lân cận paracompact; do đó, theo Tôpô đại cương, Chương XI, tồn tại một lân cận mở V của $\varphi (A)$ trong Y và một ánh xạ liên tục $s: V\rightarrow X$, trùng với $\sigma$ trên $\varphi (A)$ và sao cho $\varphi (s(y)) =y$ với mọi $y\in V$. Hơn nữa, $s$ là étale theo tôpô, do đó $s(V)$ là một tập mở U chứa A. Khi đó $\varphi$ cảm sinh một đồng phôi $\varphi '$ từ U vào V; theo Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả$, 5.7.8,\varphi '$ là một đẳng cấu.

Trong phần còn lại của số này, ta giả sử rằng $r\not=\omega$.

Rõ ràng, chỉ cần chứng minh mệnh đề với $r= 1$.

a) Trước hết ta chứng minh rằng tập con J của $\mathscr{C}^1(X;Y)$ gồm các cấu xạ là các phép dìm tại mọi điểm của A là mở. Xét ánh xạ $j_A:\mathscr{C}^1(X;Y)\times A\rightarrow J^1(X;Y)$ sao cho $j_A(\varphi , x) =j_x^1(\varphi ) ($Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 12.1).

Theo định nghĩa của tôpô trên $\mathscr{C}^1$(X;Y), ánh xạ $\widetilde{j}_A:\varphi \rightarrow j_A(\varphi , .)$ từ $\mathscr{C}^1(X;Y)$ vào $\mathscr{C}(A;J^1(X;Y))$ là liên tục; từ đó suy ra theo Tôpô đại cương, Chương X, §3, no. 4, Định lý 3, rằng $j_A$ là liên tục.

Mặt khác, cho M là tập hợp các mầm $j$ trong $J^1(X;Y)$ mà ánh xạ tiếp xúc $T(j) : T_{\mathbf{s}(j)}(X)\rightarrow T_{\mathbf{b}(j)}(Y) ($Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 12.3.4) là đơn ánh. Tập M là mở trong $J^1(X;Y)$; thực vậy, chỉ cần kiểm tra mệnh đề này khi X là một tập con mở của một không gian vectơ hữu hạn chiều E, và Y là một tập con mở của một không gian Banach F; khi đó ta quy về (Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 12.3.1) việc chứng minh rằng tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh là mở trong $\mathscr{L}$(E;F), điều này suy ra từ Lý thuyết phổ, Chương III, §2, no. 7, Mệnh đề 16.

Ta kết luận từ điều đã nêu trước đó rằng tập hợp $j_A^{-1}(M)$ là mở trong $\mathscr{C}^1(X;Y)\times A$, do đó phần bù của nó $\mathscr{F}$ là đóng. Vì A là compact, phép chiếu pr$_1:\mathscr{C}^1(X;Y)\times A\rightarrow \mathscr{C}^1(X;Y)$ là một cấu xạ thực sự, do đó đóng; vì vậy, tập hợp J, bằng $\mathscr{C}^1(X;Y)$ -- pr$_1(\mathscr{F})$, là mở trong $\mathscr{C}^1(X;Y)$.

b) Gọi H là tập con của $J\times A\times A$ gồm các phần tử $(f, x, y)$ sao cho $f(x) =f(y)$. Rõ ràng H chứa $J\times \Delta$, trong đó $\Delta$ ký hiệu đường chéo trong tích $A\times A$; ta chứng minh rằng $H'= H$ -- $(J\times \Delta )$ là đóng trong $J\times A\times A$. Vì $\mathscr{P}$ là phần bù trong J của ảnh của $H'$ qua phép chiếu thực sự pr$_1: J\times A\times A\rightarrow J$, điều này sẽ suy ra mệnh đề.

Tôpô của $\mathscr{C}^1(X;Y)$ mịn hơn tôpô hội tụ compact, nên ánh xạ $(\varphi , x) \rightarrow \varphi (x)$ từ $\mathscr{C}^1(X;Y)\times A$ đến Y là liên tục (General Topology, Chap. X, §3, no. 4, Cor. 1 of Th. 3); do đó H là đóng trong $J\times A\times A$. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng $J\times \Delta$ là mở trong H, nói cách khác, rằng với mọi $\varphi \in J$ và mọi $x\in A$ tồn tại một lân cận $\Omega$ của $\varphi$ trong J và một lân cận B của $x$ trong X sao cho, với mọi cấu xạ $\psi$ trong $\Omega$, hạn chế của $\psi$ trên $A\cap B$ là đơn ánh.

