a) Notons $u_1 \in \mathrm{Alt}^s(M)$ la forme $(x_1, ..., x_s) \mapsto u(p(x_1), ..., p(x_s))$, et soit $v_1 \in \mathrm{Alt}^r(M)$ une forme telle que $v_1(i(x'_1), ..., i(x'_r)) = v(x'_1, ..., x'_r)$ pour $x'_1, ..., x'_r$ dans $M'$; on a alors $u \cap v = u_1 \wedge v_1$.

b) Pour $x_1, ..., x_s$ dans $M$ et $x'_1, ..., x'_r$ dans $M'$, on a

L’application $\varphi : \mathrm{Alt}^s(M'') \otimes_A \mathrm{Alt}^r(M') \to \mathrm{Alt}^{s+r}(M)$ telle que $\varphi(u \otimes v) = u \cap v$ est un isomorphisme de $A$-modules libres de rang un.

L’existence d’une forme $v_1$ satisfaisant à la condition a) résulte de ce que $\Lambda^r(i)$ induit un isomorphisme de $\Lambda^r(M')$ sur un sous-module facteur direct de $\Lambda^r(M)$ (A, III, p. 78). Soit $v_1$ une telle forme; posons $u \cap v = u_1 \wedge v_1$. La formule (1) est alors satisfaite, puisque si l’on pose $i(x'_k) = x_{s+k}$ pour $1 \leq k \leq r$, le seul élément $\sigma$ de $S_{s,r}$ tel que $p(x_{\sigma(i)}) \neq 0$ pour $1 \leq i \leq s$ est la permutation identique. D’autre part la formule (1) détermine $u \cap v$ de manière unique : soient en effet $(e'_1, ..., e'_r)$ une base de $M'$, $(f''_1, ..., f''_s)$ une base de $M''$, et $f_1, ..., f_s$ des éléments de $M$ tels que $p(f_i) = f''_i$ pour $1 \leq i \leq s$. Alors $(f_1, ..., f_s, i(e'_1), ..., i(e'_r))$ est une base de $M$ (A, II, p. 27, prop. 21), et la formule (1) s’écrit

(2)

or un élément de $Alt^{s+r}(M)$ est déterminé par sa valeur sur une base.

Il résulte de ce qui précède que chacune des conditions a) ou b) détermine le produit $u \cap v$ de manière unique ; il est clair que ce produit est bilinéaire. Enfin la dernière assertion du lemme résulte de la formule (2).

On peut évidemment supposer que $\omega_{G/T}$ et $\omega_T$ sont non nulles ; alors la forme différentielle $(u, t) \mapsto \omega_{G/T}(u) \wedge \omega_T(t)$ sur $(G/T) \times T$ est de degré $n$ et partout non nulle ; il existe donc une fonction numérique $\delta$ sur $(G/T) \times T$ telle que

Observons maintenant que, pour $h \in G, u \in G/T, t \in T$, on a $f(h.u, t) = (\mathrm{Int}\ h)\ f(u, t)$ ; comme $\omega_G$ est invariante par automorphismes intérieurs, il en résulte aussitôt que $\delta(hu, t) = \delta(u, t)$, donc $\delta(u, t) = \delta(\overline{e}, t)$.

Notons $p : g \to g/t$ l’application de passage au quotient et $\varphi : g/t \to g$ l’application définie par

rappelons (§ 5, no 4, lemme 4) que l’application tangente

applique $(z, tH)$ sur $t(\varphi(z) + H)$ pour $z \in g/t,\ H \in t$.

Soient $z_1, ..., z_{n-r}$ des éléments de $g/t$, $H_1, ..., H_r$ des éléments de $t$. On a

d'où $f^*\omega_G(\overline{e}, t) = \delta_G(t)(\omega_{G/T} \wedge \omega_T)(\overline{e}, t)$; on a donc $\delta(\overline{e}, t) = \delta_G(t)$, d'où la proposition.

Munissons les variétés $G, T$ et $G/T$ des orientations définies par les formes $\omega_G, \omega_T$ et $\omega_{G/T}$ respectivement. Ces formes définissent alors des mesures invariantes sur $G, T$ et $G/T$ (III, § 3, n° 16, prop. 55 et 56), encore notées $\omega_G, \omega_T$ et $\omega_{G/T}$.

Notons $\pi$ le morphisme canonique de $G$ dans $G/T$. Soit $g \in G$, et soient $t_1, ..., t_{n-r}$ des éléments de $T_{\pi(g)}(G/T)$. Identifions la fibre $\pi^{-1}(\pi(g)) = gT$ à $T$ par la translation $\gamma(g)$. La relation $\omega_G = \omega_{G/T} \cap \omega_T$ entraîne alors l'égalité (VAR, R, 11.4.5) :

On a donc $\int_\pi \omega_G = \left( \int_T \omega_T \right) \omega_{G/T}$ (VAR, R, 11.4.6), et

Choisissons une forme différentielle invariante $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) sur $T$ (resp. $G/T$) de degré maximum, telle que la mesure définie par $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) soit égale à $dt$ (resp. $\mu$). Posons $\omega_G = \omega_{G/T} \cap \omega_T$. Le lemme 2 entraîne que la mesure définie par $\omega_G$ est égale à $dg$. Soit $U$ une partie ouverte de $(G/T) \times T_r$, telle que $f_r$ induise un isomorphisme de $U$ sur une partie ouverte $V$ de $G_r$. Soit $\varphi$ une fonction continue à support compact dans V ; notons encore $\varphi$ le prolongement de $\varphi$ à $G_r$, qui s’annule en dehors de V. On a

d’où le lemme.