Do đó, mệnh đề suy ra từ bổ đề sau:

Cho U là một lân cận mở tương đối compact của $x$ đẳng cấu với một không gian vectơ hữu hạn chiều, và sao cho $\varphi (U)$ được chứa trong miền V của một biểu đồ. Tập hợp $\Omega_0$ gồm các $\psi \in \mathscr{C}^1(X;Y)$ sao cho $\psi (U)\subset V$ là mở trong $\mathscr{C}^1$(X;Y), và ánh xạ hạn chế $\Omega_0\rightarrow \mathscr{C}^1(U;V)$ là liên tục; do đó ta được quy về việc chứng minh bổ đề khi X = U và Y = V, nói cách khác, ta có thể giả sử rằng X là một không gian vectơ hữu hạn chiều và Y là một không gian Banach. Chọn các chuẩn trên X và Y.

Ánh xạ tuyến tính $D\varphi (x) : X\rightarrow$ Y là đơn ánh; ký hiệu đối chuẩn của nó là $q($Spectral Theory, Chap. III, §2, no. 6), sao cho, theo định nghĩa, ta có $\|D\varphi (x).t\| \geq q\|t\|$ với mọi $t\in X$. Cho $\varepsilon \in \mathbf{R}$ sao cho $0< \varepsilon < q/2$, và cho B là một quả cầu đóng có tâm $x$ sao cho $\|D\varphi (u)-D\varphi (x)\| \leq \varepsilon$ với mọi $u\in B$. Ký hiệu $\Omega$ là tập con của $\mathscr{C}^1(X;Y)$ gồm các cấu xạ $\psi$ sao cho $\|D\psi (u)-D\varphi (u)\| \leq \varepsilon$ với mọi $u\in B$; nó là mở theo định nghĩa của tôpô của $\mathscr{C}^1(X;Y)$. Với $\psi \in \Omega$, đặt $\psi_0=\psi -D\varphi (x)$. Ta có $\|D\psi_0(u)\| \leq 2\varepsilon$ với mọi $u\in B$, và do đó $\|\psi_0(u)-\psi_0(v)\| \leq 2\varepsilon \|u-v\|$ với mọi $u$ và $v$ trong B (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 2.2.3). Suy ra rằng

Do đó, hạn chế của $\psi$ trên B là đơn ánh, vậy nên bổ đề được chứng minh.

Cho $(U_i, \varphi_i,E_i)_{i\in I}$ là một họ hữu hạn các bản đồ tọa độ của X có các miền xác định phủ A. Ta mở rộng $\varphi_i$ thành một ánh xạ từ X vào $E_i$ (cũng ký hiệu là $\varphi_i$) bằng cách đặt $\varphi_i(x) = 0$ với $x \notin U_i$. Cho $(V_i)_{i\in I}$ là một phủ của A bởi các tập con mở của X sao cho $\overline{V}_i\subset U_i$ với mọi $i\in I$ (sự tồn tại của một phủ như vậy suy ra từ General Topology, Chap. IX, §4, no. 3, Cor. 1 of Th. 3, áp dụng cho không gian compact $X'$ thu được bằng cách thêm vào X một điểm ở vô cực và phủ của $X'$ gồm các tập mở $U_i(i\in I)$ và $X'$ -- A). Với mọi $i\in I$, cho $\alpha_i$ là một hàm số thuộc lớp $C^r$ trên X, bằng 1 tại mọi điểm của $V_i$, và có giá được chứa trong $U_i($Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 5.3.6).

Xét ánh xạ $\varphi : X\rightarrow \bigoplus_{i\in I}(E_i\oplus \mathbf{R})$ được xác định bởi

Đặt F = X -- W và V = X-- GF. Khi đó V mở (Tôpô học đại cương, Chương III, §4, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1), ổn định dưới G, và $A\subset V\subset W$.

Thay A bởi tập compact GA, ta được quy về trường hợp A ổn định dưới G.

Lấy E là không gian Hom$_{\mathbf{R}}(E_1,E_0)$, $\rho$ là biểu diễn của G trên E cảm sinh bởi tác động trên $E_1$, và $\varphi : X\rightarrow E$ là ánh xạ gán cho $x\in X$ ánh xạ tuyến tính $\psi \rightarrow \psi (x)$ từ $E_1$ đến $E_0$. Đây là một cấu xạ lớp $C^r$; với $x\in X,g\in G,\psi \in E_1$, ta có (ký hiệu $\tau (g)$ là tự đẳng cấu $x \rightarrow gx$ của X):