Théorème 1 (H. Weyl). — La mesure dg sur G est l’image par l’application $(g, t) \mapsto gtg^{-1}$ de $G \times T$ dans $G$ de la mesure $dg \otimes \frac{1}{w(G)} \delta_G dt$, où

Il revient au même (INT, V, § 6, n° 3, prop. 4) de dire que $dg$ est l’image par l’application $f : (G/T) \times T \to G$ de la mesure $\mu \otimes \frac{1}{w(G)} \delta_G dt$.

Démontrons cette dernière assertion. Il résulte du § 5, n° 1 et de VAR, R, 10.1.3, c) que $G - G_r$ est négligeable dans $G$ et $T - T_r$ négligeable dans $T$. Par ailleurs l’application $f_r$ fait de $(G/T) \times T_r$ un revêtement principal de $G_r$, de groupe $W$ (§ 5, n° 4, prop. 4, b)). Le théorème résulte alors du lemme 3 et de INT, V, § 6, n° 6, prop. 11.

(ii) Soit $\varphi$ une fonction mesurable positive sur $G$. Pour presque tout $t \in T$, la fonction $g \mapsto \varphi(gtg^{-1})$ sur $G$ est mesurable. La fonction $t \mapsto \int_G^* \varphi(gtg^{-1}) dg$ sur $T$ est mesurable, et l’on a

Puisque l’application $f$ se déduit par passage au quotient de l’application $(g, t) \mapsto gtg^{-1}$ de $G \times T$ dans $G$, il suffit d’appliquer INT, V, § 5, 6, 8 et INT, VII, § 2.

Notons $p : G/T \times T \to T$ la seconde projection. On a $\varphi \circ f = (\varphi|T) \circ p$; par ailleurs, l’image par $p$ de la mesure $\mu \otimes \frac{1}{w(G)} \delta_G dt$ est $\frac{1}{w(G)} \delta_G dt$. Le corollaire résulte alors du th. 1 ci-dessus et du th. 1 de INT, V, § 6, n° 2, appliqués aux deux applications propres $f$ et $p$.

En effet, la fonction $h \mapsto \varphi(h) \det(\mathrm{Ad}_{g/h}(h) - 1)$ est une fonction centrale sur $H$, dont la restriction à $T$ est la fonction $t \mapsto \varphi(t) \delta_G(t) \delta_H(t)^{-1}$. Le corollaire résulte donc du cor. 2 appliqué à $G$ et à $H$.

on a donc $\exp^*\omega_H = \lambda_h \omega_h$, avec $\lambda_h(x) = \det \varpi(x) = \det \frac{\exp \operatorname{ad} x - 1}{\operatorname{ad} x}$ (III, § 6, n° 4, prop. 12).

Soit $h \in H$; puisque $\operatorname{Ad} h$ est un automorphisme de $\mathfrak{h}$, on a

Notons $\omega_G$ (resp. $\omega_T$) la forme différentielle invariante de degré maximum sur $G$ (resp. $T$) qui coïncide à l’origine avec $\omega_g$ (resp. $\omega_t$). Considérons le diagramme commutatif

Compte tenu de la prop. 1 du n° 2 et de la relation $\exp_T^*\omega_T = \omega_t$, on en déduit l’égalité

D’après la prop. 2, on a $\psi^*\exp_G^*\omega_G = (\psi^*\lambda_g)\,\psi^*\omega_g$. Comme la fonction $\lambda_g$ est invariante sous $\mathrm{Ad}(G)$, on a

Il en résulte que les formes $\psi^*\omega_G(\overline{g}, x)$ et $\omega_{G/T}(\overline{g}) \wedge \pi_g(x)\,\omega_t(x)$ coïncident lorsque $\delta_g(x)$ est non nul, c’est-à-dire sur l’ouvert dense $(G/T) \times t_r$; elles sont donc égales, d’où la proposition.

Choisissons des formes différentielles invariantes de degré maximum $\omega_G$ sur $G$ et $\omega_T$ sur $T$, telles que $|\omega_G| = dg$ et $|\omega_T| = dt$; notons $\omega_g$ (resp. $\omega_t$) la forme différentielle invariante par translation sur $g$ (resp. $t$) qui coïncide avec $\omega_G(e)$ (resp. $\omega_T(e)$) à l’origine, et $dz$ (resp. $dx$) la mesure de Haar $|\omega_g|$ (resp. $|\omega_t|$). En raisonnant comme dans le n° 2, mutatis mutandis, on établit la proposition suivante :