Với mọi $i\in I$, ánh xạ $\alpha_i\varphi_i$ có lớp $C^r$ (vì các hạn chế của nó lên $U_i$ và lên phần bù của giá đỡ của $\alpha_i$ đều như vậy), và hạn chế của nó lên $V_i$ là một phép nhúng; suy ra $\varphi$ là một cấu xạ lớp $C^r$ và là một phép nhúng ngập tại mọi điểm của A. Ta chứng minh rằng hạn chế của $\varphi$ lên A là đơn ánh. Cho $x, y$ là hai điểm của A sao cho $\varphi (x) =\varphi (y)$, và cho $i\in I$ sao cho $x\in V_i$. Khi đó $\alpha_i(x) = 1$, suy ra $\alpha_i(y) = 1$, điều đó kéo theo $y\in U_i$; nhưng ta cũng có $\varphi_i(x) =\varphi_i(y)$, nên $x=y$ vì $\varphi_i$ cảm sinh một phép nhúng của $U_i$ vào $E_i$.

Có thể chứng minh được$^9$ rằng mọi đa tạp tách biệt, đếm được ở vô cực và có chiều thuần túy $n$, được nhúng vào $\mathbf{R}^{2n}$; đối với một kết quả yếu hơn, xem Bài tập 2.

$^9$ Xem H. WHITNEY, Các giao tự của một $n$-đa tạp trơn trong không gian $2n$-chiều, Ann. of Math., 45 (1944), pp. 220-246.

Cho $\alpha :$ Hom$_{\mathbf{R}}(E_1,E_0)\rightarrow E_0$ là ánh xạ tuyến tính $u \rightarrow u(\varphi_0)$; ta có $\alpha \circ \varphi =\varphi_0$, do đó $\varphi$ là một phép nhúng trong một lân cận của A vì $\varphi_0$ là một phép nhúng. Suy ra tồn tại một lân cận mở U của A sao cho hạn chế của $\varphi$ trên U là một phép nhúng; ta có thể chọn U ổn định dưới G theo Bổ đề 3, do đó có định lý.

Áp dụng Hệ quả 1 cho phép toán chính tắc của G trên đa tạp compact $G/H$. Điều này cho một biểu diễn tuyến tính giải tích $\rho : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ và một phép nhúng $\varphi : G/H\rightarrow E$ sao cho $\varphi (gx) =\rho (g)\varphi (x),g\in G, x\in G/H$. Gọi $\overline{e}\in G/H$ là lớp của $e\in G$, và $v=\varphi (\overline{e})$ là ảnh của nó. Với mọi $g\in G$, ta có $\rho (g)v=v\Leftarrow \Rightarrow \varphi (g\overline{e}) =\varphi (\overline{e})\Leftarrow \Rightarrow g\overline{e}= \overline{e}\Leftarrow \Rightarrow g\in H$.

Không gian $X/G$ là compact địa phương (Tôpô tổng quát, Chap. III, §4, no. 5, Prop. 11). Các thành phần liên thông của nó là các ảnh của các thành phần liên thông của X, vốn đếm được ở vô cực (Tôpô tổng quát, Chap. I, §9, no. 10, Th. 5); do đó, chính chúng cũng đếm được ở vô cực, điều này suy ra rằng $X/G$ là paracompact (loc. cit.). Vì vậy, tồn tại một phủ hữu hạn địa phương $(U'_{\alpha})_{\alpha\in I}$ của $X/G$ bởi các tập mở tương đối compact, và một phủ $(V'_{\alpha})_{\alpha\in I}$ sao cho $\overline{V}'_{\alpha}\subset U'_{\alpha}$ với mọi $\alpha \in I ($Tôpô tổng quát, Chap. IX, §4, no. 3, Cor. 1 of Th. 3); lấy ảnh ngược, ta thu được hai phủ hữu hạn địa phương $(U_{\alpha})_{\alpha\in I}$ và $(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$ của X bởi các tập mở tương đối compact ổn định dưới G, sao cho $\overline{V}_{\alpha}\subset U_{\alpha}$ với mọi $\alpha \in I$.

Với mọi $\alpha \in I$, tồn tại một biểu diễn $\rho_{\alpha}$ của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều $E_{\alpha}$ và một cấu xạ $\varphi_{\alpha}\in \mathscr{C}^r(X;E_{\alpha})$, tương thích với các phép toán của G, mà hạn chế của nó trên $U_{\alpha}$ là một phép nhúng (Th. 1). Với $\alpha \in I$, cho $a_{\alpha}$ là một hàm số thuộc lớp $C^r$ trên X, bằng 1 trên $V_{\alpha}$ và bằng 0 bên ngoài $U_{\alpha}($Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 5.3.6). Đặt $b_{\alpha}(x) =\int_Ga_{\alpha}(gx)dg$ với $x\in X$. Hàm $b_{\alpha}$ thuộc lớp $C^r$, bất biến dưới G (§6, no. 4, Cor. 2), bằng 1 trên $V_{\alpha}$ và bằng 0 bên ngoài $U_{\alpha}$. Trang bị cho mỗi $E_{\alpha}$ một tích vô hướng Hilbert bất biến dưới G (§1, no. 1), và $\mathbf{R}$ cấu trúc Hilbert chính tắc của nó; gọi E là tổng Hilbert của họ $(E_{\alpha}\oplus \mathbf{R})_{\alpha\in I}$, và gọi $\rho$ là biểu diễn của G trên E cảm sinh bởi các $\rho_{\alpha}$ và tác động tầm thường của G trên $\mathbf{R}$. Với $x\in X$, đặt $\varphi (x) = (b_{\alpha}(x)\varphi_{\alpha}(x), b_{\alpha}(x))_{\alpha\in I}$. Khi đó $\varphi$ là một cấu xạ thuộc lớp $C^r$ từ X vào E, tương thích với các phép toán của G; ta kiểm chứng như trong chứng minh của Mệnh đề 4 (no. 1) rằng $\varphi$ là một phép nhúng, điều này suy ra hệ quả.

$^{10}$Đó là (Spectral Theory, in preparation) một biểu diễn tuyến tính liên tục (Integration, Chap. VIII, §2, no. 1) sao cho toán tử $\rho (g)$ là unita với mọi

Chọn một tích vô hướng trên V bất biến dưới H (§1, no. 1). Tồn tại một số thực $r >0$ sao cho quả cầu mở B bán kính $r$ được chứa trong W; rõ ràng nó ổn định dưới H. Đặt $u(v) =r(r^2+\|v\|^2)^{-1/2}v$ với mọi $v\in V$; khi đó $u$ là một ánh xạ giải tích song ánh từ V vào B, tương thích với các phép toán của H, và ánh xạ ngược của nó $w \rightarrow r(r^2- \|w\|^2)^{-1/2}w$ là giải tích. Hơn nữa, $u(0) = 0$ và $Du(0) =$ Id$_V$.

Cho $(U, \psi ,E)$ là một biểu đồ của X tại $x$, sao cho U ổn định dưới H (no. 2, Bổ đề 3) và sao cho $\psi (x) = 0$. Đồng nhất E với T bằng $T_x(\psi )$, và đặt

$\psi^{\sharp}(y) =\int_Hh.\psi (h^{-1}y)dh$ với $y\in U$,

trong đó $dh$ là độ đo Haar trên H có khối lượng toàn phần 1.

Khi đó (§6, no. 4, Hệ quả $1$)$\psi^{\sharp}$ là một cấu xạ lớp $C^r$ từ U vào T, tương thích với các phép toán của H, sao cho $\psi^{\sharp}(x) = 0$ và $d_x\psi^{\sharp}=$ Id$_T$. Do đó, tồn tại một tập mở $U'\subset U$ chứa $x$, và một lân cận mở V của 0 trong T, sao cho $\psi^{\sharp}$ cảm sinh một đẳng cấu $\theta : U'\rightarrow V$. Nếu cần hạn chế $U'$ và V, ta có thể giả sử rằng chúng ổn định đối với H và rằng tồn tại một đẳng cấu $u: T\rightarrow V$ tương thích với các phép toán của H (Bổ đề 4). Bây giờ chỉ cần lấy $\varphi =\theta^{-1}\circ u$.

Nhắc lại (Đa tạp khả vi và giải tích, Các kết quả, 6.5.1) rằng nếu G là một nhóm Lie, H là một nhóm con Lie của G và Y là một đa tạp trên đó H tác động bên trái, ta ký hiệu bởi $G\times^HY$ thương của đa tạp tích $G\times Y$ bởi phép toán bên phải $((g, y), h) \rightarrow (gh, h^{-1}y)$ của H; đây là một đa tạp trên đó nhóm Lie G tác động một cách tự nhiên bên trái; phép chiếu $G\times^HY\rightarrow G/H$ là một bó với thớ Y. Hơn nữa, nếu Y là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên đó H tác động tuyến tính, $G\times^HY$ có một cấu trúc tự nhiên của một G-bó vectơ với cơ sở $G/H ($Đa tạp khả vi và giải tích, Các kết quả, 7.10.2).

Cho G là một nhóm Lie tác động đúng trên đa tạp X (Tôpô đại cương, Chương III, §4, no. 1, Định nghĩa 1) sao cho luật tác động $(g, x) \rightarrow gx$ là lớp $C^r$. Khi đó, với mọi điểm $x$ của X, quỹ đạo $Gx$ của $x$ là một đa tạp con đóng của X, đẳng cấu với không gian thuần nhất Lie $G/G_x$, trong đó $G_x$ là bộ ổn định của $x$ trong G (xem Chương III, §1, no. 7, Mệnh đề 14 (ii), và Tôpô đại cương, Chương III, §4, no. 2, Mệnh đề 4); đây là một nhóm Lie compact (tại chỗ đã dẫn).

Đặt $T = T_x(X)$. Cho W là một không gian con bù của $T_x(Gx)$ trong T, ổn định dưới tác động của $G_x$ (chẳng hạn, không gian con trực giao của $T_x(Gx)$ đối với một tích vô hướng trên T bất biến dưới tác động của $G_x$). Mặt khác, cho $\varphi : T\rightarrow X$ là một cấu xạ với các tính chất đã nêu trong Mệnh đề 5 (đối với $H = G_x$). Xét cấu xạ $\lambda : G\times W\rightarrow X$ được xác định bởi $\lambda (g, w) =g\varphi (w)$. Nó cảm sinh qua phép chuyển sang thương một cấu xạ $\mu: G\times^{G_x}W\rightarrow X$ lớp $C^r$, tương thích với các phép toán của G, ánh xạ lớp $z$ của $(e,0)$ vào $x$.

Ta chứng minh rằng $\mu$ là étale tại điểm $z$. Ta có

dim(G $\times^{G_x}W$) $=$ dim(G) + dim(W) $-$ dim(G$_x$)

= dim(G$x$) $+$ dim(W) = dim(T),

suy ra chỉ cần chứng minh rằng $\mu$ đầy đủ hạng tại $z$, hay tương đương rằng $\lambda$ đầy đủ hạng tại $(e,0)$. Nhưng ánh xạ tiếp tuyến $T_{(e,0)}(\lambda ) : T_e(G)\oplus W\rightarrow T$ bằng $T_e(\rho (x)) +i$, trong đó $\rho (x)$ là ánh xạ quỹ đạo $g \rightarrow gx$ và $i$ là đơn ánh chính tắc từ W vào T; vì Im $T_e(\rho (x)) = T_x(Gx)$, ánh xạ $T_{(e,0)}(\lambda )$ là toàn ánh, và $\mu$ là étale tại $z$.

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một lân cận mở $\Omega$ của $Gz$ trong $G\times^{G_x}W$, ổn định dưới G, sao cho $\mu$ cảm sinh một đẳng cấu từ $\Omega$ lên một tập con mở của X. Điều này sẽ suy ra mệnh đề: thật vậy, ảnh ngược của $\Omega$ trong $G\times W$ ổn định dưới G, và do đó có dạng $G\times B$, trong đó B là một tập con mở của W chứa gốc và ổn định dưới $G_x$; nếu cần, thu hẹp $\Omega$, ta có thể giả sử rằng tồn tại một đẳng cấu $u: W\rightarrow B$, tương thích với các phép toán của $G_x$ (Bổ đề 4). Rõ ràng cấu xạ hợp thành $\alpha : G\times^{G_x}W\overset{(Id,u)}{\longrightarrow}G\times^{G_x}B\longrightarrow^\mu$ X thỏa mãn các điều kiện trong mệnh đề.

Do đó, mệnh đề là hệ quả của bổ đề sau:

Vì $\mu$ tương thích với các phép toán của G, nên nó là étale tại mọi điểm của $Gz$; vì ánh xạ chính tắc $G/G_x\rightarrow Gx$ là một đồng phôi, nên ánh xạ từ $Gz$ đến $Gx$ cảm sinh bởi $\mu$ cũng vậy. Do đó, từ Mệnh đề 2 của no. 1 suy ra rằng tồn tại một lân cận mở U của $Gz$ trong Z sao cho $\mu$ cảm sinh một nhúng mở của U vào X.

Vì G tác động thực sự lên X, tồn tại một lân cận mở V của $x$ và một tập con compact K của G sao cho $gV\cap V =\emptyset$ với $g \notin K ($Tôpô tổng quát, Chap. III, §4, no. 4, Mệnh đề 7); đặc biệt, $e\in K$. Tập $W_1$ gồm các điểm $y\in Z$ sao cho $Ky\subset U$ là mở trong Z: thật vậy, Z-- $W_1$ là ảnh của tập đóng $(K\times Z)$ -- $m^{-1}(U)$ qua phép chiếu thực sự pr$_2: K\times Z\rightarrow Z$. Đặt $W = W_1\cap \mu^{-1}(V)$; đây là một tập con mở của Z, chứa $z$, và thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) KW $\subset U$, và đặc biệt $W\subset U$;

(ii) $\mu(W)\subset V$.

Đặt $\Omega =$ GW và xét hạn chế của $\mu$ lên $\Omega$. Đây là một cấu xạ étale, vì mọi điểm của $\Omega$ đều liên hợp dưới G với một điểm của U. Ta chứng minh rằng nó đơn ánh: cho $g, h$ trong G và $u, v$ trong W sao cho $\mu(gu) =$ $\mu(hv)$. Đặt $k=g^{-1}h$; khi đó $\mu(u) =k\mu(v)$, do đó $k\in K$ theo (ii). Nhưng $kv$ và $u$ thuộc U theo (i); do đó, $u=kv$ vì hạn chế của $\mu$ lên V là đơn ánh, suy ra $gu=hv$. Vậy, hạn chế của $\mu$ lên $\Omega$ là đơn ánh, và do đó (Differentiable and Analytic Manifolds, Kết quả, 5.7.8) là một đẳng cấu lên một phân đa tạp con mở của X, điều này hoàn tất chứng minh.

Theo các điều kiện của Mệnh đề 6, ảnh của $\alpha$ là một lân cận mở T của quỹ đạo A của $x$, được trang bị cấu trúc bó vectơ với cơ sở A, trong đó tiết diện không chính là quỹ đạo A. Một lân cận như thế được gọi là một ống tuyến tính (quanh quỹ đạo đang xét). Với mỗi điểm $a\in A$, sợi $Y_a$ của bó vectơ này là một phân đa tạp con của X, ổn định dưới nhóm ổn định $G_a$ của $a$, và sao cho cấu xạ từ $G\times^{G_a}Y_a$ đến X ánh xạ lớp của $(g, y)\in G\times Y_a$ thành $gy\in X$ cảm sinh một cấu xạ lớp $C^r$ từ $G\times^{G_a}Y_a$ đến T. Khi đó $Y_a$ được gọi là tiết diện ngang tại $a$ của ống T. Ta nhận xét rằng không gian tiếp tuyến tại $a$ của $Y_a$ đẳng cấu chính tắc với $Y_a$ và rằng nó là một bổ sung của $T_a(A)$ trong $T_a(X)$; do đó, bó vectơ T với cơ sở A đẳng cấu chính tắc với bó pháp tuyến của A trong X (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 8.1.3).

a) Mọi dãy giảm các nhóm con compact của G đều dừng.

b) Cho H và $H'$ là hai nhóm con compact của G sao cho $H\subset H'$ và sao cho tồn tại một đẳng cấu (của các nhóm tôpô) từ $H'$ đến H. Khi đó $H = H'$.

c) Với quan hệ $t\leq t'$, tập hợp $\mathscr{T}$ là một tập có thứ tự Noether (Lý thuyết tập hợp, Chương III, §6, no. 5, văn bản trước Mệnh đề 7).

a) Cho $(H_i)_{i\geq 1}$ là một dãy giảm các nhóm con compact của G; đây là các nhóm con Lie của G (Chương III, §8, no. 2, Định lý 2). Dãy các số nguyên (dim $H_i$)$_{i\geq 1}$ là giảm, do đó dừng, nên tồn tại một số nguyên N sao cho các nhóm con $H_i$ có cùng thành phần liên thông đơn vị với mọi $i\geq N$. Khi đó dãy giảm các số nguyên dương $(H_i: (H_i)_0)_{i\geq N}$ là dừng, nên $H_i= H_{i+1}$ với mọi $i$ đủ lớn.

b) Cho $f$ là một đẳng cấu từ $H'$ đến H. Dãy $(f^n(H))_{n\geq 0}$ là một dãy giảm các nhóm con compact của G, nên $f^n(H) =f^{n+1}(H)$ với mọi $n$ đủ lớn, theo a). Vì $f$ là một đẳng cấu, điều này suy ra $f(H) = H =f(H')$, do đó $H = H'$.

==========

Đó là toàn bộ đoạn văn. Hãy viết bản dịch của mọi thứ nằm giữa hai dòng đó, và dừng ở đó.

c) Cho $t, t'\in \mathscr{T}$ sao cho $t\leq t'$ và $t'\leq t$. Khi đó, tồn tại $H,H_1\in t$ và $H',H'_1\in t'$ sao cho $H\supset H'$ và $H_1\subset H'_1$. Gọi $g$ và $g'$ là hai phần tử của G sao cho $H_1=gHg^{-1}$ và $H'_1=g'H'g^{'-1}$; đặt $u=g^{'-1}g$. Khi đó

theo b), điều này suy ra rằng $uHu^{-1}= H$, do đó $H'= H$ và $t'=t$. Vậy, tập hợp $\mathscr{T}$ có thứ tự, và nó là Noether theo a).

a) Ánh xạ gán cho mỗi điểm của X kiểu quỹ đạo của nó có tính chất nửa liên tục sau đây: cho $x\in X$ và cho $t\in \mathscr{T}$ là kiểu quỹ đạo của nó; tồn tại một lân cận mở ổn định U của $x$ sao cho, với mọi $u\in U$, kiểu của $u$ là $\geq t$.

b) Với mọi $t\in \mathscr{T},X_{(t)}$ là một đa tạp con của X, quan hệ tương đương trên $X_{(t)}$ cảm sinh bởi tác động của G là chính quy (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 5.9.5), và cấu xạ $X_{(t)}\rightarrow X_{(t)}/G$ là một bó.

c) Giả sử $X/G$ liên thông. Khi đó tập hợp các kiểu quỹ đạo của các phần tử của X có một phần tử lớn nhất $\tau$; hơn nữa, $X_{(\tau)}$ là một tập con mở trù mật của X và $X_{(\tau)}/G$ liên thông.

Cho $x$ là một điểm của X và $t\in \mathscr{T}$ là kiểu của nó. Để chứng minh a) và b), ta có thể thay X bởi một tập mở ổn định chứa $x$, và do đó (Mệnh đề 6) có thể giả sử rằng X có dạng $G\times^HW$, trong đó W là không gian của một biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều của một nhóm con compact H của G, còn điểm $x$ là ảnh $p(e,0)$ của $(e,0)\in G\times W$ qua phép chiếu chính tắc $p: G\times W\rightarrow G\times^HW$. Nếu $u=p(g, y)\in G\times^HW$ và $a\in G$, thì $au=u$ khi và chỉ khi tồn tại $h\in H$ sao cho $(ag, y) = (gh^{-1}, hy)$, tức là, nếu $a\in gH_yg^{-1}$. Do đó, $G_u=gH_yg^{-1}$; nói riêng, $G_x= H$, nên $G_u$ liên hợp với một nhóm con của $G_x$, điều này chứng minh rằng kiểu của $u$ là $\geq t$, suy ra a).

Hơn nữa, $u$ có kiểu $t$ khi và chỉ khi $G_u$ liên hợp với H trong G, hoặc tương đương là $H_y$ liên hợp với H trong G; theo Bổ đề $6b)$, điều này có nghĩa là $H_y= H$, và do đó $y$ bị H cố định. Nếu $W'$ là không gian con vectơ của W gồm các phần tử bị H cố định, suy ra $X_{(t)}$ có thể được đồng nhất với $G\times^HW'$, và do đó cũng với $G/H\times W'$, suy ra b).

Để chứng minh c), xét rằng giả thiết $X/G$ liên thông ngụ ý rằng X thuần có số chiều hữu hạn: thật vậy, với mọi $k\geq 0$, ký hiệu bởi $X_k$ tập các điểm $x\in X$ sao cho dim$_xX =k$; khi đó $X_k$ mở và đóng trong X, và ổn định dưới tác dụng của G, nên X bằng một trong các $X_k$.

Ta nay chứng minh c) bằng quy nạp theo chiều của X, mệnh đề hiển nhiên khi dim X = 0. Cho $\tau$ là một phần tử cực đại trong số các kiểu quỹ đạo của các điểm của X (một phần tử như vậy tồn tại theo Bổ đề $6c$)). Ta sẽ chứng minh điều sau:

$c')$ Với mọi tập con A của $X_{(t)}$, mở và đóng trong $X_{(\tau)}$ và ổn định dưới tác dụng của G, bao đóng $\overline{A}$ của A trong X là mở.

Mệnh đề này suy ra c). Thật vậy, trước hết chú ý rằng $X_{(\tau)}$ mở trong X, theo a); mệnh đề $c')$ suy ra rằng $\overline{X}_{(\tau)}$ mở và đóng trong X, do đó bằng X vì nó ổn định dưới tác dụng của G và $X/G$ liên thông. Cho A là một tập con không rỗng, mở và đóng của $X_{(\tau)}$ ổn định dưới tác dụng của G; theo $c')$, $\overline{A}$ mở và đóng trong X và ổn định dưới tác dụng của G, do đó bằng X; điều này ngụ ý rằng A trù mật trong $X_{(\tau)}$, do đó bằng $X_{(\tau)}$. Do đó, mọi tập con không rỗng, mở và đóng của $X_{(\tau)}/G$ đều bằng $X_{(\tau)}/G$, điều đó chứng tỏ rằng $X_{(\tau)}/G$ liên thông. Cuối cùng, vì $X_{(\tau)}$ trù mật trong X, suy ra từ a) rằng mọi điểm của X đều có kiểu $\leq \tau$; nói cách khác, $\tau$ là phần tử lớn nhất trong số các kiểu quỹ đạo của các điểm của X.

Bây giờ chứng minh $c')$. Có thể giả sử rằng A không rỗng; lấy $x\in A$. Chỉ cần chứng minh rằng A là một lân cận của x. Để làm điều đó, như trên, có thể giả sử rằng $X = G\times^HW$ với H compact, x là ảnh chính tắc của $(e,0)$. Giả sử trước hết rằng H tác động tầm thường lên W: khi đó X có thể được đồng nhất với $(G/H)\times W$, và $X_{(\tau)}/G = X/G$ đồng phôi với W, do đó liên thông; vì vậy, $A/G = X/G$, suy ra A = X. Từ đây giả sử rằng H không tác động tầm thường lên W. Chọn một tích vô hướng trên W bất biến dưới nhóm compact H; lấy S là mặt cầu đơn vị trong W (tập hợp các vectơ có chuẩn 1). Chú ý rằng $S/H$ liên thông: thật vậy, nếu dim(W) $\geq 2$, S liên thông, và nếu dim(W) = 1, S là một không gian gồm hai điểm mà H tác động không tầm thường. Đặt $Y = G\times^HS$; đây là một đa tạp con đóng của X, ổn định dưới G, có đồng chiều 1, và $Y/G$, vốn đồng phôi với $S/H$, là liên thông. Do đó, theo giả thiết quy nạp, tồn tại một kiểu quỹ đạo cực đại $\theta$ cho Y, tập $Y_{(\theta)}$ mở và trù mật trong Y, và $Y_{(\theta)}/G$ liên thông.

Xét phép toán của $\mathbf{R}^*_+$ trên X cảm sinh bởi việc qua thương theo luật phép toán $(\lambda ,(g, w)) \rightarrow (g, \lambda w)$ của $\mathbf{R}^*_+$ trên $G\times W$. Hai điểm của X liên hợp dưới phép toán này thì cùng kiểu quỹ đạo; do đó, $X_{(\theta)}$ chứa $\mathbf{R}^*_+Y_{(\theta)}$, là một tập con mở trù mật của X. Nhưng $X_{(\tau)}$ mở theo a), nên giao với $X_{(\theta)}$, suy ra $\theta =\tau$.

Mặt khác, đồng phôi $(\lambda , w) \rightarrow \lambda w$ từ $\mathbf{R}^*_+\times S$ đến W -- $\{0\}($Tôpô tổng quát, Chap. VI, §2, no. 3, Mệnh đề 3) cảm sinh một đồng phôi từ $\mathbf{R}^*_+\times (S/H)$ đến $(\mathbf{R}^*_+S)/H$, do đó cũng từ $\mathbf{R}^*_+\times (Y/G)$ đến $(\mathbf{R}^*_+Y)/G$, và từ $\mathbf{R}^*_+\times (Y_{(\theta)}/G)$ đến $(\mathbf{R}^*_+Y_{(\theta)})/G$. Vì vậy, $(\mathbf{R}^*_+Y_{(\theta)})/G$ liên thông, và $X_{(\tau)}/G$, vốn chứa một tập con trù mật liên thông, tự nó liên thông (Tôpô tổng quát, Chap. I, §11, no. 1, Mệnh đề 1). Do đó, A bằng $X_{(\tau)}$, suy ra trù mật trong X, và A là một lân cận của x. Điều này hoàn tất chứng minh định lý.

Với ký hiệu trong Định lý $2c)$, các điểm của $X_{(\tau)}$ được gọi là các điểm chính và các quỹ đạo của chúng được gọi là các quỹ đạo chính. Nếu $x$ là một điểm của X, và nếu $G\times^{G_x}W$ là một ống tuyến tính trong X quanh quỹ đạo của $x$, thì điểm $x$ là chính khi và chỉ khi $G_x$ tác động tầm thường trên W, tức là nếu ống có dạng $(G/G_x)\times W$.